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• karinin18

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Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor S se cierra en tiempo 𝑇 = 0, establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.

Î 100V

S

10Ω 2 HENRIOS

SOLUCIÓN

Voltaje = 100 voltios

cuando se cierra el interruptor en el tiempo

𝑇=0 Resistencia = 10Ω

Inductor = L

𝑑Î

𝑑𝑇

𝑑Î

= 2𝑑𝑇

tenemos que

Î = 0 en 𝑇 = 0

Por regla de kirchhoff

100 = 10 Î + 2

𝑑Î 𝑑𝑇

Dividiendo por 2 y ordenando 𝑑Î 𝑑𝑇

i)

+ 5 Î = 50

Factor de integración P(𝑻) = 𝒆∫ 𝑷(𝑻)𝒅𝑻 P(𝑇) = 𝑒 ∫ 5𝑑𝑇 = 𝑒 5𝑇

ii)

Multiplicar por P(𝑻) 𝑒 5𝑇

iii)

𝑑Î 𝑑𝑇

+ 5 Î 𝑒 5𝑇 = 50𝑒 5𝑇

Identificar lado izquierdo como derivada de un producto D𝑇 (𝑒 5𝑇 Î ) = 50𝑒 5𝑇

iv)

Integrar y despejar Î ∫ DT (𝑒 5𝑇 Î ) = ∫ 50𝑒 5𝑇 𝑑𝑇 𝑒 5𝑇 Î = 50∫ 𝑒 5𝑇 𝑑𝑇

u = 5𝑇 du = 5 𝑑𝑇 => 𝑑𝑇 =

𝑑𝑢 5

𝑒 5𝑇 Î = 50∫

𝑒 𝑢 𝑑𝑢 5

𝑒 5𝑇 Î = 10 𝑒 5𝑇 + c Î = 10 +

c e5T

=> Î = 10 + c𝑒 −5𝑇

solución general

Cuando 𝑻 = 0 => Î = 0 0 = 10 + c

=> c = -10

Î = 10 - 10 𝑒 −5𝑇 => Î = 10 (1 - 𝑒 −5𝑇 )

solución particular

Presentado por: YESID RODOLFO MOGOLLON JAIMES 2083753

Bibliografía: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS MURRAY R SPIEGEL, TERCERA EDICIÓN, CAPITULO 3