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• Sam Elias

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Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Industrial Ingeniería Industrial Laboratorio de Dinámica Aplicada Asignación 2

Tema: Sistemas dinámicos de 1er Orden

Integrantes: Elvia Berrocal 8-913-422 Ariadne Mirones 8-939-1631

Grupo: 1-II-135 Grupo C

Profesor: David Lee

Fecha de entrega: Lunes 18 de mayo del 2020

1er Semestre 2020

Introducción

La función de transferencia de un sistema de primer orden se caracteriza por tener el polinomio del denominador de primer grado. En función de cómo sea el numerador, se consideran tres tipos de sistemas de primer orden por ejemplo el sistema de primer orden sin cero: tiene una constante como numerador. 𝒀 (𝒔)

𝒌

G(s) = 𝑼 (𝒔) = 𝟏+𝝉∗𝒔 Los parámetros que aparecen en la función de transferencia son la ganancia K, que coincide con la ganancia estática G(0), y la constante de tiempo τ. La ganancia estática K puede tener cualquier signo, sin embargo, para que este sistema sea estable se debe cumplir que τ > 0. La capacitancia térmica de los materiales, cuya temperatura se desea controlar. Esta capacitancia depende de la masa y del Calor Específico del material. Ct = M. C Aquí también se va a emplear el programa Scilab XCos el cual es un software libre para cálculo numérico que proporciona un entorno de computación poderoso, para aplicaciones de ingeniería y científicas., en este laboratorio lo vamos a utilizar para analizar sistemas dinámicos de 1er Orden y sus aplicaciones.

Objetivos Objetivo general Conocer y manejar el programa Scilab Xcos, como una herramienta que permite analizar sistemas dinámicos de 1er Orden y sus aplicaciones Objetivos específicos • • •

Conocer el entorno de Scilab Xcos, como un programa para el modelaje y simulación de sistemas dinámicos. Conocer las respuestas de los sistemas de primer orden, ante diversos tipos de entradas. Aplicar el modelo del sistema de primer orden, para modelar un sistema físico de 1er orden.

Materiales y equipos 1- Video Beam y computadores con el programa Scilab Xcos instalado.

Procedimiento

1. Entre al programa Scilab Xcos y abriendo una nueva hoja de trabajo, revise las herramientas existentes en los diferentes iconos mostrados: Continuous time Systems, Mathematical Operations, Sinks, Sources Para ello arrastre los diferentes símbolos de las herramientas y colóquelos en la hoja de trabajo ya abierta. Observe la función que tienen y como pueden estos símbolos ser conectados entre sí, para construir sistemas más complejos. (Probar: bloques de ganancia, integradores, sumadores, funciones de entrada dispositivos de salida, etc.)

2. Construya el siguiente diagrama de bloques y verifique la respuesta o salida, al aplicar las mismas entradas (Escalón y Rampa) a ambos circuitos y grafique estas respuestas. ¿Qué se puede concluir de los gráficos obtenidos? ¿Hay alguna relación entre las funciones de salida obtenidas? Emplee la función escalón con una magnitud de 10; mientras que en el caso de rampa, la pendiente de 2 .

Debemos usar:

Desarrollo: Escalón

Gráfica

Rampa

Gráfica

¿Qué puede concluir de los gráficos obtenidos? Pudimos concluir que la gráfica de rampa va a tener un límite finito con respecto a la gráfica obtendrá mientras que en la gráfica de escalón apreciamos que esta tendera al infinito con respecto a su amplitud. ¿Hay alguna relación entre las funciones de salida obtenidas? La relación que podría existir seria la transformada de la place del numerador, ya que la señal de entrada es distinta, esta conclusión en base a las gráficas. 3. Aplique al sistema anterior una entrada del tipo Escalón y Verifique el gráfico de la salida Y(t), evaluando la función en dos valores distintos de “τ”. Represente estas salidas en el mismo gráfico. Emplee: τ = 0.5, 1 y 4 ¿Qué diferencias observa entre los gráficos? Para 𝞽 = 0.5

