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• Elena Albornoz

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Republica Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Politécnica Territorial Del Estado Aragua Dr. Federico Brito Figueroa Maracay Edo. Aragua

Prof: Scarlet Rueda

Integrantes: Freviadby Palencia C.I 24.169.576 Emely Saavedra C.I 21.443.668 Katuiska Mirabal C.I 23.524.659 Giokryna Gonzalez C.I 22.292.962

Maracay, Abril 2011

Introducción

En el siguiente trabajo de investigación desarrollaremos el tema de algebra booleana. A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo: Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo: Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo: Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario “ º “ si A º I = A. Inverso:Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano “ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Características: Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características: 1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) 3- Tiene las siguientes propiedades:  Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x  Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx  Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)

      

Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades Del Álgebra De Boole 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x'' = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Ejemplo 1. Si S diferente del vacio es un conjunto, el conjunto parcialmente ordenado A = P(S) bajo la relación de inclusión es un álgebra booIeana. Ejemplo 2. Sea B el conjunto de valores de verdad de las proposiciones, es decir B={0,1}. Este conjunto ordenado por la relación de implicación, esto es, a £ b si y sólo si a Þ b es un álgebra de boole. En efecto, (B,£) es una látice puesto que el único subconjunto con dos elementos, que es el mismo B, tiene mínima cota superior (1), y máxima cota inferior (0). La mínima cota superior es 1 porque 0 + 1 = 1 y la máxima cota inferior es 0 porque 0· 1 = 0. Lo dicho anteriormente, también se desprende del hecho de que 0 £ 1 y esto debido a que 0 Þ 1 es verdadero. Esta látice es complementada porque 0‟ = 1 y 1‟ = 0, lo anterior debido a que la negación de una proposición falsa es una proposición verdadera y viceversa. La distributividad se puede verificar utilizando las tablas de verdad para la disyunción y la conjunción. Ejemplo 3: Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre sí. R: Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores y elementos identidad resulta:

1 a)

a+b=b+a

a . b = b. a

(1 b

2 a)

a+0=a

a.1=a

(2 b

3 a)

a + (b. c) = (a + b). (a + c)

a . (b + c) = (a .b) + (a . c)

(3 b

4 a)

a + a‟ = 1

a . a‟ = 0

(4 b

Es decir, que a partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b). Esto demuestra lo que nos habíamos propuesto. George Boole Nació en Lincoln (Reino Unido) el 2 de noviembre de 1815 . Boole perteneciente a una modesta familia realizó sus estudios de primaria en una escuela de Lincoln y de ahí pasó a un colegio comercial para seguir con su formación. Las primeras lecciones de matemáticas sin embargo, las recibió de su padre muy aficionado a la construcción de instrumentos de óptica, siendo esta afición heredada por el joven George. A los doce años el interés de George se volcó en los idiomas y recibió instrucción en latín en una librería local. Llegó a ser tan hábil en el uso del latín que provocó controversia. Una de sus traducciones del latín de una Oda del poeta Horacio era tan buena que el maestro de la escuela local no creía que alguien tan joven hubiese podido escribir con tanta profundidad y precisión. Boole no estudió un grado académico, se decantó por la enseñanza y a los dieciséis años fue nombrado profesor auxiliar de colegio. En esta época su interés por los idiomas continua y se plantea ingresar en la Iglesia para continuar aprendiendo latín y griego. En 1835, George Boole abrió su propio colegio y empezó a estudiar matemáticas por sí mismo de manera autodidacta. En este tiempo estudia los trabajos de otros matemáticos como Laplace y Lagrange. Las anotaciones de estas primeras investigaciones serán la base para sus primeros papeles matemáticos. El interés por la matemáticas de Boole se ve incentivado por dos personas: Duncan Gregory y el editor de la revista „Cambridge Mathematical Formal‟. Duncan Gregory anima a Boole a estudiar cursos de matemáticas en Cambridge pero Boole necesita todos los ingresos que le proporciona su pequeña escuela para su manutención y el cuidado de sus padres, ya ancianos. No obstante, George Boole continuó su formación en matemáticas, estudiando por su cuenta. Comenzó a estudiar álgebra y producto de sus investigaciones publica su primer tratado matemático, por el que recibió la distinción de la Real Sociedad que le otorgó una medalla y fue nominado para una cátedra de matemáticas en el Queens Collage de Cork en 1849. Allí enseñó durante el resto de su vida, ganándose fama de dedicado y eminente profesor.

