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NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA

GUIA DE ESTUDIO 2015 – 00B

Nivelación en Matemática B 1

APLICACIÓN DE

ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

Modelación de problemas En los problemas de aplicación o de modelación, nunca alguna sugerencia está de más. Sería bueno que organice el desarrollo de la solución usando las siguientes pautas para que no olviden ningún detalle: Comprensión del problema y elección de la variable.  Lea todo el enunciado atentamente.  Trace un esquema que ilustre el enunciado, si esto es posible.  Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.  Elija una variable para la cantidad desconocida, y escriba exactamente lo que representa, sin olvidar mencionar las unidades en caso de tratarse de problemas de la vida real. Para esto, es muy útil fijarse en la pregunta del enunciado. Comprensión del problema y planteamiento. Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichas relaciones provienen de:  Traduzca el enunciado a una o varias ecuaciones (interpretación de textos).  Reglas externas al problema. Resolución.  La parte operativa debe ser sencilla después de todo lo trabajado. No debería fallar en ésta, el trabajo debe hacerse cuidadosamente.  Recuerde que siempre es bueno asegurarnos que el proceso de cálculo esté correcto: ¡verifique! Análisis de respuesta y respuesta completa. Esta parte es muy importante. Uno debe reflexionar sobre el sentido de los números obtenidos con respecto al contexto de problema y escribir una respuesta completa como solución a la pregunta propuesta. No olvide colocar unidades. Ejemplo 1. Dos hermanos guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un año tienen en total S/. 8 000,00 pero al mayor de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor. Determine la cantidad que posee el hermano menor. Solución: Sea

x la cantidad de dinero que posee el hermano menor en soles.

Con ello, el hermano mayor tiene

8 000−x .

Del enunciado “al mayor de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor”, se construye:

8 000−x =3 x

Al resolverlo

8 000=4 x → x=2000

Por tanto, el hermano menor tiene S/. 2 000,00 Actividades de aprendizaje 1. Un automóvil tiene

4x

km/h de velocidad y otro las tres cuartas partes de la

velocidad anterior. Modele la expresión velocidades

Nivelación en Matemática B 2

que permita obtener

la diferencia de dichas

x

2. Si a los cuatro quintos de de

x

lo multiplico por 0,25 y al resultado le restamos la mitad

multiplicado por 0,2. Modele la expresión que se obtiene.

x

3. El doble de un número quintos de

y

es igual a

x

4. Un hombre recorre

es igual a la quinta parte de otro número

T . Exprese

metros en

m

x

en términos de

y ; si los dos

T .

minutos. Modele la velocidad en kilómetros por

hora? 5. Si después de un descuento del 10%, un producto cuesta

m

soles. Modele la

expresión que describa el precio original.

n

6. En un teatro de

asientos,

a

están ocupados. Modele la expresión que represente

el porcentaje de asientos que están desocupados. 7. En un salón de clase hay

a

chicos y

b

chicas. Modele la expresión que represente

el porcentaje de chicas. 8. Se tiene una cinta de 30 metros de largo con la cual se forma un rectángulo de metros de ancho. Modele la superficie del rectángulo en función de

a.

9. Los primeros cinco minutos de una llamada internacional cuestan

d

minuto adicional cuesta

q

a

dólares y cada

centavos de dólar, si María habló durante 8 minutos.

Modele la expresión que indique cuánto tiene que pagar María. 10.Mi auto rinde

k

kilómetros por galón, si el galón cuesta 3 soles y se le echa

soles. Modele la expresión matemática que indique los recorrer.

d

kilómetros que se pueden

11.A un alambre se le da dos cortes y cada trozo resultante es igual a la longitud del anterior aumentado en su cuarta parte. Modele la longitud del lado mayor, si la longitud del lado menor es 12.Siendo

P

x

metros.

el perímetro de un rectángulo y 12,5m uno de sus lados. Modele es la

longitud del otro lado. 13.José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. Modele la expresión que determine la edad que tiene cada uno si la suma de sus edades es

E .

