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• Katherine Torres

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Tarea 3- Espacios vectoriales

Emilio Yovani Leguizamon Group 208046A_761 7333552

Universidad nacional abierta y a distancia Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Algebra Lineal Mayo 2020

Ejercicio 1: Conceptualización de Espacios vectoriales e) Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna:

Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales e) dados los vectores u=( 2,5,6 ) , v=( 2 ,−3,3 ) , w=(5,2 ,−2) y los escalares a=3 y b=−6 verifique si: i¿ ( u+ v ) +w=u+ ( v+ w ) =( u+w )+ v Se reemplazan los valores:

( ( 2,5,6 )+ (2 ,−3,3 ) ) + ( 5,2 ,−2 )= ( 2,5,6 ) + ( ( 2 ,−3,3 ) + ( 5,2 ,−2 )) =( ( 2,5,6 ) + ( 5,2 ,−2 ) )+(2 ,−3,3) ( 4,2,9)+ ( 5,2 ,−2 ) =( 2,5,6 ) +( 7 ,−1,1)=( 7,7,4)+(2 ,−3,3) (9,4,7)=(9,4,7)=(9,4,7)

ii ¿ Calcular :au−( v+ bw) Reemplazando se tiene que: 3 ( 2,5,6 )−¿

( 6,15,18 )− ( 2,−3,3 ) +(−30 ,−12,12) ( 6,15,18 )− (−28 ,−15,15 ) (34,30,3)

Ejercicio 3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal e) 1. Determine si el conjunto es linealmente dependiente.

S={(−3,4,2 ) , ( 7 ,−1,3 ) , (1,2,8 ) } Inicialmente se escribe el vector 0 de R^3 como una combinación lineal de S,

( 0,0,0 ) =α (−3,4,2 ) + β ( 7 ,−1,3 ) +γ (1,2,8) ( 0,0,0 ) =(−3 α , 4 α , 2 α ) + ( 7 β ,−1 β , 3 β ) +(1 γ , 2 γ , 8 γ) ( 0,0,0 ) =(−3 α +7 β +γ , 4 α −β +2 γ , 2 α +3 β +8 γ ) Haciendo la combinación, −3 α + 7 β+ γ =0 4 α −β+ 2 γ=0 2 α +3 β +8 γ =0 Para hallar los valores de las variables, se emplea el método de Gauss: −3 7 1 0 4 −1 2 0 2 3 80

|)

(

Inicialmente se hace R1/-3->R1, se divide la fila 1 por -3:

(

−7 3 4 −1 2 3 1

−1 0 3 0 2 0 8

|)

R2-4R1->R2, se multiplica la fila 1 por 4 y restamos a la fila 2. Además, se hace R3-2R1->R3, Se multiplica la fila 1 por 2 y el resultado se resta a la fila 3. −7 3 25 3 23 3

−1 3 0 10 0 3 0 26 3

( |) 1 0 0

Se divide la fila 2 por 25/3:

−7 3 1 23 3

−1 3 0 0.4 0 26 0 3

( |) 1 0 0

Se multiplica la fila 2 por 7/3 y el resultado se suma a la fila 1. Además, se multiplica la fila 2 por 23/3 y el resultado se le resta a la fila 3.

(

1 0 0.6 0 0 1 0.4 0 0 0 5.6 0

|)

Se divide la fila 3 por 5.6,

(

1 0 0.6 0 0 1 0.4 0 0 0 1 0

|)

Se multiplica la fila 3 por 0.6 y el resultado se resta a la fila 1. De igual forma, se multiplica la fila 3 por 0.4 y el valor se resta a la fila 2, 1 0 00 0 1 00 0 0 10

( |) Por lo tanto, α =0 β=0 γ =0 Se ve que los tres escalares valen 0, se concluye que los vectores dados son linealmente independientes.

2. Determine si el conjunto SS genera a R3: S= { ( 1,1,1 ) , ( 0,1,1 ) , ( 0,0,1 ) } Para ello se busca si el subespacio generado por S es R3.

( 0,0,0 ) =α ( 1,1,1 ) + β ( 0,1,1 ) + γ (0,0,1) Desarrollando,

( 0,0,0 ) =( α , α , α ) + ( 0 , β , β )+(0,0,1 γ )

Sumando,

( 0,0,0 ) =( α , α + β , α+ β+ γ ) Igualando, α =0 α + β=0 α + β+ γ =0 Reemplazando, α =0 0+ β =0 → β=0 0+ 0+γ =0 → γ =0 Por tanto, todos los componentes son 0, lo que significa que el vector es combinación lineal de los vectores S y S si es sistema generador de R3.

Referencias Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 247255. Guzmán, A. F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Páginas 72 a la 90- 113-123. Disponible en Entorno de conocimiento.