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• Jhon Quspe Santos

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PRACTICA LA CIRCUNFERENCIA I.

DEFINICIÓN: Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo. Al punto fijo se le denomina centro y a la distancia constante se le llama radio.

Donde se deduce:

 D E  C ;  2   2

II. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación Ordinaria:

r

D 2  E 2  4F 2

PRACTICA DIRIGIDA 01. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5u con centro en el origen de coordenadas.

y P(x;y) r

Centro : (h;k) Radio : r

C(h;k)

A) x2+y2 = 25 D) x2 -y2 = 16

B) x2+y2 = 16 E) x2 -y2 = 25

C) x2+y2 = 49

02. Hallar la ecuación canónica de una circunferencia que pasa por el punto (-3;4) o

x

A) x2+y2 = 10 D) x2+y2 = 15

( x  h )2  ( y  k )2  r 2

y Centro : (0;0) Radio : r

o

x

A) B) C) D) E)

x2 + y2 – 4x – 12y + 24 = 0 x2 – y2 + 4x – 10y – 18 = 0 x2 + y2 + 9x + 6y – 10 = 0 x2 + y2 – 4x – 14y – 8 = 0 x2 – y2 – 10x + 3y + 15 = 0

04. Una circunferencia tiene por ecuación: x2 + y2 – 4x – 8y – 29 = 0 hallar la posición de sus centro. A) (2;3) D) (2;-4)

x2  y2  r2

Ecuación General: ( x  h )2  ( y  k )2  r 2 Se tiene: Desarrollando: x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 Acomodando los términos: x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0 Haciendo un cambio de variable:

D = (-2h) ; E = (-2k) ; F = (h2 + k2 – r2) Reemplazando se tiene: 2

C) x2+y2 = 25

03. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (2;6) y que tiene por radio a 4u.

Ecuación Canónica:

r

B) x2+y2 = 20 E) x2+y2 = 35

2

x + y + Dx + Ey + F = 0

B) (2;-3) E) (-2;4)

C) (2;4)

05. Del problema anterior, el radio mide: A) 6 D) 8

B) 5 E) 9

C) 7

06. Una circunferencia tiene por ecuación: x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0 si el centro es: C(h;k) y su radio es “r”. Calcular: M = (h.k)2 + r A) 40 D) 25

B) 20 E) 32

C) 30

07. Dada la ecuación de una circunferencia: x2 + y2 – x + y = 1 dar la suma de las coordenadas de su centro

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Grupo educativo Kennedy Balmer… A) 1/2 D) 0

B) 1 E) 6

C) 2

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4)

08. Dada la circunferencia de ecuación: x2 + y2 – 2x + 4y = 3 entonces el valor de su radio es: A) 2 2 D)

2

B) 2

C)

3

E) 8

09. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (2;3) y cuyo centro es (-1;7) A) x2 + y2 – 2x + 14y – 50 = 0 B) x2 + y2 – 2x + 14y – 25 = 0 C) x2 + y2 + 2x + 14y – 50 = 0 D) x2 + y2 – 4x + 7y – 65 = 0 E) x2 + y2 + 2x – 14y + 25 = 0 10. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y uno de cuyos diámetros une los puntos (-9;15) y (25;15) A) B) C) D) E)

(x – 6)2 + (y – 10)2 = 122 (x – 8)2 + (y – 15)2 = 172 (x – 3)2 + (y + 8)2 = 102 (x + 5)2 + (y – 2)2 = 152 (x – 2)2 + (y + 7)2 = 202

A) 28πu2 D) 14πu2

3x B) 26πu2 E) 56πu2

C) 24πu2

12. La ecuación de una circunferencia es: x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0 si el centro es (m;n) y su radio es “k”. Calcular: E = k4 +m2 + n3 A) 15 D) 18

B) 16 E) 19

C) 17

13. Hallar la ecuación de una circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD donde A(5;0) y B(5;12), estando C a la derecha de B A) B) C) D) E)

(x – 6)2 + (y – 11)2 = 144 x + y2 = 36 (x – 6)2 + y2 = 36 x2 + y2 = 144 (x – 11)2 + (y – 6)2 = 36

14. ¿Cuál es el valor de “K” en la circunferencia de ecuación: x2 + y2 – 3x – 3y + K = 0, si el radio mide:

10 ? 4 A) 1 D) 2

B) -1 E) 3

A) B) C) D)

x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0 x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0 x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1;-4) y que es concéntrica con: x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0 A) B) C) D) E)

x2 + y2 – 2x + 10y + 24 = 0 x2 + y2 – 6x + 8y + 24 = 0 x2 + y2 + x – 10y + 9 = 0 x2 + y2 + 7x – 6y – 12 = 0 x2 + y2 + 3x + y + 10 = 0

17. La ecuación de una circunferencia está dada por C : x2 + y2 + 4x – 8y + n = 0, hallar el valor de “n” para que su radio sea 5 A) -7 D) -4

11. Hallar el área de la región formada por el semi-eje positivo de las abscisas, la circunferencia: x 2 + y2 = 144 y la recta: y =

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C) 1/2

B) -6 E) -3

C) -5

18. La ecuación de una recta es: y x  1  20 15 hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a dicha recta, si su centro es el origen de coordenadas A) x2+y2 = 144 D) x2+y2 = 169

B) x2+y2= 225 C) x2+ y2=100 E) x2+y2 = 196

19. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados, su radio mide 3u y el centro pertenece al IVC A) B) C) D) E)

x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0 x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0 x2 + y2 + 3x + 3y – 9 = 0 x2 + y2 – 3x – 3y – 10 = 0 x2 + y2 + x + y + 3 = 0

20. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: L1 : x + y – 4 = 0 L2 : x – y + 8 = 0 y pasa por el origen de coordenadas A) B) C) D) E)

x2 + y2 + 4x + 12y = 0 x2 + y2 – 3x + 4y = 0 x2 + y2 – 2x + y = 0 x2 + y2 + 4x – 12y = 0 x2 + y2 – 3x + y = 0

21. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (2;4) y que pasa por el punto de intersección de las rectas:

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A) B) C) D)

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L1 : 4x – 7y + 10 = 0 L2 : 3x + 2y – 7 = 0 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13 (x + 2)2 + (y – 4)2 = 13 (x – 1)2 + (y + 3)2 = 13 (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13

(x + 3)2 + (y + 7)2 = 13 22. La recta L : x – y + 3 = 0 es tangente a la circunferencia C : x2 – 2x + y2 =7 en el punto (a;b). Hallar “a + b” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 23. Hallar la ecuación de una recta que es tangente a la circunferencia C : x2 + y2 + 2x + 4y = 15 y pasa por el punto de tangencia (1;2) A) x + 2y – 5 = 0 C) x – 3y – 7 = 0 E) x + 5y + 3 = 0

A) B) C) D) E)

x2 + y2 – 5x + 7y + 20 = 0 x2 + y2 + 2x – 3y – 30 = 0 x2 + y2 – 2x – 12y + 19 = 0 x2 + y2 + 3x – 15y + 35 = 0 x2 + y2 + 3x + 13y – 23 = 0

x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0 x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0 x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0 x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

A) 5 2

B) 3 3

D)

E) 2 5

5

C) 2 2

30. En la figura la recta “L” tiene por ecuación:

B) 16 E) 19

C) 17

27. Una recta “L” es tangente a la circunferencia C : x2 + y2 – 2x + 2y – 15 = 0; en el punto (0;3). Hallar la ecuación de la recta A) x + y – 5 = 0 C) 4x + y – 1 = 0 E) 5x – y + 15 = 0

y=

3 x, OT = 12u. Calcular el radio de la circunferencia.

y L r

O

T

A) 6

B) 6 3

D) 3 3

E) 4 3

x C) 4

7 A) ( ; 2 ) 2 D) (-3;4)

1 B) ( 1; ) 2 E) (2:-1)

C) (

1 5 ; ) 2 2

32. Una circunferencia “C” pasa por el origen y por los centros de las circunferencias: C1 : x2 + y2 + 12x + 4y – 24 = 0 C2 : x2 + y2 + 4y – 4 = 0 Hallar le valor del radio de “C”

26. La ecuación de una circunferencia es: x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0 si el centro es (h;k) y su radio es “r”. Calcular: E = r4 + h2 + k3 A) 15 D) 18

29. Una cuerda de la circunferencia: x2+y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es: x – 7y + 25 = 0. Hallar la longitud de la cuerda.