En 1857 fue elegido como miembro académico de la Real Sociedad, recibiendo también honores por sus trabajos, de las universidades de Oxford y Dublín. Murió murió en Ballintemple (Irlanda), el 8 de diciembre de 1864, a los cuarenta y nueve años, debido a un resfriado que afectó a sus pulmones.

Cuadro Comparativo De Las Familias PARAMETRO

TTL estándar

TTL 74L

TTL Schottky Fairchild de baja 4000B potencia (LS) CMOS (con Vcc=5V)

Fairchild 4000B CMOS (con Vcc=10V)

Tiempo de propagación de puerta

10 ns

33 ns 5 ns

40 ns

20 ns

Frecuencia máxima de funcionamiento

35 MHz

3 45 MHz MHz

8 MHz

16 MHz

Potencia disipada 10 mW por puerta

1 mW

2 mW

10 nW

10 nW

Margen de ruido admisible

1V

1V

0'8 V

2V

4V

Fan out

10

10

20

50 (*)

50 (*)

Operadores y valores:

* Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. *El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. * El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. * El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.

* Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:      

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:                

Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' · B' Teorema 8: (A · B)' = A' + B' Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A · A' = 0

Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son: TEOREMA 1 Ley Distributiva A (B+C) = AB+AC

A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C) 0 0 0 0

0

0

0

0

0 0 1 1

0

0

0

0

0 1 0 1

0

0

0

0

0 1 1 1

0

0

0

0

1 0 0 0

0

0

0

0

1 0 1 1

0

1

1

1

1 1 0 1

1

0

1

1

1 1 1 1

1

1

1

1

TEOREMA 2 A+A = A AA = A A A A+A 0 0 0 1 1 1 A A AA 0 0 0 1 1 1 TEOREMA 3 Redundancia A+AB = A A B AB X 0 0 0

0

0 1 0

0

1 0 0

1

1 1 1

1

A (A+B) = A A B A+B X 0 0 0

0

0 1 1

0

1 0 1

0

1 1 1

1

TEOREMA 4 0+A = A Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra A B=0 X 0 0

0

1 0

1

1A = A Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1 A B=1 X 0 1

0

1 1

1

1+A = 1 A B=1 X 0 1

1

1 1

1

0A = 0 A B=0 X 0 0 0 1 0

0

Modos de representación Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes: Algebraica

Por tabla de verdad Numérica Gráfica El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso. Algebraica Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables. a) F = [(A + BC‟)‟ + ABC]‟ + AB‟C b) F = A‟BC‟ + AB‟C‟ + AB‟C + ABC‟ c) F = (A + B + C)(A + B + C‟)(A + B‟ + C‟)(A‟ + B‟ + C‟) d) F = BC‟ + AB‟ e) F = (A + B)(B‟ + C‟) f) F = [(BC‟)‟(CB)´ (AB‟)‟]‟ g) F = [(A + B)‟ + (B‟ + C‟)‟]‟ La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g). Numérica La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso): AB‟CD = 10112 = 1110 A‟ + B + C‟ + D‟ = 01002 = 410

Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el símbolo Σn (sigma) y en producto de sumas Πn (pi), donde n indicará el número de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedará como: F = Σ3(2, 4, 5, 6) = Π3(0, 1, 3, 7) Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se cumple la siguiente ecuación: F = [Σn(i)]' = Πn(2n-1-i ) A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior: F = Σ3(2, 4, 5, 6) = [Σ3(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ3(0, 1, 3, 7)]' = Π3(0, 4, 6, 7) Gráfica La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)