14.Un comerciante compró 2 500 botellas a $20 el ciento; en el camino se le rompieron 190 botellas y después regala 5 botellas por cada 100 que vendía. Determine a cómo vendió el ciento si en total ganó $116. 15.La compañía Prescott fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12 000 al mes.

Nivelación en Matemática B 3

a) Determina el punto de equilibrio de la empresa. b) Calcule la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1500 unidades por semana. c) Calcule la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por semana. d) Determine la cantidad de unidades que debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual mínima de $ 9 000. 16.Para que una empresa obtenga beneficios, es evidente que el ingreso mayor que el costo

C ; en síntesis habrá utilidad sólo si R=2 x , donde

x

debe ser

R>C . Si una compañía

fabrica discos y su ecuación de costos para una semana es ecuación de ingresos es

R

C=300+1,5 x

y su

es el número de discos vendidos a la

semana. Calcule la cantidad de discos que se debe vender para que la compañía no pierda ni gane. 17.Una tienda de descuento de computadoras realiza una barata de fin de año de dos tipos de computadoras. Se obtienen $41 800 por la venta de 58 computadoras; si uno de los dos tipos se vendió a $600 y el otro a $850. Calcule la cantidad de computadoras de cada tipo que se vendieron. 18.El Estadio Nacional está negociando un contrato con una compañía ambulante de patinaje sobre hielo. Esta compañía cobra $60 000 por noche más 40% de la recaudación de la taquilla. El Estadio Nacional planea cobrar $12,5 por boleto para cualquier asiento. e) Determina el número de boletos que debe venderse cada noche a fin de alcanzar el equilibrio. f) Si el Estadio Nacional tiene la meta de recaudar $15 000 cada noche. Calcule la cantidad de boletos que necesita vender. g) Determine la utilidad por noche, si la asistencia promedio por noche es de 7 500 espectadores 19.El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta x rosas en una hora. A planta x + 2 rosas. Determine cuántas rosas planta B en 4 horas. 20.Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles. Calcule el dinero que tenia al comenzar el juego. 21.En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años la suma de sus edades de Juan y Pedro será: 22.Una de las dimensiones de un rectángulo excede a la otra en 2m; pero si cada dimensión se incrementa en 3m, entonces el área se incrementa en 51 m 2. Encuentre las dimensiones originales. 23.Una compañía fabrica un producto cuyo costo variable por unidad es 6 dólares y el costo fijo 80 000 dólares. Si el precio de venta de cada producto es 10 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de 60 000 dólares. 24.Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de ropa deportiva de 33 dólares por unidad. Calcule la cantidad que debe ser marcada en las etiquetas de modo que aun realizando un descuento del 20% durante la liquidación, genere una ganancia del 15% sobre el costo.

Nivelación en Matemática B 4

25.Una persona tiene S/.120 y otra tan sólo S/.50, después que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le sobra a la segunda, Calcule cuanto les queda en conjunto a ambas personas. 26.En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25, si al vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500 soles, Calcule la cantidad de entradas de S/.65 que se vendieron. 27.Al preguntar un padre a su hijo qué cantidad había gastado de los 350 soles que le dio, este le contesta: “las tres cuartas de lo que no gasté”. Calcule cuanto gastó. 28.La razón del número de varones al de niñas, en un grupo era de 3 a 5. Después se fueron 24 niñas y llegaron 24 varones, con lo que la nueva razón de varones a niñas es de 5 a 3. Determine la cantidad de varones que había en el grupo. 29.Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolución de ocho problemas diarios. El padre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto. Al cabo de 20 días el hijo ganó S/.540. Calcule la cantidad de problemas que el estudiante resolvió correctamente. 30.Los capitales de dos individuos expresados en millones de soles son 1000 y 50. el primero aporta 2 mil soles diariamente, y el segundo 2.2 mil soles. Calcule el tiempo que habrá que transcurrir para que el capital del primero sea 10 veces el del segundo. 31.El número de monedas que tengo en ambas manos es 52; si el número de monedas que tengo en la mano derecha es 7 más que el doble de lo que tengo en la mano izquierda. Determine las monedas que tengo en cada mano. 32.Dos propiedades han costado $ 33 000. Calcula el valor de cada una, sabiendo que el tercio y el cuarto de la primera es igual a los 7/10 del precio de la segunda. 33.Un comerciante regala lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobran 15, si regala 11 a cada uno le faltan 3. Determine la cantidad de lapiceros que tenía.

