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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN BIOTECNOLOGÍA

INGENIERÍA BIOMÉDICA

DEPARTAMENTO DE BIOINGENIERÍA

PRÁCTICA 1.- SISTEMAS DIGITALES: PRINCIPIOS BÁSICOS

ALUMNOS: Mendoza Cortéz Marco Polo Roé Cordero Emmanuel Mendoza Pérez Isaac Yair

PROFESORA: Cotzareli Trinidad Cruz

GRUPO: 3IMM3

FECHA DE ENTREGA: 23/02/2017

OBJETIVO GENERAL: Analizar los postulados del Algebra de Boole para el diseño y optimización de circuito lógicos. DESARROLLO: EXPERIMENTO 1.- Simplificación por algebra de Boole    

Dada la proposición 1, construya el circuito que se muestra en la figura. Obtenga su tabla de la verdad para todas las combinaciones posibles a la entrada. Por medio del algebra de Boole simplifique la proposición y obtenga el nuevo lógigrama, obtenga su tabla de la verdad para todas las combinaciones posibles a la entrada. Compare sus tablas de la verdad.

EXPERIMENTO 2.- Construcción de Lógigramas.  

Determine el lógigrama correspondiente, así como la tabla de la verdad para las siguientes formulas proposicionales. X(A,B) = AB+A´ X(A,B,C) = A´B´´C´+A´B X(A,B,C) = A´´+B´´C´

EXPERIMENTO 3.

Aplique reducciones por algebra de Boole para la proposición 2, obtenga y arme el lógigrama correspondiente comprobando la tabla de la verdad para cada combinación a la entrada.

INTRODUCCION: ALGEBRA DE BOOLE El álgebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados que designados por 0 y 1 o en otros casos se podrá ver como v (verdadero) y f (falso) que están relacionados por las dos operación vinarias denominadas suma (+) producto (•) la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variable lógicas. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios. Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de Boole. Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador), Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.

Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores.

Operaciones básicas en el álgebra booleana

EXPERIMENTO 1.- Simplificación por algebra de Boole a) Dada la proposición 1, construya el circuito que se muestra en la figura 1. b) Obtenga su tabla de la verdad para todas las combinaciones posibles a la entrada. c) Por medio del algebra de Boole simplifique la proposición y obtenga el nuevo lógigrama, obtenga su tabla de la verdad para todas las combinaciones posibles a la entrada. d) Compare sus tablas de la verdad.

X(A,B,C,D) = A'BC' + A'B'C'D + B'C'D Proposición 1 B) Tabla de verdad:

A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Logigrama:

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

A’BC’ 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A’B’C’D 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B’C’D 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

S 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Reducción por álgebra de Boole: A'BC' + A'B'C'D + B'C'D

=C’(A’B + A’B’D + B’D) =C’(A’B + B’D (A’+1)) =C’(A’B + B’D)

A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

A’B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

B’D 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

(A’B+B’D) 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0

Logigrama U9 U31

A

NOT

U10 U32

U12 U34

AND

U14 U36

B NOT

U13 U35

OR

U15 U37

D2 D4

U11 U33 C LED NOT D

AND

AND

C’ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

S 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

EXPERIMENTO 2.- Construcción de Lógigramas. a) Determine el lógigrama correspondiente, así como la tabla de la verdad para las siguientes formulas proposicionales. X(A,B) = AB+A´ A B AB A’ AB+A’ 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Logigrama U45

A

D7

U47

B AND

U46

LED OR

NOT

U48 U49

A

D8

NOT B

LED OR

X(A,B,C) = A´B´´C´+A´B A’ B’’ 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1

A’B’’C’ 0 0 1 0 0 0 0 0

C’ 0 1 0 1 0 1 0 1

A’B 0 0 1 1 0 0 0 0

Logigrama U53 A NOT

U54

U55

NOT

NOT

U57

B

U59

AND_3

D10

U56 C LED OR

U58

NOT

AND

U60 A

U61

D11

NOT B LED AND

A´B´´C´+A´B 0 0 1 1 0 0 0 0

X(A,B,C) = A´´+B´´C´ A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

A’’ 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

B’’C’ 0 0 1 0 0 0 1 0

Logigrama U16 U38

U17 U39

NOT

NOT

B

U21 U43

U18 U40

AND

C

D5 D6

U22 U44

NOT

LED OR

U19 U41

U20 U42

NOT

NOT

A

U50 B

U51 C

AND

U52

D9

NOT LED OR A

A’’+B’’C’ 0 0 1 0 1 1 1 1

EXPERIMENTO 3.- Aplique reducciones por algebra de Boole para la proposición 2, obtenga y arme el lógigrama correspondiente comprobando la tabla de la verdad para cada combinación a la entrada.

