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• María José Páez Arenas

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1. APLICACIÓN DE INTEGRALES (LIBRO PURCELL): La posición como velocidad acumulada Un objeto en el origen en el instante t = 0 tiene velocidad, medida en metros por segundo,

Haga un bosquejo de la curva velocidad. Exprese la posición del objeto en t = 140 como una integral definida y evalúela mediante fórmulas de la geometría plana. SOLUCIÓN:

140

La posición en el instante 140 es igual a la integral definida ∫0 𝑣(𝑡)𝑑𝑡, que puede evaluarse por medio de las formulas para el área de un triángulo y de un rectángulo; asimismo, con el uso de la propiedad aditiva para intervalos. 140

∫0

40 𝑡 𝑑𝑡 20

𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0

60

140

𝑡

+ ∫40 2𝑑𝑡 + ∫60 (5 − ) 𝑑𝑡 20

= 40 + 40 +40 -40 = 80

Tasa de cambio acumulada Sale agua de un depósito, cuya capacidad es de 55 galones, a una tasa de V’(t) = 11 - 1.1t, en donde t se mide en horas y V en galones. Como se muestra en la figura. Al principio, el depósito está lleno. (a) ¿Cuánta agua sale del tanque entre t = 3 y t = 5 horas? (b) ¿Cuánto tiempo pasa para que queden exactamente 5 galones en el tanque?

SOLUCIÓN: V(t) representa la cantidad de agua que ha salido hasta el instante t. (a) La cantidad que ha salido entre t = 3 y t = 5 horas es igual al área debajo de la curva V’(t) de 3 a 5. Así,

(b) 𝑡1 esel instante en que queden 5 galones en el depósito. Entonces, la cantidad que ha salido es igual a 50, por lo que V(𝑡1 ) = 50. Como al principio, el depósito estaba lleno (es decir, no había salido agua), tenemos V(0) = 0. Por consiguiente,

6.985 𝑡 = {13.015 Las soluciones de esta última ecuación son aproximadamente 6.985 y 13.015. Como 10

∫0 (11 − 1.1𝑡)𝑑𝑡 = 55, el depósito está drenado en el instante t = 10, llevándonos a descartar la última solución. Así que al cabo de 6.985 horas quedan 5 galones. 2. EJERCICIOS INTEGRACIÓN POR SUMA DE RIEMMAN 2

∫ [(𝑥 − 1)2 + 2] 𝑑𝑥 −1

0

∫ 2(𝑥 + 2)3 𝑑𝑥 −2