Actividades colaborativas 1. El lado de un cuadrado es dos veces mayor que el de otro cuadrado; si la suma de sus áreas es “A” m2. Modele la expresión matemática que exprese el perímetro de los cuadrados. 2. Se tiene un cubo de arista “2x”. Determine: a) Área total. b) Área lateral. c) volumen. 3. Se saca de una caja “x” soles y después ingresa en la misma “z” soles, resultando entonces la caja con triple cantidad que la existente antes de esta doble operación. Modele la expresión que represente lo que había al comienzo en la caja. 4. Se desea repartir una cantidad “x” entre Pedro, Juan y Pablo. Pedro recibe la cuarta parte del total y Juan recibe la tercera parte de lo que queda. Modele la cantidad que recibe Pablo.

Nivelación en Matemática B 5

5. Si la edad de Alberto es 3 veces la edad de Julio y juntos suman 52 años, Calcule cuántos años le llevará Alberto a Julio dentro de 5 años. Actividades de extensión 1. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 5 da tres números cuyo producto es 15 360. Determine de qué número se trata. 2. Se reparte “ D ” dólares entre tres personas de tal manera que al primero le toque $30 más que al segundo y a éste la cuarta parte de lo que le toca al tercero. Modele cuanto le toca al segundo. (Dar la respuesta en términos de “D”). 3. Un regalo que vale “ x ” soles quieren comprarlo “n” alumnos, si 8 de ellos se retractan de participar. Modele la expresión que represente cuántos soles más tendrá que pagar cada uno de los restantes que mantienen el acuerdo. 4. Un caño puede llenar un estanque en “a” horas y otro lo puede llenar en “b” horas. Si el estanque está vacío y se hace funcionar los dos caños simultáneamente. ¿Cuánto demora el estanque en llenarse? 5. Un depósito cuya capacidad es “a” litros tiene “b” litros de agua. Se vierte agua al depósito por medio de un caño que llena “x” litros por minuto y sale mediante un grifo de desagüe que arroja “y” litros por minuto (x es mayor que y). ¿Cuántos minutos se tardará en llenar el depósito?

Nivelación en Matemática B 6

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni el denominador.

3 x+2 y +6 z=6

Por ejemplo,

es una ecuación lineal con tres incógnitas.

1. DEFINICIÓN. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

+¿ a12 ∙ x 2 +¿ a22 ∙ x 2 ¿⋮

a11 ∙ x 1 ¿ +¿ a13 ∙ x 3 +¿ ⋯ +¿ a1 n ∙ x n ¿ b 1 a21 ∙ x1 +¿ a23 ∙ x 3 +¿ ⋯ +¿ a 2 n ∙ x n ¿ b 2 ⋮ ¿⋮ ¿ ¿⋮ ¿ ⋮ ¿ am 1 ∙ x 1 ¿ am 2 ∙ x 2 ¿ +¿ a m 3 ∙ x 3 ¿ +¿ ⋯ { ¿ +¿ amn ∙ x n ¿¿¿ b m ¿

En este caso tenemos Los números reales determinar) y

aij

m ecuaciones y n incógnitas. se denominan coeficientes y los

x 1 se denominan incógnitas (o números a

b j se denominan términos independientes.