Gráfica

Para 𝞽 = 1

Gráfica

Para 𝞽 = 4

Gráfica

¿Qué diferencia observa entre los gráficos? La diferencia que se puede observar es que en el gráfico de rapa crece exponencialmente a medida que la señal de entrada va aumentando, y por otro lado la gráfica de escalón unitario al alcanzar cierto valor de Y de la señal de entrada permanece en un valor constante lineal hasta el infinito. 4. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: τ. dy/dt + y = 10 u(t) utilice los valores de “τ” antes indicados. Compare los resultados analíticos con los gráficos obtenidos mediante Scilab, y anote sus observaciones. 𝑡

𝑑𝑦 + 𝑦 = 10𝑈(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦 10𝑈(𝑡) + = 𝑑𝑡 𝑡 𝑡

𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑄(𝑡) 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑃(𝑡) =

1 10 𝑦 𝑄(𝑡) = 𝑡 𝑡

1

𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑦 = 𝑒 −𝑙𝑛𝑡 ∫

10 − ∫1𝑑𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑡 10 −𝑙𝑛𝑡 𝑒 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑡

𝑦 = 𝑡 −1 ∫

10 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑡2

𝑦 = 𝑡 −1 [−

10 + 𝐶] 𝑡

5. Aplique al sistema anterior una entrada del tipo Rampa y Verifique el gráfico de la salida Y(t), evaluando la función en dos valores distintos de “τ”. Represente estas salidas en el mismo gráfico. Emplee: τ = 0.5, 1 y 4 ¿Qué diferencias observa entre los gráficos?

Para 𝞽 = 0.5

Gráfica

Para 𝞽 = 1

Gráfica

Para 𝞽 = 4

Gráfica

6. Seleccione un sistema físico de primer orden (Circuito RC, Neumático, Hidráulico o Térmico) para simular su comportamiento, mediante Scilab y compare los resultados obtenidos con la solución analítica o exacta, obtenida al resolver la ecuación diferencial del sistema.

Del siguiente sistema realizando el balanceo de masa se obtiene: d(VC) = 𝑑𝑡

𝑣𝐶𝑖𝑛−𝑣𝐶

d(C) v = 𝑑𝑡 V

𝐶𝑖𝑛 − 𝐶

v V

En un estado estacionario se obtiene que dC/dt=0 ; Cs=Cin d(C−Cs) 𝑑𝑡

v

v

= V (𝐶𝑖𝑛−𝐶𝑖𝑛𝑥) − V (𝐶−𝐶𝑠)

v d(C−Cs) +(𝐶−𝐶𝑠)=(𝐶𝑖𝑛−𝐶𝑖𝑛𝑥) V 𝑑𝑡

Ahora teniendo en cuenta el escalón de magnitud ΔU a tiempo=0 𝐿[Δ𝑈]=

ΔU s

kΔU

𝑌(𝑠)= s(τs+1)

Ahora tomando en cuenta un tanque de V=5m3 con una v=1 m3/min considerando un cambio en la concentración de entrada de 1.25mol/m3 a 1.75mol/m3 Tendremos que:

0.5

𝑌(𝑠)= s(0.5+1)

Gráfica

Conclusión

Un sistema dinámico de primer orden describe su comportamiento y su tendencia o estabilidad mediante los dos factores (T y K), la constante del tiempo y la ganancia del sistema, los cuales nos indicarán en que tiempo y momento serán estables o si no lo serán. Los sistemas se comportaran dependiendo de la perturbación a la cual sea sometida, y esta misma dará a conocer si es estable o no lo es, con el simple hecho de ya conocer el tipo de grafico que dará el sistema puede dar cuenta mucho antes de graficar el tipo de comportamiento y su tendencia a seguir, y por conclusión si el sistema es estable y si nos conviene su estudio o no, dicho comportamiento estable es el que nos servirá para entender el sistema y saber si es seguro.

Bibliografía

Portillo L., D. E. (2015). Dinámica Aplicada: Guía de Laboratorio. Panamá: Editorial Tecnológica.