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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1. APLICACIÓN DE ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 1.1. APLICACIÓN A LA MECÁNICA El tema de la física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. Por universo físico entendemos la totalidad de objetos alrededor nuestro, no sólo las cosas que observamos, sino las que no observamos, tales como los átomos y moléculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada dinámica. Las leyes del movimiento de Newton, afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atómicas, no necesitamos mecánica cuantitativa o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en estos casos. LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son: 1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúen sobre él. 2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y tiende la misma dirección a la fuerza. 3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta. El momentum de un objeto se define como su masa m multiplicada por su velocidad v. La tasa de cambio en momentum en el tiempo es así

𝑑 𝑑𝑡

(𝑚𝑣). Sí denotamos por F la fuerza neta que

actúa sobre el cuerpo la segunda ley dice que: 𝑑 𝑑𝑡

(𝑚𝑣)∞ 𝐹 …………. (1)

Donde el símbolo ∞ denota proporcionalidad. Introduciendo la constante de proporcionalidad 𝐾, obtenemos: 𝑑𝑣 (𝑚𝑣) = 𝐾 𝐹 𝑑𝑡 Si m es una constante: 𝑚 Donde

𝑎=

𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝐾 𝐹 𝑜 𝑚𝑎 = 𝐾𝐹 𝑑𝑡

es la aceleración. Así vemos que:

𝐹=

𝑚𝑎 𝑘

……………(2)

El valor de K depende de las unidades que deseamos usar. Hasta el momento se usan dos sistemas principales. a) EL SISTEMA CGS O SISTEMA CENTÍMETRO, GRAMO, SEGUNDO: En este sistema la longitud se mide en centímetros (cm), la masa en gramos (g), y el tiempo en segundos (seg).El valor más simple para k es K= 1, de modo que la ley (2) es 𝐹 = 𝑚𝑎 ………. (3) Si una cierta fuerza produce una aceleración de un centímetro por segundo por segundo (1 𝑐𝑚⁄ ) en una masa de 1 g, entonces de (3) 𝑠𝑒𝑔2 𝐹 = 1𝑔. 1 𝑐𝑚⁄ = 1𝑔. 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2 𝑠𝑒𝑔2 Llamamos tal fuerza una dina.El sistema CGS también se llama sistema métrico. b)

EL SISTEMA PLS O SISTEMA PIE, LIBRA, SEGUNDO: En este sistema también podemos usar k=1, de modo que la ley es 𝐹 = 𝑚𝑎. Si una cierta fuerza produce una 1 𝑝𝑖𝑒 aceleración de un pie por segundo por segundo ( ⁄𝑠𝑒𝑔2 ) en una masa de una libra (lb), llamamos esta fuerza un poundal. Así, de 𝐹 = 𝑚𝑎 tenemos 1𝑝𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑙 = 1𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒𝑠⁄𝑠𝑒𝑔2.otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del objeto. Mientras que la masa de un objeto es la misma en toda parte de la tierra(o realmente en cualquier parte del universo) el peso cambia de lugar .Se observará que para que un cuerpo actué sólo por su peso W, la aceleración correspondiente es aquella debida a la gravedad g. La fuerza es w, y la ley de Newton es 𝑤 = 𝑚𝑔…………(4) Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (4), tenemos: 𝐹 𝑤

=

𝑎 𝑔

O 𝐹=

𝑤𝑎 𝑔

Podemos usar la ecuación (5) ya sea con unidades CGS o PLS. En tal caso es claro que F y W tienen las mismas unidades si a y g las tienen. Con unidades CGS: Si w está en dinas, a y g en 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2 , entonces F está en gramos peso. Si W está en dinas, a y g en 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2, entonces F está en dinas. En la superficie de la Tierra 𝑔 = 980 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2 , aproximadamente.

Con unidades PLS: Si w está en libras peso, a y g en 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠𝑒𝑔2, entonces F está en libras peso.En la superficie de la Tierra 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠⁄𝑠𝑒𝑔2, aproximadamente. En ciertos campos es costumbre usar el sistema CGS junto con la ley 𝐹 = 𝑚𝑎, y usar el sistema PLS junto con la ley

𝐹=

𝑤𝑎 𝑔

. Algunas veces se hace uso de masa en

términos de slugs. NOTA Será costumbre en este libro usar 1. 𝐹 = 𝑚𝑎 donde F está en dinas, m en gramos , a en 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2 2.

