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Universidad Nacional de Piura Facultad de ingeniería Industrial Escuela Profesional de Ingeniería Informática

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

Aplicación de Sistema de Ecuaciones ASIGNATURA: Matematica Basica ALUMNOS:     

Pisfil Hernandez, Cristhian David Campos Adrianzen, Fernando Jose Herrera Naira, Alan Walmer Chumacero Jibaja, Keny Danfer Ruiz Marchena, Marlon Jadir DOCENTE: Lic. Edgar Johny Ojeda Mauriola

FECHA DE PRESENTACIÓN: Jueves 16 de agosto de 2018 PIURA – PERU

Índice I. Presentación…….………………………...…………………………………………. 03 II. Marco teórico…………………………………………………………………..…… 04 1. Sistema de ecuaciones lineales……………………………………………………… 04 2. Tipos de sistemas……………………………………………………………………. 05 3. Representación gráfica…………………………………………………………….... 06 4. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales………………………….. 07 4.1. Método de reducción………….……………………………………………… 07 4.2. Método de igualación……………………………………………………….... 08 4.3. Método de sustitución…………….…………………………………………... 09 4.4. Método de gauss………………...………………………………..…………….. 10 4.5. Método de la matriz inversa………..…………………………………………..12 4.6. Regla de Cramer……………………....…………………………………..….. 12 5. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales……………………………….... 14 5.1. Analizar el flujo de tráfico en una red de calles que se cruzan unas con otras…. 16 5.2. A la hora de calcular el presupuesto de un proyecto, una empresa………….. 16 5.3. En La Ingeniería ………………………………………………………………. 17 5.4. Análisis sísmico, resolver ecuaciones de ondas………………………………… 19 5.5. En la Física……………………………………………………………………. 19 5.6. En la Biología…………………………………………………………………. 20 5.7. Fracciones parciales…………………………………………...……………... 21 5.8. Ajuste de curvas…………………………………………………………….… 24 5.9. Leyes de Kirchhoff………………………………………………………….... 26 6. Algoritmo para el desarrollo de sistema de ecuaciones lineales…………………….. 28 6.1. Pseudocodigo del Algoritmo…..……….…………………...………………….. 29 III. Conclusiones…………………………………………………………………….… 31 IV. Referencias…………………………………………………………………..…….. 32

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PRESENTACIÓN Los sistemas de ecuaciones lineales se desarrollan fácilmente si se tiene pocas incógnitas, pero si tomamos en cuenta las posibilidades y el número de incógnitas se puede volver algo tedioso mientras más variables lleve este. En el presente trabajo se desarrolla un análisis de las teorías y para ello se utilizarán distintos modos para la resolución de sistema de ecuaciones de dos incógnitas a más. Conociendo más a fondo el método de Cramer se ha creído conveniente usarlo para desarrollar nuestro programa de trabajo final del curso. Tambien veremos aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales; por otro lado, como nuestro programa funciona paso a paso y con la teoría respectiva, veremos la complejidad de éste y como de manera fácil usando nuestro programa se llega a la solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales. Se espera que el presente trabajo sirva de ayuda a la comunidad y como vemos es un claro ejemplo de cooperación entre dos áreas, la ingenieria informática y las ciencias de la matemática.

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MARCO TEÓRICO 1. Sistema de ecuaciones lineales: En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Los sistemas de ecuaciones lineales con de la siguiente forma:

incógnitas se puede escribir matricialmente

De izquierda a derecha, la primera matriz, en la igualdad anterior es la matriz de los coeficientes y la llamaremos , la segunda matriz es la matriz de las incógnitas y la llamaremos . La tercera es la matriz de los términos independientes y la llamaremos . Con esta notación, nuestro sistema de ecuaciones lineales se puede representar de la siguiente manera:

La matriz de los coeficientes ampliada con los términos independientes o simplemente la matriz ampliada es la matriz de los coeficientes, , a la que se añade la columna de los términos independientes, :

