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• Robert Carrillo Zeña

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Colegio Pre-Universitario Paul Groussac 5° SECUNDARIA

1

TEMA N° 6 REGLA DEL TANTO POR CIENTO TANTOS: Se llama así a la cantidad de partes iguales que se toma de un total. CUANTO: Se llama así a la cantidad de partes iguales que se ha dividido el total. se toma a partes iguales

............. se ha dividido en las partes iguales

El a por b de N = a b

Ejemplo: (1)

El 2 por 7 de 21 = 2 . 21 = 6 7

(2)

En el aula N° 807, hay 60 alumnos, donde los varones son el 3 por 20 ¿Calcule la cantidad de mujeres?

Solución: V = 3 . 60 = 18 10 M = 42

Observación: La Palabra

ARITMETICA

2do. Período

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2

El ... por ... (Nos indica una división)

TEMA N° 7 REGLA DEL TANTO POR CIENTO El

a

por ciento de

a % 

N = a%N = a N 100

a 100

1%

 

1 100

Equivalencias: * 25%



* 100%   1

1 4

* 12,5%   1

* 50%   1 2

8

Así mismo:

* 3 . 100% 5 * 5

. 100%

  60%

)

  166, 6 %

3 Ejemplos: (1)

Calcular el 20% de 800 Solución: 20% . 800 = 20 . 800 = 160 100

(2)

¿Qué tanto por ciento de 400 es 20 Solución:

ARITMETICA

a% 400 = 20 2do. Período

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3

a% = 20 . 100% 400 a% = 5% (3)

¿De qué número el 20% es 80 Solución:

20% N = 80 20 N = 80 100 N = 400

Porcentaje: Es el resultado que se obtiene al aplicar el tanto por ciento a una cantidad. Ejemplo:

20% 500 = 100 tanto por cantidad ciento

porcentaje

Observaciones:  100% N = N  El a% del b% del c% de N = a% . b% . c% . N  Las palabras ... De............. ....Del............ ....De los ......

Indica Multiplicación

Ejemplo: Si al 40% del 70 por 10 del 50% de un número, se le suma el 1 por 5 del 50% del mismo número resulta. 1500. Calcule el número. Solución: 40 . 70. 50 N + 1 . 50 N = 1500 100 10 100 5 100 14 N 10

ARITMETICA

+ 1 N = 1500 10

2do. Período

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4

15 N = 1500 10 N = 1000 Operaciones con Porcentaje: (Para una misma cantidad) Adición: * 30% N + 25% N = 55% N  N

+ 20% N = 120% N

100%N

 a% N + b% N + c% N = (a+b+c) % N Sustracción:  60% N - 20% N = 40% N  N - 30% N = 70% N 100%N

 a% N - b%N

= (a-b) %N

Multiplicación: * 3 (20% N) = 60% N

* 50% (2N) * 25 (3% N) * a (b% N)

= 100% N = 25% (3N) = 75% N = a% (b.N) = (ab)%N

Aumento Sucesivos: Ejemplo:

¿A qué aumento único equivale 3 elementos sucesivos del 20%, 40% , 50%? 20%

20%

ARITMETICA

140%(20%P) 40%

150%/(140%20%P)) 50%

2do. Período

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5

P Al inicio

Al final

150%(140% (20%P)) = 252%P

=

P + 152% P

 El aumento único = 152% Descuento Sucesivo: ¿A que descuento único equivale 3 descuentos sucesivos del 20% 30% 50%?

80% - 20%

70%(80%)N - 30%

50%(70%(80%N)) - 50%

N Al inicio

Al final

50% (70% (80% N) ) = 28% N = N - 72% N

 El Descuento único = 72% APLICACIONES COMERCIALES Gráficamente: G

Pe

D

PV

PF

Aumento

PF Pv Pv Pv

= = = =

ARITMETICA

Pc Pc Pc Pf

+ Aumento +G - pérdida - D

 PV  Pc  PV  Pc

2do. Período

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Donde: Pf Pv Pc G D

6

: Precio fijado o lista : Precio de venta : Precio de Costo : Ganancia : Descuento PRACTICA

1.-

Un comerciante vende 40% de su mercadería y gana el 25%. El 40% del resto lo vende de igual modo; pero otorgando un descuento del 24% del precio de venta. Lo que quedaba lo vendió ganando el 5% del costo. ¿Cuánto ganaría por cada S/. 50 de inversión? A) S/. 4,7

B) S/. 5,3

C) S/. 4,8

D) S/. 9,6

2.-

E) S/. 2,4

A un número se le hace 3 descuentos sucesivos del 25%, 20%, 20%; al número que resulta se le hace 3 incrementos sucesivos del 60%, 25% y 20% resultando un número que se diferencia de él en 608. Halle el número original. A) 4 000

B) 2 900

C) 4 200

D) 5 100

3.-

E) 4 500

En una reunión se observa que el 40% de los varones tiene menos de cinco años de antigüedad, así como el 75% de las mujeres; además la

)

cantidad de varones representa el 66, 6 de la cantidad de mujeres. ¿Qué

ARITMETICA

2do. Período

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7

tanto por ciento de los trabajadores tiene por lo menos 5 años de antigüedad?. A) 36%

B) 37%

D) 39% 4.-

C) 38% E) 40%

El precio de un artículo se aumenta un tanto por 80 y luego se rebaja el mismo tanto pero por 90, y se tiene así el precio original. Halle dicho tanto. A) 12

B) 10

D) 15

5.-

C) 11 E) 20

Al subir en 25% el costo de los artículos de un comerciante, sube también en 25% el precio de venta de sus artículos obteniendo de esta manera una ganancia adicional de S/. 3 200 en los 640 artículos que logró vender. ¿Cuál era la ganancia por artículo al inicio? A) 18

B) 20

D) 22

6.-

C) 25 E) 30

En la edición de un libro, el costo original representa el 35% del costo del libro, el pago de la mano de obra representa el 25%, el costo de fabricación el 30% y la ganancia se estima en el 10%. ¿En cuanto será preciso aumentar el costo de dicho libro, si el papel aumenta en el 60%, la mano de obra en el 50%, el costo de fabricación en el 45% y la utilidad es 15%. A) 32,5%

ARITMETICA

B) 8,5%

C) 48,5% 2do. Período

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8

D) 52,5%

7.-

E) 58,5%

Una de las dimensiones de la base de una pirámide rectangular disminuye en un 1/10 de su magnitud, la otra aumenta en 1/5 de su valor. Si la altura aumentó en 15% de su valor, ¿en qué tanto por ciento aumentó el volumen de la pirámide? A) 24,2%

B) 31,2%

D) 17,2%

8.-

C) 1,2% E) 18,5%

El fabricante de un producto gana el 10%, el mayorista, el 20% y el minorista, el 30%. Si el consumidor adquiere el producto a S/. 858, averigüe el precio de costo de éste. A) 450

B) 348

D) 500

9.-

C) 530 E) 610

En una reunión, las mujeres representan el 150% de los varones y los que bailan representan el 80% de los que no bailan. Determine cuántas parejas deben dejar de bailar para que la cantidad de varones que no baila sea igual al número de mujeres que sí lo hace, considerando que la razón aritmética entre las cantidades de mujeres y varones es 153. A) 17 D) 36

ARITMETICA

B)34

C) 18 E) 21

2do. Período

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TEMA N° 8 REGLA DE MEZCLA 1.-

MEZCLA: Precio medio (P. m.): Llamado también precio, es aquel precio que no genera ganancia ni perdida.