𝑤𝑎

𝐹=

𝑔

donde F y W están en libras, a y g en 𝑝𝑖𝑒𝑠⁄𝑠𝑒𝑔2

Cuando se desean otras unidades, se pueden hacer los cambios apropiados. Si en un problema las unidades no se especifican, cualquier sistema se puede usar siempre y cuando se mantenga la consistencia. En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes al notar que la aceleración puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto es 𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑣

) o como la segunda derivada de un desplazamiento s (esto es, 𝑑𝑡 ) o como la segunda

2 derivada de un desplazamiento s (esto es, 𝑑 𝑠⁄ 2 ). Así 𝑑𝑡 𝑑𝑣

𝑑2 𝑠

𝑓 = 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝑡 2 ............. (CGS) 𝑓=

𝑤 𝑑𝑣 𝑤 𝑑2 𝑠 = …………… (PLS) 𝑔 𝑑𝑡 𝑔 𝑑𝑡 2

EJEMPLO: 1. Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y resuélvala.

A

T=0

P

mg P

t

Diagrama de fuerza

tierra

FORMULACIÓN MATEMÁTICA En la formulación matemática de problemas de física (o para tal propósito, cualquier problema) es útil dibujar diagramas cuando sea posible. Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir las ideas de física en ecuaciones matemáticas. Sea A la posición de la masa m en el tiempo t=0, y sea P la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En el presente problema se A el origen de nuestro sistema de coordenadas y escojamos el eje x como la vertical con “abajo” como la dirección positiva (y por consiguiente con “arriba” como la dirección instantánea en P es 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=

2

o 𝑎 = 𝑑 𝑠⁄𝑑𝑡2 . La fuerza neta actúa verticalmente hacia abajo (considerada positiva

como se muestra en el diagrama de fuerzas. Su magnitud es mg. Por la ley de Newton tenemos: 𝑚

𝑑𝑣 = 𝑚𝑔 𝑜 𝑑𝑡

𝑑𝑣 =g 𝑑𝑡

Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que v=0 cuando t=0, o en otras palabras v (0) =0. Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial. 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=g

v(0) = 0…………(6)

Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir: 𝑚

𝑑2 𝑥 = 𝑚𝑔 𝑑𝑡 2

𝑜

𝑑2 𝑥 =𝑔 𝑑𝑡 2

En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v=0 o

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0. La segunda puede

obtenerse al notar que x=0 en t=0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

=𝑔,

𝑥=𝑜 𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0……………. (7)

SOLUCIÓN Empezando con 𝑜

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= g , obtenemos por integración 𝑣 = 𝑔𝑡 + 𝐶1 . Puesto que v=0

cuando t=0, 𝐶1 =0 o 𝑣 = 𝑔𝑡, esto es,

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑔𝑡.

1

Otra integración produce 𝑥 = 2 𝑔𝑡 2 + 𝑐2 . Puesto que 𝑥 = 0 en 𝑡 = 0 , 𝑐2 = 0. 1

Por lo tanto = 2 𝑔𝑡 2 . Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con (7).

Como una aplicación supóngase que deseamos conocer dónde está el objeto después de 2 seg. 1 2

Entonces, por el sistema CGS 𝑥 = 980 𝑐𝑚⁄𝑠𝑒𝑔2 (2 𝑠𝑒𝑔)2 = 1960 𝑐𝑚. Por el sistema PLS, 1

𝑥 = 2 32 𝑝𝑖𝑒⁄𝑠𝑒𝑔2 (2 𝑠𝑒𝑔)2 = 64 𝑝𝑖𝑒𝑠. Para encontrar la velocidad después de 2 seg escribimos (en el sistema PLS). 𝑑𝑥 = 𝑔𝑡 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠⁄𝑠𝑒𝑔2 × 2𝑠𝑒𝑔 = +64 𝑝𝑖𝑒𝑠⁄𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡 El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería notar que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación 𝑑𝑥

diferencial hubiera sido 𝑚 ( 𝑑𝑡 ) = −𝑚𝑔 , esto es: 𝑑𝑣 = −𝑔 𝑜 𝑑𝑡

𝑑2 𝑥 = −𝑔 𝑑𝑡 2

Esto conduciría, por supuesto, a resultados equivalentes a los obtenidos.

1.2APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff, la cual se describirá y usará en esta sección. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones de Maxwell. Así como no podemos entrar en una discusión de la mecánica relativista o cuántica. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los objetos de diario, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. Para un completo estudio de los circuitos eléctricos se debe hacer un estudio de prácticas de laboratorio y observar demostraciones. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz, la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, y una resistencia, la cual usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador u otro electrodoméstico. En física elemental encontramos que la fem está relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantánea I (en un circuito que contiene solo una fem E y una resistencia es directamente proporcional a la fem. En símbolos, de donde: I∞𝐸 𝑜 𝐸∞𝐼 …………. (1) E =IR Donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o, simplemente, resistencia. Las unidades, generalmente conocidas como “unidades prácticas” son tales que E está en voltios, I está en amperios y R en ohmios.

Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios de corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. De hecho la analogía es bastante, y se podría decir mucho acerca de esto. En condensador es un elemento que almacena energía. En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar esta caída de voltaje o como se llama comúnmente caída de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado un voltímetro. 1° La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a través de la resistencia. Si 𝐸𝑅 es la caída de voltaje a través de una resistencia e I es la corriente, entonces 𝐸𝑅 ∞𝐼 𝑜 𝐸𝑅 = 𝑅𝐼 Donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente resistencia. 2° La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente. Si 𝐸𝐿 es la caída de voltaje a través del inductor, entonces 𝐸𝐿 ∞

𝑑𝐼 𝑑𝑡

𝑜 𝐸𝐿 = 𝐿

𝑑𝐼 𝑑𝑡

Donde L es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de inductancia o simplemente la inductancia. 3°La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador. Si 𝐸𝐶 es la caída de voltaje a través del condensador y Q la carga instantánea, entonces 𝐸𝐶 ∞𝑄

0

𝐸𝐶 =

𝑄 𝐶

Donde hemos tomado 1⁄𝑐 como la constancia de proporcionalidad, C se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia. 

UNIDADES

En electricidad como en mecánica, existe más de unos sistemas de unidades, donde usaremos uno de tales sistemas. Las cantidades eléctricas importantes con sus símbolos y unidades. Como en mecánica, el tiempo está en segundos. La unidad de corriente, el amperio (abreviado con frecuencia amp), corresponde a una carga de un culombio que pasa por un punto dado del circuito por segundo.



LA LEY DE KIRCHHOFF

El siguiente enunciado de la ley: La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las caídas de voltaje. Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra:

Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente de una fuente de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, un conductor L conectados en serie como se muestra en la figura 3.10. Adoptamos la siguiente Conversión. La corriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (-), como se muestra en la figura 3.10.

Puesto que, por la Ley de Kirchhoff, la fem suministra (E) es igual a la caída de voltaje a través del inductor (𝐿 𝑑𝐼 ⁄𝑑𝑡 ) más la caída de voltaje a través de la resistencia (RI), tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito 𝐿

𝑑𝐼 + 𝑅𝐼 = 𝐸 𝑑𝑡

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito eléctrico consistente de una batería o generador de E voltios en serie con una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios como en la figura 3.11. Aquí la caída de voltaje a través de la resistencia es RI y la caída de voltaje a través del condensador es 𝑄 ⁄𝐶 , de modo que por la ley de Kirchhoff 𝑅𝐼 +

𝑄 𝐶

= 𝐸………(2)

Tal como aparece esto no es una ecuación diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la tasa de tiempo de cambio en la carga, esto es, 𝐼 = 𝑑𝑄 ⁄𝑑𝑡 (2) se convierte en 𝑅

𝑑𝑄 𝑄 + =𝐸 𝑑𝑡 𝐶

La cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea. Acompañando a las ecuaciones diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivan, por supuesto, de los problemas específico considerado. EJEMPLO 1. Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cierra en tiempo T=0,

establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.

FORMULACIÓN MATEMÁTICA Como es costumbre dibujamos el diagrama físico (figura 3.12). Llamando I la corriente en amperios que fluye como se ilustra, tenemos: (1) voltaje suministrado =100 voltios, (2) caída de voltaje a través de la resistencia (RI) =10 I, (3) caída de voltaje a través del inductor (𝐿 𝑑𝐼 ⁄𝑑𝑡) = 2 𝑑𝐼 ⁄𝑑𝑡. DE donde, por la ley de Kirchhoff, 𝐷𝐼

100 = 10𝐼 + 𝑑𝑡 𝑜

𝑑𝐼 𝑑𝑡

+ 5𝐼 = 50………. (3)

Puesto que el interruptor se cierra en t=0 debemos tener I =0 en t= 0. La ecuación diferencial (3) es una ecuación de primer orden lineal con factor integrante 𝑒 5𝑡 .Multiplicado por este factor da 𝑑 5𝑡 (𝑒 𝐼) = 50𝑒 5𝑡 𝑜 𝑒 5𝑡 𝐼 = 10 𝑒 5𝑡 + 𝐶 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝐼 = 10 + 𝑐𝑒 −5𝑡 𝑑𝑡 Puesto que I =0 en t=0, c= -10. Así I =10 (1 - 𝑒 −5𝑡 ). Otro método. La ecuación (3) puede también resolverse por separación de variables. El gráfico de I contra t se muestra en la figura 3.13. Note que la corriente es cero en t=0 y crece hacia un máximo de 10 amperios aunque teóricamente nunca lo alcanza. 2. Establezca y resuelva una ecuación diferencial para el circuito eléctrico del ejemplo ilustrativo 1 si el generador de 100 voltios se remplaza por otro con una fem de 20 cos5t voltios.