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2. Tipos de sistemas: Tomando las soluciones de sistema de ecuaciones lineales podemos distinguir la existencia o no de estos clasificándolos de la siguiente manera:  Sistema compatible: Aquel sistema que tienen solución.  Sistema compatible determinado: Es aquel sistema que admite una única solución. Que geométricamente sería un único punto de intersección entre rectas o planos si se tratase de R3. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero  Sistema compatible indeterminado: Es aquel que admite infinitas soluciones, y de ahí el nombre. Geométricamente son aquellos infinitos puntos de intersección entre rectas o planes si se tratase de R3. Dicho de otra forma, son coincidentes.  En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.  La condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual que el rango de la matriz ampliada y menor al número de incógnitas(y por tanto uno de sus autovalores será 0)  Sistema incompatible: Aquel sistema que no tiene solución. Geométricamente serian rectas que no se interceptan en ningún punto. Dicho de otra forma, son paralelos. Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero

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3. Representación gráfica: Un sistema con ”n” incógnitas se puede representar en el espacio de dimensiones-n. Quiere decir que si nuestro sistema de ecuaciones es de 2 variables su representación gráfica será en el sistema de dos ejes. Donde la solución será aquel punto de intersección (si el sistema es de única solución). Por ejemplo, tenemos el siguiente sistema: 6X-2Y=6

{

3X-4Y=3

Su representacion gráfica es:

Y su solución sería el punto de intersección A(1,0). Donde X=1 y Y=0.

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4. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil, ¿no?). A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método ( el de igualación, por ejemplo ). Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas. Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados. Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

4.1. Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho es la suma de los miembros derechos de las ecuaciones que se suman.

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Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5 Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo obtiene

desaparezca al

por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se

que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

.

4.2. Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones algebraicas). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en la ecuación

ni en , entonces

no contendría dicha incógnita. Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. 8

Ejemplo. El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es Sustituyendo

.

por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

.

4.3. Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar obtener la ecuación:

en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí

y

son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo. Intentemos resolver

La primera ecuación se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

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Sustituyendo

por

en

se tiene que que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es

.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita cuya solución es

.

4.4. Método de Gauss: “Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!” El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente a la inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Ejemplo. La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

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Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente a la inicial. Solucionamos la tercera ecuación para obtener

En la primera y segunda ecuación, sustituimos ecuación ( ), para obtener:

:

por la solución de la tercera

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en :

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que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

4.5. Método de la matriz inversa: Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:

que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes matriz de términos independientes .

y

4.6. Regla de Cramer “Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribución a las Matemáticas!” Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

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satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de la matriz de los terminos independientes, .

por

Ejemplo Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz cuadrada y Cramer para resolverlo:

de los coeficientes es una matriz

. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de

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5. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Los sistemas de ecuaciones sirven para resolver problemas aplicados a la vida diaria recuerda que las matemáticas son fundamentales y todo lo que nos rodea son matemáticas imagínate este problema En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado? Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema. Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas. En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:

El La

número total de nota es un 8 y

preguntas es 20, luego: x + y = 20 cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:

De la sustituyendo 2y + 8 + sustituyendo

segunda y = 20 en la

ecuación: en ⇒ 3y = ecuación

x

=

2y

+

la 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y del principio: x =

8 ; primera: = 4 ; 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta. Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida. Esta, por ejemplo es una de las tantas situaciones en las que se utiliza un sistema de ecuaciones.

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5.1. Analizar el flujo de tráfico en una red de calles que se cruzan unas con otras:

Conociendo el porcentaje de coches que suelen pasar de una calle a otra en cada intersección, se puede montar un sistema de ecuaciones lineales que, siendo resuelto mediante el método de Gauss, permite hacer un cálculo de la cantidad de tráfico que va a soportar cada calle y tomar las medidas oportunas:   

Temporización de los semáforos. Colocación de pasos de cebra. Señales de stop

5.2. A la hora de calcular el presupuesto de un proyecto, una empresa.

Sea cual sea su ámbito, puede utilizar el método de Gauss. Hay muchos factores interrelacionados: el tamaño del proyecto, los materiales a utilizar, las horas de trabajo 16

que se necesitan y el número de personas que lo van a realizar entre otras cosas. Con todos estos factores, se puede formar matemáticamente un sistema de ecuaciones lineales.