Observación: El precio medio, es el precio de costo por una unidad de mezcla. Pm

=

costo total cantidad total

Ejemplo: Se mezcla tres tipos de café. Cantidad en Kgr 

Costo por Kgr.



20

S/. 3

30

50

S/. 5

S/.2

100Kgs

 Mezcla

Pm = 3 x 20 + 5 x 30 + 2 x 50 20 + 30 + 50 Pm = S/. 3.1

ARITMETICA

2do. Período

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10

Observaciones: Ganancia � �Perdida � � � �= � � aparente � � aparente � �

* menor

�

Pm

��

Pc

�

precio Pm

mayor precio

 PV = PM + Ganancia EN GENERAL: Cantidad



C1

C2

C3

C/U



P1

P2

P3

Pm

2)

= C1 P 1 + C 2 P 2 + C3 P 3 C1 + C 2 + C 3

MEZCLA ALCOHOLICA Caso particular de la mezcla donde intervienen el Alcohol puro y agua.

�pureza de � � � Volumen de Alcohol Puro %� alcohol �= = 100% Volumen Total �puro � � � Ejemplo: Se mezcla 8 litros de Agua y 24 litros de Alcohol puro. Calcule la pureza del alcohol de la mezcla Solución: 81 241

ARITMETICA

 Agua  Alcohol puro

2do. Período

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11

Pureza de Alcohol puro = 24 x 100% = 75% = 75% 32 Observaciones: * * *

(%)   ( °) Grado de Alcohol Puro : 100° Grado de Agua : 0°

Grado Medio (G.M.) En general: V1

V2

V3 .....

G1

G2

G3 .....

 Mezcla

Gm = G1V1 + G2V2 + G3 V3 + .... V1 + V2 + V3 + ....

Ejemplo:

Se mezcla tres tipos de Alcohol

60L

30L

10L

30°

20°

10°

100L

ARITMETICA

 Mezcla

2do. Período

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12

G.m. = 30°. 60 + 20°. 30 + 10° . 10 60 + 30 + 10 G.m. = 25° Observación:  Menor Grado

3)





Gm

Mayor Grado

Aleación: Es un caso particular de mezcla donde intervienen metales. Denominados metales finos: Oro, plata, platino, metales ordinarios: Otros.

Ley de una aleación:

(L)

Es la relación entre el Peso de Metal Fino y el Peso Total de la Aleación.

L=

Wf

.

O L  1

Wf + Wo

Donde: Wf = Peso del Metal Fino. Wo = Peso del Metal Ordinario. Liga de una aleación: ARITMETICA

(l) 2do. Período

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13

Es la relación entre el peso del metal ordinario y el peso total de la Aleación.

l o

=

Wo . O  l  1 Wf + Wo

Observación: L =0

l =1

* Si una Aleación no tiene Metal Ordinario : L = 1

l =0

* Si una Aleación no tiene Metal Fino :

*L+ l =1 * Para el Oro: Ley de Oro puro = 24 kilates

�Ley del Oro � K � �= en aleacion � � 24

donde: Ejemplo:

K =  de kilates

Se mezcla 40 gr de Oro. Con 60 gr. de cobre. Cobre Oro

60

40

Aleación 100 gr.

ARITMETICA

2do. Período

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14

�Ley de � 40 2 = = 0, 4 � �= Aleacion 100 5 � �

PRACTICA 1.-

Un comerciante compró tres clases de trigo: una de48 kg. que costó S/. 48, otra de 60 kg. que costó S/. 67,20 y la última de 36 kg que costó S/. 28,80. Al mezclarse, hubo una merma del 5% del peso total. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de mezcla resultante para ganar un 33%? A) 1,20

B)1,25

D) 1,35 2.-

C) 1,30 E) 1,40

Se desea vender a P soles el litro de alcohol de 70°, Se cuenta con agua destilada a S/. 1,40 el litro y alcohol de 98° a S/. 2,80 el litro. El costo de preparación de cada litro es 0,20 soles. Determine el valor de P, para ganar el 20% del costo. A) 2,80

B) 3,00

D) 3,20 3.-

C) 3,12 E) 3,50

Si se venden dos tipos de café en cantidades que están en la relación de 3 a 2 con un 20% de ganancia, se recaudaría lo mismo que si lo mezclamos en la relación de 2 a 3 y vendemos con 30% de ganancia. Determine la relación de los precios de ambos tipos de café. A) 1 a 2 D) 5 a 7

ARITMETICA

B) 2 a 3

C) 3 a 4 E) 1 a 1

2do. Período

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4.-

15

Una persona dispone para la venta diaria 200 litros de leche que compró S/. 2,00 el litro, luego se aumenta 50 litros de agua y después se vende 120 litros de la mezcla a S/. 2,00 y después se aumenta 20 litros de agua al resto, vendiendo la mezcla sin ganancia. ¿Cuál ha sido la ganancia media por litro de leche pura? A) 0,205

B) 0,308

D) 0,825

5)

C) 1,405 E) 0,875

Se tienen dos mezclas. En el primero, la relación entre los volúmenes de vino y agua es de 3 a 5, en el segundo es de 1 a 1. Se desea obtener 540 litros de mezcla en la cual la relación de volúmenes son de 7 a 11. ¿Cuántos litros del segundo se debe utilizar? A) 40

B) 45

D) 55 6)

C) 50 E) 60

Un comerciante compra 40 kg., 10 kg. y 5 kg de café crudo, cuyos precios son S/. 20, S/. 10 y S/. 18 respectivamente. Pero al ser tostado se desperdicia el 25% de la masa; sin embargo, su precio unitario aumenta en 25%. A cuánto debe vender el kilogramo de la mezcla para ganar el 25%. A) S/. 22,75 D) S/. 27,00

7)

B) S/. 37,50

C) S/. 17,25 E) S/. 21,50

Se tiene una mezcla alcohólica de 70° si la diferencia entre las cantidades de alcohol puro y agua es 60 litros, calcule el volumen de la mezcla.

