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BOOLE Y EL ALGEBRA DE LA LOGICA

1. ¿Tuvo Boole una concepción psicologista de la lógica?

2. El lenguaje algebraico y sus interpretaciones lógicas 2.1. Lógica de las proposiciones primarias 2.2. Lógica de las proposiciones secundarias

3. El concepto de consecuencia lógica en la lógica de Boole 3.1. El sistema axiomático 3.2. Principios fundamentales del razonamiento simbólico

4. Otros autores en la tradición del álgebra de la lógica. Peirce y el descubrimiento de los cuantificadores 4.1. Algunos autores en la tradición booleana 4.2. Peirce y los cuantificadores

5. Conclusiones

6. Referencias bibliográficas

1. ¿Tuvo Boole una concepción psicologista de la lógica?

Sobre Boole han recaído diversos calificativos que en algunos casos y, por lo menos, bajo una primera impresión son difícilmente compatibles. Por un lado, Boole es uno de los pioneros de la lógica matemática actual. Además, Boole tiene una concepción psicologista de la lógica. En primera instancia no parecen compatibles estas dos calificaciones, pero puede ocurrir que no sean justas con la aportación y obra booleana y, si lo son, puede que la incompatibilidad sea aparente. En este apartado trataremos de dar una respuesta sobre esta prima facie incompatibilidad. Asumiremos que efectivamente Boole es uno de los pioneros de la lógica matemática tal y como se entiende ésa en la actualidad. En apartados sucesivos de este

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trabajo trataremos de esclarecer hasta dónde es justo este carácter pionero atribuido a la lógica de Boole. Nos centraremos, pues, en el supuesto psicologismo. Antes de tomar alguna decisión sobre si es adecuado calificar a Boole como psicologista debemos delimitar el significado asociado con dicha expresión. La tesis básica del psicologismo es que las leyes de la lógica son generalizaciones empíricas establecidas a partir de experiencias subjetivas. De esta forma, las leyes de la lógica tienen un carácter descriptivo de aquellas experiencias. Consecuentemente también, la lógica constituye un conocimiento de marcado carácter a posteriori.1 Antes de pasar a analizar las afirmaciones de Boole acerca de la naturaleza de la lógica, a modo de ilustración, podemos resumir la crítica que Frege hace a la perspectiva psicologista de la lógica para ver que esta última, tal y como la entiende Frege, se ajusta a la caracterización que hemos propuesto:

‘Pero nada significaría comprender peor la matemática que someterla al dominio de la psicología. Ni la lógica ni la matemática tienen como tarea investigar las mentes y el contenido de la conciencia del que el hombre individual es portador.’ 2 *

Frege no acepta la lógica como fundamentada en contenidos de conciencia, que él denomina ‘representaciones’, ya que la lógica se convertiría en una disciplina que se ocupa de lo subjetivo. Esta es la característica, según Frege, propia de las representaciones. Nada más lejos de la concepción fregeana de la lógica. Frege señala que la lógica tiene la tarea de encontrar las leyes del ser verdad y afirma que si pensamos que la lógica trata del proceso mental y de las leyes psicológicas de acuerdo con las cuales aquél tiene lugar entonces la verdad no detenta el lugar que le corresponde.3 Frege rechaza el psicologismo ya que las leyes del ser verdad no se encuentran en supuestas leyes psicológicas. Valga esta breve, quizás demasiado breve, caracterización de una postura antipsicologista para pasar a continuación a analizar la concepción general con respecto a la lógica del propio Boole.

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En esta caracterización del psicologismo hemos conjuntado aspectos tanto metodológicos como epistemológicos. Véase Richards (1980) para una caracterización desglosada del psicologismo. 2 Frege (191.8), p.80. * En lo sucesivo siempre que hagamos referencia a páginas de cualquier obra lo haremos de la versión castellana, caso de que la haya según las referencias bibliográficas al final de este trabajo. 3 Ibid., p.50.

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Cuando uno lee tanto Boole (1847) como Boole (1854) no ha lugar a dudas que las consideraciones generales acerca de la lógica llevan un ropaje psicologista y/o mentalista:

‘Lo que hace posible a la Lógica es la existencia en nuestras mentes de nociones generales -nuestra capacidad de concebir una clase y designar a sus miembros individuales por un nombre común.’4

De esta forma la lógica esta relacionada con la teoría del lenguaje: los nombres comunes constituyen una vía lingüística de expresión de las nociones mentales alojadas en nuestra mente.

‘Suponiendo la noción de una clase, somos capaces de separar por un acto mental, de cualquier colección concebible de objetos, los que pertenecen a la clase dada, y contemplarlos aparte del resto. Podemos concebir que un acto de elección tal, u otro similar, se repita. El grupo de individuos que resta bajo consideración

puede

limitarse

aún

más,

seleccionando

mentalmente entre ellos los que pertenecen a alguna otra clase reconocida, a la par que a la anteriormente contemplada. Y este proceso puede ser repetido con otros elementos de distinción, hasta que lleguemos a un individuo que posea todos los caracteres distintivos tomados en cuenta, y sea miembro al mismo tiempo, de toda clase que hayamos enunciado.’ 5

Esta es la descripción que Boole nos proporciona de los actos mentales de los que la lógica debe ocuparse. Supuesta una clase de individuos podemos seleccionar una subclase mediante -un acto mental. Esta operación es repetible. Si tenemos la clase de los seres humanos, podemos, mediante un acto mental, hacer una selección de los europeos. Posteriormente podemos seleccionar los alemanes, así, dice Boole, hasta que lleguemos a un individuo. Estos actos mentales tienen su reflejo lingüístico cuando 4 5

Boole (1847), p.42. Ibid., p.43.

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acumulamos epítetos descriptivos: se trata de un ser humano europeo y alemán. Básicamente la lógica se ocupa de estos actos mentales, expresando los mismos en un lenguaje lógico-algebráico, y de las leyes a las que están sujetos.

‘El propósito del siguiente tratado es investigar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente mediante las cuales se lleva a cabo el razonamiento: expresarlas en el lenguaje simbólico de un cálculo, y establecer sobre esa base la ciencia de la Lógica y construir su método.’ 6

En este párrafo aparecen ya diferentes características ligadas a la lógica y que, como hemos señalado al principio, pudieran resultar contrapuestas entre sí. Por un lado, se reafirman las tesis señaladas en los párrafos citados más arriba y, por otra parte, se limita el campo de estudio a la actividad del razonamiento, insistiendo en el carácter simbólico del lenguaje de representación de los procesos mentales, además de incorporar una idea relativamente novedosa:7 la lógica adquiere forma de cálculo. La contraposición a la que hacíamos referencia es la siguiente: la lógica tiene como objeto determinados procesos y actos mentales pero, en su despliegue, recurre a un lenguaje simbólico propio de un cálculo. ¿No es factible pensar que ese supuesto objeto de la lógica sea, cuanto menos, adulterado cuando esas operaciones mentales y leyes fundamentales de las mismas son representadas en el lenguaje simbólico de un cálculo? Además, ¿se ajustan los preceptos metodológico-epistemológicos propios del despliegue del cálculo booleano a los aspectos metodológico-epistemológicos que uno asocia con toda disciplina que pueda llamarse psicológica? Una respuesta a estas preguntas resulta dificultosa antes de conocer en detalle la lógica booleana. En cualquier caso, podemos adelantar que, desde nuestro punto de vista, no caben identificar en la lógica de Boole aspectos que nos llevaran a reconocer su supuesto psicologismo. En este sentido estamos de acuerdo con la valoración de Kneale cuando afirma: ‘La primera ruptura con la confusa tradición fue dada por Bolzano (filósofo-matemático él mismo), pero fue la obra de Boole la que mostró con claridad por vía de ejemplo que la lógica podría 6

Boole (1854), p. 11. Decimos 'relativamente novedosa' ya que cabe encontrar antecedentes de estas ideas de Boole. Un ejemplo claro lo proporciona Leibniz y su calculus ratiocinator. Sobre la relación Leibniz/Boole, véase Lewis (1918).

