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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: ESPACIOS VECTORIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TAREA 3 ESPACIOS VECTORIALES

NOMBRE: DANIEL FERNANDO CASTILLO SANTAMARIA

AÑO: 2019

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: ESPACIOS VECTORIALES

Dada la siguiente matriz: 2 1 3 3 2 5 D= −1 1 0 3 −2 1 0 1 1

[

2 1 −7 17 −4

]

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán 2. Calcular el rango por el método de determinantes 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal. GAUSS

Encuentra el pivote en la columna numero 1 (invirtiendo el signo en toda la fila) y cambia la fila numero 3 por la numero 1 X1

X 2

X3

b

1

1

-1

0

7

2

3

2

5

1

3

2

1

3

2

4

3

-2

1

17

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5

0

1

1

-4

X1

X 2

X3

b

1

1

-1

0

7

2

0

5

5

-20

3

0

3

3

-12

4

0

1

1

-4

5

0

1

1

-4

Elimina la columna numero 1

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Encuentra el pivote en la columna número 2 e intercambia la fila número 4 con la fila número 2 X1

X 2

X3

b

1

1

-1

0

7

2

0

1

1

-4

3

0

3

3

-12

4

0

5

5

-20

5

0

1

1

-4

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Elimina la columna numero 2

Solución: x1 = 3 - x3

X 1

X2

X3

b

1

1

0

1

3

2

0

1

1

-4

3

0

0

0

0

4

0

0

0

0

5

0

0

0

0

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x2 = -4 - x3 x3 - libre

1. Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la Tabla 1, y elaborar una infografía en

donde se conceptualice sobre los siguientes temas 

Combinación lineal y espacio generado

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2. Dados los vectores u=(4,0 ,−3) y v=(0,2,5), calcular: 

u+ v u+ v=( 4,0 ,−3 ) +(0,2,5) u+ v=( 4+0 , 0+2 ,−3+5 ) u+ v=( 4 , 2, 2 )

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



u−v u−v= ( 4,0 ,−3 )−( 0,2,5) u−v= ( 4−0 , 0−2,−3−5 ) u−v= ( 4 ,−2 ,−8 ) 1 2 u+ v 3 1 1 2 u+ v =2 ( 4 , 0 ,−3 )+ (0,2,5) 3 3 1 2 5 2 u+ v =( 8 , 0 ,−6 )+ 0 , , 3 3 3

)

1 2 5 2 u+ v = 8+0 , 0+ ,−6+ 3 3 3

)

(

(

1 2 −13 2 u+ v = 8 , , 3 3 3

(

)

3. Determine si el conjunto S genera a R3: S={( 4,7,3 ) , (−1,2,6 ) , ( 2 ,−3,5 ) } Primero veamos que el conjunto S es linealmente independiente. Como nos podemos dar cuenta el conjunto S está en R3, por lo tanto para poder observar si los dos vectores son linealmente independientes verificamos lo siguiente.

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( 0 , 0 , 0 )=α ( 4,7,3 ) + β (−1,2,6 ) +θ ( 2 ,−3,5 ) ( 0 , 0 , 0 )=( 4 α −β +2 θ ,7 α +2 β−3 θ ,3 α +5 β+5 θ ) Así obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. 0=4 α −β+2 θ 0=7 α +2 β−3 θ 0=α +5 β +5 θ Ahora solucionando el sistema por el método de gauss, si encontramos que α =0 , β=0 y θ=0 entonces el conjunto S es linealmente independiente de forma contraria el conjunto S es linealmente dependiente.

( ( (

4 −1 2 ¿ 0 7 2 −3 ¿ 0 1 5 5 ¿0

)

4 −1 2 ¿0 0 15 −26 ¿ 0 0 21 18 ¿ 0

4 −1 2 ¿0 0 15 −26 ¿ 0 0 0 272 ¿ 0 Asi tenemos que.

272 θ=0 θ=0 Luego 15 β−26 θ=0

Haciendo -7f1 + 4f2 en f2

) )

y

Haciendo -7f2 + 5f3 en f3

-f1 + 4f3 en f3

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15 β=0 β=0 Y por ultimo 4 α −β+ 2θ=0 4 α =0 α =0 Por lo tanto tenemos que los tres vectores son linealmente independientes, ahora veamos que los tres vectores generan a R3 . Para ello verifiquemos que.

( x , y , z )=α ( 4,7,3 ) + β (−1,2,6 )+θ ( 2 ,−3,5 ) ( x , y , z )=( 4 α −β+2 θ , 7 α +2 β−3 θ , 3 α+5 β +5 θ ) Así obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. x=4 α −β +2θ y=7 α +2 β−3 θ z=α +5 β+5 θ Ahora solucionando el sistema por el método de gauss.

( (

4 −1 2 ¿ x 7 2 −3 ¿ y 1 5 5 ¿z

)

Haciendo -7f1 + 4f2 en f2

4 −1 2 ¿x 0 15 −26 ¿−7 x+ 4 y Haciendo -7f2 + 5f3 en f3 0 21 18 ¿−x+ 4 z

)

y

-f1 + 4f3 en f3

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(

4 −1 2 ¿x 0 15 −26 ¿−7 x+ 4 y 0 0 272 ¿ 44 x−28 y−5 x

)

Así tenemos que. 272 θ=44 x−28 y−5 x 39 x−28 y 272 Luego 15 β−26 θ=−7 x+ 4 y θ=

15 β−26

y ( 39 x−28 )=−7 x+ 4 y 272

15 β=−7 x +4 y+ 26

β=

4 α −β+ 2θ=x

(

4 α−

−28 y ( 39 x272 )

−7 x 4 y 26 39 x−28 y + + 15 15 15 272

(

)

Y por último.