En el caso de que las incógnitas sean 2 se suele designar simplemente por

x1 y

x 2 , y en el caso de tres,

x ,

y ,

z

en lugar de

x1 ,

x e

x2 y

y

en vez de

x 3 pero esto es

indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Cuando un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, es consistente; en caso contrario es inconsistente. Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Dos ecuaciones lineales con dos variables. Podemos enfocar el problema de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables como un problema de geometría. La gráfica de cada ecuación de tal sistema es una línea recta. Así, un sistema de dos ecuaciones con dos variables representa un par de rectas. Las rectas (1) se pueden cortar, (2) pueden ser paralelas o (3) pueden ser coincidentes (es decir, idénticas). 1. Si las rectas se cortan, el sistema de ecuaciones tiene una solución dada por el punto de intersección. El sistema es consistente y las ecuaciones son independientes. 2. Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solución, ya que las rectas nunca se cortan. El sistema es inconsistente.

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3. Si las rectas son coincidentes, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta. El sistema es consistente y las ecuaciones son dependientes.

Rectas que se corta; el sistema tiene una solución.

Rectas paralelas; el sistema no tiene solución.

Rectas coincidentes; el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES: 2.1. Método de sustitución Ilustraremos el método de sustitución mediante el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. Resuelve

{−42 xx

+¿ y ¿ 5 +¿ 6 y ¿ 12

Resolución. Primero despejamos

y

en la primera ecuación, con lo cual obtenemos

y=5−2 x Sustituimos este resultado en la segunda ecuación y nos quedamos con una ecuación que sólo contiene a la variable

−4 x+6 y −4 x +6(5−2 x ) −4 x+30−12 x −16 x x x

x , la cual también podemos despejar.

¿ 12 ¿ 12 ¿ 12 ¿ −18 −18 ¿ −16 9 ¿ 8

Una vez que sabemos que

x=

9 8 , podemos determinar con facilidad el valor de

sustitución regresiva, es decir, sustituyendo Utilizaremos la primera:

Nivelación en Matemática B 8

9 8

en vez de

x

y

mediante

en una de las ecuaciones originales.

2x+ y ¿ 9 2 +y ¿ 8 9 +y ¿ 4

()

5 5 5 9 4 11 4

y

¿ 5−

y

¿

La solución del sistema es

x=

9 8

,

y=

11 4 .

El método utilizado para resolver el sistema del ejemplo 1 es el de sustitución. Bosquejamos a continuación los pasos de este método.     

Paso 1: Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables en términos de las otras. Paso 2: Sustituir el resultado en las demás ecuaciones. Paso 3: Si se obtiene una ecuación con una variable hay que resolverla. En caso contrario se repite el paso 1 hasta que quede una ecuación con una variable. Paso 4: Determinar los valores de las demás variables por sustitución regresiva. Paso 5: Verificar la solución determinada.

2.2. Método de eliminación Un segundo procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el método de eliminación. Por lo general, este método es preferible sobre el de sustitución cuando este último conduce al uso de fracciones o si el sistema contiene más de dos variables. La eliminación también proporciona la motivación necesaria para la solución de sistemas mediante matrices. La idea subyacente tras el método de eliminación es la de reemplazar las ecuaciones originales del sistema con ecuaciones equivalentes, hasta llegar a un sistema de ecuaciones con una solución obvia. Al proceder de esta forma obtenemos sistemas equivalentes de ecuaciones. Reglas para obtener un sistema de equivalentes de ecuaciones (1) Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema. (2) Multiplicar (o dividir) cada lado de una ecuación por la misma constante distinta de cero. (3) Reemplazar cualquier ecuación del sistema por la suma (o resta) de esa ecuación y cualquier otra del sistema. Un ejemplo le aclarará lo anterior. Al estudiar el ejemplo, preste particular atención al patrón seguido. Ejemplo 2. Resuelve

{

2 x +¿ 3 y ¿ 1 … ( 1) −x +¿ y ¿ −3 … ( 2)

Resolución Multiplicamos cada lado de la ecuación (2) por 2, de modo que los coeficientes de ecuaciones sean el negativo uno del otro. El resultado es el sistema equivalente

