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• Mariela Estela

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INTEGRACIÓN Y ECUACIONES DIFERENCIALES INTEGRACIÓN

Resolver a)

(2𝑥 − 100)

b)

𝑑𝑥

𝑒√ 𝑑𝑥 √𝑥 𝑥 𝑑𝑥

c)

e)

cos(3𝑥 − 4) 𝑑𝑥

f)

tan 𝑥 𝑑𝑥

g)

cos 𝑥 𝑑𝑥 2sen 𝑥 + 3

h)

ln(ln 𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥

√2 + 𝑥

d)

𝑒 cos(𝑒 ) 𝑑𝑥

Resuelva las siguientes integrales

a)

ln 𝑥 𝑑𝑥

b)

𝑥𝑒 𝑑𝑥

c)

sec 𝑥 𝑑𝑥

d)

arccos 𝑥 𝑑𝑥

2) Resuelva la siguiente integral usando cambio de variable e integració n por partes. 𝑥 𝑒

𝑑𝑥

ECUACIONES DIFERENCIALES

A

S

:

1) Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales: b) (𝑦 ) + 𝑥 = 1

a) 𝑥 𝑦 = 1

c) 𝑦 + 𝑥 𝑦 = 2

d) sen(𝑦 ) + 𝑥 = 𝑦

2) En los siguientes problemas, compruebe que la funció n 𝑦 = 𝑓(𝑥) es solució n de la correspondiente ecuació n diferencial. a) 𝑦 − 8𝑥 = 0, 𝑦 = 4𝑥 b) 𝑦 − 2𝑦 + 5𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑒 cos 2𝑥, 𝑦 = 𝑒 sen 2𝑥

3) a) Determine todos los valores de 𝑎 para los que 𝑦 = 𝑒

sea una solució n de

𝑦 + 4𝑦 − 12𝑦 = 0 b) Grafique la familia de funciones halladas en 𝑎).

A

S

:

Sea 𝑦(𝑡) una solució n de (cos 𝑦 + 1)

𝑑𝑦 = 2𝑡. 𝑑𝑡

a) Pruebe que sen 𝑦 + 𝑦 = 𝑡 + 𝐶. b) Halle 𝐶, si 𝑦(2) = 0. c) Con el valor 𝐶 obtenido en 𝑏), halle los puntos pertenecientes a la grá fica de 𝑦(𝑡), cuya ordenada sea 𝜋. d) Suponiendo que 𝑦(6) = 𝜋/3, halle la ecuació n de la recta tangente a la grá fica de 𝑦(𝑡) en el punto (6, 𝜋/3).

A

S

:

1) (Problemas/Rogawski/Secció n 10.1) ¿Cuá l de las siguientes ecuaciones es de variables separables? Escriba aquellas que son de variables separables de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) (pero no las resuelva). a) 𝑥𝑦 − 9𝑦 = 0

c) √4 − 𝑥 𝑦 = 𝑒 sen 𝑦 d) 𝑦 = 9 − 𝑦

b) 𝑦 = 𝑥 + 𝑦

2) (Problemas/Rogawski/Secció n 10.1) En los siguientes problemas, aplique separació n de variables para una solució n. a) 𝑦 + 4𝑥𝑦 = 0 b) 𝑦 + 𝑥 𝑦 = 0 𝑑𝑦 c) − 20𝑡 𝑒 = 0 𝑑𝑡 d) 𝑡 𝑦 + 4𝑦 = 0

A

S

e) √1 − 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦 f) 𝑦 = 𝑦 (1 − 𝑥 ) g)

𝑑𝑦 = 𝑦 tan 𝑡 𝑑𝑡

:

