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Calculo Integral

El cálculo integral tiene 2 partes que son:

1.

La integral indefinida, es un proceso o método opuesto a la derivación. La integral definida, consiste en encontrar un numero, pero en base a la integral indefinida.

2.

Propiedades de la integral indefinida

1.

La derivada de la integral indefinida es igual al integrando.

∫f(x) dx = f(x)

2

Ej. ∫ (2x+3) dx = x +3x+C

2

∫ (2x+3) dx =

(x +3x+C)

= 2x+3+0=2x+3

2.

Todo factor numérico se puede sacar fuera de su signo de integración. ∫a f(x) dx=a ∫f(x) dx Ej. ∫2xdx = 2∫xdx 2

X +C= 2( + C) 2

= x +C La integral de una suma algebraica es igual a la suma de las integrales de los sumandos. ∫ *f(x)+g(x)+ = ∫f(x) dx+∫g(x) dx Ej. ∫ (2x+3) dx = ∫2xdx + ∫3dx 2 2 X +3x+C = x +C1+3x+C2 2 = x + 3x+ (C1+C2) 2 = x + 3x + C

3.

Reglas Básicas para integrar funciones: Estas reglas también se les llama integrales inmediatas o formas de estándar para integrar. 1. 2.

∫dx = x+c ∫du = u+c, u=g(x)

3.

∫x dx =

4.

∫

n

+C

du = x

+C x

5. 6.

∫e dx = e +C u u ∫e du = e +C

7.

∫ dx = ln|x|+C

8.

∫ du = ln|u|+C

Evaluar las sigs. Integrales indefinidas

1.

y=

√

∫ dx= ∫ √

⁄

dx= ∫

⁄

dx=

+c

=2√ 2.

2

3

3x -5x+ +2e

2

3

∫(3x -5x+ +2e )dx 2

3

∫(3x -5x+2e )dx+7∫ dx =3 -5 3

=x -

+ 7ln|x|+C 3

+ 2e x + 7ln|x|+C

Ecuaciones Diferenciales , Son ciertas ecuaciones que contienen derivadas o diferenciales de una función desconocida. Estas ecuaciones diferenciales resultan de resolver problemas relativos a fenómenos o procesos superiores. La solución general de una ecuación diferencial contiene la constante de integración C, para hallar una solución particular de una ecuación diferencial, se requiere conocer ciertos datos llamados condiciones iniciales o condiciones de frontera, los cuales nos permiten determinar el valor de la constante de integración.

Ej. Sea

-2x=5

1. Hallar solución general 2.Hallar una solución particular si (2, 3) Є f

Solución: i)

=2x+5

∫dy = ∫2x + 5 (dx) 2 y=x +5x+C (solución general)

ii) Hallar el valor de la constante de integración

2

3= (2) +5(2)+C → C=-11

Sustituyendo: y=x2+5x-11

(solución particular)

Comprobación:

2

-2x=5 pero y=x +5x-11

2

(x +5x-6)-2x = 5

2x+5-0-2x=5 5=5 (verdadero)

Problemas

(Costo marginal) El costo original de cierta empresa esta dada por 2 C’(x)=24-0.03x+0.006x . Si el costo de producir 200 unidades es de $ 22,700 encuentre:

a.

La función de costo 2

= 24-0.03x+0.006x ;

C=22700 si x=200 2

dc= ∫(24-0.03x+0.006x )dx C= 24x-

+

+K 2

3

C= 24x-0.015x +0.002x +K Hallar la cto de integración K 2 3 22700=24(200)-0.015(200) +0.002(200) +K 22700=4800-600+16000+K K=2500 Sustituyendo: 2 3 C= 24x-0.015x +0.002x +2500 b. Los costos fijos de la empresa CF= Es el costo que incide la empresa cuando el nivel de producción es cero 2 3 C0=24(0)-0.015(0) +0.002(0) +2500 C0=$ 2500 c. El costo de producir 500 unidades Si x=500 2 3 → C (500)=24(500)-0.015(500) +0.002(500) +2500 =$ 260750

(Costo marginal) El costo marginal de cierta empresa es C’(x)=5+0.002x. ¿Cuáles son los costos totales variables de fabricar x unidades?

