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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

Trabajo de Laboratorio N°2 de Métodos Matemáticos I Aplicación de las ecuaciones diferenciales a la Ingeniería Electrónica Profesor: Eloy U. Cantoral Huamaní

EAP: Ing. Electrónica

Alumno: Quispe Fernandez, Abel

Código: 201311648

Sem. 2015-2

Ecuaciones diferenciales Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetos. La formulación de un modelo matemático : -

-

Identificación de las variables que ocasionan el cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo. Después, se establece un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis, acerca del sistema que estamos tratando de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas que se pueden aplicar al sistema.

Para algunos objetivos quizá baste con conformarse con modelos de baja resolución. Por ejemplo, en los cursos básicos de física algunas veces se desprecia la fuerza retardadora de la fricción del aire al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la tierra. Puesto que con frecuencia la hipótesis acerca de un sistema implica una razón de cambio de una o más variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis puede ser una o más ecuaciones que contengan derivadas. El modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.

Aplicaciones a los circuitos eléctricos: Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cierra en el tiempo t=0, establezca una ecuación diferencia para la corriente y determine la corriente en el tiempo ‘t’.

De acuerdo al dibujo de arriba. Llamando ‘I’ a la corriente en amperios que fluye a través del circuito. Luego, tenemos: voltaje suministrado = 100 voltios; caída de voltaje a través de la 𝑑𝐼

𝑑𝐼

resistencia (IR) = 10*I; caída de voltaje a través del inductor (𝐿 𝑑𝑡) = 2 𝑑𝑡 . De donde, por la ley Kirchhoff, 𝑑𝐼

100 = 𝐿 𝑑𝑡 + 10 ∗ 𝐼

→

𝑑𝐼

100 = 2 𝑑𝑡 + 10 ∗ 𝐼

→

𝑑𝐼

50 = 𝑑𝑡 + 5 ∗ 𝐼 …… (Ѱ)

Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener que I = 0 en t = 0.

La solución correspondiente: la ecuación diferencial (Ѱ) es una ecuación de primer orden lineal con factor integrante 𝑒 5𝑡 . Multiplicando por este factor da 𝑑(𝑒 5𝑡 𝐼) = 50 ∗ 𝑒 5𝑡 ó 𝑑𝑡

∫ 𝑑(𝑒 5𝑡 𝐼) = ∫ 50 ∗ 𝑒 5𝑡 𝑑𝑡

𝑒 5𝑡 𝐼 = 10𝑒 5𝑡 + 𝑐

;

𝐼 = 10 + 𝑐𝑒 −5𝑡

Luego : I = 0 en t = 0 → c = 10. Así 𝐼 = 10(1 − 𝑒 −5𝑡 )

El grafico I vs t muestra que la corriente en t = 0 y crece hacia un máximo de amperios aunque teóricamente nunca lo alcanza.

Verificacion mediante MatbLab: >> syms t >> y=dsolve('DY+5*Y=50','Y(0)=0','t') y = 10 - 10/exp(5*t) >> ezplot(10 - 10/exp(5*t),[0,10]),grid

10 - 10/exp(5 t) 10 9.995 9.99 9.985 9.98 9.975 9.97 9.965 9.96

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

Con lo cual he verificado que se llega a la solución correcta. Bibliografía Murray R. Spiegel. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3ra edición. Prentice-Hall, México: 1983. Ecuaciones Diferenciales. Edward Penney 4ta edición; Pág. 225-231. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Murray R. Spiegel, tercera edición; Pág. 84-88 Matemáticas avanzadas para ingeniería-1 Kreyzig-Vol. I; Pág. 61-64 Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Dennis G. Zill, 9vena edición; Pág. 19-26