1) ¿Cuá les de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales de primer orden? a) 𝑦 + 𝑥 𝑦 = 1

c) 𝑥 𝑦 + 𝑦 = 𝑒

b) 𝑦 + 𝑥𝑦 = 1

d) 𝑥 𝑦 + 𝑦 = 𝑒

2) En los siguientes problemas, halle la solució n general de la ecuació n lineal de primer orden a) 𝑥𝑦 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 b) 𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 c) 𝑦 + (sec 𝑥)𝑦 = cos 𝑥

d) 𝑦 − (ln 𝑥)𝑦 = 𝑥 e) 𝑒 𝑦 = 1 − 𝑒 𝑦

3) Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales. a) 𝑦 + 3𝑦 = 𝑒 , 𝑦(0) = −1 b) 𝑥𝑦 + 𝑦 = 𝑒 , 𝑦(1) = 3 c) (sen 𝑥)𝑦 = (cos 𝑥)𝑦 + 1, 𝑦(𝜋/4) = 0

𝑦 = 𝑥 , 𝑦(1) = 2 1+𝑥 e) 𝑦 + (sec 𝑡)𝑦 = sec 𝑡, 𝑦(𝜋/4) = 1 𝑥𝑦 1 f) 𝑦 + = , 𝑦(1) = 0 1+𝑥 (1 + 𝑥 ) /

d) 𝑦 +

APLICACIONES

P

:

1) Un coche que viaja a una velocidad de 24 m/s, empieza a frenar en el momento 𝑡 = 0 con una aceleració n constante de 𝑎 = −6 m/𝑠 . a) Halle la velocidad 𝑣(𝑡) en el instante 𝑡. b) Halle la distancia 𝑠(𝑡) recorrida por el coche hasta que se detiene, suponiendo que 𝑠(0) = 0. 2) Resuelva el problema anterior con aceleració n no constante 𝑎(𝑡) = 𝑡 − 𝑡 − 6.

P : Consideremos una població n de bacterias que crece proporcional al nú mero de habitantes. Si la població n inicial de bacterias se duplica en 50 añ os, calcule en qué tiempo se triplicará .

P : En cierto cultivo de bacterias, la tasa de crecimiento de su població n en cualquier instante es proporcional al tamañ o de la població n en ese mismo instante. Si se observa que el nú mero inicial de bacterias se duplica en cuatro horas, halle a) la constante de proporcionalidad. b) la població n inicial de bacterias, si al cabo de 12 horas la població n es de 96000 habitantes.

P : Un tanque contiene inicialmente 100 lt de agua pura. Se vierte dentro del tanque una solució n que contiene 0.5 gramos de sal por litro, a una razó n de 2 litros por segundo, y sale de la mezcla con la misma velocidad. Calcule la concentració n de sal en el tanque transcurrido 10 segundos.

Sugerencia: En cierto cultivo de bacterias 𝑃(𝑡) representa el tamañ o de la població n en el instante 𝑡. Si la tasa de crecimiento de esta població n en cualquier instante es proporcional al tamañ o de la població n en ese mismo instante, se tiene 𝑑𝑃 (𝑡) = 𝑘𝑃(𝑡), 𝑑𝑡 𝑑𝑃 = 𝑘 𝑑𝑡, de 𝑃 donde ln 𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝑐. Finalmente 𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝑒 , donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad y 𝑃(0) la població n inicial. el cual puede ser expresado como una ecuació n de variable separable dada por

Observación: Cuando 𝑘 > 0, la població n aumenta en el tiempo, y se dice que la població n crece exponencialmente, mientras que cuando 𝑘 < 0, la població n disminuye en el tiempo, y se dice que la població n decrece exponencialmente. A

S

:

En cierto cultivo de bacterias, la tasa de crecimiento de su població n en cualquier instante es proporcional al tamañ o de la població n en ese mismo instante. Si se observa que el nú mero inicial de bacterias se reduce a la mitad en 8 horas, halle a) la constante de proporcionalidad. b) la població n inicial de bacterias, si al cabo de 24 horas la població n es de 32000 habitantes.

Sugerencia: En poblaciones cuyo tamañ o se encuentra limitado superiormente por una constante 𝐴, debido a factores del medio ambiente, el modelo de crecimiento poblacional en este caso es 𝑑𝑃 = 𝑘𝑃(𝐴 − 𝑃) 𝑑𝑡 donde 𝑘 es una constante positiva y 0 < 𝑃(𝑡) < 𝐴 para todo 𝑡 ≥ 0. A la constante 𝐴 tambié n se le llama capacidad de carga y a 𝑘 tasa de crecimiento logístico.

