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ALGE BRA BOOL EANA

Contenido INTRODUCCION.............................................................................................. 5 DEFINICION.................................................................................................... 5 TEOREMAS..................................................................................................... 6 ESTADOS LÓGICOS Y FUNCIÓN LÓGICA..........................................................6 FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE..........................................................7 Función completa........................................................................................ 7 Tabla de VERDAD........................................................................................ 7 FÓRMULAS DE CONMUTACIÓN:...................................................................7 PUERTAS LOGICAS ELEMENTALES...................................................................8 Puerta AND.................................................................................................. 8 Puerta OR.................................................................................................... 9 Puerta NOT.................................................................................................. 9 PUERTA AND, PUERTA OR E INVERSOR......................................................10 PUERTA AND E INVERSOR..........................................................................10 FUNCIÓN XNOR, PUERTA XNOR.................................................................10 RELACIÓN ENTRE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS, ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y ÁLGEBRA DE BOOLE BINARIA.......................................................................11 Simplificación de funciones..........................................................................13 Homogeneización de una función con puertas NAND...............................13 Homogeneización de una función con puertas NOR..................................13 Mapas de Karnaugh................................................................................... 14 Sistemas combinacionales. Funciones lógicas básicas.................................15 Comparador binario.................................................................................. 15 Funciones aritméticas. Suma....................................................................15 CIRCUITOS.................................................................................................... 16 Circuitos en serie...................................................................................... 16 Circuitos en paralelo................................................................................. 17

George Boole (Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Matemático británico, creador de un nuevo sistema de cálculo lógico que póstumamente sería llamado Álgebra de Boole. Dicho sistema, en el que las proposiciones se reducen a símbolos sobre los que puede operarse matemáticamente, supuso un avance fundamental en el desarrollo de la lógica y, más de un siglo después, hallaría un formidable e insospechado campo de aplicación en la informática y los microprocesadores, cuyo funcionamiento se basa en la lógica binaria de Boole. Miembro de una familia venida a menos, George Boole tuvo que desestimar

su

propósito

de

hacerse monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los dieciséis

años

enseñaba

matemáticas en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los

veinticuatro

años,

tras

la

publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero hubo de declinar la oferta a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 fue nombrado profesor

de

matemáticas

del

Queen's College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida. Prácticamente autodidacta, George Boole se interesó sobre todo por el análisis matemático, y muy pronto alcanzó gran notoriedad gracias a sus brillantes aportaciones y artículos referidos a este tema. En esa dirección debe destacarse su obra Análisis matemático de la lógica (1847), que contiene sus primeras observaciones sobre los vínculos entre la lógica y las matemáticas y que muchos consideran como el acta de nacimiento de la lógica matemática. El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a elementos y operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones -por elección cuidadosa- tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional. En el álgebra de Boole, los símbolos podían manipularse según reglas fijas que producirían resultados lógicos. En 1854 publicó Investigación sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la lógica simbólica y su álgebra. La influencia de esta lógica matemática sobre las matemáticas modernas tendría una evolución lenta: si en un primer momento no parecía más que un intrincado juego de palabras, más adelante se vio que era de lo más útil, y hasta completamente indispensable para llegar a la matemática lógica. Boole se casó a la edad de cuarenta años y tuvo cinco hijas, a las que no llegó a ver adolescentes.

INTRODUCCION Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema para hacerlo más utilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó el científico Claude E. Shannon. En su tesis de graduación del Instituto Tecnológico de Massachuset, Shannon demostró cómo podía aplicarse el álgebra de Boole al diseño y la simplificación de los relés y circuitos de conmutación que se utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permite simplificar las conexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo. En este tema nos ocuparemos brevemente de esta lógica de la conmutación, como podríamos llamarla, pero limitándonos a los circuitos de conmutación y las compuertas (llamadas también “puertas lógicas”). Nos interesa la lógica del circuito, no la electrónica. Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos. Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc... Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. A este conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fue George Boole el que desarrolló las bases de la lógica matemática. DEFINICION. Es un sistema de elementos B=(0,1) y tres operaciones binarias cerradas: (·) Operador OR (+) operador AND (.) operador NOT. Se denomina ALGEBRA de BOOLE siempre y cuando se cumplan las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa:

A + B=B+ A A · B=B · A Propiedad distributiva:

A·(B+C)=A·B+ A·C A+ B·C=( A+ B)·( A+ C) Elementos neutros diferentes .

A +0=A A ·1= A

Siempre existe el complemento de A

.

A ’ A+ A ’=1 A · A ’=0

PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0. CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea constante o fórmula completa. TEOREMAS

ESTADOS LÓGICOS Y FUNCIÓN LÓGICA.

