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• Angelis Maestre

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TALLER EJE 2 APLICACIONES DE LOS CONCEPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL

KEINER JOSE ZARATE VALENCIA TANIA LISNEY GUTIERREZ OROZCO JOHAN MARTINEZ MELO

08 DE DICIEMBRE DEL 2019

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA CALCULO DIFERENCIAL INGENIERIA DE SISTEMA

SITUACION 1: Las principales características que se deben tener como estudiante es la disposición para aprender y actitud ante los nuevos conocimientos. Además se deben tener bases cognitivas previas y fundamentos matemáticos sólidos para no quedar estancado en lagunas cognitivas que debieron ser llenadas anteriormente. Se necesitan también valores como paciencia y tolerancia, dado que los ejercicios no siempre serán resueltos al primer intento. Saber matemáticas significa, para el estudiante, tener habilidad en la resolución y desarrollo de procedimientos, aplicaciones fórmulas y métodos para encontrar una soluciones. Casi nunca un estudiante concibe a las matemáticas como algo que le pueda ser útil más allá de lo trabajado en el aula. Entonces, ¿Cómo vincular los contenidos matemáticos con las áreas que puedan interesar al estudiante? Al respecto, (Camarena, 2000) menciona: "La matemática en contexto: ayuda al estudiante a construir su propio conocimiento de una matemática con significado, con amarres firmes y no volátiles; refuerza el desarrollo de habilidades matemáticas, mediante el proceso de resolver problemas vinculados con los intereses del alumno..." De forma complementaria (Zuñiga, 2007) plantea lo siguiente: “De esta manera, atendiendo a la idea de que los estudiantes de ingeniería serán en su futura vida profesional usuarios de la matemática, y que requieren en su formación de situaciones que les muestren la utilidad de los conocimientos matemáticos en su área de especialidad, este trabajo se inscribe en la línea de investigación que aborda la problemática de la enseñanza de las matemáticas en contexto. Particularmente, su objetivo consiste en dotar de significado a los objetos y procesos matemáticos del cálculo, mediante el diseño de una situación–problema en el contexto de la ingeniería, a fin de investigar su impacto en el aprendizaje de los estudiantes dentro del aspecto cognitivo…” SITUACION 2: Para plantear el alcance y la importancia del cálculo diferencial, en especial límites y continuidad de funciones, se hace necesario la propuesta de ejemplos de las ramas en donde las matemáticas intervienen para dar soluciones a los problemas de la naturaleza.

PRIMERA APLICACIÓN: Introducción: Esta aplicación está basada en la Ingeniería de Sistemas, específicamente se trata de calcular la ganancia de velocidad global del sistema al mejorar o aumentar el rendimiento de una parte del computador. Esto se aplica en el diseño de supercomputadoras que tienen un servicio dedicado a una aplicación específica.