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ser provechosamente estudiada sin referencia alguna a los procesos de nuestras mentes. Boole creía, sin duda alguna, estarse ocupando de las leyes del pensamiento en algún sentido psicológico de esa ambigua expresión, pero de lo que se ocupaba en realidad era de algunas de las leyes más generales de lo pensable.’8

Es indudable, a partir de los textos, que se reconoce un psicologismo de palabra en los textos booleanos, pero de hecho es difícil identificar ese psicologismo. Una corroboración de lo señalado puede ser que la tradición booleana, en general, heredó el sistema de Boole y no tanto sus ropajes psicologistas. De cualquier manera, nada de lo apuntado tendrá sentido mientras no hagamos una descripción de la lógica que nos ocupa. Antes de realizarlo, no queremos pasar por alto una de las afirmaciones booleanas que más comentarios ha generado al tratar el tema del psicologismo:9

‘Por otra parte, el conocimiento de las leyes de la mente no requiere como fundamento una colección extensa de observaciones. La verdad general se ve en el caso particular, y no se confirma por la repetición de casos particulares... En conexión con esta verdad se puede ver la no menos importante de que nuestro conocimiento de las leyes sobre las que reposa la ciencia de las potencias intelectuales, cualquiera que sea su alcance o su deficiencia, no es conocimiento probable. Pues no sólo vemos en el ejemplo particular la verdad general, sino que la vemos como una verdad cierta -una verdad referente a la cual nuestra confianza no irá aumentando a medida que se incremente la experiencia de sus verificaciones prácticas.’10

Básicamente son dos las ideas que Boole nos presenta en relación a la naturaleza de las leyes de la mente (laws of the mind), que constituyen el objeto de la 8

Kneale (1948), p.174. El énfasis en las últimas líneas es nuestro. La traducción también. La misma valoración se reproduce, casi literalmente, en Kneale-Kneale (1962), p.376. 9 Por ejemplo, Grattan-Guiness (1982), pp.34-41 y Richards (1980), pp.29-30. 10 Boole (1854), p.1 3.

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lógica. En primer lugar, no accedemos a las leyes de la mente inductivamente ya que la verdad general que siempre es una ley de la mente se ve en un caso particular. Además, una ley de la mente es una verdad cierta (certain truth). Estas dos características contrastan, según el propio Boole, con las características asociadas con las leyes de la naturaleza. Estas últimas son probables, por oposición a ciertas, y son o obtenidas inductivamente o establecidas a modo de hipótesis. No hay, ninguna forma de compatibilizar las leyes de la mente con las leyes de la naturaleza, ya que la dicotomía probable/cierto las separa ineludiblemente. Consideramos que si el mecanismo de aprehensión de las leyes lógicas -aprehensión clara de lo universal en un caso particularya aleja la lógica booleana de las concepciones psicologistas de la lógica, el carácter cierto de dichas leyes lógicas abre una brecha infranqueable entre una concepción psicologista de la lógica y la concepción booleana de la lógica. Realmente Boole está comparando las leyes de la naturaleza con las leyes de la mente. Lo que ocurre es que una concepción psicologista atribuye a las leyes de la lógica lo que Boole atribuye a las leyes de la naturaleza. Por ejemplo, Mill considera que la lógica es una colección de reglas del pensamiento ya que se basa sobre el mayor número de experiencias posibles. Estas reglas tienen el valor que tienen precisamente por estar sustentadas en la experiencia.11 En la perspectiva milliana difícilmente cabe atribuir a las leyes de la lógica el carácter de verdades ciertas. Parece claro, pues, que Boole presenta una caracterización de las leyes de la mente que no parece ajustarse a los preceptos metodológicos que una concepción psicologista de aquéllas implica. Otra vía que confirma esta interpretación sobre el pretendido psicologismo booleano vendrá dada cuando analicemos el trabajo de Boole ‘tal cual’ independientemente de sus expresiones más o menos acertadas sobre lo que ‘de hecho’ él hace. En cualquier caso, no estaría de más dilucidar en qué consiste esa aprehensión de lo universal a partir de lo particular que Boole plantea con respecto a las leyes de la mente y que precisamente otorga a aquéllas las mencionadas ‘características nopsicologistas’. Una vez más la mejor vía es ver cómo Boole distingue las leyes de la naturaleza de las leyes de la mente, de tal forma que, a su vez, se hace evidente su perspectiva no psicologista de la lógica. En determinado momento califica las proposiciones que expresan las leyes del pensamiento como verdades necesarias,

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Richards (1980), p.28.

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equiparables a las proposiciones generales de la aritmética.12 Posteriormente señala el carácter no descriptivo de las leyes del pensamiento o leyes matemáticas del razonamiento, separando una vez más su concepción de la lógica de las concepciones psicologistas. Su argumento discurre de la siguiente forma: las leyes de la naturaleza describen la naturaleza, valga la expresión, exterior. Supongamos que las leyes del razonamiento describen los razonamientos que la gente realiza. En cierto sentido podemos pensar que hay una analogía, metodológica si se quiere. Esta analogía es aparente. Es obvio que la gente razona sin ajustarse a las leyes del razonamiento. También cabe decir que en ocasiones la naturaleza no se ajusta a las leyes de la naturaleza. Con lo cual el símil continúa y cabe pensar en una convergencia metodológica entre el establecimiento de las leyes de la naturaleza y del razonamiento, habida cuenta que este paralelismo alimentaría una concepción psicologista de la lógica. El problema es que en el caso de las leyes de la naturaleza el mencionado desajuste está en las leyes y no en la naturaleza misma, es decir, cuando hay desajuste o se pasa a nuevas concepciones o leyes de tal, forma que el ajuste sea reestablecido o simplemente una observación más detenida concluye el carácter aparente del desajuste. Si, como hemos supuesto, las leyes de pensamiento son descripciones de una realidad, ante la existencia evidente de desajustes entre la realidad y su descripción debemos, metodológicamente hablando, obrar de la misma forma que lo hacemos con las leyes de la naturaleza. Esta no es la solución de Boole. Contrariamente, en el caso de las leyes del pensamiento el desajuste no se resuelve de la misma forma La razón es que para Boole las leyes del pensamiento no tienen un carácter descriptivo. Las leyes del razonamiento son leyes del razonamiento correcto (right reasoning). Se pueden violar las leyes de la inferencia correcta, pero no por ello dejan de existir. La ley del razonamiento convive con su trasgresión. Boole parece distinguir entre las leyes, ahora, intelectuales dos tipos. Por un lado, están las leyes establecidas en la lógica. Por otro, nos encontramos con aquellas leyes que causan la ruptura. Las primeras marcan el camino del razonamiento correcto, las segundas abren las puertas a la trasgresión.13 Quizás las segundas sí sean susceptibles de ser establecidas como tales siguiendo la metodología propia para el establecimiento de las leyes naturales. Se trata de una hipótesis, en cualquier caso, independiente de lo que querernos mostrar; a saber, el carácter no psicologista de la concepción booleana de la lógica. El carácter prescriptivo12 13

Boole (1854), p.357. Ibid., pp.360-361.

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normativo de la lógica es una prueba más. Las leyes del pensamiento junto con las leyes de la matemática constituyen para Boole verdades necesarias. En el esquema de Boole la lógica aparece ligada a la matemática mientras que una concepción psicologista de la lógica relacionaría ésta con las leyes de la naturaleza.14 Para concluir, volvamos a recordar el texto de los Kneale mencionado anteriormente Seguimos estando de acuerdo con su mensaje, pero quizás matizaríamos diciendo que en Boole no hay ningún sentido psicológico en relación a las leyes del pensamiento Lo que sí hay es un modo psicológico de decir las cosas. Nuestra única conclusión es, pues, que no hay psicologismo en Boole. 2. El lenguaje algebráico y sus interpretaciones lógicas15

La lógica en la obra de Boole se despliega en un lenguaje algebráico. En este lenguaje tenemos los siguientes signos (y: o símbolos, según Boole): (a) Símbolos literales: x, y, z.... (b) Signos de operaciones: +, x,-. (c) El signo de identidad: =.16 (d) dos símbolos literales constantes: 1, 0 (universo del discurso y nada)17 (e) la operación de complementariedad 1-.18 (f) El símbolo ‘υ’ En Boole (1847) el lenguaje utilizado es básicamente el mismo, pero nos gustaría destacar un aspecto. En su primera obra Boole muestra mucha cautela con respecto a la operación diferencia (-). Como posteriormente veremos, en contraposición a lo que ocurre en Boole (1854), al presentar los 14

Ibid., p-358. A partir de ahora seguiremos Boole (1854), pero aprovecharemos todas las oportunidades que creamos necesarias para referirnos a Boole (1847). Como regla general utilizaremos una letra más pequeña al comentar Boole (1847). Si bien consideramos bastante correcta la valoración con respecto a Boole (1854) por la que se señala que no hay novedades esenciales en esta obra con respecto a Boole (1847) (por ejemplo, véase Kneale-Kneale (1962), pp. 375-376), sí creemos conveniente utilizar como hilo conductor Boole (1854) ya que la presentación de sus ideas es mas ordenada y pausada, mejorando deficiencias de detalle tan habituales en Boole (1847) (estas deficiencias han llevado a valoraciones comparativamente negativas de Boole frente a, por ejemplo, Aristóteles. Véase Corcoran-Wood (1980), p.634)). Hemos dicho que no hay novedades esenciales, pero el lector valorará la importancia que tienen su nueva 'lectura' de la lógica de los 'conectores' y la presentación de la teoría de probabilidades en Boole (1854). Quizás entonces se llegue a una nueva valoración de la transición Booleana entre sus dos obras más importantes. En lo que a nuestro trabajo atañe, dejaremos de lado todo lo relacionado con la lógica de probabilidades, (Véase Boole (1854), pp. 215-280). Para un estudio detallado de esta teoría, véase Hailperin (1976) (las referencias a esta obra se hacen sobre la reedición de 1986). 16 Boole (1854), p.31. 17 Ibid., p.47. 18 Ibid., p.48. 15

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‘axiomas’ de la lógica no hay, aparición alguna del símbolo ‘-’. En los capítulos posteriores las apariciones del signo ‘-’ se producen en expresiones como ‘1-x’, ‘1-y’ etc. Es decir como parte del símbolo utilizado para representar la complementariedad. Aunque bien es verdad que sí aparece ‘-’ en algunos momentos,19 parece que Boole muestra muchas más dudas con respecto a la operación diferencia en Boole (1847) que en Boole (1854).

