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ANALISIS DE DECISIONES Investigación de Operaciones II Karin Aguilar Imitola

Ambientes de decisión DECISIÓN: Seleccionar la mejor entre varias alternativas Escenarios para la toma de decisiones:

Bajo certidumbre • Datos determinísticos

Bajo riesgo • Función de densidad de probabilidad

Bajo incertidumbre • Datos ambiguos

DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE

Toma de decisión Bajo Certidumbre Ejemplos: modelos de PL, las alternativas de decisión se interrelacionan con funciones lineales matemáticas bien definidas METODO DE ANALISIS JERÁRQUICO Cuantificación de ideas, emociones y sentimientos para proporcionar una escala numérica que prioriza alternativas de decisión

Ejemplo Martin quiere ir a la universidad Tiene 3 alternativas : U de A U de B U de C Criterios: Ubicación y reputación : Para él, la reputación académica es cinco veces más importante que la ubicación, y asigna un peso de aproximadamente 83% a la reputación y un 17% a la ubicación

Ejemplo

PREGUNTA ¿Cómo se determinaron los pesos?

Determinación de los pesos n criterios en una jerarquía dada Matiz A de comparación por pares de n x n

 a11 A    an1

a1n    ann 

PJA utiliza escala numérica de comparación de 1 a 9

Determinación de los pesos: ¡hacer comparaciones! 𝑎𝑖𝑗 = 1 → 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑖 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑗 𝑎𝑖𝑗 = 5 → 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑖 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑜 𝑚á𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑗 𝑎𝑖𝑗 = 9 → 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑖 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚á𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑗

 a11 A    an1

Valores intermedios se interpretan como corresponda. Consistencia en el juicio 𝑎𝑖𝑗 = 𝑘 → 𝑎𝑗𝑖 =

1 𝑘

Los elementos diagonales 𝑎𝑖𝑖 son iguales a 1

a1n    ann 

Procedimiento 1. Matriz de comparación (calcular la suma de sus columnas) 2. Matriz con pesos relativos: dividir las entradas de la matriz de comparación entre la suma de su correspondiente columna. 3. El promedio de la fila corresponde a la ponderación de cada alternativa

Ejemplo Martin Hans, un brillante estudiante del último año de la preparatoria, recibió ofertas de becas académicas completas de tres instituciones: U de A, U de B y U de C. Martin fundamenta su elección en dos criterios: la ubicación y la reputación académica. Para él, la reputación académica es cinco veces más importante que la ubicación, y asigna un peso de aproximadamente 83% a la reputación y un 17% a la ubicación

1. Matriz de comparación

2. Matriz con pesos relativos Dividir las entradas de la matriz de comparación entre la suma de su correspondiente columna

3. Ponderación de las filas El promedio de la fila corresponde a la ponderación de cada alternativa

Solución

1. Matrices de comparación Las preferencias de Martin con respecto a la importancia relativa de las tres universidades desde el punto de vista de los dos criterios L y R se resumen en las siguientes matrices de comparación:

2. Matrices con pesos relativos

3. Promedio de las filas

Solución

Ejemplo 2.

Ejercicio 1. Suponga que se especifican los siguientes pesos para la situación de Martin y Jane

Basado en esta información, califique las tres universidades.

Consistencia de la matriz de comparación Consistencia implica juicio racional por parte del tomador de decisiones. Matemáticamente decimos que: Una matriz de comparación A es consistente si se cumple que

𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑘 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘

Esto resulta en que las columnas de la matriz son idénticas.

Ejemplo ¿Es consistente la matriz de A?

Ejemplo ¿Es consistente la matriz de AR?

Ejemplo ¿Es consistente la matriz de AL?

Razón de consistencia ¿ Qué tan consistente es A?