∫dc = ∫ (5+0.002x) dx C = 5x+

+K 2

C= 5x + 0.001x + K

Costos variables = 5x+0.001x

2

(Ingreso marginal) La función de ingreso marginal de cierta empresa es 2 R’(x)=20-0.0x-0.003x

a.

Encuentre la función de ingreso 2

=20-0.02x-0.003x ; I=0 Si x=0 2

dI = ∫(20-0.0x-0.003x )dx I=20x-

–

+K

2

3

I=20x-0.01x -0.001x +K 2 3 0=20(0)-0.01 (0) -0.001(0) +K K=0 2 3 Por lo tanto: I=20x-0.01x -0.001x b. ¿Cuánto ingreso se obtendrá por la venta de 100 unidades del producto de la empresa? 2 3 I=20(100)-0.01 (100) -0.01 (100) +0 I=$ 900 c. ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa? 2 3 I=20x-0.01x -0.001x I=px 2 3 20x-0.01x -0.001x =px P= 2

P=20-0.01x-0.001x

Métodos de integración Primer método: Integración por sustitución o cambio de variable. Ej. Evaluar: 3.

∫

= ∫

(xdx)

2

u=2+3x , du=6xdx → xdx= ∫

4.

= ∫ du = ln|u|+C

∫ lnxdx = ∫lnx( ) u=lnx, du= dx 2

∫udu= +C= (lnx) +C 2

= ln x+C

5.

3

∫(5x-1) dx u=5x-1, du=5dx → dx= 3

3

∫u

= ∫u du=

+C

4

= (5x+1) +C

6.

∫ 2

u= x +2x+1, du=2x+2 2 -2 =∫(x +2x+1) dx 2 -2 -4 =∫*(x+1) ] dx= =∫(x+1) dx u=x+1, du=dx

7.

-3

=

+ C=- (x+1) +C

=

+C

∫

dx

u=2x, du=2dx → dx= ∫

= ∫

du=

+C

=

8.

√

∫

dx

=∫(1u=1- ,

x

x

du=-e dx → e dx=-du

∫ (-du)= -∫ du= =

9.

+C

+C

∫

dx 2

u=2x +5, 3∫

du=4xdx → xdx=

(xdx)= 3∫ (

= ∫ du 2

= ln|u|+C = ln(2x +5)+C

Segundo método : Integración por partes

3

1. ∫(x+1)(x-1) dx u=x+1, du=dx 3

dѵ= (x-1) dx, ѵ= 4

I=

(x-1

- ∫(x-1) dx

I=

(x-1

-

I=

(x-1

-

2.

∫

√

+C +C

dx

u=x, du=dx dѵ=dx, ѵ= ⁄

I=2x(x+3

⁄

=2(x+3

- 2∫(x+3 dx

= 2x(x+3

-2

+C

=2x(x+3

- (x+3

+C

3.

∫xln xdx

u=lnx, du= dx =∫xdx, ѵ= 2

I= lnx- ∫x dx I= lnx- (

+C

I= lnx -

x

4. ∫ln (xe )dx x =∫(lnx+lne )dx =∫(lnx+xlne)dx =∫(ln+x)dx =∫lnxdx - ∫xdx u=lnx,

du= dx

dѵ= dx,

ѵ=x

=xlnx-∫x dx +∫xdx =xlnx-x+

+C

⁄

Problema 1. Para cierta mercancía la función costo marginal esta dad por CMg=3√ ,si los costos fijos ascienden a $100.Hallar a. Función costo b. El costo de producción de 70 unidades

= 3√

C=100 si X=0

∫dc=∫3(2x+4 dx ∫dc=3∫(2x+4 dx ∫dc=3. ∫(2x+4 C=

+K

C=(2x+4

+K

u=2x+4 du=2xdx

2dx

=(2x+4)√ +K Hallar la cte de integración K 100=4(2) + K → K=92 → C=(2x+4)√

+92