A

S

:

a) Deducir la solució n general de la ecuació n de crecimiento poblacional logı́stico. 𝑑𝑃 𝑑𝑃 Sugerencia: La ecuació n = 𝑘𝑃(𝐴 − 𝑃) puede ser escrita como = 𝑘𝑑𝑡 la cual 𝑑𝑡 𝑃(𝐴 − 𝑃) 1 1 1 1 es una ecuació n de variable separable. Dado que = + , se sigue 𝑃(𝐴 − 𝑃) 𝐴 𝑃 𝐴−𝑃 1 (ln 𝑃 − ln(𝐴 − 𝑃)) = 𝐴

𝑑𝑃 = 𝑃(𝐴 − 𝑃)

𝐴−𝑃 𝐴−𝑃 =𝑒 = −𝐴𝑘𝑡−𝐴𝑐, es decir 𝑃 𝑃 donde 𝐵 es una constante positiva. Luego ln

𝑒

𝑘 𝑑𝑡 = 𝑘𝑡 + 𝑐

. Finalmente 𝑃(𝑡) =

𝐴 1 + 𝐵𝑒

,

b) Resolver la siguiente situación. En una comunidad de 45000 habitantes, la tasa de crecimiento de una epidemia de gripe es conjuntamente proporcional al nú mero de personas que han contraı́do la gripe y el numero de personas que no se han contagiado. Si 200 personas tienen la gripe al brote de la epidemia y 2800 la tienen despué s de 3 semanas, obtenga un 45000 modelo matemá tico que describa la epidemia. Rpta: 𝑃(𝑡) = 1 + 224𝑒 . c) (Ejemplo2/Rogawski/Secció n 10.3) Una població n de ciervos presenta un crecimiento logı́stico con constante de crecimiento (o tasa de crecimiento )𝑘 = 0, 4 en un bosque con capacidad de carga de 1000 ciervos. • Halle la població n de ciervos 𝑃(𝑡) si la població n inicial es 𝑃 = 100 • ¿Cuá nto tarda la població n en estar formada por 500 ciervos?

A

S

:

Un objeto se saca de un horno a 137°𝐶 y se deja enfriar en una habitació n a 21°𝐶 . Si la temperatura descendió a 93°𝐶 en media hora, ¿cuá l es la temperatura del objeto despué s de tres horas? Ì Deducir la ecuació n diferencial del enfriamiento de cuerpos. Ley de enfriamiento de Newton: Un cuerpo con temperatura inicial 𝑇 se coloca en un ambiente cuya temperatura es 𝑇 . La taza a la el cuerpo se enfrı́a o calienta es proporcional a la diferencia de la temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Esto es 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇 ) 𝑑𝑡 donde 𝑇(𝑡) es la temperatura del cuerpo en el instante 𝑡 y 𝑘 es la constante de proporcionalidad.

A

S

:

a) Deducir la solució n para la ecuació n de la Ley de enfriamiento de Newton. Sugerencia: Suponga que 𝑇 > 𝑇 , con lo cual parece razonable que 𝑇(𝑡) > 𝑇 para todo 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑡 ≥ 0. Resolviendo la ecuació n diferencial = 𝑘(𝑇 − 𝑇 ) se tiene = 𝑘𝑑𝑡 de donde 𝑑𝑡 𝑇−𝑇 ln(𝑇 − 𝑇 ) = 𝑘𝑡. Finalmente 𝑇(𝑡) = (𝑇 − 𝑇 )𝑒

+𝑇

donde 𝑘 < 0 es la constante de proporcionalidad. b) (Ejercicios 1.3 /Dennis G. Zill/Ecuaciones diferenciales/Capı́tulo 1) Una taza de café se enfrı́a segú n la ley de Newton para el enfriamiento 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇 ), 𝑇(0) = 𝑇 𝑑𝑡 Use los datos de la grá fica de temperaturas 𝑇(𝑡) ilustradas en la siguiente figura para hallar 𝑇(𝑡). T 180