Sobre este alfabeto se construyen las expresiones del lenguaje, siguiendo las reglas de formación que definen el lenguaje algebráico, reglas que Boole no explicita. No es fácil establecer por qué Boole eligió este lenguaje para el desarrollo de la lógica. Leibniz junto con otros autores fue un antecedente en este sentido, pero tampoco cabe utilizar este hecho como una justificación suficiente de la propuesta que nos ocupa. Boole afirma que la lógica se ocupa de las relaciones entre clases. La concepción de las clases está sujeta a leyes, siendo estas últimas susceptibles de ser expresadas matemáticamente.20 La perspectiva totalmente extensional acerca de los conceptos (nuestras concepciones de las clases) facilita las cosas, pero lo realmente central en la algebrización de la lógica es el descubrimiento de isomorfia entre las leyes formales del pensamiento de las que se ocupa la lógica y las leyes de los números 0 y 1. La apreciación de esta isomorfia es la clave. El lenguaje ya disponible para los números sirve también para la lógica. El lenguaje algebraico es susceptible de diferentes interpretaciones, algunas de las cuales son lógicas.21 Boole plantea dos interpretaciones lógicas del lenguaje del álgebra. Estas dos interpretaciones distintas se desarrollan sobre interpretaciones distintas de los símbolos del alfabeto. La primera interpretación nos proporciona la lógica de las proposiciones primarias (o lógica de clases). La otra es la lógica de las proposiciones secundarias (o lógica de proposiciones/enunciados sin más o, si se prefiere, lógica de conectores).22 Para Boole toda afirmación lógica expresa o una relación entre clases o una relación entre proposiciones. En el primer caso estamos en la lógica de las proposiciones primarias, mientras que en el segundo nos movemos en la lógica de las proposiciones secundarias. Un síntoma (no siempre suficiente) de que nos encontramos ante una proposición secundaria es la presencia de conectores En cualquier caso, la lógica de

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Por ejemplo, Boole (1847), p. 74 y p. 83. En la pagina 47 aparece en estrecha relación con la complementariedad, no así en la página 83. 20 Boole (1848). 21 Boole (1847), pp.41-42, Boole (1854), p.52, punto 4. 22 Boole (1854), p.51, proposición 1.

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clases y la lógica de enunciados se expresan en el mismo lenguaje y están sometidas a las mismas leyes.

2.1. Lógica de las proposiciones primarias

En la lógica de las proposiciones primarias los símbolos literales representan clases. ‘x’ representa, por ejemplo, todos los hombres o la clase de los hombres. Entre las clases se incluyen las clases con un único elemento, además de las clases denotadas por los términos ‘nada’ y ‘universo’ es decir, las clases compuestas de ‘ningún ser’ y de ‘todos los seres’ respectivamente.23 La inclusión de estos tres últimos casos si bien tienen antecedentes, no por ello dejó de ser fuente de controversias. Para las dos últimas clases Boole reserva los símbolos ‘0’ y ‘1’. Los símbolos ‘x’, ‘y’, etc. representan clases que tienen por casos límites precisamente las clases 0 y 1. El símbolo ‘υ’, uno de los grandes problemas del álgebra de Boole, se introduce en relación a expresiones como ‘algunos seres mortales...’. Es decir, ‘υ’ es el símbolo que Boole utiliza para expresar subconjuntos de una clase determinada. Por ejemplo, ‘todos los hombres son (algunos) seres mortales’ se representa en el álgebra, de Boole como ‘y = υx’ donde ‘y’ representa la clase de los hombres y ‘x’ la clase de los mortales.24 En Boole (1847) se afirma que ‘1’ representa el Universo, y entenderemos a éste como comprendiendo toda clase concebible de objetos. Más adelante se nos dice que 1 es el dominio sobre el que se sobreentiende que se hacen las selecciones de individuos representadas por ‘x’ , ‘y’ …25 Hailperin señala que hay una variación en el ‘significado’ de ‘1’ de Boole (1847) a Boole (1854). Añade que sólo en Boole (1854) se tiene un concepto de universo del discurso a ‘la De Morgan’, es decir un universo cambiante y limitado. En Boole (1847) el universo del discurso es absoluto.26 Una clara manifestación de esta variación la encontramos en las siguientes palabras de Boole al hacer referencia a ‘1’ en el contexto de las proposiciones secundarias: ‘Como en las proposiciones primarias el universo del discurso está limitado a veces a una pequeña porción del universo efectivo de las cosas, y es a veces coextensivo con este universo,...’27 En cualquier caso, cierta cautela es necesaria en relación a la apreciación de Hailperin, si tenemos en cuenta lo que Boole señala a continuación: ‘así como su exacta interpretación, en el sistema primario es el universo efectivamente existente.’

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Ibid., p.32. Ibid., p.58. 25 Boole (1847), p.53. 26 Hailperíng (1976), p.67 y p. 115. 27 Boole (1854), p.149. 24

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El símbolo ‘υ’ se introduce al ‘formalizar’ el enunciado particular afirmativo aristotélico. Si queremos representar ‘algunos X son Y’, tendremos que recurrir al símbolo ‘υ’, esto es: υ = xy o, en lectura no formal, la intersección de las clases x e y es una clase indefinida no vacía. Posteriormente utiliza sistemáticamente ‘υ’ para formalizar expresiones como ‘algunos X...’: υx=…28

Los símbolos de operación tiene la siguiente interpretación en la lógica de las proposiciones primarias. El producto lógico representa la intersección de dos clases, es decir, la clase con los elementos comunes a las dos clases. ‘Así, si x aisladamente representa ‘cosas blancas’ e y ‘ovejas’, hagamos que xy represente ‘ovejas blancas’ ‘.29 Con respecto a la suma lógica Boole nos dice: A este fin usamos las conjunciones ‘y’, ‘o’, etc. ‘Árboles y minerales’ y ‘áridas montañas o valles fértiles’, son ejemplos de este tipo. En rigor, las palabras ‘y’, ‘o’ interpuestas entre los términos descriptivos de dos o más clases de objetos, implican que tales clases son completamente distintas, de tal modo que ningún miembro de una se halla en la otra. En este y en todos los demás respectos las palabras ‘y’, ‘o’ son análogas al signo + en Algebra y sus leyes son idénticas.’30 Hay que destacar el carácter exclusivo de la suma en el álgebra booleana: la clase de los números que son mayores que 30 o que son pares no puede representarse mediante ‘x+y’. Con respecto al signo ‘-’ Boole señala: ‘Esta operación la expresamos en el lenguaje común mediante el signo excepto, como ‘todos los hombres excepto los asiáticos’, ‘todos los estados excepto las monarquías’.’31 La aplicación de la operación diferencia a dos clases está sometida a una restricción: sólo tiene sentido ‘x-y’ cuando y está contenido totalmente en x.32 No tiene sentido representar ‘los números mayores que 30 excepto los números pares’ como ‘x-y’, ya que la condición no se cumple. La operación de complementariedad la introduce Boole en los siguientes términos: ‘si x representa cualquier clase de objetos, 1-x representará entonces la clase contraría o suplementaría de objetos, es decir, la clase que contenga todos los objetos que no se hallan en la clase x.’33 En Boole (1847), en general, al expresar las mismas ideas que en Boole (1854) hay una variación terminológica ya que se distingue entre ‘X’ y ‘x’. En cualquier caso, hay cierta confusión en el 28

Boole (1847), pp.61-62. Boole (1854), p.32. 30 Ibid., p.36. El énfasis es nuestro. 31 Ibid., p.36. 32 Ibid., p.84. 33 Ibis., p.48. 29

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uso de estos signos. En algunas ocasiones ‘X’ se utiliza (como nombre) para hacer referencia a los individuos que son miembros de x, entendiendo x como una clase o como la operación mental que selecciona determinados individuos del universo 1.34 En otras ocasiones X representa la propia clase. Por ejemplo, con respecto a la operación de complementariedad Boole nos dice: La clase X y la clase no-X constituyen el universo. Pero el universo es 1, y la clase X está determinada por el símbolo x; por tanto, la clase no-X estará determinada por el símbolo 1-x.’35 En Boole (1854), en lo que a la lógica de las proposiciones primarias se refiere, se evita el uso de ‘X’, ‘Y’, etc.

