• Author / Uploaded
• angel alberto aguilar alvarado

Citation preview

Ejercicios de la Asignación 2 1. Usar la regla del trapecio para aproximar,

i) ii)

Dividiendo en un solo intervalo. Dividiendo en 6 intervalos.

Soluciones:

i) 3.4115

ii)

0.36907

Solucion i)

Dividiendo en un solo intervalo.

Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:

𝑎=0 𝑏=6 𝑓(𝑥) =

cos⁡(𝑥) 𝑥+1

𝑓(0) =

cos(0) 1 = =0 0+1 1

𝑓(6) =

cos(6) 0.96017 = = 0.13717 6+1 7

Aplicamos la formula

6

∫ 0 6

∫ 0 6

∫ 0 6

∫ 0

cos⁡(𝑥) 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎) [ ] 𝑥+1 2 cos⁡(𝑥) 𝑓(0) + 𝑓(6) 𝑑𝑥 = (6 − 0) [ ] 𝑥+1 2 cos⁡(𝑥) 1 + 0.13717) 𝑑𝑥 = (6) [ ] 𝑥+1 2 cos⁡(𝑥) 1.13717) 𝑑𝑥 = (6) [ ] 𝑥+1 2

6

∫ 0

cos⁡(𝑥) 𝑑𝑥 = 3.41151 𝑥+1

ii) Dividiendo en 6 intervalos. ℎ=

𝑏−𝑎 6−0 = =1 𝑛 6

La partición generada es 𝑃 = {0,1,2,3,4,5,6} Asi aplicamos la formula

6

∫ 0 6

∫ 0 6

∫ 0 6

∫ 0 6

∫ 0

6

∫ 0

cos⁡(𝑥) 𝑓(0) + 2𝑓(1) + 2𝑓(2) + 2𝑓(3) + 2𝑓(4) + 2𝑓(5) + 𝑓(6) 𝑑𝑥 = (6 − 0) [ ] 𝑥+1 2∗6 cos⁡(𝑥) 𝑓(0) + 2𝑓(1) + 2𝑓(2) + 2𝑓(3) + 2𝑓(4) + 2𝑓(5) + 𝑓(6) 𝑑𝑥 = (6) [ ] 𝑥+1 2∗6 cos⁡(𝑥) 1 𝑑𝑥 = ( ) [𝑓(0) + 2𝑓(1) + 2𝑓(2) + 2𝑓(3) + 2𝑓(4) + 2𝑓(5) + 𝑓(6)] 𝑥+1 2 cos⁡(𝑥) 1 cos⁡(0) cos⁡(1) cos⁡(2) cos⁡(3) cos⁡(4) cos⁡(5) cos⁡(6) 𝑑𝑥 = ( ) [ +2 +2 +2 +2 +2 + ] 𝑥+1 2 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 cos⁡(𝑥) 1 𝑑𝑥 = ( ) [1 + 2(0.27015) + 2(−0.13872) + 2(−0.24750) + 2(−0.13073) + 2(0.04728) 𝑥+1 2 + (0.13717)] cos⁡(𝑥) 1 𝑑𝑥 = ( ) [0.73813] = 0.36907 𝑥+1 2

2. Usar la regla de Simpson 1/3 para aproximar,

i)

Dividiendo en un solo intervalo.

ii)

Dividiendo en 4 intervalos.

Soluciones: i) 82.60511

ii) 76.94497

Solución i)

Dividiendo en un solo intervalo.

Aplicamos la formula directamente, con los siguientes datos

𝑎=0 𝑏=4 𝑥𝑚𝑒𝑑 =

4+0 =2 2 3

𝑓(𝑥) = √𝑥𝑒 𝑥 Calculamos 3

𝑓(0) = √0 ∗ 𝑒 0 = 0 3

𝑓(4) = √4 ∗ 𝑒 4 = 86.66916 3

𝑓(2) = √2 ∗ 𝑒 2 = 9.30963 Formula

4

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = (4 − 0) [ 0

4

𝑓(0) + 4𝑓(2) + 𝑓(4) ] 6

0 + 4(9.30963) + 86.66916 3 ∫ √𝑥 𝑒 𝑥 = (4) [ ] 6 0

4

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = 82.60512 0

Otra forma de realizar 𝑥𝑖 0,00 2,00 4,00

4

3

𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑒 𝑥 0,00000 9,30963 86,66916

3

∫ √𝑥 𝑒 𝑥 = (4 − 0) [ 0

ii)

𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) 0,00000 37,23851 86,66916 Total: 123,90767

𝑘 1 4 1

123,90767 ] = 82.60511 6

Dividiendo en 4 intervalos.

