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¿Como crear un modelo matemático mediante Ecuaciones Diferenciales? Al tener algún fenómeno que estamos estudiando y quisiéramos ese fenómeno modelarlo mediante alguna ecuación diferencial, para explicar esto vamos a hacerlo mediante unos ejemplos lo primero que hay que hacer es dominar bien el lenguaje de las funciones y las derivadas.

POBLACION DE CIERTA ESPECIES DE ANIMALES P(t) P: número de animales (en miles) t: tiempo (en años) P(3) = 20 hay 20 mil animales, cuando han transcurrido 3 años. P’(t) =

dP es la velocidad con la que cambia la población. dt

P’(3) = 2

Transcurrido 3 años la población crece a un ritmo de 2 mil animales por año

P’(5) = -3 Transcurrido 5 años la población decrece a un ritmo de 3 mil animales por año

MODELO SIMPLE DE POBLACION Un primer modelo que nos permitirá analizar ciertas poblaciones al menos en intervalos cortos de tiempo para analizar una población primero necesitamos representar la población con alguna variable vamos a representarla con la variable p entonces nos va a decir cuánta población tenemos por ejemplo mil personas o pueden ser: P(t): Población (ejemplo 1000 personas) N: Tasa de Natalidad (ejemplo: 15% anual) M: Tasa de mortalidad (Ejemplo: 5% anual) Supongamos que N y M son constantes: ∆ t : Intervalo de tiempo (Ejemplo: 2 años) Queremos calcular P(t+ ∆ t) P(t+ ∆ t)= P(t) + nacimientos - muertes nacimientos = NP(t)∆ t muertes = MP(t)∆ t P(t +∆ t)=P(t)+ NP (t)∆ t−MP( t)∆ t

P(t +∆ t)=P(t)+ NP (t)∆ t−MP( t)∆ t P(t +∆ t)=P(t)+(N −M ) P(t)∆ t P(t +∆ t)−P(t)=(N−M )P(t) ∆ t P (t+ ∆ t)−P(t ) =kP(t ) ∆t lim

∆ t →0

P(t+ ∆ t)−P (t) =kP(t) ∆t P' ( t )=kP(t) dP = kP dt dP = kdt dt dP

∫ dt = ∫ kdt ¿ P=kt+ c1 P=ekt +c

1

c P=ekt + e

1

P=C e kt P ( t ) =¿ C e kt

P ( 0 )=¿ C e k (o) P ( 0 )=C P ( 0 )= poblacion inicial

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE EDO EJEMPLO 1 La población de una determinada colonia de bacterias es de 1000. Si el número de bacterias se duplica después de una hora, calcule: Solución: a) El valor de la constante k b) La población que habrá cuando haya transcurrido hora y media (desde el inicio) c) ¿En qué momento la población es de 4000 bacterias? P ( t ) =¿ P0 e kt

P(0)=1000 P(1)=2000 P ( 1 )=1000 e k (1)=2000 ek=

2000 =2 1000

k =¿ 2 P ( t ) =1000 e¿ 2( t ) B) La población que habrá cuando haya transcurrido hora y media (desde el inicio P ( t ) =1000 e¿ 2( t ) P(1.5)=1000 e(¿2 )(1.5) P(1.5)=1000 e 1.0397 P(1.5)=1000( 2.8283) P(1.5)=2828.3 C) ¿En qué momento la población es de 4000 bacterias? P ( t ) =1000 e¿ 2( t ) ¿ 4000 e ¿2 (t )=

4000 1000

e ¿2 (t )=4

( ¿ 2 ) t=¿ 4 t=¿

¿4 =2 ¿2

t=2 EJEMPLO 2 En mayo de 1993 la población mundial alcanzo los 5.5 mil millones de personas, y en ese momento la tasa de crecimiento era de 250 mil personas al día. Suponiendo que las tasas de natalidad y mortalidad se mantienen constantes ¿Para cuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones (el doble que en 1993) P ’ ( t )=kP ( t ) Solución: P ( t ) =¿ P0 e kt P0=5.5 1993: t = 0 t: en años P: en miles de Millones

250 mil/día miles de millones al año (

250 000 dias 91 250 000 millones decenas de millones cientos de millone ) 365 = =91.25 =9.125 =0.9125 dia año año años año año

¿ 0.09125

(

)

milesde millones año

P’(t): tasa de cambio de la población respecto al tiempo P' ( 0 )=kP ( 0 ) 0.09125=k (5.5) k =0.01659 P ( t ) =5.5 e0.01659t =11 e 0.01659t =

11 5.5

e 0.01659t = 2 0.01659 t=¿ 2 t=

¿2 0.01659

t=41.781 En el años 2034 + 255 días

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EJEMPLO DE CRECIMIENTO Un cultivo tiene una cantidad inicial No de bacterias. Cuanto tarda t=1h, la cantidad de bacterias es 3/2No. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de bacterias. P ( t ) =¿ P0 e kt dN =kN dt