FORMULACIÓN MATEMÁTICA La única diferencia es que 20cos5t reemplaza a 100 en la ecuación (3). De donde, la ecuación requerida es 𝑑𝐼

10𝐼 + 2 𝑑𝑡 = 20 𝑐𝑜𝑠5𝑡 𝑜

𝑑𝐼 𝑑𝑡

+ 5𝐼 = 10𝑐𝑜𝑠5𝑡….. (4)

Se multiplica la segunda ecuación en (4) por el factor integrante 𝑒 5𝑡 , luego: 𝑑 5𝑡 (𝑒 𝐼) = 10𝑒 5𝑡 𝑐𝑜𝑠5𝑡 𝑦 𝑑𝑡

𝑒 5𝑡 𝐼 = 10 ∫ 𝑒 5𝑡 𝑐𝑜𝑠5𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 5𝑡 (𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛5𝑡 ) + 𝑐 𝐼 = 𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 𝑐𝑒 −5𝑡

𝑜

Puesto que I =0 en t=0, tenemos c=-1. Así 𝐼 = 𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 𝑐𝑒 −5𝑡 1.3 TRAYECTORIIAS ORTOGONALES Y SUS APLICACIONES Suponga que nos dan una familia de curvas cono en la figura 3.16 (líneas gruesas).Podemos pensar en otra familia de curvas (líneas punteadas).tal que cada miembro de esta familia corete a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos. Por ejemplo, la curva AB se encuentra con varios miembros de la familia punteada en ángulos rectos en los puntos L, M, N, O, P. Decimos que las familias son mutuamente ortogonales de la otra familia, Como una ilustración, considere la familia de todos los círculos con centro en el origen; unos cuantos Círculos aparecen en la figura 3.17. Las trayectorias ortogonales para esta familia de círculos podrían ser miembros dela familia de las líneas rectas (líneas punteadas). Similarmente las trayectorias ortogonales de la familia de líneas rectas que pasan por el origen son los círculos con centro en el origen. Como una situación más complicada, considere la familia de elipses (figura 3.18) y la familia de curvas ortogonales a ellas. Las curvas de una familia son las trayectorias ortogonales de la otra familia. Las aplicaciones de trayectorias ortogonales son numerosas en física e ingeniería. Como una aplicación muy elemental, considere la figura 3.19. Aquí NS representa una barra magnética, siendo N su polo norte y S su polo sur .Si limaduras de hierro se esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se ordenan así mismas como las curvas punteadas de la figura 3.19. Estas curvas se llaman líneas de fuerza.

Las curvas perpendiculares a estas (líneas gruesas) se llaman líneas equipotenciales, o curvas de igual potencial. Aquí, también los miembros de una familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otra familia. Como otro ejemplo de física considere la figura 3.20, la cual representa un mapa del clima tan familiar en muchos de nuestros periódicos diarios. Las curvas representan isobaras las cuales son curvas que conectan todas las ciudades que reportan la misma presión barométrica a la oficina meteorológica. Las trayectorias ortogonales de la familia de isobaras podrían indicar la dirección general del viento desde áreas de alta a baja presión. En vez de isobaras, la figura 3.20 podría representar curvas isotérmicas las cuales son curvas que conectan puntos que tienen la misma temperatura. En tal caso las trayectorias ortogonales representan la dirección general del flujo de calor. Considere el ejemplo de las isobaras. Dado un punto (x, y), teóricamente podemos encontrar la presión en ese punto. Así podemos decir que 𝑝 = 𝑓(𝑥, 𝑦), esto es, la presión es una función de la posición. Haciendo P igual a un valor definido, digamos 𝑃1 , vemos que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑃1 representa una Curva, todos los puntos que tienen presión𝑃1 siendo así una isobara. Dando otros valores a P. se obtienen otras isobaras. Es claro que estas isobaras no se podrían intersectar, puesto que si lo hicieran, entonces los puntos de intersección tendrían dos presiones diferentes, y esto sería imposible. Si usamos C en vez de P vemos que:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 ……… (1) Donde C puede tomar valores dentro de un conjunto dado, representa una familia de isobaras. En el primer capítulo aprendimos como encontrar una ecuación diferencial para una familia de curvas derivando hasta eliminar las constantes arbitrarias (C en nuestro caso). El problema que enfrentamos ahora es cómo obtener la familia de trayectorias ortogonales. Realmente esto es sencillo puesto que la ecuación diferencial de la familia (1) está dada por

