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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA-FIES-EAPS SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL ESPACIO LAPLACIANO

UNH-PERU 26/11/2012

5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Si analizamos el ejemplo 4.2, hay dos puntos importantes con respecto a este ejemplo. En primer lugar, la aplicación de la transformación trae como resultado una ecuación la cual es resuelta para la función desconocida por medios puramente algebraicos. Segundo, y más importante, si la función x(t) la cual tiene la transformada de Laplace 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) fuese conocida, podríamos tener la solución a la ecuación diferencial y las condiciones de frontera. Esto sugiere un procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales. En el método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales, la función es convertida a sus transformadas y las ecuaciones resultantes son resueltas algebraicamente para la función desconocida. Esto es mucho más fácil que resolver una ecuación diferencial. Nosotros obviamente no podemos esperar construir una tabla conteniendo las transformadas de Laplace de cada función f(t) la cual posee una transformada. En cambio podríamos desarrollar métodos para expresar transformadas complicadas, tal como X(s) del Ejemplo 4.2, en términos de transformadas simples las cuales pueden encontrarse en la Tabla 4.1. Por ejemplo, se puede verificar fácilmente que la solución a la ecuación diferencial y condiciones de frontera del Ejemplo 4.2 es x(t) = 1 – 2te-1 – e-2t

(5.1)

La transformada de Laplace de x, usando la Ec. (5.1) y la Tabla (4.1), es X(s) =

1 1 1 2  2 s s2 ( s  1)

(5.2)

La ecuación X(s) = 2/s(s3 + 4s2 + 5s + 2) es el resultado de poner la Ec. (5.2) sobre un denominador común y muchas veces es difultuoso encontrar x(t) a partir de esta ecuación, requiriéndose un método para expandir la forma de denominador común a la forma separada dada en la Ec. (5.2). Este método es dado por la técnica de fracciones parciales que se verá más adelante.

5.1 Inversión por fracciones parciales En problemas de análisis de teoría de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t), frecuentemente es de la forma F(s) =

B( s) A( s )

(5.3)

donde las A(s) y B(s) son polinomios en s, y el grado de B(s) es menor de A(s). Si F(s) se descompone en sus componentes, F(s) = F1(s) + F2(s) + . . . + Fn(s)

(5.4)

y si las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas fácilmente, entonces

ING. EDGAR R. JULIÁN LAIME

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA-FIES-EAPS SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL ESPACIO LAPLACIANO

UNH-PERU 26/11/2012

L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] +. . . + L-1[Fn(s)] (5.5) = f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t)

(5.6)

donde f1(t), f2(t), . . ., fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s), respectivamente. La transformada inversa de Laplace así obtenida F(s) es única, excepto posiblemente en puntos donde la función de tiempo es discontinua. Toda vez que la función de tiempo sea continua, las funciones del tiempo f(t) y sus transformadas de Laplace F(s) tienen una correspondencia univoca. La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parcialices es que los términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de fracciones parciales, son funciones muy simples de s. En consecuencia no es necesario recurrir a una tabla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas de Laplace simples. Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace de F(s) = B(s)/A(s) deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador A(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio denominador. En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en forma de fracciones parciales, es importante que la potencia más elevada de s en A(s) sea mayor que la potencia de s en B(s). Si ese no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s) para producir un polinomio en s más un resto (una relación de polinomios en s cuyo numerador sea de grado menor que el denominador). (Para detalles ver el Ejemplo 5.2)

5.1.1 Expansión en fracciones parciales cuando F(s) contiene únicamente polos distintos Sea F(s) escrita en su forma factorizada B( s) K ( s  z1 )(s  z 2 )...(s  z m )  F(s) = A( s) ( s  p1 )(s  p 2 )...(s  p n )

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