5.3. La Ingeniería El aporte más significativo que se dio con esta expresión radica en el hecho de considerar, por primera vez en una EBM, la separación de los continuos matriz y fractura, reflejada en la diferenciación de las compresibilidades. Con esta ecuación es posible calcular el petróleo inicial existente en cada medio poroso, como incógnitas independientes, en un sistema inicialmente subsaturado. En la Figura 1 se observa el modelo simplificado de yacimiento en el cual se apoya el planteamiento del balance que conlleva a la EBM. La matriz y las fracturas se consideran como depósitos independientes conectados. La matriz aporta fluido al sistema de fracturas y estas conducen el fluido que será producido.

Expresando convenientemente los volúmenes contenidos en los depósitos y transferidos desde el inicio de la producción, en función de variables como el volumen de petróleo inicial en el yacimiento, los factores volumétricos, la relación de solubilidad y los volúmenes de petróleo y gas producidos, se llega a la expresión:

Los autores propusieron un método de solución basado en un gráfico diagnóstico que resulta en una línea recta, de cuya pendiente y ordenada se obtiene el volumen de petróleo original en las fracturas y en la matriz, respectivamente. Niz (2003) rescribió la Ecuación 1 de la siguiente forma: 17

Y propuso que la EBM en la forma de la Ecuación 2 podría resolverse para N1 y N2 utilizando regresión lineal, ya que tiene la forma:

El método gráfico tiene la desventaja de que se presenta distorsión numérica para los primeros datos, puesto que la transformación de las variables implica dividir toda la expresión entre el coeficiente x2, el cual tiende a cero a presiones cercanas a la inicial, generando una exageración de la variable dependiente. Lo anterior contribuye a que se desarrolle una región de comportamiento no lineal temprano en el gráfico propuesto, que sumado los efectos derivados de la discordancia entre los fenómenos reales y las suposiciones inherentes al modelo matemático, dificultan la selección de la mejor recta. Por su parte, la solución utilizando regresión lineal permite hacer un análisis estadístico de la solución, al hallar los intervalos de confianza y analizar la viabilidad de aplicar el 18

modelo matemático, observando el comportamiento de los gráficos de residuos (Fair, 1994).

5.4. Análisis sísmico, resolver ecuaciones de ondas La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

Donde

es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

5.5. En la Física En mecánica cuántica existen diversos tipos de ecuación de movimiento para la función de onda según el tipo de problema o sistema cuántico estudiado. Los ejemplos más conocidos de ecuación del movimiento son: La ecuación de Schrödinger

La ecuación de Klein-Gordon 19

La ecuación de Dirac

5.6. En la Biología Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era: dy / dt = y con solución

y = ce

Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0. Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo. Formulación Matemática: Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces: dy / dx = F(y) y = Yo para t=0 Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y - y² , y = Yo para t = 0. Puesto que la ecuación F(y) = y - y² es de variables separables, tenemos dy / y - y² = dt ó " dy / y ( - y) = t + c esto es, "1/ [1/y + / - y]dy = t + c = 1/ [ln y - ln ( - y)] = t + c 20

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que: Y= /__ 1 + [ / / Yo - 1] e Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que: Ymax = lim Y = / t!" Por simple álgebra encontramos: Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2) t!" Y1² - YoY2

5.7. Fracciones parciales En el curso de integración se revisa una técnica que consiste en cambiar la forma en que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para realizar cierto tipo de cálculo, como veremos en el siguiente ejemplo de aplicación. Ejemplo. Determina los valores de las contantes a y b.

Despejando el numerador de lado izquierdo, se obtiene:

Reduciendo términos comunes y agrupando los valores en x y constantes:

Del primer miembro no existen términos con x, así que se iguala a 0 el término del segundo miembro, mientras que el término constante se iguala con los términos constantes del segundo miembro. Resultando el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales.

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La matriz aumentada queda de la siguiente manera, aplicando la eliminación de GaussJordan, tomando como pivotes los términos que se encuentran con un círculo.

Resultan los valores de a y b.

Estos valores de a y b satisfacen el cociente.

NOTA: Se deja como ejercicio demostrar que los valores de a y b al sumar las dos funciones racionales cumplen con la fracción original. Ejemplo. Determina los valores de las contantes a, b y c.

Despejando el numerador de lado izquierdo, se obtiene:

Reduciendo términos comunes y agrupando los valores en X2, x y términos constantes.

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Del primer miembro existen términos con x2, así que se iguala al binomio que tenga x2; asimismo, en el primer miembro existen términos con x, así que se iguala al binomio que tenga x, mientras que el término constante se iguala con los términos constantes del segundo miembro.