100 80

0 20

ln(5) Rpta: 𝑇(𝑡) = 100𝑒 20 + 80

t min

Ê SITUACIONES QUE GENERAN MÁS ECUACIONES DIFERENCIALES a) Se tiene un tanque lleno de agua con una concentració n de sal 𝐶 gr/lt. Si se sigue aumentando agua a dicho tanque, con una concentració n de sal 𝐶 gr/lt donde 𝐶 < 𝐶 ,

Re Ce = 0

Rs = Re Cs = 0

V0 = vol. inicial de agua

V (t) = vol.de agua en el tiempo t = V0

C0 = conc. inicial de sal por litro = 0

C(t) = conc.de sal por litro en el tiempo t = 0

x0 = cant. inicial de sal = 0

x(t) = cant.de sal en el tiempo t = 0

(1) ¿qué sucede con el volumen de la mezcla, en cada instante? Rpta: El volumen de la mezcla, en el instante 𝑡, es 𝑉(𝑡) = 𝑉 donde 𝑉 es el volumen inicial de la mezcla (la capacidad del tanque, en este caso.) (2) ¿qué sucede con la concentració n de sal luego de mucho tiempo? Rpta: Está ingresando agua con menos sal de la que ya hay en el tanque, a medida que pasa el tiempo, la concentració n de sal en el tanque disminuirá hasta ser la concentració n con la que ingresa, es decir lim 𝐶 (𝑡) = 𝐶 .

→

(3) ¿cuá l es la relació n entre la concentració n de sal que ingresa y la concentració n de salida, en cada instante? Rpta: La concentració n de sal que ingresa 𝐶 y la de salida 𝐶 (𝑡) en el instante 𝑡, son tales que 𝐶 < 𝐶 (𝑡) ≤ 𝐶

C0

Cs = Cs (t)

Ce 0

t

b) Se tiene un tanque lleno de agua con una concetració n de sal de 𝐶 gr/lt (mezcla). Si se sigue aumentando agua a dicho tanque, con una concentració n de sal 𝐶 gr/lt donde 𝐶 > 𝐶 ,

Re Ce = 0 Rs = Re Cs = C(t) > Ce = 0 lim C(t) = 0 t→∞

lim V (t) = V0 t→∞

V0 = vol. inicial de agua

V (t) = vol.de agua en el tiempo

C0 = conc. inicial de sal por litro = 1/2

C(t) = conc.de sal por litro en el tiempo t

x0 = cant. inicial de sal = V0 /2

x(t) = cant.de sal en el tiempo t

(1) ¿qué sucede con el volumen de la mezcla, en cada instante? Rpta: El volumen de la mezcla, en el instante 𝑡, es 𝑉(𝑡) = 𝑉 donde 𝑉 es el volumen inicial de la mezcla (la capacidad del tanque, en este caso.) (2) ¿qué sucede con la concentració n de sal luego de mucho tiempo? Rpta: Respecto a la primera situació n, está ingresando agua con má s sal de la que ya hay en el tanque, a medida que pasa el tiempo, la concentració n de sal en el tanque aumentará hasta ser la concentració n con la que ingresa, es decir lim 𝐶 (𝑡) = 𝐶 .

→

(3) ¿la concentració n de sal que ingresa es la misma que la que sale? Rpta: La concentració n de sal que ingresa 𝐶 y la de salida 𝐶 (𝑡) en el instante 𝑡, son tales que 𝐶 ≤ 𝐶 (𝑡) < 𝐶 Ce

Cs = Cs (t)

C0 0

t

Ë La ecuación diferencial para mezclas. Considere un tanque que tiene un volumen inicial 𝑉 de una mezcla de sal y agua. Hay un flujo tanto de entrada como de salida y se quiere calcular la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo 𝑡, a partir de una cantidad inicial de sal 𝑥 . La siguiente tabla es importante para fijar las variables y unidades que usaremos, mientras que la figura nos muestra dos recipientes, en el primero de ellos se observa la cantidad inicial de la mezcla 𝑉 , la concentració n inicial de sal que hay por por litro 𝐶 y la cantidad inicial de sal 𝑥 . Elemento Volumen Sal Tiempo Flujo de entrada Flujo de salida Concentració n de entrada Concentració n de salida