Básicamente estas son las interpretaciones de los símbolos del álgebra que Boole proporciona para el, caso de las lógicas primarias. Pasemos a la lógica de las proposiciones secundarias.

2.2. Lógica de las proposiciones secundarias

Boole distingue entre los símbolos ‘X’ y ‘x’. Mediante ‘X’ designamos una proposición de tal forma que podemos decir cosas tales como: X es verdadera (falsa). ‘x’ denota el tiempo para el cual la proposición X es verdadera. En palabras de Boole: ‘llamaremos a x el símbolo representativo de la proposición X.’36 0 representa nada con referencia al tiempo, mientras que 1 representa la totalidad del tiempo, a la cual se supone que el discurso de alguna manera se refiere. También, en este caso, tiene Boole una concepción limitada del universo del discurso: ‘...del mismo modo en las proposiciones secundarias el universo del discurso puede estar limitado a un sólo día o al momento que pasa, o puede comprender la duración total del tiempo.’37 Boole posteriormente identifica el universo del discurso con lo eterno, caso de hacer una interpretación adecuada (proper). No entendemos qué quiere decir mediante dicha expresión. En Boole (1847) el planteamiento general es muy diferente al de Boole (1854). No hay consideraciones relativas al tiempo. 1 es el conjunto de circunstancias concebibles. x, y, z,... denotan operaciones mentales que seleccionan, de entre las circunstancias en 1, aquellas en las que X, Y, Z,... respectivamente son verdaderas. Aquí se produce un desajuste en relación a la lógica de clases que tiene que ver con el uso que Boole hace de ‘1’. Si decimos ‘x=1’, estamos expresando, según Boole, que X es verdadera pero, a su vez, puede entenderse que x selecciona todas las circunstancias concebibles. ¿Son 34

Boole (1847), p.53. Ibid., p.60. 36 Boole (1854), p.147. 37 Ibid., p.149. 35

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equivalentes estas dos ideas? Hay ambigüedad ya que 1 es por un lado todas las circunstancias concebibles y por otro, cuando afirmamos que x=1, resulta que decimos que todas las circunstancias concebibles pasan por la verdad de X, como si dejáramos de lado las circunstancias concebibles en las que X es falsa. Con lo cual 1 depende de X. En la lógica de clases no hay esta ambigüedad. 1 es el universo y si decimos que x=1, entonces estamos diciendo que x selecciona todos los elementos del universo. 1 es independiente de las elecciones que hagamos mediante x, y,... En la lógica de las proposiciones secundarias x selecciona circunstancias donde X es verdadero, con lo cual el universo depende de alguna manera de la proposición X. Hailperin, en su interpretación de estos problemas, resuelve la ambigüedad distinguiendo entre el universo 1 y una función universo 1 (X,Y,...). Supongamos que hay dos proposiciones X, Y. Si X es verdadera e Y es falsa, entonces 1(X,Y) nos da como valor un conjunto con el único elemento (v,f) ((verdadero, falso)). De esta manera, según Hailperin cuando Boole expresa x=1, realmente quiere expresar: x1(X,...)=11(X,...), donde se distinguen ‘1’ y ‘l(X,...)’. En 1 están (para el caso de dos proposiciones) como elementos los pares (v,v), (v,f), (f,v) y (f,f), es decir todas las circunstancias concebibles, mientras que 1(X,...) es la función que antes hemos señalado.38 Dejamos de lado la cuestión sobre la adecuación de la interpretación de Hailperin con respecto a la obra de Boole. Lo que si parece claro es que Boole buscó un cambio radical en relación a su planteamiento para la lógica de las proposiciones secundarias. Quizás este cambio esté relacionado con el desajuste arriba señalado en relación a Boole (1847).

En la lógica de las proposiciones secundarias también disponemos del símbolo ‘υ’. υ representa un tiempo indefinido y cuando hacemos uso de dicho símbolo en expresiones como ‘υx’ debemos entender que ‘υx’ representa la totalidad, o una parte indefinida o ninguna parte del tiempo x. Hay que destacar que υ puede ser la clase vacía. Tenemos que señalar que en Boole (1847), en el capítulo dedicado a la ‘lógica de conectores’, Boole no hace uso de ‘υ’. Pueden compararse las formalizaciones que Boole propone para el condicional en las dos obras (ambas han sido expuestas antes). También hay que señalar que Boole formaliza la proposición primaria universal afirmativa y la proposición secundaria condicional de la misma manera. De hecho en Boole (1854) el condicional se interpreta como universal afirmativa. Una cuestión interesante consiste en ver si, por ejemplo, estas dos formalizaciones para la universal afirmativa (todo Y es X son equivalentes: y= υx, y(1-x)=0. Boole parece afirmar la equivalencia de ambas expresiones. Esta es una cuestión interesante si nos ocupamos de la cuestión clásica de la carga existencial (del sujeto) de la proposición universal afirmativa. Teniendo en cuenta que υ representa una clase indefinida no-vacía parece que Boole interpreta la universal afirmativa con carga existencial sobre el sujeto. Pero si tenemos en cuenta la afirmación booleana con respecto a la equivalencia de las dos expresiones, entonces parece

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Hailperin (1976), pp. 182-183.

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que no está tan clara la cuestión de la carga existencial. La razón es la siguiente: si seguirnos los métodos que serán expuestos en el apartado siguiente podemos efectuar la siguiente transformación: Si y(1-x)=0, entonces y = 0/1-x = 0(1-x) + 0/0x = υx. Este ‘υ’ que Boole introduce es un sustituto de 0/0 que corno el propio Boole señala puede ser ‘alguno, ninguno o todo’. El ‘ninguno’ permite pensar que Boole consideraba la proposición universal afirmativa sin carga existencial, tal y como en nuestros días es habitual.39

A partir de estos supuestos es fácil ver, teniendo en cuenta lo señalado en relación a las proposiciones primarias, cuál es la interpretación de las diferentes operaciones ya que, como Halipering pone de manifiesto, la concepción ‘temporal’ de las proposiciones secundarias hace que éstas sean consideradas proposiciones primarias: una proposición secundaria es un conjunto de unidades temporales: La operación producto, xy, selecciona los instantes temporales en los que X e Y son ambas verdaderas. x+y es el agregado de aquellas porciones de tiempo en las que X e Y son verdaderas, estando estos tiempos enteramente separados uno del otro. x-y es el resto del tiempo que queda cuando quitamos de la porción del tiempo para la que X es verdadera, aquella parte (por suposición) incluida para la que Y es verdadera. Finalmente, tenemos la expresión ‘x=y’ utilizada para representar que las proposiciones X e Y son verdaderas en las mismas porciones temporales. Bajo esta interpretación de los símbolos del lenguaje, para expresar la proposición ‘la proposición X es verdadera’ utilizaremos la ecuación ‘x=1’, ya que ‘tenemos que expresar aquí que dentro de aquellos límites de tiempo a los que se limita el asunto de nuestro discurso, la proposición X es verdadera. Ahora bien, el tiempo para el cual la proposición X es verdadera se expresa por x, y la extensión de tiempo a la que se refiere nuestro discurso se representa por 1.’40 ‘X es falsa’ se representa como ‘x=1’ o ‘l-x=1’. Esto quiere decir que 1-x selecciona los instantes temporales en los cuales X es falsa. A partir de aquí tenemos todos los elementos mediante los cuales expresar, por ejemplo, que una proposición disyuntiva exclusiva (DE), disyuntiva inclusiva (Di), condicional (C), etc. son verdaderas:

39 40

Ibid., p.109. Boole (1854), p.151.

