• Author / Uploaded
• ArelysParra

Citation preview

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Nacional Experimental Rómulo Gallegos Área de Ingeniería, Arquitectura y Tecnología. Cátedra: Cálculo IV Estado Guárico

PROF:

ESTUDIANTES:

Alí Álvarez Balletta Génesis C.I. 23.564.910 Ojeda Gabriel C.I. 23.564.118 Parra Arelys C.I. 24.237.067 Sección 1

San Juan de los Morros, Enero 2015

Ecuación Diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta función fue transformada por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, es una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución

y 1−n=w

, que se caracteriza por adoptar la forma:

dy + p ( x ) y=f (x ) y n dx Donde:  

p(x) y f(x) son funciones continuas en un intervalo abierto. n es un numero real

n≠0



Para después realizar la sustitución:

w= y 1−n

La ecuación en Términos de la Diferencial quedaría de la siguiente forma:

dy + ( 1−n ) p ( x ) w= (1−n ) f ( x) dx Método de solución Sea la ecuación:

1 1 y ´ + y= (1−2 x) y 4 3 3 Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación diferencial cumple con la forma ordinaria.

1 1 2x p ( x )= f ( x )= − n=4 3 3 3

→ Nota: Todo esto va relacionado con la forma ordinaria de la

ecuación Solución En este punto sacaremos el valor de w

w= y 1−n → w= y 1−4 → Por lo tanto: w= y−3 Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:

dy + ( 1−n ) p ( x ) w= (1−n ) f ( x) dx

dw 1 1 2x −3 w=−3 − dx 3 3 3

()

(

dw −w=−1+2 x dy

)

→ Resolvemos los paréntesis y queda:

→ Nota: Para sacar el valor integrante se considera el valor de

p(x)

en la expresión diferencial.

Ahora determinemos el factor integrante:

u=e∫

p(x)dx

→ u=e∫

−dx

−x

→ u=e

→ Factor Integrante

Ya que tenemos el factor integrante aplicamos la siguiente fórmula:

w=

1 u f ( x ) dx u∫ Evaluamos la ecuación:

w=

1 e−x (−1+2 x ) dx ] −x [∫ e

x e−x dx −∫ e−x dx +2∫ ¿ 1 w= −x ¿ e

; y nos queda:

Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes, entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de:

∫ x e−x dx u=x dv=e−x −x

du=dx v=∫ e dx → Cambio de Variable → u=−x → du=−dx →−du=dx u

u

−∫ e du →−e +c →−e +c → v=−e + c −x

Aplicamos la Formula de Integrales por Partes:

u . dv=x .−e−x −∫ −e−x dx −x e +∫ e dx −x

−x

−x

u . dv=u . v−∫ v du

−x e−x + (−e−x + c ) → ∫ x e−x dx=−x e−x −e−x +c

w=

1 [−(−e−x )+ 2(−x e−x−e−x+ c)] −x e w=

1 −x [ e −2 x e− x −2 e−x + c ] −x e w=1−2 x−2+c e

x

w=−1−2 x+ c e x Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de −3

y =−1−2 x+ c e

−3

w= y

x

1 1 =−1−2 x +c e x → y 3= 3 y −1−2 x +c e x

√

y= 3

1 −1−2 x +c e x

Ecuación Diferencial de Riccati Es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacop Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D´Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecución de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Golbach, Juan Nicolás y Bernoulli, y posteriormente, a Eule. Generalmente esta ecuación está dada de la siguiente forma:

dy =P ( x ) y+Q ( x ) y 2+R ( x ) dx Dada una Ecuación Diferencial:

y 2 2 y ´ −2 x − =−2 y x

Se rescribe la Ecuación como:

y ´ −2 x 2−x−1 y=−2 y 2 y ´ =2 x 2+ x −1−2 y 2 y ´ =x−1 y −2 y 2 +2 x 2

→ La cual tiene forma:

dy =P ( x ) y+Q ( x ) y 2+ R( x) dx

Donde:

P ( x )=x −1 ; Q ( x )=−2 ; R ( x )=2 x 2 Solución: Para obtener la solución general se debe llevar la ecuación de Riccati a una ecuación de Bernoulli para luego resolverla. Esta transformación se consigue haciendo el cambio de variable;

y=x +u

se tiene que

1+

1+

dy du =1+ dx dx

De donde;

du −1 2 2 =x ( x+ u )−2 ( x+ u ) + 2 x dx

du −1 2 2 2 =1+ x −2 ( x +2 xu+u ) +2 x dx

1+

du =1+ x−1 u−2 x 2−4 xu−2 u2 +2 x 2 dx

1+

du =1+ x−1 u−2 x 2−4 xu−2 u2 +2 x 2 dx

du =−1+1+ x −1 u−2 x 2−4 xu−2 u2 +2 x 2 dx du −1 =x u−4 xu−2 u2 dx

x (¿¿−1−4 x)u−2 u2 du =¿ dx x (¿¿−1−4 x) u=−2u 2 du −¿ dx du −1 2 +(4 x−x )u=−2u dx

La cual tiene forma

du + p ( x ) u=f (x) un que corresponde a una ecuación diferencial de dx

Bernoulli, con n=2

w=u1−n

Realizando sustitución:

→

w=u1−2

→

w=u−1

La ecuación en Términos de la Diferencial queda de la siguiente forma:

du + (1−n ) p ( x ) w=( 1−n ) f ( x) dx Remplazando se llega a:

dw −1 ( 4 x−x −1 ) w=−1 (−2 ) dx dw + ( x−1 −4 x ) w=2 dx

La cual corresponde a una ecuación lineal de la forma

Donde;

p ( x )= ( x−1 −4 x )

;

dw + p ( x ) w=f ( x ) dx

f ( x )=2

Buscamos el factor integrante, para ello determinemos

u=e∫

p(x)dx

→

u=e∫

( x−1− 4 x ) dx

u=e Lnx−2 x

2

→

→

∫ 1x dx− 4∫ xdx

u=e

u=e Lnx e−2 x

2

→

→

u=xe−2 x

u=e 2

4 2 Lnx− x 2

Ya que tenemos el factor integrante aplicamos la siguiente fórmula:

w=

1 u f ( x ) dx u∫

Sustituimos en la solución general:

w=

1 x e−2 x

w=

1 2∫ x e−2 x dx −2 x xe

2

2

∫ 2 x e−2 x dx 2

2

Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacer un cambio de variable: 2

2∫ x e−2 x dx

u=−2 x 2 1 du=−4 x dx →− du=x dx 4 2

−1 1 u 1 −2 x u e du →− e + c →− e +c ∫ 2 2 2 w=

1 −1 −2 x e +c −2 x 2 xe 2

(

2

) −1

u =

Pero

y=x +u ; donde

1 xe

( −12 e

−2 x2

2

−2 x

+c

)

y−x=u ( y−x )−1=

1 −1 −2 x e +c xe−2 x 2 2

(

2

1 1 −1 −2 x = e2 x e +c y −x x 2 2

(

2

)

)

x −1 −2 x =e2 x e +c y −x 2 2

(

2

x −1 1 =e2 x +c y −x 2 e2 x

)

x 2 x −1 1 =e +c y −x 2 e2 x

)

2

2

(

2

(

2

x −1 = +c e2 x y −x 2

(

y−x=

2x 2

( c e 2 x −1 )

2

)

x

(

y−x=

y=

)

2

c e2 x −

1 2

)

2x 2

( c e 2 x −1 )

+ x → Ecuación General

Ecuación Diferencial de Clairaut Esta ecuación llamada así en honor al matemático francés Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiarla se resuelve mediante una sustitución simple función a encontrar para sustituir en la ecuación original y resolverla.

dy =p donde p es una dx

La ecuación se representa de la siguiente forma:

sustitución del cambio de variable

dy =p dx

y=x

dy dy +f dx dx

( )

la ecuación de Clairaut, se expresa como:

y=xp+ f ( p) Dada una ecuación diferencial:

6 x 2+2

6 x 2+2 ( p )2 y−( p )3 x=0 Se despeja y

2 p 2 y= p3 x−6 x 2

2 y=

p3 x−6 x 2 p2

2 y=

p3 x 6 x 2 − 2 2 p p

2 y= px−

6 x2 p2

Se deriva con respecto a x

2

dy dp 12 x 12 x 2 dp = p+ x − 2 + 3 dx dx p p dx

dy 2 dy 3 y− x=0 con dx dx

( ) ( )

Se realiza el cambio de variable

p=

al realizar la

dy dx

;

p=

dy dx

Nuevamente se realiza el cambio de variable

dp 12 x 12 x 2 dp 2 p= p+ x − 2 + 3 dx p p dx

Se iguala a 0 para eliminar p

p−2 p+ x

dp 12 x 12 x 2 dp − 2 + 3 =0 dx p p dx 2

p=x

dp 12 x 12 x dp − 2 + 3 dx p p dx Se multiplica por

3

3

p. p =p x

4

3

p =p x

p3

dp 12 p 3 x 12 p 3 x 2 dp − + dx p2 p 3 dx

dp 2 dp −12 px +12 x dx dx

Se iguala a 0 y se agrupan términos 4

3

p −p x

dp 2 dp +12 px−12 x =0 dx dx p

(

(¿¿ 4 +12 px )− p 3 x

dp dp +12 x 2 =0 dx dx

¿ Se realiza factor común

)

p=

dy dx

3

3

p ( p + 12 x )−( p +12 x ) x

dp =0 dx

( p3 +12 x ) p−x dp =0

(

dx

)

Así pues;

( p3 +12 x ) =0

p−x

Sí

dp =0 dx

p=x

se tiene que,

( p−x dpdx )=0

o

dp dx

donde

dp dx = p x

p=Cx Se reemplaza en la ecuación original 2

2

6 x 2+2 p2 y− p3 x =0

3

6 x +2(Cx) y−(Cx) x=0 2

2

2

3

4

6 x +2 C x y −C x =0 Se cumple que

p3 +12 x=0 3

p =−12 x

p=√3 −12 x

Se reemplaza 2

3

3

3

6 x 2+2 ( √−12 x ) y−( √ −12 x ) x=0 3

6 x +2 √ 12 x y −(−12 x ) x=0 2

2

2

3

6 x 2+2 √ 122 x 2 y +12 x 2=0 3

2 √ 122 x2 y +18 x 2=0

Donde;

p=√3 −12 x

por lo tanto

2

√3 122 x 2 y= −182 x √3 122 x 2 y=−9 x 2 y=

−9 x2 2

√3 122 x 3 4

−9 y= 3 2 x 3 √ 12