31. Determinar el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A(0;0); B(3;6) y C(7;0)

25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4) A) B) C) D) E)

D) (x – 5)2 + (y – 1)2 = 11 E) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 15

B) x – 2y + 4 = 0 D) x + 4y – 5 = 0

24. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (1;6) y es tangente a la recta: x – y – 1 = 0

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B) x + 7y + 9 = 0 D) x – 4y + 12 = 0

28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-4;-1) y es tangente a la recta 3x + 2y – 12 =0 A) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13 B) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52 C) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 17

A) 6 D)

7

B)

10

E)

13

C) 4

33. Desde un punto P(2;-3) se han trazado tangentes a la circunferencia: C : x2 + y2 – 2x + 10y + 22 = 0 Hallar la ecuación de una cuerda que une los puntos de contacto. A) x + 2y + 5 = 0 C) 2x + 5y + 1 = 0 E) x + y + 5 = 0

B) 2x + y + 5 = 0 D) 5x + 2y + 10 = 0

34. Hallar la ecuación de una circunferencia con centro en (7;6), sabiendo que es ortogonal a la circunferencia cuya ecuación es: C : x2 + y2 – 6x – 4y = 0 A) (x – 6)2 + (y – 7)2 =

19

B) (x – + (y + = 19 C) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 16 7)2

6)2

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D) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 19 E) (x – 7)2 + (y + 6)2 = 19 35. Determinar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen, si la longitud de la tangente trazada desde el punto (-1;6) es 5 A) x2 + y2 = 4 B) x2 + y2 = 8 C) x2 + y2 = 16 D) x2 + y2 = 32 E) x2 + y2 = 64 36. Encontrar la ecuación de una cuerda común a las dos circunferencias:

B) C) D) E)

x2 + y2 + 6x – 7y – 20 = 0 x2 + y2 + 7x + 8y + 15 = 0 x2 + y2 – 9x + 10y + 30 = 0 x2 + y2 – 12x – 12y + 36 = 0

42. Según el grafico determine la ecuación de la circunferencia mostrada, si el área de la región triangular equilátera OAB es 4 3 u2, (P es punto de tangencia).

y

C1 : x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 C2 : x2 + y2 + 8x – 2y + 8 = 0 A) x + y + 5 = 0 C) x + y – 1 = 0 E) x – y + 5 = 0

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A

B) x + 7y + 1 = 0 D) x – 4y + 2 = 0

B

37. Se tiene la circunferencia: C : x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 O

y el punto (3;3). Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia trazada por dicho punto. A) x + 2y – 1 = 0 C) x + y – 1 = 0 E) x + 3 = 0

B) x + 1 = 0 D) x – 3 = 0

38. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 en el punto (6;5). Determinar las coordenadas de su centro. A) (3;2) ó (6;6) C) (4;2) ó (8;8) E) (1;3) ó (5;5)

B) (4;3) ó (7;7) D) (1;5) ó (3;3)

39. Determine el valor de “m”, si el punto (5;-4) pertenece a la circunferencia: C : x2 + y2 – mx + 6y + 33 = 0 A) 0 D) 10

B) 6 E) -10

C) -6

40. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasando por el punto (-1;5), sea concéntrica con: C : x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0 A) B) C) D) E)

x2 + y2 + 6x – 4y = 0 x2 + y2 + 6x – 4y = 4 x2 + y2 + 6x – 4y = 9 x2 + y2 + 6x – 4y = 13 x2 + y2 + 6x – 4y = 26

41. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que es tangente a los ejes coordenados, el centro está en el primer cuadrante y la distancia entre los puntos de tangencia es 6 2 . A) x2 + y2 + 5x + 5y + 12 = 0

A) (x –

P

x

3 )2 + (y – 3)2 = 9

B) (x – 2 3 )2 + (y – 2)2 = 4 C) (x –

3 )2 + (y – 5)2 = 4

D) (x –

5 )2 + (y – 7)2 = 4

E) (x –

7 )2 + (y – 1)2 = 36

43. ¿Qué condición debe cumplir la ecuación de la circunferencia C : x2 + y2 + ax + by + c = 0, para que su centro se sitúe en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes? A) a = c D) a = b

B) a + b = c E) a – b = c

C) b = c

44. Halle la ecuación de la tangente a la circunferencia C: x2 + y2 = 169, en el punto de abscisa 12, situado en el primer cuadrante. A) 3x + 7y – 169 = 0 B) 12x + 5y – 169 = 0 C) 12x – 5y + 169 = 0 D) 5x + 12y – 169 = 0 E) 5x – 12y + 169 = 0 45. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y que pasa por el origen de coordenadas y su centro esta en el eje de ordenadas. A) B) C) D) E)

x2 + y2 – 5x = 0 x2 + y2 – 8x = 0 x2 + y2 + 8x = 0 x2 + y2 – 6x = 0 x2 + y2 – 6y = 0

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