Notación 𝑉(𝑡) 𝑥(𝑡) 𝑡 𝑅 𝑅 𝐶 𝐶

Unidades lt kg min lt/min

lt gr seg lt/seg

kg/lt

gr/lt

Ce

Re

V0 C0 x0

Rs

Sea 𝑥(𝑡) la cantidad de sal en el tanque en el instante 𝑡. Si la solució n (mezcla de agua y sal)que ingresa al tanque tiene una concentració n de sal de 𝐶 gr/lt y fluye hacia el tanque a razó n de 𝑅 lt/seg, entonces la cantidad de solució n durante △𝑡 segundos es 𝑅 △𝑡 lt. Ahora dado que en un litro hay 𝐶 gr de sal, entonces en 𝑅 △𝑡 lt hay 𝐶 𝑅 △𝑡 gr de sal que ingresa a la mezcla en el lapso de tiempo △𝑡. Aná logamente, si la concentració n de sal de la solució n que sale del tanque en el instante 𝑡 es de 𝐶(𝑡) gr/lt, entonces para un lapso de tiempo muy pequeñ o △𝑡 seg, hay 𝐶(𝑡)𝑅 △𝑡 gr

de sal que sale de la mezcla en ese periodo de tiempo. De esta manera la variació n de la cantidad de sal en el tanque en el lapso △𝑡 es aproximadamente △𝑥 ≈ 𝑅 𝐶 △𝑡 − 𝑅 𝐶(𝑡)△𝑡. Luego 𝑑𝑥 △𝑥 = lim = 𝑅 𝐶 − 𝑅 𝐶(𝑡) △ → △𝑡 𝑑𝑡

(1)

Por otro lado la concentració n de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo 𝑡 viene dada por 𝐶(𝑡) =

𝑥(𝑡) 𝑉(𝑡)

(2)

donde 𝑉(𝑡) es el volumen del lı́quido en el tanque en el instante 𝑡 y 𝑉(𝑡) = 𝑉 + (𝑅 − 𝑅 )𝑡

(3)

donde 𝑉 es el volumen inicial de lı́quido en el tanque. Finalmente, usando (2) y (3) en (1) obtenemos la ecuació n diferencial 𝑑𝑥 𝑅 + 𝑥(𝑡) = 𝑅 𝐶𝑒 𝑑𝑡 𝑉 + (𝑅𝑒 − 𝑅 )𝑡

(4)

cuya cantidad inicial de sal es 𝑥(0) = 𝐶(0)𝑉(0). Observación: Si en la ecuació n (4) se tiene 𝑅 = 𝑅 , entonces la ecuació n puede resolverse usando el mé todo de variable separable y si 𝑅 ≠ 𝑅 la ecuació n se resuelve usando el mé todo de factor integrante. A

S

:

1) (Ejercicios 2.7 /Dennis G. Zill/Ecuaciones diferenciales/Capı́tulo 2) Un tanque contiene 200 litros de agua en el cual se han disuelto 30 gramos de sal. La solució n, que contiene un gramo de sal por litro ingresa hacia el depó sito a una razó n de 4 lt/min; perfectamente mezclada, fluye hacia afuera a la misma razó n. Encuentre el nú mero 𝑥(𝑡) de gramos de sal presentes en el tanque en el tiempo 𝑡. 2) (Problemas/Rogawski/Secció n 10.4)Un tanque de 1000 lt de capacidad contiene 500 lt de agua con una concentració n de sal de 10 gr/lt. Se añ ade agua, con una concentració n de 50 gr/lt, a razó n de 80 lt/min. La mezcla obtenida fluye hacia afuera a una razó n 𝑅 . Sea 𝑦(𝑡) la cantidad de sal en el instante 𝑡. a) Suponiendo que 𝑅 = 40 lt/min, determine y resuelva la ecuació n diferencial para 𝑦(𝑡). b) Halle la concentració n de sal en el instante en que el contenido del tanque empieza a derramarse, suponiendo que 𝑅 = 60 lt/min. c) Para el caso 𝑏), halle la concentració n de sal cuando 𝑡 → +∞.