Nivelación en Matemática B 9

x

en las dos

{

2 x +¿ 3 y ¿ 1 … (1) −2 x +¿ 2 y ¿ −6 … (2) 5y ¿ ¿ ¿ −5 y ¿−1 ¿ ¿

Ahora sustituimos en forma regresiva utilizando este valor de

y

en la ecuación (1) y simplificamos

para obtener

2x ¿ +¿ 3(−1) ¿ 1 2 x ¿2¿ ¿ 4 ¿ x

Así, la solución del sistema original es

x=2 ,

y=−1 . Dejaremos para usted la verificación

correspondiente. Observemos el patrón del método de eliminación aplicado en el ejemplo 2. Primero eliminamos la variable

x

de la segunda ecuación; después sustituimos en forma regresiva, es decir, sustituimos el

valor determinado para

y

de nuevo en la primera ecuación para encontrar

Actividades de aprendizaje

1. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

  4x  5 y  0   2x  y  6  4 p  3q  0   3 p  4q  6  3v  6t  12   5v  4t  6  x2 y3   2  3  x  y  4

d)

e)

 x y x y  8  2 3   x  y  x  y 1  3 4

Nivelación en Matemática B 10

x .

 2( x  3 y )  5  3(2 y  1)   y x  2y  2  4  1 e) f)

f)

g)

 x  2    x  4

y 1  3 6 y 0 5

g) h)

 x  2( y  x )  1   2 x  y  3( x  y )  3



y   2  x  2   x  y     y  3x5  2 h) i) i)

2. Define un sistema que tenga como conjunto solución: j)

3. Completa el sistema mostrado:

 3x  8 y  .....   15 x  y  .....

x=−4

k)

e

y=1

x=6

y=−7 .

e

de manera que admita como solución los valores

l) 4. Del SEL

{

( a+b ) x + ¿ ( a−b ) y ¿ 15 (2 a−3 b ) x +¿ ( 2 a−5 b ) y ¿ a+ 2b

m) n) o) p)

Admite como soluciones Calcule

s)

a=x+2 y +6

t)

b=4 x +2 y

c=2 x+ y

; ;

d=3 x – y

; a // c ;

b/¿ d

Calcula el perímetro de dicho paralelogramo.

w)

6. Resuelve los siguientes sistemas: x)

 2 x  4 y  6 z  22   3x  8 y  5 z  27   x  y  2z  2  y)

y=−7 .

e

b−a .

q) 5. Los lados paralelos de un paralelogramo miden: r)

u) v)

x=3

a)

Nivelación en Matemática B 11

 3x  2 y  8z  9    2x  2 y  z  3  x  2 y  3z  8  z) b) aa) ab) ac) ad) Actividades colaborativas ae) 1. Resolver los siguientes sistemas: af) 1   x 1  2y    x 1  1  y ag) a)  2 x  3 y  16 

ah) b)

ai) c)

 8 x  2 y  36  1 1 1  x  y  12   1 1 1     y z 20  1 1 1     x z 15



aj)

e)

1 1  x y  x y  a    1  1 b  x  y x  y

ak)

2. Se tiene: al)



3x  2 y  1  0 

7y  z  4 

2x  4z  3  0

 

0

am) an)

( x , y , z) es solución del sistema.

ao)

Si:

ap) aq)

Calcule el valor de:

( x  y) 2 ( y  z) 2 ( x  z) 2   z x y ar) 3. Los lados de un triángulo equilátero miden: Calcule el perímetro de dicho triángulo. as) 4. Resuelve el siguiente sistema:

Nivelación en Matemática B 12

( y +2)

cm,

( x+ 2 y )

cm y

( y – 2 x)

cm.

 1 1 7  x  y  12   1 1 3     y z 4  1 1 5     x z 6

at) au) av) aw) ax) ay) az)

ba) Actividades de Extensión

bb) 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones bc) 21a+ 10 b=3 a) −9 a+ 6 b=15

{

bd) b)

c)

d)

w+ z=−11 {112w−2 z=−38 be) 9 x +4 y=25 12 x−6 y =5

{

{ { {

bf) x y + =2 2 3 15 x−30=−5 y 2

bg) b a + =4 4 6 e) 3a b − =5 4 2

f)

bh) c−d ( c+ d )+ =0 3 10 c+7 d =−4 6

bi) 5. Resolver el sistema: bj) bk)