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(DE) x (1-y) + y(1-x) = 1 (DI) xy + x (1-y) + y (1-x) = 1 (C) y = υx. (Si Y es verdadera, X también). No podemos dejar pasar de lado el hecho de que en Boole (1847) hay una clara exposición sobre cómo representar cualquier función veritativa (monádica, diádica, etc.) en forma normal disyuntiva, donde en cada disyunto aparecen todas las proposiciones requeridas para la definición de la función proposicional en cuestión. Para ello hace uso de la idea de interpretación, en el sentido de que si son n las proposiciones consideradas 2n son las interpretaciones relevantes a tener en cuenta (la suma de todas estas posibilidades nos da 1). Para obtener la forma normal disyuntiva basta con considerar las interpretaciones (representadas como conjunciones de literales) para las que el valor de la función es verdadero y hacer la suma de las mismas. Por ejemplo, la función veritativa condicional (si X, entonces Y) se representa en la lógica de Boole de la siguiente manera: - esta función es verdadera en tres casos: cuando X e Y son verdaderas (xy), cuando X es falsa e Y verdadera ((1-x) y) y cuando X e Y son ambas falsas ((i-x)(1-y)). - Se suman estas tres posibilidades (interpretaciones). - La suma se iguala a 1: xy + (1-x)y + (1-x)(1-y) = 1. Boole considera también el proceso dual que tiene en cuenta los casos para los que la función proposicional tiene como valor 0, e iguala la suma a 0. En el caso del condicional: x(1-y)=0.

3. El concepto de consecuencia lógica en la lógica de Boole

Cuando decimos que un enunciado σ es consecuencia lógica de un conjunto de enunciados Γ, estarnos queriendo referirnos a la misma idea expresada, en otras ocasiones, en términos de σ se sigue lógicamente de Γ’. En el caso particular de Boole, el concepto de consecuencia lógica parece analizarse en el marco de un sistema o, quizá mejor, parece analizarse desde un punto de vista sintáctico-sistemático. Decimos ‘parece’ ya que las deficiencias del supuesto sistema son obvias.41 En cualquier caso, sí parece claro que Boole pretende proporcionarnos criterios sistemáticos-sintácticos para el análisis de la relación de consecuencia lógica. El problema es que no está claro en qué centrarnos cuando hablamos de ‘sistema’ en el contexto de la obra de Boole. Por un lado tenemos algo que tiene visos de ser un sistema axiomático. Por otro, hay algo que Boole considera un método general para la lógica. Como se verá, hay una relación entre ambos, aunque no sea una relación clara. La tradición se ha ocupado principalmente de 41

Este aspecto crítico con respecto a la lógica de Boole se muestra transparentemente en Corcoran-Wood (1980). Como estos autores muestran Boole (1847) está plagado de deficiencias, muchas de las cuales se mantienen en Boole (1854).

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ir mejorando el sistema axiomático booleano, hasta llegar a la presentación axiomática de las estructuras denominadas álgebras booleanas (que no son álgebras de Boole). Contrariamente hay autores que consideran que lo relevante es el método que Boole plantea a partir del capítulo V en su obra de 1854.42 Es un método que va más allá de la lógica, pero que resulta útil a la misma. Se trata de proponer técnicas de transformación no específicamente lógicas para aplicarlas en contextos lógicos con las debidas precauciones. El método constituye una prueba de la utilidad de la matemática para la lógica, así como de la diferencia entre ambas. Parece que a Boole le interesa principalmente esta parte de su obra, teniendo en cuenta el espacio que le dedica. A este respecto recordamos las siguientes palabras de Boole: ‘Estas investigaciones (lo que nosotros denominamos sistema axiomático) han sido preliminares en el sentido más estricto. Constituyen una introducción indispensable a uno de los objetivos principales de este tratado -la construcción de un sistema o método de Lógica...’43

3.1. El sistema axiomático Boole distingue entre axiomas (en términos de Boole ‘leyes’)44 y reglas de inferencia (en términos de Boole ‘axiomas’).45 Boole identifica los siguientes axiomas: (1) x=x.46 No estamos seguros del lugar que ocupa (1) en el sistema de Boole. Téngase en cuenta que no se hace referencia a (1) cuando Boole, recapitulando, nos proporciona la lista de axiomas.47 Corcoran-Wood interpretan que se trata de una verdad lógica y, posteriormente, incorporan (1) al conjunto de axiomas.48 Nosotros seguimos esta estrategia pero tomando alguna precaución, por considerar que Boole tiene más dudas con respecto a (1) que en relación a otros axiomas. (2) Conmutatividad: xy=yx.49 (3) Asociatividad: x (yz)= (xy) z. En este caso tenernos que decir que Boole considera la asociatividad de manera implícita, en el sentido de que no aparece en su listado de axiomas. En cualquier caso, hay una referencia, aunque implícita, clara a este 42

Por ejemplo, Van Evra (1977). Boole (1854), p.62. El subrayado y paréntesis son nuestros. 44 Ibid., pp. 32-33. 45 Boole (1847), p. 56 y Boole (1854), p.38. 46 Ibid., p.53. No hay referencia explícita a este axioma en Boole (1854). 47 Boole (1847), p.56. 48 Corcoran-Wood (1980), pp.614-616. 49 Boole (1847), p.55 y Boole (1854), p.33. 43

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axioma,50 además de un uso obvio del mismo. La no mención explícita a la asociatividad ha generado extrañeza en los intérpretes de la obra de Boole. La asociatividad ya fue reconocida en el año 1844 por Hamilton y De Morgan.51 (4) Distributividad: x(u+v)=xu+xv.52 (5) Ley del índice: xx=x (x2 = x). En Boole (1847) la ley del índice tiene la forma ‘xn = x’ para pasar a ser ‘x2 = x’ en Boole (1854). Es obvio que ha habido un cambio con respecto a la ley del índice. Boole explica que la ecuación ‘x3 = x’ no es interpretable en el sistema de la Lógica, ya que al expresar dicha ecuación en cualquiera de estas dos formas ‘x(l-x)(l+x)=0’ y ‘x(1-x)(-1-x)’, resulta que no cabe interpretación lógica: las expresiones ‘1+x’ y ‘-1’ son problemáticas.53 Hailperin considera la posibilidad (planteada por Corcoran) de que el mismo problema sea identificable en alguno de los ‘desarrol1os’ posibles con respecto a ‘x2=x’ En particular, x(x-l)=0. La cuestión es que en este último caso, a diferencia del anterior, cabe al menos un ‘desarrollo’ (x(1-x)=0) que no es problemático desde el punto de vista de la interpretación lógica.54 La ley del índice se nos presenta como un axioma específico de las interpretaciones lógicas (en términos de proposiciones primarias o secundarias) del lenguaje del álgebra. (2), (4) y (5) son los axiomas que aparecen claramente en Boole (1847) y en Boole (1854). En esta última obra se añaden explícitamente los siguientes: (2’) x+y=y+x (4’)x(y-z)=(xy)-(xz) (6) x-y=y-x55 (7) 0y=0 (8) 1y=y56 (9) x(1-x)=057

50

Boole (1854), p.33. Hailperin (1976), p. 133. 52 Boole(1847), p.54y Boole(1854), p.36. 53 Boole (1854), p.5O. 54 Hailperin (1976), pp.80-82. 55 (2’), (4’) y (6) en Boole (1854), pp.36-37. 56 (7) y (8), en Ibid., p.47. 57 Ibid., p.48 51

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Los axiomas están sometidos a las restricciones que en el apartado anterior hemos considerado con respecto a los símbolos lógicos. Por ejemplo, el carácter exclusivo de la suma. Con respecto a las reglas de inferencia, cabe identificar explícitamente las siguientes: (a) De x=y, z=u, se obtiene x+z=y+u. (Si cosas iguales se añaden a cosas iguales, los todos son iguales.) (b) De x=y, z=u, se obtiene x-z=y-u. (Si se separan cosas iguales de cosas iguales, los restos son iguales.) (c) Si tenemos la ecuación x=y, sea cual sea la clase o propiedad que z represente, tenemos también zx=zy.58

(c) puede considerarse una instancia de una regla de inferencia más general, planteada en los términos de (a) y (b):

(c’) De x=y, z=u, se obtiene xz=yu.

Siguiendo la interpretación de Corcoran-Wood, cabe pensar que (a), (b) y (c’) son las reglas de inferencia que Boole tiene ‘in mente’ cuando plantea una única regla de inferencia en su sistema: ‘El axioma único y suficiente involucrado en esta aplicación es que operaciones equivalentes sobre dominios equivalentes producen resultados equivalentes.’59 Además Boole también parece referirse a la siguiente regla de inferencia:60

(d) De x=z, y=z, obtenemos x=y.

A partir de estas reglas pueden derivarse otras como la simetría y transitividad de la identidad. Teniendo en cuenta (1) y (d), establecemos la simetría de la identidad (Tenemos y=y y suponemos x=y. Vía (d), obtenemos y=x). Con la simetría y (c’), se obtiene la transitividad de la identidad.