𝜕𝑓

𝑑𝑓 =

𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝑑𝑓 𝑑𝑦

𝑑𝑦 = 0 𝑜

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦

……….. (2)

Ahora la pendiente de las trayectorias ortogonales debería ser el recíproco negativo de la pendiente en (2), esto es, 𝜕𝑓⁄𝜕𝑦 𝜕𝑓⁄𝜕𝑥 Así, la ecuación diferencial para la familia de trayectorias ortogonales es

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝜕𝑓⁄𝜕𝑦 …………(3) 𝜕𝑓⁄𝜕𝑥

Al resolver esta ecuación se obtienen las trayectorias ortogonales EJEMPLO 1. Encuentre las trayectorias ortogonales de 𝑥 2 + 𝑦 2 = c x. FORMULACIÓN MATEMÁTICA Hay dos maneras de determinar la ecuación diferencial de la familia. Primera manera, resuelva c para obtener 𝑐 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )⁄𝑥 Derivando con respecto a x, tenemos: 𝑥(2𝑥 + 2𝑦𝑦 ´ ) − (𝑥 2 + 𝑦 2 )(1) 𝑑𝑦 𝑦2 − 𝑥2 ´ = 0 𝑜 𝑦 = = 𝑥2 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 Segunda manera. Derivando 2𝑥 + 2𝑦 𝑦 ´ = 𝑐 Eliminando c entre esta última ecuación y la dada, encontramos la ecuación como antes. La familia de las trayectorias ortogonales tiene así la ecuación diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

2𝑥𝑦 ………….. 𝑥 2− 𝑦2

Solución

(4)

Para resolver (4), note que es una ecuación homogénea. Haciendo 𝑦 = 𝑣𝑥, el estudiante puede mostrar que 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐1 𝑦. La solución también se obtiene al notar que (4), sin fracciones, tiene un factor integrante dependiendo de una variable (1⁄𝑦 2 ). Las dos familias ortogonales se muestran en la figura 3.21. La familia dad originalmente se muestra punteada. 2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia 𝑦 = 𝑥 + 𝑐𝑒 −𝑥 y determine aquel miembro particular de cada familia que pasa por (0,3). FORMULACIÓN MATEMÁTICA Por diferenciación de la relación dada tenemos: Eliminando c da 𝑦 ´ = 1 − 𝑐𝑒 −𝑥 𝑦´ = 1 + 𝑥 − 𝑦 Así, la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−1 1+𝑥−𝑦

………………(5)

Solución Se escribe (5) en la forma 𝑑𝑥 + ( 1 + 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Aquí

𝜕𝑀

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝑀 = 1, 𝑁 = 1 + 𝑥 − 𝑦 , 𝜕𝑁 = 0 ,

=1

0−1

Así que la ecuación no es exacta. Ahora 1+ 𝑥−𝑦 no es una función sólo de x. Pero

1−0 = 1

1 es una

función de y. De donde 𝑒 ∫ 1𝑑𝑦 = 𝑒 𝑦 es un factor integrante. Multiplicando por este factor y procediendo como de costumbre para ecuaciones exactas, obtenemos. 𝑥𝑒 𝑦 − 𝑒 𝑦 (𝑦 − 2) = 𝐶1 Las curvas referidas que pasan por (0, 3) son 𝑦 = 𝑥 + 3𝑒 −𝑥 ,

𝑥 − 𝑦 + 2 + 𝑒 3−𝑦 = 0

Lo puede encontrar instructivo obtener los gráficos de las ecuaciones (6). También lo puede encontrar instructivo resolver (5) al escribirla como 𝑑𝑦 +𝑥 = 𝑦−1 𝑑𝑥 La ecuación lineal con x como variable dependiente. 1.4 APLICACIONES A QUÍMICA Y MEZCLAS QUIMICAS

Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de éstas serán indicadas en los siguientes ejemplos ilustrativos. Otras son presentadas en los ejercicios. EJEMPLO Un tanque está lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltas 5 lb de sal. Agua salada conteniendo 3 lb de sal por gal entra al tanque a 2 gal por minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. b. ¿Cuánta sal está presente después de 10 min? c. ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo? FORMULACIÓN MATEMÁTICA Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego

𝑑𝐴 𝑑𝑡

es la tasa de

cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por 𝑑𝐴 𝑑𝑡

= 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑎 − 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎…………(1)

Puesto que entran 2𝑔𝑎𝑙 ⁄𝑚𝑖𝑛 conteniendo 33𝑙𝑏⁄𝑔𝑎𝑙 de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es 2𝑔𝑎𝑙 3𝑙𝑏 6𝑙𝑏 . = 𝑚𝑖𝑛 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛 Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10 gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto 𝐴 𝑙𝑏 10 𝑔𝑎𝑙

.