CI RC  RI

CI: Índice de consistencia de la matriz

RI: Consistencia aleatoria de la matriz

nmax  n CI  n 1 1.98(n  2) RI  n

Ejemplo Ya sabemos que la matriz AL es inconsistente porque las columnas de su matriz NL no son idénticas 1. Calculo de nmax

nmax  0.3863  0.8320  1.7930 nmax  3.0113

Ejemplo 2. Con n=3

nmax  n 3.0113  3 CI    0.00565 n 1 3 1 1.98(n  2) 1.98(3  2) RI    0.66 n 3 CI 0.00565 CR    0.00856 RI 0.66 Como CR < 0.1 , entonces el nivel de consistencia de AR es aceptable

Ejercicio 1. El departamento de personal en C&H ha reducido la búsqueda de una nueva contratación a tres candidatos: Steve (S), Jane (J), y Maisa (M). La selección final se basa en tres criterios: entrevista personal (I), experiencia (E), y referencias (R). El departamento utiliza la matriz A para establecer las preferencias entre los tres criterios. Después de entrevistar a los tres candidatos y compilar los datos con respecto a sus experiencias y referencias, se construyen las matrices AI, AE y AR ¿Cuál de los tres candidatos debe ser contratado? Evalúe la consistencia de los datos.

Ejercicio 2. Kevin y June Park (K y J) están en el proceso de comprar una nueva casa. Tres casas están disponibles: A, B y C. Los Park acordaron dos criterios para seleccionar la casa, como cantidad de trabajo de jardinería (Y), y cercanía al lugar de trabajo (W), para lo cual desarrollaron las siguientes matrices de comparación. 1. Califique las tres casas en orden de prioridad, y 2. calcule la relación de consistencia para cada matriz.

Ejercicio 2 (Continuación)

DECISIONES BAJO RIESGO

Introducción Beneficios de cada alternativa de decisión se representan por distribuciones de probabilidad Decisión basada en el criterio del valor esperado:  Maximización de la utilidad esperada  Minimización del costo esperado

Árbol de decisiones: Criterio Valor esperado Diagrama de árbol Un circulo representa una evento aleatorio

Un cuadrado representa un punto de decisión

Árbol de decisiones: Criterio valor esperado Problema de decisión: n : estados de naturaleza m: alternativas de decisión pj>0 es la probabilidad de ocurrencia del estado j aij es la retribución de la alternativa i dado el estado j (i=1,…, m; j=1,…, n)

Árbol de decisiones: Criterio valor esperado Retribución esperada de la alternativa i es:

EVi  ai1 p1  ai 2 p2  ...  ain pn p1  p2  ...  pn  1

Ejemplo Suponga que desea invertir $10,000 en el mercado de valores adquiriendo acciones en una de dos compañías: A y B. Las acciones de la compañía A, aun cuando son riesgosas, podrían redituar 50% durante el siguiente año. Si las condiciones del mercado de valores no son favorables (es decir, un mercado “bajista”) las acciones pueden perder 20% de su valor. La compañía B proporciona inversiones seguras con 15% de rendimiento en un mercado “alcista” y de sólo 5% en un mercado “bajista”. Todas las publicaciones que ha consultado (¡y siempre hay una abundancia de ellas al final del año!) pronostican una probabilidad de 60% de un mercado “alcista” Y 40% de un mercado “bajista”. ¿Cómo debe invertir su dinero?

Ejemplo Estado de la naturaleza

Alternativas de decisión

Árbol de decisión del problema

Solución al problema Acción A= ($5000*0.6)+(-$2000*0.4)=$2200

Acción B= ($1500*0.6)+($500*0.4)=$1100

Ejercicio 1 Lo invitaron a participar en el juego de la Rueda de la Fortuna en la televisión. La rueda funciona electrónicamente con dos botones para producir un giro duro (H) y un giro suave (S). La rueda está dividida en dos regiones semicirculares, una blanca (W) y una roja (R). Le dijeron que la rueda está diseñada para que se detenga 30% de las veces en la región blanca. La retribución del juego es 1. Desarrolle el árbol de decisión asociado 2. Determine el curso de acción basado en el criterio del valor esperado.

Ejercicio 2 Se le presenta la oportunidad de invertir en tres fondos mutuos: de servicios, de crecimiento agresivo, y global. El valor de su inversión cambiará según las condiciones del mercado. Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje; 50% de que permanezca moderado, y 40% de que funcione bien. La siguiente tabla proporciona el cambio porcentual del valor de la inversión en las tres condiciones:

1. Represente el problema como un árbol de decisión 2. Cuál fondo mutuo debe seleccionar?

Ejercicio 3 Farmer McCoy puede sembrar maíz o soya (soja). Las probabilidades de que los precios de la siguiente cosecha suban, no cambien, o bajen son .25, .30 y .45, respectivamente. Si los precios suben, la cosecha de maíz redituará un ingreso neto de $30,000 y la de soya redituará un ingreso neto de $10,000. Si los precios no cambian, McCoy (apenas) saldrá a mano. Pero si los precios bajan, las cosechas de maíz y soya sufrirán pérdidas de $35,000 y $5000, respectivamente. 1. Represente el problema en un árbol de decisiones 2. Cual cosecha debe sembrar McCoy?