Marco teórico: Medida de rendimiento: La medida del rendimiento de interés en la computadora es el tiempo. Sin embargo, podemos identificar diferentes medidas de tiempo. Por ejemplo, el tiempo de ejecución de programas por parte del CPU, puede descomponerse en tiempos de usuario (en que ejecuta los programas de los usuarios) y el tiempo de sistema operativo. También podemos identificar otros tiempos que están ligados con los otros componentes del sistema de cómputo: el tiempo requerido para realizar intercambio de datos con la memoria o con diferentes dispositivos de entrada-salida que tienen muy diversas velocidades. Dadas las diferencias e inexactitudes que considerar todos los tiempos posibles, puede acarrear, se toma como la medida de rendimiento más adecuada del computador al tiempo de ejecución t de un programa por parte del CPU. Métricas de desempeño: Para poder evaluar el desempeño de un sistema de cómputo y poder comparar dos sistemas en función de su rendimiento, necesitamos establecer métricas que nos permitan estandarizar las medidas que emplearemos para tales fines. Las métricas establecen un criterio estandarizado para evaluar el desempeño de un sistema de cómputo de forma general, de manera que mediante la medida de tal métrica podamos comparar dos sistemas disímiles. Todas las métricas de desempeño están basadas en el comportamiento del sistema durante el tiempo, dado que el tiempo es la medida básica de rendimiento. Existen tres clases de métricas que pueden denominarse externas, pues pueden percibirse por un usuario o entidad externa al sistema medido:  Latencia o tiempo de respuesta.  Productividad  Disponibilidad Existe una cuarta métrica de tipo interna o que se percibe desde dentro del sistema. Es la métrica de utilización. Esta última es de vital importancia para entender el sistema y predecir su desempeño en condiciones específicas. La latencia es una medida del tiempo (t) que el sistema tarda en producir resultados. Esta métrica puede representar diferentes conceptos en dependencia del contexto, por ejemplo, en la evaluación del desempeño del CPU, tenemos los ciclos de reloj requeridos para completar un programa, el ancho del pulso o período del reloj del CPU y el tiempo total de ejecución de un programa; en cambio, en la evaluación del rendimiento de la memoria, tenemos por ejemplo, el tiempo de acceso a una celda. La productividad o throughput () como métrica de rendimiento, es la cantidad de trabajos o tareas completadas por unidad de tiempo. A diferencia del tiempo de ejecución que mide directamente el rendimiento del CPU, la productividad depende de diferentes factores externos y circunstanciales (acceso a disco, algoritmo de scheduling, entre otros) y mide un rendimiento más global del sistema.

La disponibilidad (d) mide cuánto tiempo un sistema se mantiene en operación normal del tiempo total requerido. La utilización () es el fragmento de tiempo que un componente del sistema (CPU, disco, memoria, etc) está activo para su utilización o contribuye al trabajo. La utilización se tasa en el rango entre 0 y 1 o como porcentaje. La productividad máxima de un sistema se alcanza cuando el componente más ocupado logra una utilización de 1 ó 100%. Aunque las métricas nos permiten contar con un criterio de comparación genérico, muchas veces es difícil definir métricas que sean efectivas 100% o estén libres de errores en los procedimientos o casos de aplicación. En (Diaz, 2013) se relaciona menciona lo siguiente: Técnicas de análisis de desempeño Las técnicas de análisis del desempeño de la ejecución de computadoras se pueden clasificar en cuatro grandes bloques:  Medición del desempeño (benchmarking)  Modelado analítico  Modelado por simulación  Modelado híbrido Las técnicas analíticas y de simulación, requieren la construcción de un modelo: una representación abstracta del sistema real. Un modelo analítico de la ejecución es una estructura matemática, mientras que un modelo por simulación requiere del soporte de un programa de computadora especializado. La mayor parte del arte en análisis de la ejecución queda en seleccionar a un buen modelo que integre los aspectos más sobresalientes del sistema, eliminando toda la masa de detalles no pertinentes que puedan ocultar lo esencial del mismo. La tercera técnica, medida de la ejecución, no usa modelos, pero en cambio se sustenta en la observación directa y en la recolección de valores del sistema de interés, o un sistema similar. Esta técnica incluye la elección de métricas y sus medidas a emplear para caracterizar el sistema y el uso de benchmarks o programas que sirvan como carga de trabajo e instrumento de medición. Ninguna técnica es mejor en todos los casos. Los modelos analíticos y de simulación predominan en escenarios donde no contamos con el sistema vivo o un prototipo del mismo. Cuando queremos determinar el desempeño de un sistema existente, la técnica de medición de la ejecución es lo más indicado. Rendimiento: Dado que la medida de rendimiento es el tiempo, y que a menor tiempo de ejecución tenemos mayor rendimiento, es decir, el Rendimiento (R) de una computadora es inversamente proporcional al tiempo de ejecución (t) de la misma, para una carga definida. Por tanto, podemos definir rendimiento como:

Con esta medida ya podemos comparar dos computadoras. Sean Rx el rendimiento de la primera y Ry el de la segunda, para una misma carga, podemos decir que:

Y podemos cuantificar la relación entre ellas: qué tanto más rinde X sobre Y con la razón siguiente:

Donde n es cantidad de veces que X tiene mayor rendimiento que Y. En dependencia del contexto, n se conoce como ganancia “G” (si X es un reemplazo de Y) o como aceleración (A) o mejora de rendimiento (si X es una evolución de la misma arquitectura de Y). Otro aporte que permite calcular el incremento de velocidad del sistema y se muestra en (Curiel, Azer, & Mattos, 2008) “Ley de Amdahl: Hemos obtenido expresiones que nos permiten relacionar el rendimiento de dos máquinas. Cuando el rendimiento de una es mayor que el de la otra como efecto de introducir una mejora, decimos que tenemos una aceleración de rendimiento. Es importante recalcar, sin embargo, que la aceleración global del sistema estará limitada por la fracción de tiempo en que dicha mejora es efectiva. Es decir, no podemos esperar que el sistema global acelere al doble si la mejora, que incrementa el rendimiento al doble, solo es capaz de funcionar cierto porcentaje de tiempo…” Por ejemplo, supongamos que aumentamos la frecuencia de un CPU al doble, podría esperarse reducir el tiempo de ejecución global a la mitad. Sin embargo, si en cada ciclo de instrucción se pierde mucho accediendo datos de la memoria, la mejora global alcanzada no será del doble, sino menor. 1) Ejemplo: Un disco magnético 10 veces más rápido que en la máquina original. El disco se utiliza sólo el 40% del tiempo de ejecución. ¿Cuál es la ganancia de velocidad global?

𝐥𝐢𝐦

𝒈𝒗 𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓𝒂𝒅𝒂→∞

𝟏

𝑮𝒗𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍=𝟏−𝟎.𝟒=1.66

𝐄𝐬𝐚 𝐬𝐞𝐫𝐢𝐚 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐚 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐮𝐧 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐨 𝐢𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐨 2) Conclusiones: Al finalizar la presentación podemos concluir que el límite nos ayuda a predecir cuál será el porcentaje de aumento de un sistema si se mejora el rendimiento de uno de sus componentes. Se pudo concluir que los límites nos ayudan a encontrar el máximo de direcciones que puede gestionar un microprocesador para el diseño de memorias. 3) Referencias Bibliográficas Camarena, P. (2000). Etapas de la matemática en el contexto de la ingeniería. Mexico: ESIME–IPN. Curiel, M., Azer, B., & Mattos, B. (2008). Hierarchical characterization and generation of blogosphere workloads. Colombia: Prentice Hall. Diaz, J. (2013). Paralelismo y Arquitecturas avanzadas. Managua: ISM.

Zuñiga, L. (2007). El cálculo en carreras de ingeniería: un estudio cognitivo. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 75-82.

SEGUNDA APLICACIÓN: Aplicación de límite y continuidad de funciones de variable real en economía El concepto de función es fundamental a la hora de estudiar matemáticamente la relación entre distintas magnitudes. Se dice que una magnitud M es función de otras magnitudes x1, . . . xn si el valor que toman ´estas determinan completamente el valor de M. En tal caso escribimos que M = M (x1, . . ., xn). Por ejemplo, si depositamos un capital en un banco, el capital C disponible en un tiempo dado t es función de t, del capital inicial depositado C0 y del tipo de interés i. Concretamente C = C (C0, i, t) = C0(1 + i)t. Esta fórmula nos dice como calcular C si conocemos las variables C0, i, t. En general, la relación entre una magnitud y otras no tiene por qué ser expresable mediante una única fórmula matemática. Por ejemplo, supongamos que un trabajador es contratado por tres años con un sueldo de 200.000 C anuales con una revisión anual del 4%. Entonces su salario S como función del tiempo S = S(t) viene dado por S(t)=

200.000 si 0