−7 x 4 y 26 39 x −28 y 39 x−28 y + + +2 =x 15 15 15 272 272

(

)) (

)

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4 α =x−2

y −7 x 4 y 26 39 x−28 y + + + ( 39 x−28 ) )) ( 272 15 15 15 ( 272

x 1 39 x−28 y 1 −7 x 4 y 26 39 x−28 y α= − + + + 4 2 272 4 15 15 15 272

(

) (

(

))

Como todo punto (x, y, z) se puede escribir como combinación lineal de los tres vectores entonces estos tres vectores generan a R3.

4. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente. S={(−2,4 ) , ( 1 ,−2 ) } Como nos podemos dar cuenta el conjunto S está en R2, por lo tanto para poder observar si los dos vectores son linealmente dependientes verificamos lo siguiente.

( 0 , 0 ) =α (−2,4 )+ β ( 1 ,−2 ) ( 0 , 0 ) =(−2 α + β , 4 α −2 β ) Así obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. 0=−2 α + β 0=4 α −2 β Ahora solucionando el sistema por el método de gauss, si encontramos que α =0 y β=0 entonces el conjunto S es linealmente independiente de forma contraria el conjunto S es linealmente dependiente.

(−24

1 ¿0 −2 ¿ 0

)

Haciendo 2f1 + f2 en f2

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(−20

1 ¿0 0 ¿0

)

Por lo tanto si β=t con t en R tenemos que α =

t 2

Así el conjunto S es linealmente dependiente.

5. Dada la siguiente matriz: −1 2 3 0 7 A= 2 3 −2 3 0 4 1 1 0 −3

[



]

Calcular el rango por el método de Gauss Jordán Para encontrar la matriz primero debemos diagonalizar la matriz de tal forma que todo elemento que este debajo de la diagonal principal sea cero, esto lo vamos a hacer por el método de gauss, luego el rando de la matriz va a ser el número de filas donde todos sus elementos son cero, esto en la matriz reducida.

[ [

−1 2 3 0 7 2 3 −2 3 0 Haciendo 4 1 1 0 −3

2f1 + f2 en f2

−1 2 3 0 7 0 7 4 3 14 Haciendo 0 9 13 0 25

-9f2 + 7f3 en f3

] ]

y

4f1 + f3 en f3

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−1 2 3 0 7 0 7 4 3 14 0 0 55 −27 49 Por lo tanto tenemos que la matriz a tiene rango tres. Calcular el rango por el método de determinantes

[ 

]

Sabemos que el rango de la matriz debe ser menor o igual a tres, esto por definición de rango de una matriz, ahora debemos verificar si todo determinante dos por dos es cero entonces la matriz es de rango 1, si esto no ocurre la matriz es de orden dos o tres, luego para verificar esto si todo determinante tres por tres en cero entonces la matriz es de rango dos, de lo contrario la matriz es de orden tres. De esta forma tenemos que. −1 2 3 0 7 A= 2 3 −2 3 0 4 1 1 0 −3

[

]

Tomando cualquier determinante dos por dos.

|−12 23|=−3−4=−7 ≠ 0 Por lo tanto A tiene rango dos o tres, ahora tomando cualquier determinante tres por tres. −1 2 3 2 3 −2 =−3−16+6−4−2−36=−55≠ 0 4 1 1

|

|

Por lo tanto tenemos que la matriz a tiene rango tres.

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

Indique si existe dependencia o independencia lineal. Dado que la matriz es de orden tres por cuatro y el rango de esta es tres entonces es linealmente independiente.

6. Sean u y w vectores en R3 y sea θ el ángulo entre u y w . Demuestre que ∥ u × w∥=∥u ∥∥w ∥ Sen(θ) Demostración: Se sabe que u X w es ortogonal tanto a u como a w. Si u y w son vectores diferentes de cero, se puede demostrar que es posible determinar la dirección de u X w aplicando la "regla de la mano derecha". Sea θ el ángulo entre u y w, y supóngase que se hace girar u de modo que describa el ángulo θ hasta que coincida con w. Si se curvan los dedos de la mano derecha de modo que apunten en la dirección de rotación, entonces el pulgar apunta (aproximadamente) en la dirección de u X w. Si u y w son vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, entonces la norma de u x v tiene una interpretación geométrica útil. La identidad de Lagrange, afirma que. 2

2

2

2

¿|v x w|∨¿ =¿|v|∨¿ ¿|w|∨¿ −( v ∙ w ) ¿ ¿ ¿ Si θ denonota el ángulo entre u y v, entonces v ∙ w=||v||||w||cosθ de modo que se puede volver a escribir la ecuación anterior como. 2

2

¿|v x w|∨¿2=¿|v|∨¿2 ¿|w|∨¿2−||v|| ||w|| cos 2 θ ¿ ¿ ¿ 2

2

¿|v x w|∨¿2=||v|| ||w|| ( 1−cos2 θ ) ¿

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2

¿|v x w|∨¿2=||v|| ||w|| sen2 θ ¿

||v x w||=||v||||w|| senθ Link de video explicativo: https://youtu.be/iBxwUAsAVtw