Los elementos que constituyen los circuitos digitales se caracterizan por admitir sólo dos estados. Es el caso por ejemplo de un conmutador que sólo puede estar ENCENDIDO o APAGADO, o una válvula hidráulica que sólo pueda estar ABIERTA o CERRADA. Para representar estos dos estados se usan los símbolos ‘0’ y ‘1’. Generalmente, el ‘1’ se asociará al estado de conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO, y el ‘0’ se asocia al estado de conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO. En el circuito de la Figura se representa el estado del conmutador con la variable S y el de la lámpara con la variable binaria L. En la tabla se observa la relación entre ambas. La función lógica es aquella que relaciona las entradas y salidas de un circuito lógico. Puede expresarse En la tabla de verdad representan a la izquierda todos los estados posibles de las entradas (en el ejemplo, el estado del conmutador) y a la derecha los estados correspondientes a la salida (en el ejemplo, la lámpara). 2. Función booleana: Es una expresión matemática que emplea los operadores booleanos (en el ejemplo, L = S).

FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE Función completa es una función que se encuentra definida para todas las combinaciones de las variables de entrada.

Tabla de VERDAD forma de representación de funciones, dando el valor de la función para cada combinación de entrada.

FÓRMULAS DE CONMUTACIÓN: expresión de una función

 1 y 0 son fórmulas  Xi es una fórmula si pertenece a {0,1}  Si A es una fórmula, A’ también lo es  Si A y B son fórmulas, A+B y A·B también lo son  Nada más es una fórmula, a menos que sigan los puntos anteriores un número finito de pasos. Cada fórmula describe una única función. Dos fórmulas son equivalentes (A=B) si expresan la misma función de conmutación.

      

 

LITERAL es una variable A o complemento de una variable A’ TÉRMINO PRODUCTO es una operación AND de un número de literales. FÓRMULA NORMAL DISYUNTIVA es una suma de términos productos. UN TÉRMINO SUMA es una operación OR de un número de literales. UNA FÓRMULA NORMAL CONJUNTIVA es un producto de términos sumas. MINTÉRMINO (MI): término producto en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA O DE MINTÉRMINOS: suma de mintérminos. Dada la lista completa de mintérminos y asignando 1’s y 0’s arbitrariamente a las variables, siempre hay un, y sólo un, mintérmino que toma el valor 1. Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de Verdad. La fórmula compuesta por todos los mintérminos será idénticamente 1. Cada fórmula de conmutación puede expresarse como suma de mintérminos. Y esa fórmula es única. NOTACIÓN: Un mintérmino se designa por “mi” siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. El 0 se asocia a la variable complementada y el 1 a la variable sin complementar. MAXTÉRMINO (MI): término suma en el que aparecen todas las variables, ya sean complementadas o sin complementar. FÓRMULA CANÓNICA CONJUNTIVA O DE MAXTÉRMINOS: producto de maxtérminos. Dada la lista completa de maxtérminos y asignando 1’s y 0’s arbitrariamente a las variables, siempre hay un y sólo un maxtérmino que toma el valor 0. Un maxtérmino es un término suma que es 0 exactamente en una línea de la tabla de verdad. La fórmula compuesta por todos los maxtérminos será idénticamente 0. Cada fórmula puede expresarse como producto de maxtérminos. Y es única. NOTACIÓN: Un maxtérmino se designa por “Mi” siendo i el número decimal correspondiente de la tabla de verdad. El 1 se asocia a la variable complementada y el 0 a la variable sin complementar.

PUERTAS LOGICAS ELEMENTALES Una puerta lógica es un elemento que toma una o más señales binarias de entrada y produce una salida binaria función de estas entradas. Cada puerta lógica se representa mediante un símbolo lógico. Hay tres tipos elementales de puertas: AND, OR y NOT. A partir de ellas se pueden construir otras más complejas, como las puertas: NAND, NOR y XOR. Puerta AND. El funcionamiento de la puerta lógica AND es equivalente al de un circuito con dos conmutadores en .En dicho circuito es necesario que los dos conmutadores estén cerrados para que la lámpara se encienda. La relación entre las posiciones de los conmutadores y el estado de la lámpara se muestra en la tabla de verdad.

Puerta OR. El funcionamiento de esta puerta es equivalente al de dos conmutadores en paralelo En esta configuración la lámpara se encenderá si cualquiera de los dos conmutadores se cierra.

Puerta NOT. La salida de una puerta NOT es siempre el complementario de la entrada, de tal manera que si la entrada es ‘0’ la salida es ‘1’ y viceversa. Se conoce también como INVERSOR y posee una única entrada.

La operación lógica se conoce como negación y se escribe: L = A (negado de A). El indicador de negación es un círculo ( o ) que indica inversión o complementación cuando aparece en la entrada o en la salida de un elemento lógico. El símbolo triangular sin el círculo representaría una función en la que el estado de la salida sería idéntico al de la entrada, esta función recibe el nombre de buffer. Los buffers se usan para cambiar las propiedades eléctricas de una señal sin afectar al estado lógico de la misma. Con estos tres tipos de puertas puede realizarse cualquier función de conmutación. Un CONJUNTO DE PUERTAS COMPLETO es aquel con el que se puede implementar cualquier función lógica. • Puerta AND, puerta OR e INVERSOR • Puerta AND e INVERSOR • Puerta OR e INVERSOR

PUERTA AND, PUERTA OR E INVERSOR Equivale a una puerta OR seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-OR . El símbolo lógico es una puerta OR con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta OR con el estado de salida negado. También puede tener más de dos entradas.