2 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑛

=

2𝐴𝑙𝑏 10𝑚𝑖𝑛

=

𝐴𝑙𝑏 5𝑚𝑖𝑛

……………(3)

De (1), (2) y (3) tenemos 𝑑𝐴 𝐴 =6− 𝑑𝑡 5 Puesto que inicialmente hay 5 lb de sal, tenemos A=5 en t=0. Así, la formulación matemática completa es 𝑑𝐴 𝐴 =6− 𝐴 = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑑𝑡 5 Solución Usando el método de separación de variables, tenemos ∫

𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑡 = ∫ 𝑜 − ln(30 − 𝐴) = + 𝐶 30 − 𝐴 5 5

Puesto que A=5 en t= 0, 𝑐 = − ln 25 . 𝐴𝑠í

− ln(30 − 𝐴) =

𝑡 − ln 25 , 5

ln

30 − 𝐴 𝑡 = − 𝑜 𝐴 = 30 − 25𝑒 −𝑡⁄5 25 5

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. Al final de los 10 minutos la cantidad de sal es 𝐴 = 30 − 25𝑒 −2 = 26,6 𝑙𝑏. Después de un tiempo largo, esto es, cuando 𝑡 → ∞, vemos que 𝑡 → 30 𝑙𝑏. Esto también podría ser desde la ecuación diferencial haciendo 𝑑𝐴⁄𝑑𝑡 = 0 , 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 1.5 APLICACIONES A FLUJO DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como en la figura 3.23. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100° C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75° C, el plano E a 90° C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varía con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario a que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.

Como otro ejemplo considere un tubo de material uniforme, cuyo corte seccional aparece en la figura 3.24. Suponga que la parte exterior se mantiene a 80° C y la interna a 40°C. Habrá una superficie (línea punteada) en la cual cada punto estará a 60°C. Sin embargo, ésta no está en la mitad entre las superficies interna y externa. Líneas paralelas a A y en un plano perpendicular a A (figura 3.23) se llaman líneas isotérmicas. La curva punteada de la figura 3.24 es una curva isotérmica. Los planos correspondientes de la figura 3.23 y los cilindros de la figura 3.24 se llaman superficies isotérmicas. En el caso general, las curvas isotérmicas no serán líneas o círculos, como en la figura 3.23 0 3.24, pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la figura 3.25 (curvas punteadas). Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman líneas de flujo. Considere pequeñas porciones de dos superficies isotérmicas continuas (figura 3.26) separadas por una distancia ∆𝑛. Asuma que la temperatura correspondiente a la superficie 𝑠1 𝑒𝑠 𝑈1 , y la correspondiente a 𝑆2 es 𝑈2 . Llame la diferencia de temperatura 𝑈2 − 𝑈1 = ∆𝑈.Experimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que fluye de 𝑠1 a 𝑠2 por unidad aérea aproximación llega a ser más precisa a medida que ∆𝑛 (y desde luego ∆𝑈) se hace más pequeño. En el caso límite a medida que ∆𝑛 → 0, ∆𝑈⁄∆𝑛 → ∆𝑈⁄𝑑𝑛 lo cual se llama el gradiente de U (tasa de cambio de U en la dirección normal a la superficie o curva isotérmica). Si H es la cantidad de flujo de calor por unidad de área y unidad de tiempo, tomamos como muestra ley física:

𝐻∞

𝑑𝑈 𝑑𝑛

𝑜 𝐻=𝑘

𝑑𝑈 ……. 𝑑𝑛

(1)

Si deseamos considerar a U como una cantidad vectorial (teniendo dirección y magnitud), nuestro razonamiento es el siguiente. Considere como positiva la dirección de 𝑆2 𝑎 𝑆1. Si

𝑑𝑈 𝑑𝑛

es

positiva, entonces U aumenta y, por tanto, debemos tener 𝑈2 > 𝑈1 . Así, el calor realmente fluye de 𝑆1 𝑎 𝑆2 (de mayor a menor temperatura); esto es, el flujo de calor está en la dirección negativa. Similarmente, si

𝑑𝑈 𝑑𝑛

es negativa, U disminuye 𝑈2 < 𝑈1 , y el flujo es de 𝑆1 𝑎 𝑆2 esto

es, el flujo de calor está en la dirección positiva. La dirección del flujo de calor puede tenerse en cuenta por un signo menos en (1), esto es, 𝑑𝑈