ℎ=

𝑏−𝑎 4−0 = =1 𝑛 4

La partición generada es 𝑃 = {0,1,2,3,4} Además, los puntos medios de cada subintervalo son: 𝑃 = {0.5,⁡⁡⁡1.5,⁡⁡⁡2.5,⁡⁡⁡3.5}

Asi aplicamos la formula

4

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = (4 − 0) [ 0

4

𝑓(0) + 4(𝑓(0.5) + 𝑓(1.5) + 𝑓(2.5) + 𝑓(3.5)) + 2(𝑓(1) + 2𝑓(2) + 2𝑓(3)) + 𝑓(6) ] 6∗4

3

∫ √𝑥 𝑒 𝑥 0

= (4) [

3

3

3

3

3

3

3

3

3

√0𝑒 0 + 4( √0.5𝑒 0.5 + √1.5𝑒 1.5 + √2.5𝑒 2.5 + √3.5𝑒 3.5 ) + 2( √1𝑒 1 + √2𝑒 2 + √3𝑒 3 ) + √4𝑒 4 ] 24

4

3

∫ √𝑥 𝑒 𝑥 0

= (4) [ 4

0 + 4(1.30859 + 5.13025 + 16.53419 + 50.27901) + 2(2.71828 + 9.30963 + 28.96836) + 86.66916 ] 24

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = (4) [ 0

4

0 + 293.00816 + 81.99254 + 86.66916 ] 24

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = 76.94497 0

Otra forma de realizar 𝑥𝑖 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

4

3

∫ √𝑥𝑒 𝑥 = (4 − 0) [ 0

3

𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑒 𝑥 0,00000 1,30859 2,71828 5,13025 9,30963 16,53419 28,96836 50,27901 86,66916

𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) 0,00000 5,23436 5,43656 20,52101 18,61925 66,13675 57,93671 201,11603 86,66916 Total: 461,66985

𝑘 1 4 2 4 2 4 2 4 1

461.66985 ] = 76.94497 24

3. Usar la regla de Simpson 3/8 para aproximar,

i)

Dividiendo en un solo intervalo.

ii)

Dividiendo en 4 intervalos.

Soluciones:

i) 2.76591

ii) 2.76501

Solucion i)

Dividiendo en un solo intervalo.

Aplicamos la formula directamente, con los siguientes datos

𝑎=2 𝑏=4 ℎ=

𝑏−𝑎 4−2 2 = = 3 3 3

𝑥0 = 𝑎 = 2 𝑥1 = 𝑥0 +

2 2 8 = 2+ = 3 3 3

𝑥2 = 𝑥1 +

2 8 2 10 = + = 3 3 3 3

𝑥3 = 𝑥2 +

2 10 2 = + =4 3 3 3

𝑓(𝑥) = (𝑙𝑛𝑥)3 Aplicamos la formula

4

∫ 2

(𝑙𝑛𝑥)3

(𝑙𝑛𝑥0 )3 +3(𝑙𝑛𝑥1 )3 + 3(𝑙𝑛𝑥2 )3 + (𝑙𝑛𝑥4 )3 = (4 − 2) [ ] 8

8 3 10 3 (𝑙𝑛2)3 +3 (𝑙𝑛 ⁡) + 3 (𝑙𝑛 ) + (𝑙𝑛4)3 3 3 ∫ (𝑙𝑛𝑥)3 = (2) [ ] 8 2 4

4

0.33302 + 3(0.94258) + 3(1.74522) + 2.66420 ∫ (𝑙𝑛𝑥)3 = (2) [ ] 8 2 4

∫ (𝑙𝑛𝑥)3 = 2.76591 2

Otra forma de realizar 𝑓(𝑥) = (𝑙𝑛𝑥)3 0,33302 0,94358 1,74522 2,66420

𝑥𝑖 2 8/3 10/3 4

𝑘 1 3 3 1 Total:

4

∫ (𝑙𝑛𝑥)3 = (4 − 2) [ 2

ii)

ℎ=

11,06363 ] = 2.76591 8

Dividiendo en 4 intervalos.

𝑏−𝑎 4−2 1 = = 𝑛 4 2

la partición correspondiente:

𝑥0 = 𝑎 = 2 𝑥1 = 𝑥0 +

1 1 5 = 2+ = 2 2 2

𝑥2 = 𝑥1 +

1 5 1 = + =3 2 2 2

𝑥3 = 𝑥2 +

1 1 7 = 3+ = 2 2 2

𝑥4 = 𝑥3 +

1 7 1 = + =4 2 2 2

5 7 𝑃 = {2, , 3, , 4} 2 2

𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) 0,33302 2,83075 5,23566 2,66420 11,06363

Al considerar los puntos que dividen en tres partes iguales a cada subintervalo, tenemos los siguientes datos: 5 𝑏−𝑎 2−2 1 ℎ= = = 3 3 6 𝟐