F(x,y,z)=(x'+z')(x'y + x'z) x’x’y+x’x’z+x’yz’+x’z’z’+yz’z’+yz’z’x x’y+z’z+x’yz’+yz’+xyz x’y+x’z+yz’+yz’(x+x’) x’y+x’z+yz’+yz x’y+x’z+yz’

+

yz'(z'

+

z'x)

x’(y + z) + yz’ x

y

z

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

x’z’ 1 0 1 0 0 0 0 0

x’y 0 0 1 1 0 0 0 0

x’z 0 1 0 1 0 0 0 0

yz’ 0 0 1 0 0 0 1 0

z’ 1 0 1 0 1 0 1 0

z’x 0 0 0 0 1 0 1 0

Logigrama U3 X

U24

NOT

Y

U23 AND

U25

D12

U8 Z

OR

U27

LED OR

NOT AND

S 0 1 1 1 0 0 1 0

De acuerdo con la ecuación original, F(x,y,z)=(x'+z')(x'y + x'z) + yz'(z' + z'x), se tenía que reducir para llegar a la más minima ecuación y obtener un resultado. Con esto, multiplicamos los factores para poder eliminar los términos repetidos, de acuerdo con el álgebra de boole, que una variable multiplicando a la misma, pero negada, se hace 0, o la suma de la misma variable, pero una negada da 1. De tal modo que obtuvimos la siguiente ecuación final x’(y + z) + yz’, comparada con la ecuación larga, que es útil para ahorrar tiempo y presupuesto económico para el ensamblaje del circuito. Ejercicios extras: 1) AB+A(B+C)+B(B+C) A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

AB 0 0 0 0 0 0 1 1

A(B+C) 0 0 0 0 0 1 1 1

B(B+C) 0 0 1 1 0 0 1 1

S 0 0 1 1 0 1 1 1

Logigrama U98

U99

AND

D19

U101

OR

U95

U100

LED OR

AND

U96

U97

OR

OR AND

Reducido: B+AC A 0 0 0

B 0 0 1

C 0 1 0

AC 0 0 0

B 0 0 1

S 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

0 0 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 1 1

Logigrama A

U102 D20

U103

B AND

LED C

OR

Para la reducción de este circuito, se utilizarán una compuerta and y una or 2)AB’+A(B’+C’)+B(B’+C’) A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

AB’ 0 0 0 0 1 1 0 0

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A(B’+C’) 0 0 0 0 1 0 0 0

B(B’+C’) 0 0 1 1 0 0 0 0

Logigrama U76

A

U79

AND

U75 OR

U74 B NOT

U73

AND

D15

U80

U78 C

NOR LED

U77

OR AND

NOR

Reducido: AB’ A 0 0

B 0 0

C 0 1

A 0 0

B’ 1 1

S 0 0

S 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0

Logigrama A

D16

U82 U81

LED

B

AND NOT

3) (AC+AB)’ + A’B’C A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

(AC+AB)’ 1 1 1 1 1 0 0 0

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A’B’C 0 1 0 0 0 0 0 0

S 1 1 1 1 1 0 0 0

Logigrama A

U84

U85

NOT

U83

D17

U89

B

AND_3

U86

NOT

LED

U88 C

OR

AND

U87 NOR

AND

Reducido: A’ + B’C’ A

B

C

A’

B’C’

S

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 0

Logigrama U90 D18

U94

NOT

U91 LED

U93

OR

NOT

U92 AND NOT

Para el desarrollo de la práctica, utilizamos este circuito para el ensamblaje de éste, para eso, se vio reflejado el cambio drástico de la recucción de la ecuación para aligerar la utilización de compuertas lógicas. Afortunadamente, coincidió el circuito con la tabla de verdad larga y reducida. 4) [AB’ (C + BD) + A’B’] C A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

AB’ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

C+BD 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1

A’B’ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

AB’(C+BD)

AB’(C+BD) + A’B’

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1

S 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 0 0 0

0 0 1 0 1

1 0 1 1 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

Logigrama

Aquí se logra ver una reducción drástica, gracias al álgebra de boole que ayudó a simplificar este circuito. Reducido: B’C A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

B’ 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

S 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0

CUESTIONARIO 1.- Que entiende por álgebra de Boole. Es una algebra especial utilizada para el sistema de numeración binario en el que solo se emplean 0 y 1 para el correcto funcionamiento de un sistema digital o un computador. 2.- Cual es el objetivo de utilizar el álgebra de Boole. El objetivo era usar el álgebra de Boole para poder manejar los sistemas y computadores de una manera más fácil y sencilla, donde solo se necesitaran de dos posibles respuestas para ejecutar operaciones, un 1(si) o un 0 (no). 3.- Cuales son las propiedades principales en el álgebra de Boole.

4.- Que nos representa el esquema (lógigrama) a base de compuertas. Nos presenta una operación lógica, la cual debe de cumplir la operación del algebra de Boole. 5.- En la minimización de una ecuación solo se puede obtener un solo modelo de lógigrama. No, de hecho por diferentes propiedades podemos obtener más de una solución o reducción. 6.- Que son y para qué sirven las tablas de la verdad Sirven para rectificar las operaciones lógicas dependiendo del número de variables. 7.- Que es el teorema De Morgan El teorema de Morgan habla sobre el cambio de operación al negar 2 variables.

8.- Cuales son las compuertas lógicas básicas para el diseño de sistemas lógicos AND, NOT y OR

Conclusiones Emmanuel Roé Cordero Esta práctica es muy importante, ya que conocimos el álgebra de Boole y sus teoremas, los cuales son fundamentales para el inicio de la electrónica y los sistemas lógicos, los cuales son muy importantes en la carrera de un biomédico. Conclusiones de Isaac Yair mendoza Pérez El Algebra de Boole es muy importante para la simplificación de los circuitos lógicos combinatorios, ya que de las funciones que se proponen, ayudan a ahorrar tiempo y presupuesto económico al momento de ensamblar el circuito. Así mismo, el álgebra de Boole es indispensable para simplificar los circuitos Conclusiones de Marquito Lo mismo que ellos x2 :v Haha te estimo amigo