{

2 x + y + z=8 5 x−3 y +2 z=3 7 x + y +3 z=20

Nivelación en Matemática B 13

bl) bm)

Calcule

bn)

6. Resuelve el siguiente sistema bo)

 3x  2 y  15  a)

 6 x  3 y  9 bp)

 2 y  3z  7   3x  6 y  12 z  3  5 x  2 y  2 z  7  b) bq)

 2 x  y  z  180   x  3 y  2 z  300

 2 x  y  2 z  240  c)

Nivelación en Matemática B 14

(x 2+ y 2)

br) bs)

APLICACIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLE

bt) bu) Actividades de Aprendizaje bv) 1. CAROLA SAC es fabricante de blusas y faldas. En un determinado mes produce 65 de estas x

y

prendas. Cada falda se vende a S/. 100 y cada blusa se vende a S/. 120. Considere que e representan el número faldas y blusas que fabrica la empresa. Modele el sistema de ecuaciones que permita calculara el número de blusas y el numero de faldas que deben confeccionarse para obtener S/. 7100 con dicha venta. bw) 2. José tiene en su billetera, billetes de S/.20 y de S/.10, en total tiene 15 billetes con un valor de x

y

S/.200. Considere que e representan el número de billetes de S/.20 y S/.10 respectivamente. Modele un sistema de ecuaciones que permita calcular el número de billetes de cada denominación que tiene José. bx) 3. Carlitos viendo que se acerca el día de la madre, compra una lavadora y una refrigeradora, por un valor total de $ 3 500. Si por la lavadora le hubieran hecho un descuento del 10% y por la refrigeradora un descuento del 8%, hubiera pagado $ 3 170.Modele el sistema de ecuaciones que me permita encontrar el precio de cada artículo. by) 4. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número N; y menor que 5 que el cuadrado del número siguiente a N. Modele la expresión matemática que permita determinar la edad que tiene la tortuga. bz) 5. El 40% de los estudiantes de un aula A son varones, y la cuarta parte de los de otra aula B son mujeres. Si en total son 33 chicos y 25 chicas. Determine cuántos alumnos tiene cada grupo. ca) 6. En una nevera hay 22 latas de refresco, unas de 1/3 de litro y otras de 1/5 de litro de capacidad. Si en total contienen 6 litros. Calcule la cantidad de latas que hay de cada tipo. cb) 7. En un grupo de conejos y gallinas el número de patas excede en 14 al doble, del número de cabeza. Calcule el número de conejos. cc) 8. Una familia consta de varios hijos entre niños y niñas, alguien preguntó cuántos eran, y la niña mayor respondió que tenía tantas hermanas como hermanos a lo que el niño mayor añadió que tenía el doble de hermanas que hermanos. a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el número de niños y niñas de dicha familia. b) Calcule el número de niñas que hay en dicha familia. cd) 9. Una de las salas de un cine de la ciudad de Lima tiene 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierta función, con dicha sala llena, había la mitad de adultos con respecto del número de niños y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de $2 800. ¿Cuántos niños fueron a la función? ce) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el número de niños, estudiantes y adultos que asistieron a la función en dicha sala. cf) a) Calcule el número de niños que asistieron a la función del cine en dicha sala. cg) 10. La profesora de Matemática le propone a John 30 problemas, para que lo resuelva todos, por cada problema bien resuelto le da S/. 4 y por cada problema mal resuelto John tendrá que entregar a la

Nivelación en Matemática B 15

profesora S/. 2 Calcule cuántos problemas resolvió correctamente, si resulta que al final tenia en total S/. 30. Considere

x los problemas bien resueltos.