ARITMETICA

2do. Período

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A) 150 D) 120

ARITMETICA

B) 160

16

C) 170 E) 180

2do. Período

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8)

17

¿Cuál es el volumen que debe extraerse de 80 litros de alcohol de 60° para que al reemplazarse por alcohol de 20°, se obtenga alcohol de 45? A) 20

B) 25

D) 35

9)

C) 30 E) 40

Se tiene tres tipos de aceite vegetal en igual cantidad cuyos precios por litros son S/. 3; S/. 4 y S/. 5. Si se extraen 4,1

y 1 litro de ellos

respectivamente; al mezclar las cantidades restantes se obtiene aceite de S/. 4,05 el litro, ¿cuál era la cantidad común inicial?. A) 20

B) 21

D) 23 10)

C) 22 E) 24

Erika tiene una botella de alcohol de 40° y para obtener alcohol de 54°, mezcla el contenido con 25% de la botella de Carmen. Si las botellas de Erika y Carmen tienen volúmenes en la relación de 3 a 8 respectivamente, determine el grado de pureza de la botella de Carmen. A) 60°

B) 65°

D) 75° 11)

C) 70° E) 80°

Se mezclan alcoholes de 40°, 60° y 50° en la proporción de 1, 5 y 4 respectivamente. En la mezcla se evapora una parte del alcohol puro equivalente al 4% del volumen total, calcule el grado alcohólico de la mezcla resultante. A) 52,0°

ARITMETICA

B) 52,5°

C) 52,08° 2do. Período

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D) 52,60°

12)

18

E) 52,98°

Calcule el peso en gramos de un litro de mezcla que contiene 40% de agua y 60% de alcohol puro, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de alcohol de 75° pesa 960 gramos. A) 956 g B) 960 g C) 968 g D) 988 g E) 1008,5 g

ARITMETICA

2do. Período

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19

TEMA N° 9 REGLA DEL INTERES 1)

Elementos: Capital Tiempo Interés Monto Tasa

2)

(C ) (t) (I) ( M) (r%)

: Período : Ganancia del capital :M=C +I : Es la utilidad que se obtiene por cada 100 unidades monetarias.

Interpretación de la Tasa: Que significa depositar al banco a una tasa: a) al 30% Bimestral

:

b) al 0,2% Trimestral

:

c) al 0,8%

:

por cada 2 meses se gana el 30% del capital Por cada 3 meses se ganara el 0,2% del capital. Por cada año se gana 8% del capital.

Observación: Respecto al tiempo. 3)

Un mes comercial  Un año comercial  Un año común  Un año bisiesto 

   

30 días 360 días 365 días 366 días

Tasas de Equivalencias: 3%

3%

3%

3%

1 mes

1 mes

1 mes

1 mes

6% 9% 12% 18% 36% 3 % ARITMETICA

Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Diario

3% 1 mes

(2 meses) (3 meses) (4 meses) (6 meses)

2do. Período

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4)

20

30 Interés Simple: Se denomina así cuando el capital permanece constante durante todo el tiempo que esta impuesto. Ejemplo. Se deposita al Banco 1000 a una tasa al 20% anual. Calcule el interés durante 3 años. Solución: C r%

= 1000 = 20%

1000

20% 200

M = C +

20%

20%

200

200

I

M = 1000 + 600 = 1600 I (1 Año) = 20% (1000) I (2 Años) = 20% (1000) x I (3 Años) = 20% (1000) x

= 200 2 = 400 3 = 600

I = r% C. T Observaciones:  La tasa y el tiempo deben de tener las mismas unidades de tiempo.  Interés DP tiempo.

ARITMETICA

2do. Período

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TASA TIEMPO 5)

ANUAL Año

21

SEMESTRAL Semestre

DIARIO Días

Interés Compuesto Es cuando el interés generado de capitalización se acumula al capital y forma parte del nuevo capital para el período siguiente.

M = (1 + r%)n . C

Ic = ((1+r%)n -1 ) C Donde:

n : período de capitalización.

Ejemplo: Se deposita S/. 1000 al banco a una tasa al 10% anual. Capitalizable anualmente. Durante 3 años. Calcule el interés total. Solución: Capitalización Anual Taza 10% 110% x 1000

(110%)2 1000

1100

1210

1000

(110%)3 1000

1331

10%

10%

10%

1 año

1 año

1 año

I2 = 110

I3 = 121

I1 = 100 ITOTAL

= I1 + I2 + I3 = 331

Observación: La tasa y la capitalización deben tener las mismas unidades de tiempo. ARITMETICA

2do. Período

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22

PRACTICA 1.-

En una reunión gerencial, 3 socios imponen una misma cantidad de dinero al 2% anual, 5% semestral y 4% mensual respectivamente. Si al final del año se retiran sus intereses y forman con estos otro negocio que le produce una ganancia total de S/. 113 000, además el tiempo en que éstos socios permanecieron en este negocio fue: 2 años, 3 años, 4 años respectivamente, encuentre la cantidad de dinero que cada socio invirtió inicialmente.

2.-

A)

48 000

D)

60 000

B) 36 000

C) 96 000 E) 50 000

Un capital de 72 000 se impone al 5%, durante cierto tiempo produce S/. 4 920 más que si se impusiera al 3,5%. Si dicho capital se coloca durante dicho tiempo a tasas del 4%, 3% y 2% por los años, meses y días enteros respectivamente, determine el interés generado.

3.-

A)

12 680

D)

10 286

B) 16 280

C) 18 260 E) 11540

Si el tiempo de imposición se triplica; pero la tasa se reduce a su mitad, para un mismo capital se observa que el interés varía en S/. 600. Además cuando se reduce el capital en su 80% y se incrementa la tasa en un 60%, manteniendo el tiempo el nuevo monto es S/. 1,000, determine el capital primitivo. A)

3 880

D)

3 080

ARITMETICA

B) 3 800

C) 3 460 E) 3 000

2do. Período

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4.-

23

Un capital de S/. 60 000 es impuesto al 3%. Al cabo de 15 meses se retira el interés y el 20% del capital para invertirlos en una transacción a una tasa de interés del 6%. Si al cumplirse dos años en total se retira todo y adquiere un terreno con todo el dinero, determine el costo del terreno.

5.-

A)

63 870

D)

63 971,25

B) 63 370

C) 37 380 E) 60 000

Un capital se divide en dos partes. La primera se impone al 5% y la segunda al 4% durante el mismo tiempo, observándose que el interés generado es proporcional al cabo de la tasa. Determine la relación de los intereses si se colocaran ambas partes a tasas 1,6% y 0,9% respectivamente, durante el mismo tiempo.

6.-

A)

2 000

D)

1 800

B) 1 280

C) 1 500 E) 1 000

Una persona se prestó el primero de abril cierta cantidad a una tasa del 30% y el 30 de julio del mismo año devolverá la suma de S/. 2 200. ¿cuánto es el dinero que se prestó?