Representación gráfica de dos funciones lógicas Métodos de simplificación

Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la complejidad del circuito. A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica. Algebraico Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia. Como ejemplo se simplificará la siguiente función: F = A‟C‟ + ABC + BC‟ + A‟B‟C + A‟BC Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevan simplificación: F = A‟C‟ + BC‟ + BC(A + A‟) + A‟C(B + B‟) Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que diceque A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda F = A‟C‟ + BC‟ + BC + A‟C Repitiendo nuevamente el proceso, F = A‟( C‟ + C) + B( C‟ + C) = A‟ + B No siempre las funciones son tan fáciles de simplificar como la anterior. El método algebraico, por lo general, no resulta cómodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuación le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la máxima simplificación. Gráfico de Karnaugh Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa. Este método se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un número superior utilizan otros métodos como el numérico. A continuación pueden observarse los diagramas, también llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y cuatro variables.

Mapas de Karnaugh para dos, tres y cuatro variables Es una práctica común numerar cada celda con el número decimal correspondiente al término canónico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una función canónica. Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los siguientes pasos: 1º) Se dibuja el diagrama correspondiente al número de variables de la función a simplificar. 2º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función. 3º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el estado de una sola variable. b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.) c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes. d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor número de unos posible. 4º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo. A modo de ejemplo se realizan dos simplificaciones de una misma función a partir de sus dos formas canónicas: F = Σ3(0,2,3,4,7) = Π3(1,2,6) De acuerdo con los pasos vistos anteriormente, el diagrama de cada función quedará del siguiente modo:

Simplificación de una función de tres variables La función simplificada tendrá tres sumandos en un caso y dos productos en el otro. Si nos fijamos en el mapa correspondiente a la suma de productos, observamos que en el lazo 1 cambia la variable A (en la celda 0 es negada y en la 4 directa), en el lazo 2 es la C y en el lazo 3 vuelve a ser A. por lo tanto, la ecuación simplificada es: F = B‟C‟ + A‟B + BC Razonando de modo similar en el mapa de productos de sumas, nos quedará lo siguiente: F = (B + C‟)(A‟ + B‟ + C) Numérico de Quine-McCluskey El algoritmo Quine-McCluskey permite la simplificación de funciones lógicas de cualquier número de variables y es el que se utiliza para diseñar aplicaciones informáticas en las que se necesite obtener funciones simplificadas. A continuación se indican los pasos a seguir en este método a partir de un ejemplo. 1º) Se expresa la función a simplificar en su forma canónica de suma de productos. Sea la siguiente función a simplificar: F = S4 (0,1,2,3,5,9,11,12,13,15) 2º) Se forma una tabla con el valor decimal de la combinación, el estado de las variables y el índice (número de unos que contiene el estado de las variables). Comb. Estado Índice 0

0000

0

1

0001

1

2

0010

1

3

0011

2

5

0101

2

9

1001

2

11

1011

3

12

1100

2

13

1101

3

15

1111

4

3º) Se agrupan las combinaciones cuyos estados difieren en una sola variable, sustituyéndola por un guión bajo (_). Las combinaciones utilizadas se marcan con un aspa (X). Hay que fijarse en las combinaciones cuya diferencia entre sus respectivos índices es la unidad.

Agrupación de las combinaciones 4º) Se repite el proceso anterior las veces que sean necesarias y se van eliminando estados idénticos.

Nueva agrupación de las combinaciones 5º) Se forma una tabla con las combinaciones finales y las no agrupadas. Se toman como filas las combinaciones finales y las no agrupadas y como columnas los valores decimales de dichas combinaciones. Cada celda que contenga el valor decimal de una combinación se marca con un aspa. A continuación nos fijamos en aquellas columnas con una sola aspa; sus combinaciones serán esenciales. Finalmente se toman aquellas combinaciones de los valores decimales no seleccionados, teniendo precaución de no tomar aquellas combinaciones cuyos valores decimales hayan sido ya tomados en otras combinaciones. La función simplificada final viene dada por las combinaciones esenciales y estas últimas. Funciones incompletas Hasta ahora todas las funciones estudiadas tienen definido un valor lógico, 0 ó 1, para cada una de las posibles combinaciones. Estas funciones se denominan completas o totalmente definidas. También existen funciones con una o varias combinaciones no definidas, llamadas funciones incompletas. Esta situación puede deberse por las dos causas siguientes: Hay combinaciones de entrada que no existen, por lo que a la salida se le puede asignar indistintamente el valor 0 o el 1. En ciertas combinaciones de entrada la salida del sistema lógico está inhibida, siendo por lo tanto su valor indiferente. En la tabla de verdad de una función incompleta, los términos indiferentes se designan mediante una equis (X). En cuanto a la forma canónica se separan los términos definidos de los que no lo son (indicados mediante el símbolo φ). A la hora de simplificar una función incompleta, los términos indiferentes servirán como “comodines” a la hora de tomar lo lazos, esto es, si nos interesa que sea un 1 porque así el lazo es mayor, lo tomaremos como 1, y en caso contrario como 0.

