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• Jhon Callejas Bejarano

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ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de situaciones físicas, biológicas o sociales se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería industrial, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con matemáticas financieras. PARA QUE SIRVE UNA ECUACION DIFERENCIAL Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Basada especialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener gran cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas.

FUNDAMENTO Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas. DINAMICA DE POBLACION: la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total de un país en ese momento la ecuación para este modelo es:

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la temperatura del medio circundante la ecuación es:

APLICACIONES EN LA MECANICA: El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada dinámica formulada mediante las leyes del movimiento de Newton.

APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS: en física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar esta caída de voltaje, o como se llama comúnmente, caída de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado voltímetro.

APLICACIONES EN LA QUIMICA: en estas encontramos incógnitas con respecto a temperatura, tiempo, masa, velocidad, entre otras las cuales son fáciles de conocer mediante una ecuación diferencial. Como:  Velocidad de reacciones químicas  Ley de crecimiento  Descomposición radiactiva  Ley de enfriamiento de newton  Problemas de mezclas químicas  Cinéticas de las reacciones químicas

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo: Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1975 y una población de 30000 habitantes en 1985. Suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante, ¿Qué población pueden esperar los urbanistas que tenga la cuidad en el año 2015? Solución: De acuerdo con el enunciado del problema corresponde a un ejemplo clásico de crecimiento exponencial, cuya ED es: 𝑑𝑄 = 𝑘𝑄 𝑑𝑡 Separando variables: ∫

𝑑𝑄 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 + 𝑐 𝑄 lnQ = kt + c

Q = ekt+c = ekt ec

Por lo tanto, la ecuación general seria: Q = Cekt Si tomamos a 1975 como to = 0, entonces:

Año

1975

1985

2015

t

0

10

40

Q

25000

30000

?

1) Reemplazando valores iniciales tenemos: Q = Cekt 25000 = Cek(0) C = 25000

Sustituyendo el valor de C en la ecuación, nos queda: Q = 25000ekt 2) reemplazando los valores para 1985: Q = 25000ekt 30000 = 25000ek(10) 6

e10k = 5 10k = ln (1.2) K=

ln(1.2) 10

= 0.018232

Sustituyendo el valor de k en la ecuación, nos queda: Q = 25000e0.018232t 3) determinar el valor de Q para 2015 Q = 25000e0.018232(t) Q = 25000e0.018232(40) Q = 51840 Respuesta: Para el año 2015 se espera una población de 51840 personas