58

(a), (b) y (c) en Ibid., pp.38-39. Corcoran-Wood (1980), p.616 y Boole (1847), p. 56. 60 Boole (1847), p.56: ‘si dos términos concuerdan con un único tercer término, concuerdan entre sí’. 59

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Como consideración general en relación al sistema axiomático propuesto por Boole, hay que señalar que su presentación es defectuosa. Defectuosa en la presentación de las reglas de inferencia. En algunas ocasiones, debemos intuir lo que Boole parece querer decirnos. Además, hay que tener en cuenta que hemos considerado un sistema axiomático compuesto a partir de las dos obras de Boole. De considerarlas independientemente el carácter defectuoso resultaría más patente. También, como se ha señalado, hay defectos en la presentación de los axiomas. En cualquier caso, se trata de defectos de presentación que, siendo optimistas, podrían ser subsanados. Un defecto quizá más importante es que Boole no hace un uso claro del supuesto sistema en sus derivaciones de conclusiones a partir de premisas. En Boole (1847) los defectos son quizás más claros.61 Corcoran-Wood muestran que en la algebrización que Boole efectúa con respecto a la silogística aristotélica, en muchas ocasiones considera que la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones es una consecuencia de la misma, y esto no es correcto en general. Por ejemplo, ‘y=x’ es una solución de ‘x2-y2=0’, pero no es una consecuencia, en el sentido de que no se puede obtener en el marco del sistema.62 En general, consideramos que la crítica de Corcoran-Wood, aun siendo correcta, no recoge un aspecto importante de la obra de Boole. Este aspecto es precisamente ese supuesto método o sistema general de la lógica al que antes hemos hecho referencia. Corcoran-Wood se limitan al sistema axiomático y, en particular, al uso que Boole hace del mismo para la exposición de la silogística aristotélica. Por ello, no creemos que esa crítica golpee en el corazón de la obra de Boole.

3.2. Principios fundamentales del razonamiento simbólico

Cuando afirmamos que σ es consecuencia lógica de Γ, queremos señalar que el razonamiento efectuado a partir de las premisas Γ para obtener la conclusión σ es un razonamiento válido. Boole nos describe los pasos que hay que seguir en el establecimiento de razonamientos válidos en el marco de su lógica:63 61

En este punto recogemos la 'crítica' de Corcoran-Wood (1980) en relación a Boole (1847). Consideramos que esta 'crítica' es, en líneas generales, correcta. En cualquier caso, como más abajo se mostrará, Boole aporta más métodos e ideas a la Historia de la Lógica que nos llevarían a una valoración más positiva de la que Corcoran-Wood plantean. En cualquier caso y como se ha señalado, el trabajo de los autores citados se limita a una parte de Boole (1847). 62 En Boole (1847), pp.66-67, hay un ejemplo de esta estrategia booleana, donde no se ve claro cómo se puede obtener la consecuencia ‘x=υy’ a partir de las premisas ‘(1-y)x=0’ y ‘yx=0’, independientemente del hecho de que la primera ecuación sea una solución para el citado sistema de ecuaciones. 63 Boole (1854), p.63.

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(i) Hay que interpretar las premisas expresadas en forma simbólica. Los símbolos se combinan sobre la base de la interpretación ‘in mente’. (ii) A estas premisas se les deben ‘aplicar’ procesos formales de solución o demostración. En esta aplicación no hay que preocuparse de la interpretación de los resultados intermedios obtenidos. (iii) El resultado final (la conclusión) debe ser interpretable en los mismos términos en los que las premisas fueron interpretadas. Es decir, la interpretación lógica debe ser clara con respecto a premisas y conclusión, no así en relación a los pasos intermedios que se siguen desde las premisas hasta la conclusión. Este es el aspecto más problemático del método booleano. ‘Podemos de hecho arrinconar la interpretación lógica de los símbolos en la ecuación dada: convertirlos en símbolos cuantitativos susceptibles solamente de los valores 0 y 1; llevar a cabo sobre ellos todos los procesos requeridos de solución; y devolverles finalmente su interpretación lógica.’64 El método que va a seguir Boole para establecer la validez de un razonamiento es un método que va más allá de la lógica, es decir, va más allá de las interpretaciones lógicas que podemos efectuar del lenguaje del álgebra. ‘Los procesos a que los símbolos x, y, z, considerados como cuantitativos y del tipo arriba descrito, están sometidos no están limitados por aquellas condiciones de pensamiento a que estarían si se llevasen a cabo sobre símbolos puramente lógicos, y se nos otorga libertad a la hora de operar sin la cual la búsqueda de un método general en lógica sería una búsqueda sin esperanza’.65 Cuando habla de procesos, se refiere a los procesos señalados más arriba en (ii). Estos procesos constituyen la posibilidad de un método general para la lógica, pero estos procesos son definidos para funciones cuantitativas donde las variables toman valores 0/1, sin tener en cuenta restricciones que deberían tenerse en cuenta caso de que considerásemos el método limitado por la interpretación lógica. Boole poco antes nos recuerda el lastre que supone considerar que los sumandos, en una suma lógica, son excluyentes. Por otro lado, no es una práctica extraña a la matemática la de ‘dejar de lado’ pasos intermedios sospechosos. Supongamos que estamos trabajando en el marco de la estructura de los números naturales, donde suma y multiplicación son operaciones ‘bien definidas’ para dicho conjunto. Supongamos que estamos ante la ecuación ‘6=2x’. Para

64 65

Ibid., p65. Ibid., p.65.

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resolverla decimos ‘x=6/2=3’. El resultado es que x es un número natural, pero su determinación nos ha obligado a llevar a cabo una operación de división problemática. Una situación análoga plantea Boole con respecto a su método para la lógica. Ya que la manipulación de las ecuaciones o funciones puede hacer que éstas sean lógicamente irreconocibles, Boole propone el método de desarrollo de funciones y el método de interpretación para las mismas. El método de desarrollo-interpretación pretende dar forma lógica transparente a las expresiones ‘desfiguradas’ que se obtienen tras una manipulación algebraica de la ecuación (o ecuaciones) de partida. El método puede aplicarse a cualquier función lógica o cuantitativa (donde las variables tomen valores 0/1). La idea básica del método consiste en la consideración de que cualquier función f(x) se puede expresar equivalentemente como ax+b(1-x). Si la función es de dos variables, f(x,y), entonces tenemos que f(x,y)=axy+bx(1-y)+c(1-x)y+d(1-x)(1-y). Este método de desarrollo es generalizable a funciones de cualquier número de variables. En el desarrollo de la función, por ejemplo, f(x,y), podemos distinguir los coeficientes (a, b, c, d) por un lado, y los constituyentes por otro (xy, x(1-y), (1-x)y, (1x)(1-y)). El problema es determinar los coeficientes. Para el caso que nos ocupa, es sencillo ver que a=f(1,1), b=f(1,.0), c=f(0,1) y d=f(0,0). Puede ocurrir que la función desarrollada no tenga de una forma inmediata una interpretación lógica. Este es el siguiente paso: la interpretación. En lo que a los constituyentes se refiere, el conjunto de los mismos, bajo una interpretación lógica, nos proporciona una partición del universo: la intersección de cada dos es vacía y la unión de todos los constituyentes nos da el universo. Si pensamos en la interpretación lógica proposicional, cada constituyente es un candidato a ser un disyunto en el desarrollo de la función proposicional (veritativofuncional) que tengamos entre manos. Dicho desarrollo en su interpretación lógica, diríamos ahora, es una expresión en forma normal disyuntiva. Los problemas aparecen con los coeficientes y, en particular, con coeficientes del estilo 1/0 y 0/0 (también puede haber coeficientes negativos) que emergen al aplicar el método. Dejaremos de lado los aspectos concretos de la teoría del desarrollo y de la interpretación de una ecuación,66 ya que nos interesa llegar a caracterizar de una forma general la relevancia de la aportación de Boole.

66

Estos aspectos se detallan en los cap. v-VI de Boole (1854). Para una exposición crítica, véase Hailperin (1976), §1.6 y §1.7.