Minitérmino Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino. Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT). Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minitérminos para una función booleana con las tres variables a, b y c. Maxitermino Un maxitérmino es una expresión lógica de n simbolos que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los cuales están unidos por los operadores del algebra de boole (+ . „) Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos: a + b' + c a' + b + c Tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)

F = A‟BC‟ + AB‟C‟ + AB‟C + ABC‟ nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A‟BC‟, 100 para AB‟C‟, 101 para AB‟C y 110 para ABC‟) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de

sumas (o forma canónica conjuntiva) se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos. También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

Conclusion

La lógica es la ciencia del razonamiento que nos permite hacer deducciones. En la electrónica los circuitos encargados de hacer deducciones lógicas son los circuitos lógicos. "Si usted se encuentra en un de los pasillos de un edificio y acciona el pulsor de llamada de los ascensores, en este momento aparecer el que se encuentre más cerca; ya dentro de la cabina cada pasajero pulsa el botón del piso deseado; el ascen¬sor se detiene en los pisos en un orden lógico, sin tener encuenta el orden en que fueron accionados os pulsadores anteriormente. Esa inteligencia se habilita a la máquina a tomar decisiones en el resultado de un pequeño número de circuitos elementales denominados circuitos lógicos. De acuerdo con la definición anterior que hemos dado a los circuitos lógicos podemos decir que estos circuitos encuentran aplicación en muchos campos como: La telegrafía, la telefonía, los procesos industriales, etc. en estos campos normalmente encontramos un computador digital (máquina hecha a base de circuitos lógicos) que se programan de manera tal que en cada circunstancia esté capacitada para tomar las decisiones lógicas correspondientes. En un proceso industrial, por ejemplo, el computador se programa para manejar todo un ciclo de producción y poder sacar en el menor tiempo posible la mayor cantidad de productos y al menor costo. En general podemos decir que la aplicación de la lógica en los computadores es casi infinita en nuestra vida moderna. En un ferrocarril, por ejemplo, el movimiento y el uso de los trenes debe estarse controlando permanentemente para transportar la máxima cantidad de mercancía en un tiempo aceptable y con el mínimo costo. En estos tema de Matemáticas podemos ver todo lo que esta relacionado, saber como son sus definiciones como conceptos de relaciones, teoría de graficas, sus principales aplicaciones, historia, Latices, diagramas de hasse, Algebra de boole, biografías como feyman, grupos, códigos de detección de error, teselaciones y grafos, geometría, grupo geométricos, simetrías, antecedentes históricos, los números primos y el internet, matemáticas para un nuevo siglo, historia, matemáticos como hilbert, fermat, teoría de números, gauss. El lugar de Boole en la historia de la lógica es destacado. El uso del lenguaje matemático-algebraico en el contexto del análisis del razonamiento es su gran aportación. No sólo nos referimos al lenguaje matemático como marco de representación, sino también como vía sistemática para el análisis del concepto de consecuencia lógica. Se trata de heredar métodos y técnicas ya consolidadas en el campo de la matemática para darles un uso lógico. Para ello resultan necesarias técnicas de ajuste. En este sentido en Boole hay un mecanismo inferencial para el análisis del concepto de consecuencia lógica. No hay un método, valga la expresión, „semántico‟ como uno puede encontrar en