𝐻(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙) = −𝐾 𝑑𝑛 …………………. (2) La cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a través de un área A está dada por:

𝑑𝑈

𝑞 = −𝐾𝐴 𝑑𝑛 ………………. (3) La anterior constante de proporcionalidad K depende del material usado y se llama la conductividad térmica. La cantidad de calor se expresa en calorías en los sistemas cgs, y en unidades térmicas británicas, Btu, en el sistema pls considere ahora una ilustración usando los principios anteriores. EJEMPLO Un tubo largo de acero, de conductividad térmica K =0,15 unidades cgs, tiene un radio anterior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20° C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. a. Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje común de los cilindros concéntricos. b. Encuentre la temperatura cuando r= 15 cm. c. ¿Cuánto calor se pierde por minuto en una parte del tubo de 20 m de largo? FORMULACIÓN MATEMÁTICA Es claro que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud 𝑙 𝑒𝑠 2𝜋𝑟𝑙. La distancia 𝑑𝑛 en este caso es 𝑑𝑟. Así, la ecuación (3) puede escribirse 𝑑𝑈

𝑞 = −𝐾(2𝜋𝑟𝑙) 𝑑𝑟 ………………….. (4) Puesto que K =0,15, L= 20 m =2000cm, tenemos

𝑑𝑈

𝑞 = −600𝜋𝑟 𝑑𝑟 …………………… (5)

En esta ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son 𝑈 = 200𝐶 𝑒𝑛 𝑟 = 10 , 𝑈 = 50 𝐶 𝑒𝑛 𝑟 = 20…………….. (6) Solución Separando las variables en (5) e integrando se obtiene −600𝜋𝑈 = 𝑞 ln 𝑟 + 𝐶 ……………. (7) Usando las condiciones (6), tenemos −600𝜋(200) = 𝑞 ln 10 + 𝐶, −600𝜋(50) = 𝑞 ln 20 + 𝐶 De donde obtenemos q =408.000, c= - 1.317.000. Por tanto, de (7) encontramos 𝑈 = 699 − 216 ln 𝑟……….. (8) Si r=15, encontramos por sustitución que U = 114° C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte (c) es 𝑞 = 408.000𝑥 60 𝑐𝑎𝑙 ⁄𝑚𝑖𝑛 = 24.480.000 𝑐𝑎𝑙 ⁄𝑚𝑖𝑛 En el caso de conducción de calor, el calor fluye de lugares de más alta temperatura a lugares de más baja temperatura. Físicamente, cuando un extremo de una barra aumenta de temperatura, el movimiento aleatorio de las moléculas en este extremo se aumenta con un incremento resultante en velocidad y número de colisiones entre extremo de la barra dando lugar a colisiones adicionales y aun consecuente incremento gradual en temperatura en el resto de la barra. Podemos considerar una conducción de calor como un esparcimiento o difusión de moléculas. Tal difusión, sin embargo, no está limitada a la conducción de calor. Así, por ejemplo, si una barra está hecha de un material poroso y cubrimos un extremo con un químico, encontramos que después de un cierto tiempo el químico se esparce o difunde dentro de la barra. Así como el calor fluye de lugares con temperaturas más altas a aquellos con temperaturas más bajas, las sustancias tienden a difundirse de lugares con concentraciones o densidades más altas a aquellos con concentraciones o densidades más bajas. La analogía nos permite usar la formulación matemática dada anteriormente para conducción de calor en problema de difusión, de modo que U en tales problemas representa la concentración o densidad (en 𝑔⁄𝑐𝑚3 , 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 3 , 𝑒𝑡𝑐 . ) en vez de temperatura. Problemas de difusión ocurren no sólo en química sino en biología, como en el transporte de sustancia a través de membranas celulares (un fenómeno llamado con frecuencia ósmosis), o en la física atómica como la en la difusión de neutrones para energía atómica.

1.6 APLICACIÓN A LA DEFLEXIÓN DE VIGAS

Considere una viga horizontal AB de la Figura 3.49 (a). Se asume que la viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se indica por la línea punteada. Cuando está sometida a fuerzas, las cuales se asumen que están en un plano que

contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la figura 3.49 (b). Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado resultante, punteado en la figura 3.49 (b), se llama la curva elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad y será parte del propósito de esta sección mostrar cómo se hace esto. Hay muchas maneras de apoyar vigas. Por ejemplo, la figura 3.50 (a) muestra una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, mientras que el extremo B está libre para moverse. Esto se llama una viga en voladizo. En una viga simplemente apoyada. En tales casos la viga está asegurada en los extremos A y B de modo que aunque esté en estos extremos, la rotación se puede dar alrededor de los extremos. La figura 3.50 (c) muestra aún otra

Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa. Por ejemplo, en la figura 3.50 (a) hay una carga uniformemente distribuida sobre toda la viga. Puede haber una carga variable sobre toda la viga a sólo en una parte de ella como en la figura 3.50 (b). Por otro lado puede haber una carga concentrada como se indica en la figura 3.50 (c). Considere la viga horizontal OB de la figura 3.51 (a). Coloque el eje de simetría (línea punteada) en el eje x tomado como positivo a la derecha y con origen en O. Escoja el eje y como positivo hacia abajo. Debido a la acción de las fuerzas externas 𝐹1 , 𝐹2 , … … .. ( y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura 3.51 (b), donde hemos tomado la viga como fija en O. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje x se llama la deflexión de la viga en la posición x. Así si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga. Mostramos ahora cómo se puede obtener esto.

Sea M (x) el momento flexionante en una sección transversal vertical de la viga en x. Este momento flexionante se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos adoptamos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes, no importa cuál lado de x se tome puesto que los momentos flexionantes calculados desde cualquier lado son iguales. Se muestra que el momento flexionante en x está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación

𝐸𝐼 [1

𝑦´´ +(𝑦´)2 ]3 2

= 𝑀(𝑥)……….. (1)

Donde E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto EI se llama la rigidez flexural, y se considerará como una constante. Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para muchos propósitos prácticos, la pendiente y´ de la curva elástica es tan pequeño que su cuadrado es despreciable comparado con I, y la ecuación (1) se puede remplazar por la buena aproximación 𝐸𝐼 𝑦´´ = 𝑀(𝑥) Antes de representar una derivación del resultado (1) del cual se obtiene la aproximación (2), vemos cómo la ecuación (2) se puede usar. EJEMPLO Encontrar la curva elástica de una viga en voladizo, uniforme de longitud L con un peso constante W por unidad de longitud y determinar la deflexión en el extremo libre. FORMULACIÓN MATEMÁTICA La curva punteada en la figura 3.53 es la curva elástica de la viga en voladizo. El origen O del sistema de coordenadas se toma en el extremo fijo, y los ejes positivos x y y como se muestran. Para calcular M(x) es más sencillo considerar la parte de la viga a la derecha P, puesto que sólo una fuerza actúa, a saber, la fuerza hacia abajo W( L –x ), produciendo un momento positivo dado por 𝐿−𝑥 𝑤(𝐿 − 𝑥)2 𝑤(𝐿 − 𝑥)2 𝑀(𝑥) = 𝑤(𝐿 − 𝑥 ) ( )= 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐸𝐼𝑦´´ = 2 2 2 El cual debemos resolver sujeto a las condiciones 𝑦 = 𝑦´ = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 0 Puesto que no hay deflexión en X=0, y puesto que la pendiente de la tangente a la curva elástica en x=0 es cero. Solución Integrando dos veces y usando las condiciones es fácil mostrar que 𝑦=

𝑤 (𝑥 4 − 4𝐿𝑥 3 + 6𝐿2 𝑥 2 ) 24 𝐸𝐼

Es la ecuación de la curva elástica. Colocando x = L, encontramos deflexión en el extremo libre =

𝑤𝐿4 8𝐸𝐼

1.7 CAMBIO DE TEMPERATURA La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y

del medio circundante en el tiempo t. Consideremos a T la temperatura del cuerpo en el tiempo t y a Tm la temperatura del medio circundante y a 𝑇° temperatura inicial del cuepo (t =0). Como la variación de la temperatura puede ser que aumente o disminuya Luego de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación diferencial. 𝑑𝑇 𝑑𝑡

= 𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑚)𝑜

𝑑𝑇 𝑑𝑡

= −𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑚) ya sea que aumente o disminuya , donde k es el factor

de proporcionalidad. 𝑑𝑇

Si 𝑑𝑡 = −𝐾( 𝑇 − 𝑇𝑚) →

𝑑𝑇 𝑑𝑡

+ 𝐾𝑇 = 𝐾𝑇𝑚 que es una ecuación diferencial lineal de primer

orden y su solución es: 𝑇 = 𝑒 −𝐾𝑡 [∫ 𝑒 𝑘𝑡 . 𝐾𝑇𝑚 𝑑𝑡 + 𝑐] De donde T = Tm + A𝑒 −𝑘𝑡 Además se debe cumplir que para t=0, t =𝑡° luego 𝑇 = 𝑇𝑚 + (𝑇° − 𝑇𝑚 )𝑒 −𝑘𝑡