ch) ci) cj) Actividades Colaborativas ck) 1. Modele lo que se indica en la columna 2 según los enunciados de la columna 1. cl) cn) cm) Columna 1 Columna 2 (Enunciados) (Modelamiento) co) Modele cuántos soles más, tendrá que pagar cada uno de los restantes (que a) Un regalo que cuesta “x” soles quieren mantienen el acuerdo) en comprarlo “n” alumnos, si 8 de ellos se función de x y n . retractan de participar de la compra. cp) cq) cr) cs) Modele la expresión matemática que permite determinar los minutos b) Un depósito cuya capacidad es “a” litros tiene que se tardará en llenar el “b” litros de agua. Se vierte agua al depósito por depósito medio de un caño que llena “x” litros por ct) minuto y sale mediante un grifo de desagüe que cu) arroja “y” litros por minuto (x > y). cv) cw) cx) cy) cz) Modele el costo total en dólares c) La empresa AUDIO-LINE produce cintas de audio de calidad para conciertos en vivo. Si dicha empresa al producir una cinta gasta 20 dólares y presenta ademas otros gastos por concepto de publicidad de 100 dólares. Considerando que

x x representa el número

de cintas producidas.

C , como una

función de

x x.

da) db) dc) dd) de) df) dg) dh) dk) Considere que se producen x vestidos e y faldas. Modele las ecuaciones que representan la situación.

d) FASHION-SAC es fabricante de vestidos y faldas. En un determinado mes produce 112 de estas prendas. Cada falda se vende a S/. 150 y cada vestido se vende a S/. 210. ¿Cuántos vestidos y faldas deben confeccionarse para obtener S/. 4500 con dicha venta. di) dj) dl) 2. Para la compra de útiles de escritorio, Sonia ha guardado S/.550 en billetes de S/.10 y S/.20, si hay 40 billetes en total. dm) a) Calcule la cantidad de billetes de cada denominación.

Nivelación en Matemática B 16

b) Si Sonia realiza las compras y paga con 13 billetes de s/.20 y 8 de s/10. Diga Ud. Cuantos billetes de cada denominación aún le queda. dn) 3. A una conferencia asistieron 33 profesionales entre psicólogos clínicos y psicólogos educativos. Se recaudó S/.116 000 para ayudar al tratamiento de los niños con enuresis de un hospital de solidaridad. Si cada psicólogo clínico colaboró con S/.4 000 y cada psicólogo educativo con S/. 3 000, Se pide: do) a) Modele un sistema de ecuaciones lineales que permita Calcular cuántos psicólogos clínicos y cuántos psicólogos educativos asistieron a la conferencia. b) Determinar la cantidad de psicólogos clínicos y educativos asistieron a la conferencia. dp) dq) dr) 4. La edad de A excede en 22 años a la edad de B y si la edad de A se divide entre el triple de la de B el cociente es 1 y el resto 12. Determinar ambas edades. ds) 5.

Un cierto Capital

y

se desea reunir entre

x

personas. Si cada uno aporta $240 faltan $100

para completar el Capital y si aportan $250 sobran $50. Calcule el Capital a reunir Determine el número de personas dt)

du) Actividades de extensión dv) 1. La suma, diferencia y producto de 2 números, están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Calcule los números. dw)

2. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantos compró de S/.48 ni cuantos de S/.42, solamente recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no llegó a diez. Determine la cantidad de objetos de S/.48 que compró. dx)

3. Una granja tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre. El dueño dispone de $18 600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente. Calcula la cantidad de acres debe plantar de cada cultivo. dy)

4. En La cantidad total de pasajeros que utilizan cierta ruta durante el turno matutinos es de 1 000. Si el pasaje de cada niño cuesta 25 centavos, el de adulto 75 centavos y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de $650. Calcule cuántos niños y cuántos adultos utilizaron el autobús en la mañana. dz)

5. En unas rebajas he comprado un pantalón, con el 20% de descuento, y una camisa con el 40% de descuento, pagando en total $ 54. Antes de las rebajas habría tenido que pagar $ 75. Calcule el precio inicial de cada artículo. ea)

6. Un cine tiene 900 asientos y cobra $2 por niño, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierta función, con el cine lleno, había la mitad de adultos con respecto del número de niños y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de $2 800. Determine cuántos niños fueron a la función. eb)

ec)

Nivelación en Matemática B 17