ilustres antecesores de Boole. Por ejemplo, en Aristóteles y Bolzano. Tampoco queremos decir que haya un sistema de tipo fregeano para la lógica. Existentes en sus métodos. Críticas que el propio Frege realizaba con respecto a la actividad matemática de sus días. En cualquier caso, nadie puede negar que la lógica y la matemática a partir de la obra de Boole van a ir de la mano. Este es un hecho crucial en la historia de la lógica. En Boole, además, la lógica está situada en el marco y contexto de métodos matemáticos generales que van más allá de ella misma. Otro aspecto importante en la obra de Boole es la distinción entre lenguaje e interpretación: un mismo lenguaje susceptible de pluralidad de lecturas. Esta idea aparece frecuentemente en la obra de Boole y en este sentido, desde el punto de vista actual, su visión del lenguaje formal del álgebra, que es el lenguaje para la lógica, es superior a la perspectiva fregeana en relación al lenguaje. La plurinterpretabilidad de los símbolos y expresiones del lenguaje es algo que a Frege le preocupaba; es el síntoma de la equivocidad. En lógica la distinción entre el lenguaje y su interpretación resulta básica. La posibilidad de plurinterpretabilidad de un lenguaje hace que las teorías formuladas en el marco del mismo también sean plurinterpretables. Consideramos que las categorías fregeanas de concepto y objeto proporcionan una vía de análisis de las expresiones del lenguaje que posibilitaron, entre otras muchas cosas, el „descubrimiento‟ de los cuantificadores y, en consecuencia, la concepción de los lenguajes lógicos tal y como en la actualidad se entienden. En este sentido, Frege va más allá de la dicotomía sujeto/predicado a la que Boole se ajusta y del lenguaje algebraico-ecuacional que Boole utiliza. A pesar de ello, no hay que olvidar que Boole abre las puertas a sendas hoy ya habituales en el trabajo de los lógicos, sendas que Frege ni tan siquiera vislumbró. En este trabajo no queremos comparar la obra de ambos autores. En este trabajo se ha querido hacer una revisión acerca de los autómatas programables o controladores lógicos programables (PLC), pero para el estudio de los controladores primero se hace una introducción a la lógica, haciendo que éste capítulo haga más fácil la comprensión de la programación de éstos. Para el estudio de la lógica, primero se hace una revisión de los sistemas de numeración, haciendo una breve descripción de éstos y también las debidas conversiones entre ellos. Luego de estudiados los sistemas de numeración, se hizo una revisión de la lógica como son las compuertas, sus funciones y como implementarlos y asociarlos con los contactos de relé. Esto, como se ha dicho anteriormente, facilita la visualización de los problemas a resolver con los autómatas, es decir, su programación. Luego se encontró lo relacionado con el autómata desde su historia hasta su arquitectura de hardware como de software; luego de esto, se mostró una manera de cómo resolver un determinado problema de control, también se hacen unas consideraciones a la hora de programar, se realizaron algunos ejemplos para el buen entendimiento de todo lo visto anteriormente.

Por último, se hizo una introducción a las redes de comunicación industriales, su definición y los tipos usados actualmente. Con los conocimientos adquiridos es posible entrar a programar prácticamente cualquier PLC sin importar la marca o el modelo, seguramente habrán algunas diferencias y se pueden presentar pequeños obstáculos, pero en general, todos funcionan de igual manera. Con la ayuda de los manuales respectivos del modelo y a través de que se vaya adquiriendo experiencia en la programación, se podrá elaborar programas tan complejos como el manejo automático de una planta completa. AL estudio de matemáticas podemos dar nos cuenta de como un diagrama de Hasse es un representación de un conjunto parcialmente ordenado finito. La representación se hace mediante un grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas (Teoría de Grafos). También se dice que una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos elementos, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior. Antes debemos tener encuenta conocimiento básicos de teoría de gráficas para facilitar el desarrollo de estos temas que hemos realizado y analizados.