7.-

A)

2 000

D)

1 800

B) 1 280

C) 1 500 E) 1 000

Los 3/7 de un capital se imponen al 5% durante 18 meses, el resto se impone al 3% durante 15 meses, obteniéndose un monto total de S/. 28.025. Calcule el interés total. A)

1 254

D)

1 452

ARITMETICA

B) 1 524

C) 1 425 E) 1 245 2do. Período

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8.-

24

Un capital se divide en dos partes, imponiéndose cada una al 8% y al 6% durante 15 meses y 16 meses respectivamente y se observa que los montos son iguales. Determine la relación entre los intereses generados por ambas partes.

9.-

A)

27/22

D)

21/20

B) 27/23

C) 25/22 E) 20/22

Un capital se coloca al 10% capitalizable trimestralmente, ¿qué tanto por ciento del capital se genera luego de medio año?

10.-

A)

18,36%

D)

12,30%

B) 5,38%

C) 5,0625% E) 16,5%

)

Si el 66, 6 % de 15 000 se impone al 20%. ¿Cuál es la tasa única a la que debe imponerse todo el capital para generar el mismo interés anual aproximadamente. A)

12%

D)

20%

ARITMETICA

B) 25%

C) 10% E) 10,5%

2do. Período

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25

TEMA N° 10 REGLA DE DESCUENTO 1)

Elementos Valor Nominal Valor Actual Fecha de Vencimiento Tiempo de Vencimiento Descuento

(Vn) (Va) (Fv) (Tv) (D)

Va = Vn - D Ejemplo: Se firma una letra de cambio de 540, que vence dentro de 6 meses, si se paga hacen un descuento de S/. 100. Calcular el Va de la letra.

440

D = 100

540

6 meses

Fv

Va = 540 - 100 = 440 2)

Clases de Descuento Descuento Comercial (Dc) Llamado descuento abusivo o externo se calcula respecto al Vn

Dc = r%

ARITMETICA



.

Vn

2do. Período

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26

Ejemplo: Se firma una letra S/. 1100 que vence de 4 meses descontable comercialmente al 5% bimestral. Calcular su valor actual. Tasa :

5% Bimestral

Dc = 110

Vn 1100

4 meses Dc = 5% . 2 . 1100 = 110 Vac = Vn - D = 1100 - 110 = 990 Descuento Racional (Dr) Llamado también descuento matemático o interno. Se calcula respecto al valor actual.

DR = r% . t . Va Ejemplo: Se tiene una letra de 11 000 que vence dentro de 4 meses, descontable racional al 5% bimestral, calcule el valor actual de la letra. Va 1000

Vn 1100

4 meses DR = 5% (2) Var = 10% Var Var = Vn - DR Var = 1100 – 10% Var Var = 1000 ARITMETICA

2do. Período

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27

Propiedades. (Para el mismo tiempo, tasa, Vn)

1)

2)

Dc



DR

Var



Vac

DR

= r% + Vn 1 +r %t

3)

Dc - DR = Var - Vac

4)

Dc - DR = r % t DR

5)

Vn = Dc . DR Dc - DR

ARITMETICA

2do. Período

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28

PRACTICA 1.-

El valor nominal de una letra es los 3/5 del valor nominal de otra ; se han descontado al 5% por un mes 12 días la primera y por dos meses al segunda. El descuento de la segunda letra ha sido 37 soles. Determinar el descuento de la primera letra. A) 15 D) 15,50

2.-

B) 4 500 E) N.A.

C) 4 800

María pregunta en un bazar : Que descuento la pueden hacer sobre el precio de un corte, y le responde, que el 20%, va a otra tienda y compra el mismo corte con un descuento del 25%, ahorrándose así S/. 35 ¿Cuál es el precio de corte? A) 700 D) 450

4.-

C) 15.54

¿Cuál es el valor nominal de una letra que descontada por 30 días al 6%, se ha reducido a S/. 4776? A) 4 000 D) 4 300

3.-

B) 15.55 E) N.A.

B) 500 E) N.A

C) 400

Una persona debe una suma de S/. 2 400 pagables dentro de 8 meses, se libera pagando S/. 756 al contado y suscribiendo dos pagares, el uno de 1232 soles pagables en 5 meses y el otro pagable en 1 año. Calcular el valor nominal de este último pagaré (tasa del descuento 5% anual). A) 376 D) 376.49

ARITMETICA

B) 376.50 E) N.A.

C) 376.60

2do. Período

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5.-

29

La suma de los valores nominales de dos letras es de 8 400 se ha recibido por ellas 8 280 descontadas al 6% la primera por 2 meses y la segunda por 3 meses. ¿Cuál es el valor nominal de cada una de ellas? A) 1000 y 2000 D) 1200 y 7100

B) 1200 y 7200 E) N.A.

C) 1200 y 7000

6.-

Un comerciante toma un traspaso un negocio por 150 000 a pagar en dos plazos la mitad a los 6 meses y la otra mitad a los 4 meses siguientes. Paga al contado y le hacen un descuento del 0.5% mensual ¿Cuánto costo el traspaso?.

7.-

Al principio de un año una persona hace descontar con descuento comercial dos letras, cuyos vencimientos tienen lugar en el año corriente, la suma de sus valores nominales es de 7 500 y el tipo de descuento es 4%, recibe S/. 4130 por la primera letra y S/. 3 223 por la segunda, cuyo vencimiento es posterior es dos meses al de la primera. Se trata de hallar los valores actuales y los vencimientos de ambos.

8)

A) 4 200 a 5 meses B) 4000 a 4 meses 3300 a 7 meses 3200 a 7 meses C) 4 200 a 5 meses D) 4000 a 5 meses 3 200 a 6 meses 3000 a 7 meses E) N.A. Una persona, recibe la cantidad de $ 1’750,000 al ganar un premio que ha sido descontado en 12.5% ¿Cuál es dicha suma?

9)

Una letra por 225 soles ha sido descontada al 1.333....% bimestral, obteniéndose, 217.50 soles. ¿Dentro de qué tiempo vencía la letra?

10)

Una persona debe a otra $ 28,952, pagaderos en un año y convienen en saldar la deuda efectuando cuatro pagos iguales de tres en tres meses.

ARITMETICA

2do. Período

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30

Calcular la cantidad entregada en cada pago. (Descuento comercial al 2% trimestral). 11)Una letra de $ 10,250 vale hoy $ 9,840. Hallar los vencimientos posibles, sabiendo que el descuento calculado es al 6%. 12) Se descontó racionalmente una letra 3 meses antes de su vencimiento a la

tasa de interés simple de 2% cada tres meses. Si el descuento fue de 325.00, ¿Cuál es el valor nominal de la letra?.

$

13)

El descuento racional de una letra es $ 75 y fue descontada cuatro meses antes de su vencimiento. El valor nominal es de $ 4, 350. Hallar la tasa de interés simple.

14)

Un comerciante descuenta racionalmente una letra de $ 3,000 con una tasa del 8%. Recibe la suma de $ 2,500 por la letra. Hallar el plazo de vencimiento de la letra.