N=¿ No e kt

3 N ( 1 )= No 2

3 N ( 1 )= No 2

N ( 0 )=No

3 No =¿ e k (1) 2 No

N=No e 0.4055t

3 ¿ =¿ e k 2

¿

( 32 )=k = 0.4055

3 No=No e0.4055 t ¿ 3=¿ e0.4055 t ¿3 =t 0.4055 t=2.71 h EJEMPLO DE DECAIMIENTO Se analizo un hueso fosilizado y se encuentra que contenía una milésima parte del C-14. Determine la edad del fósil. A(t )= AO e kt AO 5600k = AO e 2 AO 5600 =e 2 AO 1 ¿ =5600 k 2 1 ¿( ) 2 =k =−0.00012378 5600 A ( t )= A0 e−0.00012378 t Se encontró que el fósil tenía: A0 kt =A 0 e 1000 A0 =ekt 1000∗A 0 ¿¿ t=55 800 años

DESCOMPOCISION O DESINTEGRACION RADIACTIVA Se ha observado que porcentaje constante de los átomos radiactivos de un material, decaen en cada unidad de tiempo. 50 % 50 % 100 mg de C 14 → 50 mgde C 14 → 25 mg de C 14 → 12.5 mgC 14 50 %

5730 años

5730 años

5730 años

Se puede pensar en esto como si fuera una población de átomos, con una tasa constante de Mortalidad, y sin nacimientos: dP =kP dt

dP =−kM dt

dP =( N−M ) P dt

M (t )=C e−kt M ( 0 )=C e−k 0 M ( 0 )=C M (t )=M 0 e−kt

dP = −MP dt

M(t) : Masa de elemento radiactivo

Vida media: Es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átomos de una muestra. T( en años) M (t )=M 0 e−kt 1 M (T )=M 0 e−kt = Mo 2 e

−kt

=

e−kt =

1M0 2M0 1 2

−kT =¿

1 2

−k =

¿1−¿ 2 T

−k =

−¿ 2 T

k=

¿2 T −

M (t )=M 0 e M (t )=M 0 e

(¿T2 )t

−tIn 2 T

EJEMPLO 1 DESCOMPOSICION Si una sustancia radiactiva reduce su masa a una tercera parte en 30 años ¿Cuál es su vida media? Solución:

1 M (30 )= M 0 3 M0 e e

−30 ∈2 1 = M0 T 3

−30∈2 T

=

1 3

−30∈2 1 =¿( ) T 3 M (30 )=M 0 e

−30 ∈2 T

−30∈2 =¿1−¿ 3 T −30∈2=−T ∈3 T=

30∈2 ¿3

T =18.93 años EJEMPLO 2 Supóngase que una reacción química se desarrolla con la ley de descomposición si la mitad de la sustancia A ha sido convertida al finalizar 10 seg. Encuéntrese en cuánto tiempo se transforma nueve décimos de la sustancia. Sea x = cantidad de la sustancia A La descripción matemática es:

dx =−kx dt

La solución de la ecuación diferencial es: x=B e−kt , determinaremos B Para t=0 , x =x0 → B=x 0 → x=x 0 e−kt Determinaremos k , para esto se tiene : t=10 seg x= x0 ¿(2) 1 −10 k −10 k =x 0 e → =e → k= 2 2 10 −t

Es decir , x=x 0 e 10

∈(2)

, ahora para t=? , x=

9 x0 10

entonces :

−t 9 x0 9 x0 =x 0 e 10∈(2) , ahora para t=? , x= 10 10

entonces :

−t −1 9 x0 = x 0 e 10∈(2) → 9 =2 10 10 10

x0 , Entonces : 2

¿

9 −t = ∈2 →t= 10 10

−10∈ ¿2

9 10

=33 seg .

PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- En cierto cultivo de bacterias, el numero de estas se sextuplico en 10 horas. ¿Cuánto tardo la población en duplicarse? 2.- Cierta cantidad de sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2Kgr. De sal se somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1Kgr. De sal. Dentro de cuánto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal? 3.- Un termómetro que marca 18°F, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 80°F, un minuto después la lectura del termómetro es de 41°F. Determínese las temperaturas medidas como una función del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el nuevo termómetro cinco minutos después que se lleva al cuarto. 4.- A la 1 p.m. un termómetro que marca 70°F, es trasladado al exterior donde el aire tiene una temperatura de - 10°F a las 1.02 p.m. la temperatura es de 26°F a las 1.05 p.m. el termómetro se lleva nuevamente adentro donde el aire esta 70°F, .Cual es la lectura del termómetro a las 1.09 p.m.?