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Los métodos de eliminación y de reducción son procedimientos de manipulación de ecuaciones y de eliminación de variables. Estos métodos proporcionan la vía por la que se establecen las consecuencias de un conjunto de premisas (ecuaciones). Una breve descripción de la estrategia seguida en la silogística resultará útil. En los silogismos tenemos dos premisas que tienen un término en común, el término medio. La conclusión tiene como característica precisamente que no aparece en ella el término medio. En términos booleanos podemos describir la situación de la siguiente manera: tenemos dos ecuaciones como premisas. En la primera ecuación aparecen dos variables ‘x’ y ‘u’. En la segunda ‘u’ y ‘v’. La conclusión es una ecuación donde aparecen ‘x’ y ‘v’, habiéndose eliminado ‘u’. Boole nos proporciona métodos para eliminar alguna variable de una ecuación dada.67 También nos dice cómo eliminar el símbolo ‘’ν. Por otro lado, Boole proporciona métodos para reducir un sistema de ecuaciones a una ecuación única, la cual se interpreta según las ideas desarrolladas anteriormente. La combinación de la reducción de un sistema de ecuaciones a una ecuación y de la eliminación de una variable en una ecuación68 nos proporciona un método general que va más allá de la silogística. Basta considerar dos características del método booleano: no tienen por qué ser dos las ecuaciones reducidas, ni tampoco se trata de eliminar una variable de una ecuación con tres variables. Es decir, los razonamientos que podemos ‘analizar’ en la lógica booleana no están sometidos a las restricciones de la silogística. Todos estos métodos los despliega Boole haciendo uso del llamado ‘sistema axiomático’ que anteriormente hemos presentado pero, a su vez, son métodos que van más allá de dicho sistema. El objetivo final de los métodos es dar criterios y vías sistemáticas para el análisis del concepto de consecuencia lógica en el marco del lenguaje del álgebra. La idea central es la posibilidad de expresar las premisas en forma de ecuaciones, para obtener la conclusión (otra ecuación) donde las relaciones entre clases (y proposiciones) son distintas de las relaciones expresadas en las premisas. Aquí el método de reducción (-eliminación) es central. El paso que va desde las premisas hasta la conclusión puede ‘desfigurar’ esta última. La recuperación de la interpretación

67

Véase Boole (1854), pp.91-92. Boole elimina ‘x’ de la ecuación ‘f(x)=0’ (en f(x) pueden aparecer otras variables además de x). El resultado es ‘f(1)f(0)=0’. 68 Sobre estos métodos, véase Boole (1854), cap.VII-IX y Hailperin (1976), §1.8 y §1.9.

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lógica es posible gracias a los métodos de interpretación (y desarrollo). Este es el núcleo del método booleano.69

69

Trabajos recientes sobre Boole y el álgebra de la lógica: Hailperin (2004), Sánchez Valencia (2004), Pekhaus (2004) y Hilpinen (2004).

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4. Otros autores en la tradición del álgebra de la lógica. Peirce y el descubrimiento de los cuantificadores

En este apartado, aunque de forma breve, vamos a presentar una serie de autores que pueden ser considerados como miembros de una tradición booleana. Nos referimos, entre otros, a De Morgan, Jevons, Venn, Carroll, Huntington, McColl, Scröder y Peirce.

4.1. Autores de la tradición booleana

De Morgan (1806-1871) se ocupó de cuantificadores como ‘muchos’ y ‘pocos’ y también del problema de la cuantificación del predicado. Sigue una evolución que va desde el rechazo como razonamiento de todo aquello que no sea susceptible de transformarse en un silogismo, hasta que llega finalmente a reconocer la estrechez del silogismo. Razonamientos como ‘si a=b y b=c, entonces a=c’ no son tratables en el marco aristotélico. En cualquier caso, una de las grandes aportaciones de De Morgan consiste en su lógica de las relaciones. En esta lógica considera los siguientes tipos de símbolos: X,Y,...:elementos que están en relación binaria L, M,….: relaciones entre dichos elementos L-1, M-1,....: relaciones inversas (padre e hijo son mutuamente inversas o conversas) l,m,...: relaciones contrarias (o contradictorias). También distingue los siguientes tipos de expresiones: X.. LY: X está en la relación L con Y X.LY: X no está en relación L con Y X..LMY: representa un agregado de relaciones, (padre del amigo de). Es lo que se denomina posteriormente producto relativo y que Peirce simbolizaría como: LXrM (superior de un admirador). A partir de este exiguo vocabulario desarrolló teoremas lógicos sobre relaciones: - las contrarias de las conversas son conversas

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- la contraria de una conversa es la conversa de una contraria Por ejemplo, sea la relación admirador de un superior de. El contradictorio (o contrario en terminología de De Morgan) es ‘no admiro a ningún superior’. El converso del contradictorio es: ‘no tener ningún superior admirado por’. Si ahora pensamos en el contradictorio del converso. El converso sería: ‘tiene un superior admirado por’. El contradictorio es: ‘no tiene ningún superior admirado por’.

Schröder y Peirce continuarán, de alguna manera, las ideas de De Morgan.

Jevons (1835-1882) fue uno de los autores que más insistió en algunos defectos presentes en el álgebra de Boole:

Jevons no aceptó la concepción booleana acerca de la disyunción (interpretada como exclusiva o sometida a restricciones). Consideró que ‘x+x=x’ es una ley lógica que en el sistema de Boole no se obtiene. - Consideró que la raíz de los problemas estaba en el excesivo apego de Boole a la matemática. Jevons tenía más en mente el razonamiento ordinario. - Ideó métodos combinatorios. Por ejemplo dados tres términos (como en la silogística), caben las siguientes combinaciones: ABC, ABc, AbC. Abb, aBC, aBc, abC, abc. Las letras minúsculas representan términos negativos. Si tenemos que ‘Todo A es B’ como premisa, no puede ocurrir que algo sea A y no-B. Por ello Abc y AbC hay que descartarlas. - Construyó una máquina (piano lógico) para resolver problemas lógicos. - Dio la espalda al cálculo proposicional. Una de las trabas para el desarrollo del mismo es que consideraba como símbolo básico la igualdad, frente a gente como MacColl (y el propio Peirce) que consideraban el condicional como básico.

Venn y Carroll desarrollaron métodos geométricos y basados en diagramas para la resolución de problemas en el marco del álgebra de la lógica.

la gran aportación de Schröder es el cumplimiento del principio de dualidad (sustitución de 0 por 1, y + por x) en su gran sistema de álgebra lógica. La obra de Schröder es considerada como un cierre de la forma de hacer lógica que Boole inauguró. 25

En esta misma tradición merece una especial mención la figura de Peirce (1839-1914). Son numerosas las aportaciones de Peirce a la historia de la lógica, aunque también es verdad que la figura de Frege, justa o injustamente, ha ensombrecido la relevancia del lógico norteamericano. De todas las aportaciones destacaríamos el ‘descubrimiento’ peirceano de los cuantificadores. Antes de describir la evolución y las ideas de Peirce en lo que a los cuantificadores se refiere, queremos señalar otras destacadas aportaciones (en general, estas aportaciones se presentan en los artículos de Peirce publicados entre 1880 y 1885). - Peirce define la suma y el producto, así como la igualdad misma, mediante la noción de inclusión. Se comienzan a dar los pasos de una lógica ecuacional a una lógica de la inclusión en estrecha relación con la noción de implicación y con el conector condicional.70 - Hay explicaciones que pueden considerarse las bases teóricas de las tablas de verdad. - Se detalla una lógica trivalente. - Introduce la flecha de Peirce que viene a ser un conector al que todos se pueden reducir. Estamos en el preludio de los resultados de Sheffer de 1913. - Aparece la idea de forma normal conjuntiva (conjunción de disyunciones). En Boole se presenta la idea de forma normal disyuntiva. - En el artículo de 1880 sobre el álgebra de la lógica se desarrolla algo parecido a un sistema de deducción natural. En el artículo del 85 hay un cálculo axiomático, incluso completo, con 5 axiomas que él denomina iconos. - Desarrolla una lógica de relativos en estrecha relación con lo que hoy denominamos lógica de relaciones. En esta dirección mejora las aportaciones de De Morgan, siempre dentro de la tradición booleana. 4.2. Peirce y los cuantificadores71

Puede aceptarse como hipótesis que Peirce fue modificando su concepción sobre los cuantificadores según iba variando su planteamiento con respecto a la formalización del enunciado aristotélico particular afirmativo. En Peirce (1870) se aprecian dos novedades con respecto a otros autores de su tradición. En primer lugar, 70 71

Ver Thibaud (1975) y Beatty (1969). Seguimos la exposición en Beatty (1969).