15)

Mercedes compró dos relojes en $ 2020.00 a 16 meses de plazo; pero como pagó antes del vencimiento, obtuvo un descuento de $ 72.20 al 5% anual. ¿En qué época hizo el pago? Calcularlo por el descuento interno y externo.

16)

Hallar los valores efectivos de una letra de 1460 soles, pagadera, al cabo de 72 días, descontada al 6%, en el caso de que el descuento sea comercial y en el caso de que sea racional, suponiendo el año común de 365 días.

ARITMETICA

2do. Período

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31

EJERCICIOS ADICIONALES 1.-

En una proporción continua donde la constante de proporcionalidad es el doble del último consecuente, calcule la suma de antecedentes si los consecuentes suman 12. A) 24

B) 36

C) 38

D) 44

2.-

E) 48

Si la suma de antecedentes de una proporción discreta es igual en valor a la media proporcional de 32 y 8, y la suma de consecuentes es igual en valor a la tercera diferencial de 10 y 7, halle la constante de proporcionalidad de dicha proporción. A) 1

B) 2

C) 4

D) 8 3.-

E) 16

La suma de los cuadrados de los 4 términos de una proporción geométrica es 65. Halle la suma de los 4 términos si son enteros positivos. A) 16

B)12

C) 13

D) 14 4.-

E) 15

Si: a + 40 = b + 56 = c + 44 a – 40

b – 56

c - 44

y a + b + c = 910

ARITMETICA

2do. Período

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32

calcule a A) 260

B) 286

D) 130 5.-

C) 364 E) 143

Si Andrea confecciona 12 camisas; mientras que Bertha, 4 camisas y Carmen 2camisas, además en 30 días las 3 juntas confeccionan 45 docenas. Halle ¿Cuántas camisas confecciona Bertha en 6 días? A) 24

B) 26

D) 32 6.-

C) 28 E) 36

Se tiene un recipiente con 24 litros de vino y 76 litros de agua. Si extraemos la cuarta parte del volumen total, halle la razón aritmética de los volúmenes de agua y vino que queda. A) 35

B) 39

D) 43 7.-

C) 41 E) 45

En una reunión, la cantidad de hombres y mujeres están en relación de 5 a 7. Si en un determinado momento se retiran 6 parejas, halle la cantidad de hombres que podrían bailar ahora, sabiendo que en total asistieron 60 personas. A) 15

B)17

D) 21 8.-

C) 19 E) 23

En una reunión, la cantidad de hombres es a la cantidad de mujeres como 2 es a 3. Si la cantidad de mujeres que bailan y la cantidad de hombres que no bailan están en la relación de 3 a 5. ¿Cuántas mujeres no bailan en ese instante?, si en total asistieron 20 personas. A) 19

ARITMETICA

B) 10

C) 11 2do. Período

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D) 12

9.-

33

E) 13

En un examen semestral de un instituto, la posibilidad de que aprueben es de 2 a 7. Si en la publicación de los resultados, 30 desaprobaron, ¿cuántos rindieron el examen? A) 40

B) 42

D) 48

C) 45 E) 54

10.- En un puesto de frutas, por cada 3 manzanas hay 5 naranjas y por cada 2 naranjas hay 4 plátanos. Si en total hay 144 frutas, halle cuántas manos de plátanos hay. A) 12

B) 13

D) 16 11.-

C) 15 E) 18

En una serie de 3 razones geométricas se conoce que la suma de consecuentes es 36. Halle la suma de antecedentes si se sabe que el producto de 2 razones es ¼. A) 12

B) 18

D) 27

C) 24 E) 32

12.- Si en una aula siempre se cumple que por cada 4 varones hay 3 mujeres y si en total hay 56 alumnos matriculados, halle la cantidad de hombres asistentes el lunes, si solo asistieron la mitad. A) 14 D) 22

ARITMETICA

B) 16

C) 19 E) 24

2do. Período

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13.-

34

Si la razón entre los volúmenes de dos cubos es 8/27, halle la razón aritmética de los lados de los cubos; si uno de ellos tiene como diagonal de una de sus caras a 4 2 cm y es el menor. A) 1 cm

B) 2 cm

D) 4 cm

C) 3 cm E) 5 cm

14.- Si las edades de María y Rosa están en la relación de 5 a 3, halle la edad de María dentro de años si se sabe que cuando Rosa tuvo 10 años María tenía 18 años. A) 19

B) 20

D) 23

C) 21 E) 25

15.- Las edades de 2 personas están en la relación de 8 a 5 y además se sabe que dentro de 12 años dichas edades estarán en la relación de 3 a 4. Halle la edad del menor hace 10 años. A) 1

B) 2

D) 4

C) 3 E) 5

16.- Las velocidades de 2 autos que van al encuentro están en la relación de 3 a 4. Si inicialmente están distanciados 2 100 m y se dan cuenta que al pasar 3 minutos están distanciados todavía 1 400 m ¿Qué tiempo aún debe pasar para que suceda el encuentro?. A) 4 min D) 8 min

B) 6 min

C) 7 min E) 10 min

17.- En una proporción aritmética continua el primer término y el último están en la relación de 2 a 1. Si la media diferencial es 18, halle la diferencia del primer antecedente y último consecuente. ARITMETICA

2do. Período

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A) 8

35

B) 9

D) 11

C) 10 E) 12

18.- En una serie de 3 razones geométricas equivalentes se cumple que al dividir los productos de 1° y 3° antecedente con el del 2° y 6° término nos da como resultado 36/49. Si la suma de los 2 primeros antecedentes es 24, halle la suma del 2° y 4° término. A) 28

B) 30

D) 36

C) 32 E) 40

19.- Si la razón aritmética y geométrica de las edades de 2 hermanos es 21 y 7/4 respectivamente, halle la suma de dichos edades. A) 66

B) 72

D) 82

C) 77 E) 93

20.- En una serie de 3 razones geométricas la suma de consecuentes es 64. Si se sabe que el producto de 2 razones de dicha serie es 9/4, calcule la suma de antecedentes. A) 24 D) 96

ARITMETICA

B) 48

C) 72 E) 108

2do. Período

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36

21.- Los términos de una proporción están en la relación 2, 4, 3 y 6 en ese orden. Si la suma del primer antecedente y último consecuente es 32, halle la diferencia de los términos medios. A) 2

B) 3

D) 5

C) 4 E) 6

22.- El 90% de los jóvenes de una población asiste al colegio, de éstos, el 50% culmina la secundaria, y postula el 30% de ellos e ingresa el 15% de los postulantes, culminando su carrera el 5% de los ingresantes de 400 000. ¿Cuántos culminarán su carrera?. A) 2 125 D)

B) 1 2620

810

C) 1 215 E)