Resultando el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales.

La matriz aumentada queda de la siguiente manera; aplicando la eliminación de GaussJordan, tomando como pivotes los términos que se encuentran con un círculo.

Resultan los valores de a, b y c. 23

Estos valores de a, b y c satisfacen el cociente.

NOTA: Se deja como ejercicio demostrar que los valores de a, b y c al sumar las dos funciones racionales cumplen con la fracción original.

5.8. Ajuste de curvas El ajuste de curvas se presenta en áreas de la ingeniería y estadística. Se tienen como datos pares coordenados de la forma:

y se necesita encontrar un polinomio cuya gráfica pase por estos puntos. Se puede demostrar que si todos los puntos son distintos, entonces hay un polinomio único de grado n - 1 (o menor).

que se ajusta a los puntos dados Los coeficientes a0, a1, a2, ..., an-2, an-1 del polinomio buscado se pueden encontrar sustituyendo los puntos en la ecuación polinomial y después resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo. Encuentra la ecuación de un polinomio de grado dos cuya gráfica pasa por el conjunto de tres puntos dados por (1, 6), (2, 3) y (3, 2). Sea el polinomio buscado:

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Se dieron tres puntos y se usarán para determinar las tres incógnitas a0, a1 y a2. Sustituyendo los valores de x y de y, en la ecuación de grado dos para cada una de las coordenadas, Si x = 1, y = 6; Si x = 2, y = 3; Si x = 3, y = 2;

Se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones con a0, a1 y a2.

Al resolver el sistema por la eliminación de Gauss-Jordan. Tomando como pivotes los valores encerrados por círculos.

Se encuentra que:

Y la parábola que pasa por los tres puntos es:

Con la gráfica siguiente.

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5.9. Leyes de Kirchhoff Los circuitos eléctricos se rigen por las leyes de Kirchhoff, las cuales son:

Primera Ley de Kirchhoff para corrientes

La suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a 0. Las corrientes que entran son positivas, mientras que las corrientes que salen son negativas e iguales a 0.

Segunda Ley de En una malla cerrada, la suma de caídas Kirchhoff para de tensión es igual a la suma de fuerzas voltajes eléctricas aplicadas. Ejemplo. Para el siguiente circuito obtén el valor de las corrientes i1, i2, i3.

Aplicando

la

Primera

Ley

de

Kirchhoff

en

el

nodo

A

La suma de corrientes en el nodo B es 0: i1 - i2 - i3 = 0 La suma de corriente en el nodo B es 0: i3 + i2 - i1 = 0 Se observa que la segunda ecuación obtenida del nodo B, es la misma que la del nodo A, pero con signos opuestos. 26

Aplicando la Segunda Ley de Kirchhoff En la malla cerrada BCAB 5i1 + 5i3 = 10 En la malla cerrada BADB - 5i3 + 10i2 = 16 En la malla cerrada BCADB 5i1 + 10i2 = 26 El signo menos (-) en la tercera ecuación se debe a que la corriente va en sentido contrario al que se recorre la malla. Resultando el sistema de cuatro ecuaciones lineales, con la matriz aumentada.

Aplicando la eliminación de Gauss-Jordan Tomando como pivotes los valores encerrados por círculos.

Se obtienen los siguientes valores de las corrientes, que son los valores buscados.

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6. ALGORITMO PARA EL DESARROLLO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

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A continuación, se mostrará el desarrollo de un programa, el cual tiene como proposito desarrollar un Sistema de ecuaciones lineales por el metodo de Cramer. Al principio el Programa pedira la cantidad de incognitas, las letras que se desean para nombrar las variables que pueden cualquier letra ya sea mayúscula o minúscula y también pedirá los valores de cada coeficiente de dichas variables por posición en la matriz ordenadamente fila por fila. El algoritmo desarrollara automaticamente el ejercicio propuesto dando como resultado final el valor de cada incognita mostrando tambien la letra asignada a la variable. 6.1. Pseudocodigo del Algoritmo Algoritmo programa Escribir sin saltar "INGRESE EL NUMERO DE ECUACIONES:"; Leer n; Dimension matriz[n,n+1]; Dimension variables[n]; Para i