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INTRODUCCION:

Para comprender qué es el álgebra booleana es necesario entender el concepto de álgebra y saber quién fue George Boole. Sobre el álgebra, podemos decir que es la rama de las matemáticas que apela a la generalización de las operaciones aritméticas utilizando signos, letras y números. Estos elementos se encargan de la representación de entidades matemáticas mediante el simbolismo.

Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones b ́asicas son OR (+) y AND (-).

Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal.

OBJETIVOS GENERALES:

Que el alumno sea capaz de: 

Conocer herramientas y técnicas para resolver una tabla de verdad atreves de algebra de Boole.



Resolver problemas de algebra de Boole.



Que el alumno aprenda a utilizar adecuadamente las diferentes leyes de Boole

DESARROLLO DEL TEMA: El británico George Boole (1815-1864), por su parte, fue un destacado matemático que está considerado como uno de los pioneros en el desarrollo de las ciencias de la computación. Sus aportes teóricos dieron lugar a la especialización que se conoce como álgebra de Boole o álgebra booleana. El británico George Boole (1815-1864), por su parte, fue un destacado matemático que está considerado como uno de los pioneros en el desarrollo de las ciencias de la computación. Sus aportes teóricos dieron lugar a la especialización que se conoce como álgebra de Boole o álgebra booleana. Es más, incluso se le atribuye a este matemático y lógico británico ser el padre de lo que son los operadores lógicos simbólicos. Por eso, para muchos especialistas, sin lugar a dudas, gracias a ello hoy se puedan realizar todo tipo de operaciones lógicas, sí gracias a elementos de tipo simbólico. Boole propuso un esquema o sistema para la expresión simplificada de problemas lógicos a través de dos estados (falso o verdadero) mediante un procedimiento matemático. A esta estructura se la denomina álgebra booleana. A través del sistema ideado por Boole, se utilizan símbolos para el desarrollo de las operaciones lógicas “SI”, “NO”, “O” e “Y” (o “YES”, “NOT”, “OR” e “IF” en inglés), que de este modo pueden esquematizarse. Este es uno de los pilares de la aritmética computacional y de la electrónica. Puede decirse que el álgebra booleana apela a nociones algebraicas para el tratamiento de enunciados de la lógica proposicional. Las operaciones más habituales son las binarias, que requieren de dos argumentos. Se llama conjunción lógica al resultado verdadero que se obtiene cuando los dos enunciados son verdaderos: si A es verdadero y B es verdadero, la conjunción de A y B será verdadera. Además de todo lo expuesto, podemos señalar que también se realizan otras operaciones

tales

como

las

siguientes:

-Operaciones nularias, donde cobran protagonismo tanto la contradicción como la tautología. Podemos establecer que las mismas se caracterizan por el hecho de que vienen a devolver un valor sin necesidad de que exista ningún tipo de argumentos.

-Operaciones unarias. Estas otras son las que vienen a definirse por el hecho de que necesitan un único argumento para presentar un resultado. Además de esto también hay que subrayar que pueden ser de dos tipos: de negación o de identidad. No menos importante es conocer otra serie de aspectos relevantes acerca de la algebra

booleana,

entre

los

que

podemos

destacar

los

siguientes:

-Las operaciones tienen que realizarse siguiendo una jerarquía, ya que es la manera de que puedan dar el resultado correcto. Con esto nos referimos a que, por ejemplo, si hay paréntesis se debe resolver primero lo que hay dentro de esos y

luego

continuar

realizando

la

operación

hacia

“fuera”.

-En el caso de que existan varias operaciones con la misma jerarquía, tanto si se acometen de izquierda a derecha como de derecha a izquierda el resultado será idéntico.

En el a ́ lgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

1) Conmutatividad:

𝑋+𝑌 =𝑌+𝑋 𝑋∗𝑌 = 𝑌∗𝑋 2) Asociatividad:

𝑋 + (𝑌 ∗ 𝑍) = (𝑌 + 𝑋) + 𝑍 𝑋 ∗ (𝑌 ∗ 𝑍) = (𝑌 ∗ 𝑋) ∗ 𝑍

3) Distributividad:

𝑋 + (𝑌 ∗ 𝑍) = (𝑌 + 𝑋) ∗ (𝑋 + 𝑍) 𝑋 ∗ (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 ∗ 𝑋) + (𝑍 ∗ 𝑋)

4) Elementos Neutros (Identidad)

𝑋+0=𝑋 𝑋∗1=𝑋

5) Complemento:

𝑋 + 𝑋̅ = 1 𝑋 ∗ 𝑋̅ = 0 6) Dominación: 𝑋+1=1

𝑋∗0=0

7) Idempotencia: 𝑋+𝑋 =𝑋 𝑋∗𝑋 =𝑋

8) Doble complemento 𝑋̿ = 𝑋

9) Absorción: 𝑋+𝑋∗𝑌 =𝑋 𝑋 ∗ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋

10)

DeMorgan ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴̅ + 𝐵̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 + 𝐵 = 𝐴̅ ∗ 𝐵̅

Algebra de Boole

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 0 1 0 1 0 1 1

𝐹1 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴(𝐶̅ + 𝐵𝐶) 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴(𝐶̅ + 𝐵)(𝐶̅ + 𝐶) 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶̅ 𝐹 = 𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴) + 𝐴𝐵 𝐹 = 𝐶̅ + 𝐴𝐵 𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 0

𝐹2 = 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶 + 𝐴𝐵̅𝐶 + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐴̅𝐵(𝐶̅ + 𝐵) + 𝐴𝐵̅𝐶 + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐴̅𝐵 + 𝐴𝐵̅𝐶 + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐵(𝐴̅ + 𝐴𝐶̅ ) + 𝐴𝐵̅𝐶 𝐹 = 𝐵(𝐴̅ + 𝐴)(𝐴̅ + 𝐶̅ )𝐴𝐵̅𝐶 𝐹 = 𝐵𝐴̅ + 𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 0 1 0 1 0 0 1

𝐹3 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴𝐵̅) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴)(𝐴̅ + 𝐵̅) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐶̅ 𝐴̅ + 𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 1 0 1 0

𝐹4 = 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶 + 𝐴𝐵̅ 𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐴𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴̅𝐵(𝐶̅ + 𝐶) 𝐹 = 𝐴𝐶̅ + 𝐴̅𝐵

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 1 1 0 0 0 0 1

𝐹5 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵̅𝐶 + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅(𝐶̅ + 𝐶) + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅(𝐵̅ + 𝐵𝐶̅ ) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅(𝐵̅ + 𝐵)(𝐵̅ + 𝐶̅ ) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 0 1 0 1 0 0 0

𝐹6 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶̅ 𝐹 = 𝐵̅𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴) + 𝐴̅𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐴̅𝐵) 𝐹 = 𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐴̅)(𝐵̅ + 𝐵) 𝐹 = 𝐶̅ 𝐵̅ + 𝐶̅ 𝐴̅

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 0 1 0 0 1 1 1

𝐹7 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵 𝐶̅ + 𝐴̅𝐵̅𝐶 + 𝐴𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ (𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴𝐶(𝐵̅ + 𝐵) + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵𝐶̅ 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴(𝐶 + 𝐵𝐶̅ ) 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴(𝐶 + 𝐵)(𝐶 + 𝐶̅ ) 𝐹 = 𝐴̅𝐶̅ + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 0 0 1 1 1 1

𝐹8 = 𝐴𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵̅𝐶 + +𝐴𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴𝐵̅(𝐶̅ + 𝐶) + 𝐴𝐵(𝐶̅ + 𝐶) 𝐹 = 𝐴𝐵̅ + 𝐴𝐵 𝐹 = 𝐴(𝐵̅ + 𝐵) 𝐹=𝐴

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 1 1 0 0 0 1 1

𝐹9 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴̅𝐵̅ 𝐶 + 𝐴̅𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅(𝐶̅ + 𝐶) + 𝐵𝐶̅ (𝐴̅ + 𝐴) + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐵(𝐶̅ + 𝐴𝐶) 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐵(𝐶̅ + 𝐴)(𝐶 + 𝐶̅ ) 𝐹 = 𝐴̅𝐵̅ + 𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 0 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 1 0 0 0 0 0 1 1

𝐹10 = 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶̅ + 𝐴𝐵𝐶 𝐹 = 𝐴𝐵(𝐶̅ + 𝐶) + 𝐴̅𝐵̅𝐶̅ 𝐹 = 𝐴𝐵 + 𝐴̅𝐵̅𝐶̅

𝑹𝑬𝑺𝑼𝑳𝑻𝑨𝑫𝑶

CONCLUSIONES: El álgebra de Boole es muy importante pues es la base de toda la electrónica digital. Hoy en día significa que desde tu reloj, hasta internet, no funcionarian sin este ingenio matemático. Es justo decir que sin ella, no existiría el mundo actual tal y como lo conocemos. El álgebra de Boole nos permite simplificar hasta su más mínima expresión las funciones de una tabla de verdad típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa y verdadero en cualquier caso. En nuestro caso se dan problemas de tablas de verdad y agarramos las funciones que tengan 1 y de ahí lo reducimos a su más mínima expresión con el álgebra de Boole