405

23.- Un comerciante vende el 60% de su mercadería, ganando el 24%, luego vende el resto, perdiendo el 25%. Si la recaudación total fue S/. 6 264, calcule la ganancia en la primera venta. A) S/. 854

B) S/. 862

D) S/. 856

C) S/. 866 E) S/. 864

24.- Si se reduce en 50% la arista de un cubo ¿en qué tanto por ciento se reduce su volumen? A) 60,3% D) 69

ARITMETICA

B) 87,5%

C) 78,0 E) 80%

2do. Período

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37

25.- Para fijar el precio de un artículo, aumento su costo en S/. 490, pero al venderlo se hizo una rebaja del 30% y aun se ganó el 20% del costo. ¿Cuál es el precio de costo del artículo? A) 690

B) 185

D) 686

C) 790 E) 794

26.- Se sabe que la mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra, ¿qué tanto por ciento del valor dicha obra representa solamente la mano de obra?. A) 25%

B) 30%

D) 10%

C)

15%

E) 12,5%

27.- En una reunión, el 70% son mujeres ¿Qué tanto por ciento representa el número de parejas que debe llegar a la reunión para que el número de varones sea el 60% las mujeres?. A) 30%

B) 50%

D) 20%

C) 52% E) 25%

28.- En la venta de un artículo se gana el 10 del precio de costo más el 10% del precio de venta. Si la diferencia de las mismas es S/. 80, calcule en cuánto excede el precio de venta a la ganancia. A) 410 ARITMETICA

B) 400

C) 360 2do. Período

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38

D) 350

E) 390

29.- Una persona ganó el 20% al vender

¾ sus productos y al vender luego el

resto perdió el 20% de su costo. Si recaudó con venta total S/. 440.000 ¿cuánto obtuvo ganancia en la primera venta?. A) S/. 80 200

B) S/. 82 400

D) S/. 86 400 30.-

C) S/. 84 600 E) S/. 60 000

Para fijar el precio de un artículo, un comerciante eleva el precio de sus productos en un determinado porcentaje; pero al venderlos hace dos descuentos sucesivos del 20% y 20% y un posterior aumento del 20% con lo cual todavía gana el 20% del precio de venta. Si el precio de costo es S/. 768; entonces, el precio fijado inicialmente es: A) 1 200

B) 2 100

D) 1 300

C) 1 250 E) 2 700

31.- ¿A cuánto se debe vender un artículo cuyo costo de S/. 100 para ganar el 20% del costo y aún pagando un impuesto equivalente al 20% del precio de venta? A) 150

B) 180

D) 230

C) 200 E) 250

32.- Se compra un artículo a un 20% menos del precio de lista en la fábrica y se vende a un 20% más del precio de lista. ¿Qué porcentaje del costo se gana? A) 40% ARITMETICA

B) 50%

C) 30% 2do. Período

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D) 60%

39

E) 45%

33.- Ante el alza del precio de la gasolina, el costo de un artículo aumenta en m% y a este nuevo precio; se le hace un descuento del (100-m%), halle el valor de m, si el precio final equivale al 96% del precio inicial? A) 68

B) 63

D) 60

C) 70 E) 50

34.- Si al vender un artefacto en S/. 2560 se gana el 10% del 15% del 80% de su costo, ¿a cuánto se tendrá que vender el artefacto si se estima ganar el 60% del 25% del 20% de su precio costo? A) 7 400

B) 6325

D) 2575

C) 6 400 E) 6 000

35.- Un comerciante ofreció una oferta en todos sus productos rebajando el precio de venta en un 60%, por esta razón aumenta sus ventas en un 40%. Calcule en qué tanto por ciento disminuye sus ingresos. A) 10%

B) 20%

D) 18%

C) 44% E) 12%

36.- La altura de un cilindro disminuye en su cuarta parte y el radio de su base aumentó en un quinto de su valor inicial. ¿En qué tanto por ciento ha aumentado su volumen? A) en un 5% D) en un 8%

ARITMETICA

B) En un 4%

C) en un 8% E) en un 6%

2do. Período

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40

37.- Se tiene 3 tipos de alcohol de 40°, 30° y 20° donde los volúmenes de alcohol de 20° y 40° están en la relación de 1 a 5. ¿Cuántos litros de alcohol de 30° son necesarios para que los 80 litros de mezcla resultante sean de 35°? A) 15

B)20

D) 26

C) 25 E) 28

38.- Hace 8 meses se impuso un cierto capital cuyo monto actualmente es S/. 4 650, si dentro de un año el monto será S/. 4 875, ¿cuál fue la tasa de interés?. A) 4%

B) 3%

D) 6%

C) 5% E) 2%

39.- La octava parte de un capital se depositó al 35%. Los 3/7 del resto al 40% y el saldo a una cierta tasa que permitió obtener una utilidad anual del 45% de dicho capital. ¿A qué tasa se colocó? A) 50,25%

B) 51,25%

D) 53,25%

C) 52,25% E) 54,25%

40.- El 40% de un capital se presta al 30% anual y el resto se presta de tal forma que ambas partes producen el mismo interés. Determine la tasa. A)

5%

D) 20%

ARITMETICA

B) 8%

C) 10% E) 25%

2do. Período

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41

41.- ¿A qué tasa debe estar impuesto un capital para que en 6 meses produzca un interés del 20% del monto? A) 10%

B) 20%

D) 40 %

C) 30% E) 50%

42.- Katherine deposita S/. 12 000 en el banco A y S/. 12 500 en el banco B. En A ahorra 12% anual capitalizable trimestralmente y en B 12% anual a interés simple, entonces al cabo de un año los intereses generados por ambos bancos se diferencian en: A) 4,1%

B) 8,1%

D) 9,1%

C) 6,1% E) 5,1%

43.- Un capital impuesto durante 4 meses produjo un monto de 960 y en 6 meses produjo 1040. Calcule la tasa de interés. A) 40%

B) 50%

D) 70%

C) 60% E) 80%

44.- Un capital es prestado por 6 meses a interés simple. Si por los tres primeros meses la tasa es 2% mensual y por los últimos tres meses la tasa es 3% mensual, determine este capital, si el monto obtenido es S/. 6 900. A) 8 265

B) 8 526

D) 8 625

C) 8 562 E) 6 000

45.- Dos capitales fueron impuesto al mismo tiempo a dos tasas que están en la relación de 5 a 4. Después de un tiempo se observa que los intereses producidos hasta ese momento están en relación inversa a sus tasas. ¿En qué relación estaban los capitales?. A) 4 a 5 D) 2 a 3 ARITMETICA

B) 3 a 4

C) 16 a 25 E) 1 a 1 2do. Período

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42

46.- Se tiene un capital de S/. 180 500 que se ha dividido en tres partes. La primera de ellas se coloca al 4%, la segunda al 8% y la tercera al 10%. Calcule la mayor de las partes sabiendo que producen el mismo interés. A) 95 000