PUERTA AND E INVERSOR Equivale a una puerta AND seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-AND . El símbolo lógico es una puerta AND con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta AND con el estado de salida negado. Una puerta NAND puede tener más de dos entradas.

FUNCIÓN XOR, PUERTA XOR La salida de una puerta OR exclusiva es verdadera (‘1’) si, y sólo si, una y sólo una de sus dos entradas es verdadera. Se asemeja a la OR (inclusiva), excepto que excluye el caso en que las dos entradas son verdaderas. La figura muestra un circuito equivalente. En una puerta OR exclusiva la salida será ‘1’ cuando el número de entradas que son ‘1’ sea impar. El circuito equivalente de la Figura se deriva de considerar el funcionamiento de al puerta XOR como combinación de dos condiciones X e Y. X representa la condición de que cualquiera de las entradas: A o (OR) B sea ‘1’, e Y la condición de que A y (AND) B no (NOT) sean ‘1’ (NAND).

FUNCIÓN XNOR, PUERTA XNOR Es la negación de la puerta OR exclusiva (puerta OR seguida de un INVERSOR).

RELACIÓN ENTRE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS, ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y ÁLGEBRA DE BOOLE BINARIA

Hemos obtenido en los temas anteriores los siguientes resultados: • El conjunto de las partes de un conjunto tiene estructura de álgebra de Boole, con las operaciones unión e intersección, y las propiedades de la complementación. • El conjunto de las proposiciones lógicas tiene estructura de Álgebra de Boole con los conectivos disyunción, conjunción y negación. • Las equivalencias entre las operaciones de estos tres álgebras se ponen de manifiesto en la siguiente tabla.

Simplificación de funciones. Mediante la aplicación de los teoremas. Para simplificar una expresión algebraica se pueden aplicar los teoremas booleanos vistos con anterioridad.

Homogeneización de una función con puertas NAND. A menudo es más sencillo y económico a la hora de realizar un circuito emplear sólo un tipo de puerta lógica. En varias familias lógicas las puertas NAND son las más simples, por lo que resulta útil poder construir circuitos usando sólo éstas. Homogeneización con puertas NAND de una expresión dada en forma de minterms:

Homogeneización de una función con puertas NOR. En algunas familias lógicas las puertas NOR son las más simples. . Homogeneización con puertas NOR de una expresión dada en forma de minterms:

Mapas de Karnaugh. Es un método gráfico de representación de la información que se encuentra en la tabla de verdad. Permite simplificar una función booleana de manera sencilla. En un mapa de Karnaugh cada combinación posible de entradas está representada por una caja dentro de una rejilla, y el valor correspondiente de la salida se escribe dentro de la caja. Las cajas están escritas de forma que al cambiar de una a otra sólo varía una de las entradas. La secuencia corresponde al código Gray.

Sistemas combinacionales. Funciones lógicas básicas. Las puertas básicas pueden combinarse para formar circuitos lógicos más complejos que realicen muchas operaciones útiles. Algunas de las funciones lógicas combinacionales más comunes son: comparación, aritmética, conversión de códigos, codificación, decodificación y selección de datos.

Comparador binario La comparación de magnitudes se realiza mediante un circuito lógico denominado comparador. Un número en formato binario se introduce en la entrada A y otro en la entrada B. Las salidas M, I, m, indican la relación entre los dos números, produciendo un nivel alto en la línea de salida correspondiente, es decir, M =’1’ si A>B, I =’1’ si A=B y m =’1’ si A

Funciones aritméticas. Suma Semi-sumador binario. Las reglas básicas de adición binaria :0 + 0 = 0 1 1+1=1

0+1=1 1+0=

La función del semi-sumador es sumar dos números binarios que se aplican a las entradas A y B y generar la suma S y un acarreo de salida Cout.

CIRCUITOS

Circuitos en serie Todos los interruptores de un circuito en serie deben estar cerrados para que pueda circular la corriente:

Tanto en A y B debe Estar cerrados para Que circule corriente

X,Y,Z deben estar cerrados También.

0 significa interruptor abierto o “no circula corriente”. 1 significa interruptor cerrado o “circula la corriente”. ● representa la operación lógica “Y”. Por ejemplo, A ● B se lee “A Y B”.

Circuitos en paralelo La corriente circular si A o B o ambos Están cerrados

Lo mismo ocurre fluirá corriente si uno de los tres o do o tres de ellos están cerrados

0 significa interruptor abierto o “no circula corriente”. 1 significa interruptor cerrado o “circula la corriente”. ● representa la operación lógica “Y”. Por ejemplo, A ● B se lee “A Y B”.