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para formalizar ‘algunos animales son caballos’ Peirce utiliza la siguiente expresión: a,c>0. La aparición de un signo como ‘>‘ supone una novedad en relación al espíritu ecuacional del álgebra de Boole. Por otro lado, es interesante ver que Peirce representa una clase (referencia de un término general) como una suma de los individuos pertenecientes a dicha clase (a estos individuos se hace referencia mediante términos individuales). De esta manera, la clase de los seres humanos se representa como la suma lógica de sus miembros (humano=Peirce+Sócrates+…). En un artículo publicado en 1880, hay una variación a la hora de expresar una clase: la clase no es la suma lógica de sus miembros, sino la suma lógica de los miembros del universo del discurso.72 Esto supone un acercamiento a algunas ideas presentes en la lógica actual: las variables ligadas se mueven en el universo. En relación a esta nueva idea, Peirce plantea la siguiente forma de representación para las relaciones: l=Σi(Li:Mi) La relación 1 es la suma de los pares (de elementos relacionados). El subíndice se utiliza pan distinguir los elementos que relacionamos, a saber, los distintos Li y Mi. Este subíndice se mueve por el dominio al que pertenecen los elementos relacionados, aunque no se utiliza para denotar estos elementos. Li y Mi denotan individuos del universo. Se utilizan letras distintas ya que los elementos relacionados pueden ser distintos, aunque sin descartar la posibilidad de que sean iguales. Este método de representación para clases y relaciones presenta un problema ya que todas las clases o relaciones (definidas sobre el mismo universo) tienen la misma representación. Con lo cual no cabe distinguir clases distintas. Este es el motivo por el cual Peirce introduce coeficientes en la representación de las clases y relaciones:73 x=xaA+xbB+…=ΣixiI El subíndice ‘i’, como se aprecia, se mueve por el universo I, es decir, va tomando valores ‘a’, ‘b’, ... El coeficiente (genérico) xi va tomando valores en función de los cuales se establece el carácter de la relación de pertenencia de los elementos A, B,... a la clase x. De manera análoga se representa la relación 1: 1=Σi Σj lij (I:J)74

72

Peirce (1880), p.127 (en la versión castellana). Peirce (1882) y Peirce (1883). 74 Peirce (1883), p. 148 (versión castellana). 73

27

Los coeficientes (xi y lij) toman valores 1 y 0 según el elemento en cuestión pertenezca o no pertenezca a la clase (o relación). Se aprecia que los subíndices recorren el universo del discurso y que tanto ‘I’ como ‘(I:J)’ son expresiones de las que podemos prescindir. Nos basta con esos subíndices que se mueven a través del universo. De aquí que Peirce más adelante utilice proposiciones como ‘ΣiΣjlij’ para expresar ‘algo es amante de algo’.75 Esto lo hace en dos pasos: en primer lugar lo expresa mediante ‘ΣiΣjlij>0’ y posteriormente elimina ‘>0’. Uno ya puede ver que la expresión ‘ΣiΣjlij’ que Peirce propone es análoga estructuralmente a la expresión que en la lógica contemporánea propondríamos: ∃x∃ylxy. En cualquier caso, hay una importante diferencia. Para Peirce ‘lij’ representa un coeficiente, mientras que ‘lxy’ representa una fórmula abierta. Es en 1885 cuando Peirce da el último paso que le resta pan llegar a la concepción actual de los cuantificadores. Para ello Peirce pasa a considerar los subíndices como representando individuos y ‘1’ representa, en nuestro caso, una relación. Por ello, ‘lij’ representa exactamente lo que representa en la lógica actual. Peirce señala a este respecto:

‘Si x es una relación simple, ΠiΠjxij significa que todo i está en relación con todo j, ΣiΠjxij que algún i está en esa relación con todo j;...’76

Finalizamos señalando que en este mismo artículo de 1885, Peirce opera siempre con expresiones en forma normal prenexa, es decir, expresiones con una primera parte donde aparecen todos los cuantificadores con sus ‘variables ligadas’ (el prefijo) y una segunda parte donde va una expresión sin presencia de cuantificadores (la matriz). Peirce además nos proporciona métodos para pasar de expresiones cualesquiera a expresiones ‘equivalentes’ en forma normal prenexa.77 Es llamativo que tanto Peirce como Frege, casi simultáneamente e independientemente, desarrollaran la idea de cuantificador en el sentido en el que entendemos esta idea en la actualidad. En un principio, además, las perspectivas de ambos autores son claramente distintas. En cualquier caso, y como hipótesis de trabajo, cabe encontrar un aspecto común, así como básico, en la obra de ambos autores. Nos 75

Ibid., p. 162. Peirce (1885), pp.187-188 (versión castellana). 77 Ibid., pp.188-194 (versión castellana). 76

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referimos al carácter no saturado de las propiedades y relaciones (rhemas no relativos y relativos respectivamente para Peirce. Conceptos, en general, para Frege). En relación a la obra de Frege nos centraremos en este aspecto sobre el que él insiste para establecer la dicotomía ‘expresión de objeto/expresión funcional’ que constituye la categorización fregeana a partir de la cual analiza las expresiones lingüísticas, obteniendo como resultado una forma de ver el lenguaje lógico que se corresponde con la actual. Peirce, en cierto sentido por lo menos, mantiene aspectos comunes en relación a las distinciones fregeanas. Baste como ilustración la siguiente cita donde Peirce postula, en un lenguaje propio de la química, el carácter no saturado de propiedades y relaciones (parece que Peirce se refiere más a expresiones de propiedades y de relaciones):

‘Un rhema es algo muy similar a un átomo o radical químico cuyas valencias no están saturadas. Un rhema no relativo es como un radical monovalente; sólo tiene una valencia insaturada. Un rhema relativo es como un radical multivalente.’78

5. Conclusiones

El lugar de Boole en la historia de la lógica es destacado. El uso del lenguaje matemático-algebraico en el contexto del análisis del razonamiento es su gran aportación. No sólo nos referimos al lenguaje matemático como marco de representación, sino también como vía sistemática para el análisis del concepto de consecuencia lógica. Se trata de heredar métodos y técnicas ya consolidadas en el campo de la matemática para darles un uso lógico. Para ello resultan necesarias técnicas de ajuste. En este sentido en Boole hay un mecanismo inferencial para el análisis del concepto de consecuencia lógica. No hay un método, valga la expresión, ‘semántico’ como uno puede encontrar en ilustres antecesores de Boole. Por ejemplo, en Aristóteles y Bolzano.79 Tampoco queremos decir que haya un sistema de tipo fregeano para la 78

Peirce (1892), p.215 (versión castellana) Decimos ‘semántico’ entre comillas ya que obviamente en estos autores no hay un concepto de semántica tal y como lo entendemos en la actualidad. Ni tan siquiera en Frege lo hay, si entendemos por semántica, por ejemplo, la semántica de la lógica de primer orden. En Frege sí encontramos preocupaciones y reflexiones semánticas. Cuando hablamos de semántica en Aristóteles, nos referimos, por ejemplo, al método del contraejemplo para establecer que un supuesto razonamiento o silogismo no es un razonamiento válido. En el caso de Bolzano, el concepto de consecuencia lógica se define en términos de sustituibilidad. Ambos métodos no son sistemáticos, por contraposición a los métodos de reducción aristotélicos, al sistema de Crisipo en la lógica estoica y a los métodos booleanos.

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lógica. Nada más lejos de nuestra intención. En este sentido son correctas las críticas que Boole ha recibido en relación a las numerosas lagunas, soluciones ad hoc, etc. existentes en sus métodos. Críticas que el propio Frege realizaba con respecto a la actividad matemática de sus días. En cualquier caso, nadie puede negar que la lógica y la matemática a partir de la obra de Boole van a ir de la mano. Este es un hecho crucial en la historia de la lógica. En Boole, además, la lógica está situada en el marco y contexto de métodos matemáticos generales que van más allá de ella misma. Otro aspecto importante en la obra de Boole es la distinción entre lenguaje e interpretación: un mismo lenguaje susceptible de pluralidad de lecturas. Esta idea aparece frecuentemente en la obra de Boole y en este sentido, desde el punto de vista actual, su visión del lenguaje formal del álgebra, que es el lenguaje para la lógica, es superior a la perspectiva fregeana en relación al lenguaje. La plurinterpretabilidad de los símbolos y expresiones del lenguaje es algo que a Frege le preocupaba; es el síntoma de la equivocidad. En lógica la distinción entre el lenguaje y su interpretación resulta básica. La posibilidad de plurinterpretabilidad de un lenguaje hace que las teorías formuladas en el marco del mismo también sean plurinterpretables. Consideramos que las categorías fregeanas de concepto y objeto80 proporcionan una vía de análisis de las expresiones del lenguaje que posibilitaron, entre otras muchas cosas, el ‘descubrimiento’ de los cuantificadores81 y, en consecuencia, la concepción de los lenguajes lógicos tal y como en la actualidad se entienden. En este sentido, Frege va más allá de la dicotomía sujeto/predicado a la que Boole se ajusta y del lenguaje algebraico-ecuacional que Boole utiliza. A pesar de ello, no hay que olvidar que Boole abre las puertas a sendas hoy ya habituales en el trabajo de los lógicos, sendas que Frege ni tan siquiera vislumbró. En este trabajo no queremos comparar la obra de ambos autores.

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Quizás sea mejor hablar de expresiones de función (entre las que se encuentran las expresiones de concepto) y expresiones de objeto o, para Frege, nombres propios. 81 Ese mismo descubrimiento puede ser atribuido a Peirce, autor que está en la tradición del álgebra de la lógica. Dejamos de lado esta cuestión.

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