B) 96 000

D) 98 000

C) 97 000 E) 90 000

47.- Un capital se triplica al imponerse a un tasa del 10% semestral. Calcule el tiempo de imposición. A) 10 años

B) 100 años

D) 80 años

C) 50 años E) 40 años

48.- Calcule el interés que produce un capital de S/. 24 000 impuesto a 0,1% bimestral durante 14 meses. A) 168 D) 188

B) 178

C) 158 E) 148

49.- Rosa adquiere un departamento y por concepto de gastos de transferencia, pago al momento de la compra los 10,25% de precio y al cabo de un año y 4 bimestre cancela el valor del departamento más los intereses generados en este período. Si Rosa gastó en total S/. 576 900, ¿cuál fue el precio del departamento, si dicho precio estuvo impuesto al 15% semestral? A) S/. 120 000

B)S/. 340 000

C) S/. 270 000 D) S/. 360 000

ARITMETICA

E) S/. 300 000

2do. Período

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43

50.- Se pide a 2 alumnos de la academia César Vallejo que calculen los intereses que produce un capital a 1% trimestre durante 146 días; pero sus resultados diferencian en S/. 13 y esto es debido que uno de ellos considero el año comercial y el otro alumno el año común. Si se impone el capital a la misma tal durante 183 días de un año bisiesto ¿cuál será el interés ganado? A) S/. 217 D) S/. 1 170

ARITMETICA

B) S/. 1 050

C) S/. 3 250 E) S/. 2 500

2do. Período

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44

TEMA N° 11 SISTEMA DE NUMERACION NUMERAL.- Representación simbólica de un número. Ejemplo: 4 7 3

L M X

Cifras

Cifras

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION 1)

Por el orden:

Numera

3

2

1

0

7

5

4

1

1°

2°

3°

3°

orden

lugar

Observación:  El numeral contiene una unidad de orden cero y también contiene 4 unidades de orden uno y cinco unidades de orden 2 y 7 unidades de orden tres.  1: (cifra de orden cero); (cifra de primer orden); (cifra de menor orden); (ultima cifra)  4: (cifra de orden uno);

(cifra de segundo orden);

 5: (cifra de orden dos);

(cifra de tercer orden);

 7: (cifra de orden tres); (cifra de primer lugar).

(cifra de cuarto orden);

ARITMETICA

2do. Período

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

45

unidad � � unidad � � unidad � � p p � �� �� �p ..... orden O orden 1 orden 2 � �� �� �

 En base 10, 10 unidades de cierto orden forman ya una unidad del siguiente orden. 2)

De la Base

Ejemplo: Representar en S.P.N. de base 10, 7, 3 al siguiente grupo:  Base 10 OOOOOOOOOO

O O O O O O O Unidad de orden Cero

Unidad de Orden Uno 3 2 1 0 1 7  Base 7

orden

OOOOOOO

OOOOOOO

O O O Unidad de orden cero.

Unidad de Orden Uno 3

2

1

0

2

3 (7)

orden

 Base 3 OOO

OOO

OOO

Unidad de Orden dos 2 1 ARITMETICA

1 2

0 2

OOO

OOO

Unidad de orden uno

O O Unidad de orden cero.

orden 2do. Período

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46

122(3) PRINCIPIOS BÁSICOS: 01. Base (b)  b  2, b  Z+. 02. El menor sistema de numeración, es binario 03. Dado:

abc (n),

d el sistema de base "n" —> * a, b  c < n * Máximo valor de: a, b ó c = (n - 1)

04. Cuando la base es mayor que 10:  = a = 10,  = b – 11,  = c = 12, …………...  b  2, b  Z+ BASE

ARITMETICA

SISTEMA

CIFRAS

2

Binario

0,1

3

Terciario

0, 1,2

4

Cuaternario

0, 1, 2, 3

5

Quinario

0, 1, 2, 3, 4

6

Senario

0, 1, 2, 3, 4, 5

7

Septenario

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

8

Octonario

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

9

Notario

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

10

Decimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

11

Undecimal

0, 1, 2,............8, 9, , 

12

Duodecimal

0, 1,2,............8,9, , 

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47

DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA DE UN NUMERO:

= an1 + b Base "n" abc (n) = an2 + bn1 + c abcd (n) = an3 + bn2 + cn1 + d

ab = 10a  b

ab (n)

Base “10”

abc = 100a  10b  c

abc = 1000a  100b  c  d

NÚMERO CAPICÚA Es aquel cuya lectura se puede hacer de derecha a izquierda y viceversa. Si:

aa , aba , abba , abcba, etc.

CONCLUSIONES:  2  (base)  O  cifra  base  Cifra máxima = (base) -1

-

+

2 3(7) = 1 2 2(3)



+

-

A mayor base mayor numeral Aparente. Representación Literal de un Numeral Ejemplo: Numeral de dos cifras:

ab

:10,

12,

13,

55,

99

 (1era. Cifra)  0  a y b son letras diferentes pero pueden tener el mismo valor. ARITMETICA

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48

Numerales de la forma:

aa 7 : 11(7)

22(7) 33(7) 44(7) 55(7) 66(7)

 letras iguales si indican valores iguales.

a (a  5)(8)

= 16(8) = 27(8)

numeral de dos cifras  Todo aquello que esta en paréntesis encerrado se considera una cifra.  Numeral Capicúa:

$ , 434 (8)

ARITMETICA

� , bnb (3)

1 , abba

� anbna4

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49

CONVERSIONES Casos Generales: En la conversión de números de un sistema a otro se presentan tres casos generales: Un número de base (n) a base 10: Puede convertirse aplicando ya sea la descomposición polinómica o el método de Ruffini. Ejemplo: 1. Convertir 453(6) a base 10. a) Por descomposición polinómica. 453(6) = 38(6)0 + 5(6) + 4(6)2 = 3(1) + 5(6) + 4(36) = 3 + 30 + 144 453(6) =

177

b) Por Ruffini: 4 6 x

5 24

4

29

3 +

174

177

2. Un número de base 10 a base “n” Para los números enteros aplicaremos las divisiones sucesivas y para los números menores que uno las multiplicaciones sucesivas. Ejemplo:

ARITMETICA

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50

1.- Convertir 748 al sistema eptal. Por divisiones sucesivas:

748

7

- 48

106

6

Como

7

36

15

7

1

1

2

podemos

observar,

hemos

dividido

sucesivamente los cocientes entre la base buscada hasta obtener un cociente menor que la base. El número está formado por el último cociente y los residuos tomados de derecha a izquierda.

 748

2.-

= 2116(7)

Convertir 3456 a base 5. Por divisiones sucesivas:

3.-

Un número de base “n” a base “k” (n y k  10) : Se puede

efectuar

la conversión

por

divisiones

sucesivas, en forma directa, pero por su complejidad es más recomendable aplicar el método indirecto; o sea, convertir el número primero a base 10 y luego recién a la base buscada.