Referencias Bibliograficas

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PASATIEMPOS Sopa de letras

Crucigrama de Hipatia

Puzzles y rompecabezas

SOPA DE LETRAS En la sopa de letras siguiente aparecen los nombres de diez matemáticos. Búscalos. G L E U C L I D E S

C A U C H Y L A R A

A P L O N A Z L O B

U N E W T O N E T N

S A R O G A T I P I

E F O S A Z O B I Z

R O L Y U W E N T O

H D Y U S M G I A R

U R A P S I B Z E T

P I T A M R E F A N

EL CRUCIGRAMA DE HIPATIA El crucigrama que aquí encontrarás fue hecho pensando en una de las más grandes matemáticas de la historia: Hipatia de Alejandría. Ella vivió toda su vida en la ciudad de Alejandría que está en Egipto; nació en el año 370 y murió en el 415. Desde muy joven investigó y enseñó prácticamente todas las ramas de las matemáticas, por eso, para recordarla, te proponemos que completes este crucigrama resolviendo problemas de aritmética, geometría y lógica. Los resultados de los problemas del crucigrama son números, no palabras. En cada casilla del crucigrama escribe uno y sólo un dígito. Horizontales 1. Beatriz es 8 cm más alta que Jaime. Toña es 12 cm más baja que Beatriz. Jaime mide 1metro y 25cm. ¿Cuánto mide Toña? (La respuesta debe ir en centímetros) 3. De todos los números que están entre los números 1 y 100 ¿Cuántos tienen el dígito 5? 7. Una niña en un examen se puso muy nerviosa y en un problema en el que se le pedía que dividiera entre 4 un número lo que hizo fue restar 4. Su resultado fue 48, si en lugar de restar, hubiera dividido ¿cuál hubiera sido su resultado?

8. El cuadrado de la figura tiene un área de 36 cm 2. ¿Cuál es el radio del círculo inscrito?

9. Acomoda los números 1,2,3,4,5 en la figura de manera que los que queden en la columna sumen 8 y que los que queden en el renglón, también sumen 8. ¿Cuál es el número que va en el cuadrito del centro?

10. ¿Cuántos segundos hay en una hora? 11. ¿Cuántas de estas afirmaciones son verdaderas?

Verticales

1. ¿Cuántos cuadrados hay en este dibujo?

2. ¿Cuántos minutos hay entre las 11:41 y las 14:02? 4. La fecha 8 de noviembre de 1988 tiene algo de especial. Si la escribimos 811-88, es fácil darse cuenta de que el día (8) multiplicado por el mes (11) da como resultado el año (88) ¿Cuántas fechas que cumplieran esta propiedad hubo en 1990? 5. ¿Cuánto suman los tres números que tenemos que acomodar en los cuadritos vacíos para que la suma quede correcta?

6. ¿Cuál es el ángulo que forman las manecillas de un reloj si son las 12:15? 7. Esta es la figura de un pentágono con dos de sus diagonales dibujadas. El pentágono está dividido en tres regiones. Si dibujas todas las diagonales ¿en cuántas regiones quedará dividido el pentágono?

12. ¿Cuánto vale el ángulo A?

PUZZLES Y ROMPECABEZAS EL ROMPECABEZAS DEL CUADRADO Recorta las siguientes piezas en cartulina e intenta colocarlas hasta obtener un cuadrado.

Recorta ahora también este otro cuadradito e intenta ahora con las 5 piezas formar otro cuadrado.

HERENCIA PARA CUATRO

Unos padres quieren dejar a sus cuatro hijos estos dos terrenos como herencia. ¿Podrían repartir cada terreno entre los cuatro, de manera que las partes en cada uno fueran iguales?

SOPA DE NÚMEROS ¿Eres capaz de partir este cuadrado en tres bloques, de modo que los números que queden en cada uno de ellos tengan la misma suma?. 4

7

7

6

5

2

6

8

3

SOLUCIONES A LOS PASATIEMPOS SOPA DE LETRAS Bolzano, Cauchy, Euclides, Euler, Fermat, Gauss, Leibniz, Newton, Pitágoras y Taylor. G

C

A

U

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CRUCIGRAMA DE HIPATIA

ROMPECABEZAS DEL CUADRADO

HERENCIA PARA CUATRO

SOPA DE NÚMEROS