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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA E.A.P: INGENIERÍA DE MINAS

Presentado por: VÁSQUEZ SARMIENTO, Miro Junior

Docente: Lic. ROJAS HUAMÁN, Ever

Ciclo: lV

Cajamarca, Noviembre de 2018

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA DE MINAS

RESUMEN Las ecuaciones diferenciales en la ingeniería en minas tiene un gran campo de acción ya que están aplicadas a la mayoría de sus áreas de trabajo es así que los ingenieros en minas debe tener los conocimientos y actitudes necesaria para realizar actividades de Minera, Evaluación

Diagnostico, Diseño, Implementación, Seguridad

de proyectos

Minero

Metalúrgicos, entre

otras

aplicaciones. Las ecuaciones diferenciales dan un criterio técnico en el proceso las cuales permiten modelar y resolver problemas geométricos, físicos en la minería por medio de funciones de varias variables y mediante la utilización de diferentes técnicas del cálculo de varias variables se puede dar la solución dichos problemas. En lo que refiere a productividad ya sea de cualquier elemento por ejemplo oro (Au); este es un elemento representativo el cual permite medir la efectividad de la minería extractiva, este puede grandes reservas para su recuperación siempre y cuando el método sea efectivo para su aplicación, en un depósito de oro vetiforme se realiza una relación de costos, estos son los costos real y costo referente en los cuales, el ingeniero debe realizar ajustes ya que en la práctica sean posibles de mejorar para aumentar la efectividad de la actividad minera, el cálculo diferencial y las ecuaciones diferencial juegan un papel importante en el análisis de estos aspectos. EXPLOTACION SUBTERRANEA En la explotación subterránea se debe tener normas de seguridad muy altos, tanto como para el diseño de las galerías, maquinaria a utilizarse la utilización del cálculo diferencia permiten optimizar y controlar estos aspectos importantes sin generar pérdidas económicas a la empresa. Las ecuaciones diferenciales en general en el diseño de una mina esta aplicada en el: Desarrollo: Como en el acceso al depósito. Preparación: Diseño de la división de la galería en bloques controlados. Explotación: En la extracción del mineral de los bloques y sus métodos de recuperación.

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ÍNDICE RESUMEN ....................................................................................................................... 2 CAPITULO l .................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 4 1.1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................... 4

1.2

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ............................................................... 4

1.3

OBJETIVO ........................................................................................................ 4

CAPÍTULO ll: .................................................................................................................. 5 MARCO TEÓRICO ......................................................................................................... 5 2.1

BASES TEÓRICAS .......................................................................................... 5

2.1.1

ECUACIONES DIFERENCIALES ........................................................... 5

2.1.2

SOLUCIÒN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ............................... 7

CAPITULO III: ................................................................................................................ 9 PRESENTACÍON Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ................................................. 9 

APLICACIÒN 1 .................................................................................................... 9



APLICACIÒN 2 .................................................................................................. 12



APLICACIÒN 3 .................................................................................................. 13

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................. 14 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 15

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CAPITULO l INTRODUCCIÓN

1.1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la vida académica y en la vida práctica de la ingeniería se busca ahorrar costos, trabajo, y generalmente cálculos matemáticos para resolver una problemática planteada, para algunos casos se utilizan métodos numéricos, pero para problemas donde esto sirve se utilizan ecuaciones diferenciales en los cuales la solución se relaciona a la función que satisfaga una igualdad; ahora veremos cómo estas ecuaciones diferenciales se aplican en nuestra carrera profesional de ingeniería de minas-

1.2

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Cuáles son las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería de minas? ¿Cómo se establecen y cuáles son sus parámetros?

1.3

OBJETIVO

 Encontrar una ecuación diferencial que tenga aplicación en la ingeniería de minas y cuáles son sus parámetros principales.

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CAPÍTULO ll: MARCO TEÓRICO

2.1

BASES TEÓRICAS 2.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

La variable independiente (v. i) es x La variable dependiente (v. d) es y Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y" La variable dependiente (v. d) es V

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2.1.1.1 ORDEN DE UNA ECUACIÒN DIFERENCIAL El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada. Ejemplo:

2.1.1.2 GRADO DE UNA ECUACIÒN DIFERENCIAL El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada. Ejemplos Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

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2.1.2 SOLUCIÒN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad. 2.1.2.1 FUNCION PRIMITIVA DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial. Verificación

Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial. pág. 7 MATEMATICA IV

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2.1.2.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Ejemplo ilustrativo Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5) Solución:

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2.1.2.2 DESCRIPCIÒN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

CAPITULO III: PRESENTACÍON Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

 APLICACIÒN 1 En la minería es muy común buscar métodos confiables y seguros para transportar cargas que en este caso son toneladas de rocas y se debe tomar en cuenta el tipo de material que se utilizara y su resistencia. Cierta cadena uniforme de A metros de largo siendo enrollada sin tensión sobre el piso. El extremo de la cadena se jala verticalmente hacia arriba usando una fuerza constante de B Néwtones. La cadena pesa W néwtones por metro. Determine la altura o profundidad del extremo sobre el nivel del suelo al tiempo t. pág. 9 MATEMATICA IV

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Tomemos en cuenta la siguiente relación, X = x (t) Altura en el extremo de la cadena en el aire a un tiempo t, V = dx/dt Tomando en cuenta que la dirección positiva es hacia arriba. En la porción de la cadena que está en el aire en el tiempo t se tienen las siguientes: Peso:

P = (Xmetros) (Wnewtones/metro) = WX, (a)

Masa:

m = P/g = WX/g, (c)

Fuerza Neta:

FN = B – P = B – WX, (c)

Tomando en cuenta, F = (d/dt) (mv), (d) reemplazando (b) y (c) en (d), (d/dt)(WX/g)V = B – WX X (dv/dt) + V (dX/dt) = g [B/W– x] Se tiene, X (d2X/d2t) + (dX/dt)2 + gX = Bg/W pág. 10 MATEMATICA IV

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Esta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden de la forma, F (X, X’, X’’) = 0 Se la puede resolver por reducción de orden, sustituyendo V = (X`) aplicando la regla de la cadena, la ecuación resultante queda de la siguiente manera: (X.V)(DV/dX) + V2 = g [B/W– x] M(X, V) dX + N(X, V) dV = 0 (V2 + gX – Bg/W) dX + (XV) dV Esta ecuación diferencial no es exacta, la cual se debe multiplicar por un factor integrante obteniéndose: (1/2)X2V2 + (g/3) X3 – (Bg/2W) X2 = C Tomamos en cuenta que la cadena está en el suelo por lo tanto X (0) = 0, V > 0, entonces, C=0 Por remplazo se obtiene esta ecuación de primer orden (dX/dt) = (Bg/W - (2g/3) X) Resolviendo por separación de variables - (3/g) (Bg/W – (2g/3) X)1/2 = t + C2

Para X (0) = 0

C2 = (-3 (Bg/W))/g Despejando x de la ecuación y sustituyendo el valor de C2 se obtiene (3/g)(Bg/W) – (2g/3) X= (t + (-3 (Bg/W))/g)2 X (t) = [(t + (-3 (Bg/W))/g)2 -(3/g) (Bg/W)]3/2g

ECUACIÓN GENERAL

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 APLICACIÒN 2 DESCRIPCION

DE

TRAYECTORIAS

ORTOGONALES

DE

UNA

FAMILIA DE CURVAS EN LOS TRATAMIENTOS DE RECUPERACION POR LIXIVIACION Y TRATAMIENTO DE AGUAS RESIDUALES. x2+y2 – x.y = C2

Derivando se obtiene 2x-y(x)-xy’(x)+2y(x) y’(x) Despejando y’(x) se obtiene y’(x) = [(-2x+y(x))/ (-x+2y(x))] De esta ecuación podemos obtener la pendiente. La ecuación que nos da el comportamiento de las trayectorias ortogonales de esta función es, y’(x) = ([x-2y(x))/(-2x+y(x))]

Esto claramente se observa que permitiría los cálculos para la identificación de estratos y vetas permitiéndonos así tener una clara descripción del buzamiento de la falla en la que se encuentre la veta. pág. 12 MATEMATICA IV

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 APLICACIÒN 3 Riesgos asociados a la mecánica de rocas Las ecuaciones diferenciales nos permiten calcular de una forma eficaz las propiedades mecánicas de la roca en la cual se realizara la labor minera. MECANICA DE ROCAS

Las propiedades de las rocas pueden ser medidas mediante ensayos. El comportamiento de la roca durante la excavación puede ser analizada. El reconocer estos parámetros permite que el trabajo minero no genere pérdidas considerables. Las ecuaciones diferenciales permiten realizar el diseño de softwares específicos para controlar estos parámetros en una labor minera. Compresión uniaxial Fc = Q/A Fc: Esfuerzo de ruptura en compresión simple (kg/cm2)

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Q: Carga máxima de compresión (kg) A: Área en la cual se aplica la carga (cm2) Tracción Uniaxial Et = Ft/A Et: Resistencia de Tracción (kg/cm2) Ft: Fuerza de tracción máxima (kg) A: Área sometida a fuerza de tracción (cm2)

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia en la minería ya que permiten el diseño y control de la maquinaria a usar, ya que permite un control detallado de los materiales y sus resistencias para tener coeficientes de seguridad óptimos que garanticen una adecuada y segura labor minera.

·

En los procesos de recuperación de minerales económicamente rentables

o en la identificación de minerales con alteración hidrotermal se pueden analizar las familias de curvas que en estos se generan a través de las ecuaciones diferenciales

·

Las ecuaciones diferenciales permiten un mejor diseño de la minería, ya

que es posible generar datos estructurales de las rocas, en función a sus propiedades mecánicas, el diseño de softwares, permiten el diseño de galerías y simulaciones de construcción de bloques, en la veta en que se esté trabajando.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://www6.uniovi.es/usr/fblanco/MasterIngenieriaMinas.MemoriaVerificaAN ECA.pdf



http://www.academia.edu/8218778/ESCUELA_POLIT%C3%89CNICA_NACI ONAL_FACULTAD_DE_INGENIER%C3%8DA_DE_SISTEMAS_Aplicacio nes_de_las_ecuaciones_diferenciales_ordinarias_Trayectorias_Ortogonales_Con tenido



http://es.slideshare.net/keyllejimra/ecuaciones-diferenciales-aplicadas-murray-rspiegel-23265398



http://www.revistas.unal.edu.co/index.php/rbct/article/view/722/11305



http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1333019688_229514061.pdf

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