ARITMETICA

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51

Ejemplo: 1.

Convertir 2213(4) a base 9 2

2

1

3

8

20

164

10

41 167

4 2

167

9

77

18

5

0

 2213(4)

9 2 =

205(9)

BASES SUCESIVAS

= na



1a ( n )



1a1bn



1d1c1b1a



a1n a1

ARITMETICA

= nba

n

= n  a b  c  d

= an  1 =

a(na+1)+1 = na2 + a+1 2do. Período

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52

a1 n

r veces

= nar

a1 a1 a1 a1

+ ar-1 + ar-2 + ar-3 + ....a+1

. . .

a1 n

EJERCICIOS PARA

RESOLVER

NUMERACION

1.

Si.

1aa5b =c148

Calcule a + b + c A) 10 C) 14 D) 12 2.-

B) 13 E) 16

¿Cuántos números tienen 4 cifras en los sistemas cuaternario, quinario y senario? A) 20 C) 40 D) 36

ARITMETICA

B) 30 E) 45 2do. Período

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3.-

Exprese el menor numeral del sistema octavario cuya suma de cifras es 84 al sistema cuaternario e indique la suma de cifras en esta base. A) 54 C) 30 D) 94

4.-

53

B) 36 E) 60

¿Cuántos números de la siguiente forma existen? __________________________ �c � �2 �

a(a+1)(a-4)(4bXb-1) � �(c+4)13 A) 120 C) 140 D) 125

5.-

B) 130 E) 150

Si 1m1m(n) =182 halle N = m x 7 4 – n x 72 + (n + m) en base 7. Dé como respuesta la suma de cifras. A) 15 C) -2 D) 8

6.-

B) 9 E) 10

Si. 15 15 15 n+1 veces

. . . 15 a (2a)

ARITMETICA

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54

halle el mínimo valor de n. A) 40 C) 38 D) 80

7.-

B) 39 E) 79

ababbab5 = acbdd 7

Si.

calcule a + b + c + d A) 9 C) 7 D) 12 8.-

Si.

B) 10 E) 8

ab3(ab) =255

calcule a + b A) 6 C) 4 D) 5

9.-

B) 8 E) 7

Calcule el producto de las menores bases en las cuales los numerales 124 y 444 son iguales además dichas bases son pares. A) 15 C) 81 D) 60

B) 20 E) 72

10.- Calcule

a+ b + c ARITMETICA

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55

si

a00a(b) =bc1 CUATRO OPERACIONES ADICION: Sumar números en sistema no decimal es semejante al que se realiza en el sistema decimal, siempre que se tenga cuidado con la base en la que se efectúa la operación. Ejem.

Solución:

1) 4 3 0 7 1(8) 2 1 3 7 2(8) 3 4 1 7(8)

2)

+

______ a b c(7) 4 3 2(7) 5 4 a(7) ........c(7) _____ c + 2 + a = ........c7 _____ 2 + a = ........O7 = 7(1) = 107

3)

Calcular a x b x c x m x n. Si son cifras significativas, “a” es impar y menor que “b”, además. ___ abc +

___ ______ cba = mnmm

Solución: ARITMETICA

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56

Obs. m = 1 abc + cba 1n11 SUSTRACCION M–S =D Suma de términos 2M Ejem: 4 0 3 0 0 2(7) 5 1 4 2 6(7)

PROPIEDADES: 1)

a b c(n) ----------c b a(n) ---------------------------x y z(n) y =n-1 x+z =n–1

Ejem: 7 5 4(8) – 4 5 7(8) ------------------2 7 5(8) x y z y=8–1=7 x+z =8–1=7 ARITMETICA

2do. Período

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________ a b c d(n) – -------------d c b a(n) -----------------------x y z w(n)

57

2)

i)

b  c

b  c x+w=n y+z= n–2

ii)

b  c x + w = n -1 y+ z =n–1

Ejemplo:

3 4 2 1(5) 1 2 4 3(5) ---------------------2 1 2 3(5) x

y z w

4  2 b  c x+w =5 y+z =5–2=3 Complemento Aritmético de un Numeral __________ Sea: N = ab ............c(n), De K cifras. C. A. (N) = 1000.....0(n) - N (K+1) cifras Ejemplo: C.A.(34) = 100 – 34 = 66 ARITMETICA

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58

9 10 3 4 C.A.(2743) = 10000 - 2743 = 7256 9 9 9 10 2 7 4 3 C.A.(145000) = 1000000 - 145000 = 855 000 9 9 10 1 4 5000 C.A.(231(7)) = 1 000(7) - 231(7) = 4 3 6(7) 6 6 7 2 3 1(7) C.A.(31040)(7)) = 1 00000(7) - 21040(7) = 35630(7) 6 6 6 7 3 1 0 4 0(7) C.A.(9934) = C.A.(5436(8)) = C.A.(35400(7)) = C.A.(9934) = _____ __ C.A.(m n p) = C.A.(np)  m = 9

ARITMETICA

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59

EJERCICIOS ___ 1) Si CA(abad) = (a+3)2 y ______ _______ CA((cm)np) = (a-2)(b-2) Calcular: a + b + c + d + m + n + p

2) Si: m z nKH

____ = 2n7m(KH)

DIVISION ENTERA D r

d q

donde:

D d q r

: dividendo : divisor : cociente : residuo

D = dq + r  0  r  d Algoritmo de la División CLASES DE LA DIVISION División Exacta (r = 0) 63 9 0 7

D d r =0 q D = d x q

ARITMETICA

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60

División Inexacta (r  0) 67 9 r q 9

9x7

67

9x8

Puede ser de dos clases: Por defecto

Por exceso

67 9 4 7

67 9 -5 8

67 = 9 x 7 + 4

67 = 9 x 8 – 5

Suman 9 D d r q

D d re q+1

D = dq + r

D = d (q+1) + re

r = residuo por defecto re = residuo por exceso Propiedad: Para una división Inexacta. 1)

Residuo por defecto

2)

Residuo Máximo = divisor - 1

ARITMETICA

+

Residuo por defecto

= divisor

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3)

61

Residuo Mínimo = 1

EJERCICIOS __ 1) Se divide 1899 entre mn y se obtiene un cociente que es el complemento Aritmético del divisor y un residuo máximo no exceso.

2) Al dividir un número entre a + 3n se obtiene un residuo por defecto “a” y un cociente 71. Si el residuo por exceso es “a+n” y el cociente a+2n. Hallar el Dividendo.

3) Al efectuar una división, se obtiene un residuo por exceso igual a 9. Si el residuo por defecto es 3. ¿Cuál es el valor del Dividendo?

4) La Suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 12 y el cociente de su

división por su cifra de unidades es 21 ¿Cuánto vale las cifras de las decenas?.

ARITMETICA

2do. Período

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ARITMETICA

62

2do. Período