Probabilidad a posteriori (de Bayes) Las probabilidades utilizadas en el criterio del valor esperado se suelen estimar a partir de datos históricos. En algunos casos la precisión de estas estimaciones puede mejorarse por medio de experimentación adicional. Las probabilidades resultantes se conoce como probabilidades a posteriori (o de Bayes)

Teorema de Bayes Sean 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con 𝑃(𝐴𝑖 ) ≠ 0 para cada Ai. Sea B cualquier evento con P 𝐵 ≠ 0. Entonces

P( An  B ) P( B| An )P( An ) P( An | B )   n P( B )  P( B│Ai )P( Ai ) i 1

Ejemplo En el ejemplo, las probabilidades (anteriores) de .6 y .4 de un mercado “alcista” y un mercado “bajista” se determinan a partir de publicaciones financieras disponibles. Suponga que en lugar de depender únicamente de estas publicaciones, usted decidió conducir una investigación más “personal” al consultar a un amigo que se desempeña bien en el mercado de valores. El amigo cuantifica una recomendación de invertir “a favor/o en contra”, de la siguiente manera: En un mercado “alcista”, hay 90% de probabilidades de que la recomendación sea “a favor”. Se reduce a 50% en un mercado “bajista”. ¿Cómo afecta la información adicional a la decisión?

Ejemplo Esa afirmación proporciona probabilidades condicionales de las recomendaciones a favor y en contra dados los estados de la naturaleza 𝑣1 : voto a favor 𝑣2 : voto en contra 𝑚1 : mercado alcista 𝑚2 : mercado bajista

P (v1 | m1 )  0.9 P (v2 | m1 )  0.1 P (v1 | m2 )  0.5 P (v2 | m2 )  0.5

Si la recomendación del amigo es “ a favor” , ¿invertiría en la acción A o en la acción B? Si la recomendación del amigo es “ en contra” , ¿ invertiría en la acción A o en la acción B?

Paso 1. Resuma las probabilidades condicionales en forma tabular

P (v j | mi )

Paso 2. Calcular las probabilidades conjuntas. P (mi , v j )  P (v j | mi ) P (m1 ) , para todas las i y j Dadas las prioridades a priori 𝑃(𝑚1 ) = 0.6, 𝑃 𝑚2 = 0.4, las probabilidades conjuntas se determinan multiplicando la primera y segunda fila de la tabla en el paso 1 por 0.6 y 0.4

3. Calcular las probabilidades absolutas P (v j ) 

 P (v

j

| mi ) P (mi )

 j

todasi

Estas probabilidades son las sumas en las columnas de la tabla del paso 2.

4. Determinar las probabilidades a posteriori deseadas P (mi | v j ) 

P (v j | mi ) P (mi ) P (v j )

Estas probabilidades se calculan dividiendo cada columna en la tabla 2 entre la suma en la columna correspondiente de la tabla del paso 3

Solución RECOMENDACIÓN A FAVOR DECISIÓN: INVERTIR EN ACCIÓN A

𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 𝑛𝑜𝑑𝑜 4 = 5000 ∗ 0.73 + −2000 ∗ 0.27 = $3110 𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 𝑛𝑜𝑑𝑜 5 = 1500 ∗ 0.73 + 500 ∗ 0.27 = $1230

Solución RECOMENDACIÓN A FAVOR DECISIÓN: INVERTIR EN ACCIÓN A

𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 𝑛𝑜𝑑𝑜 6 = 5000 ∗ 0.231 + −2000 ∗ 0.769 = $ −383 𝐴𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 𝑛𝑜𝑑𝑜 7 = 1500 ∗ 0.231 + 500 ∗ 0.769 = $731

Ejercicio 4 Considere la situación de decisión de Farmer McCoy en el ejercicio 3. El granjero tiene la opción adicional de utilizar el terreno como área de pastizales, en cuyo caso está garantizada una retribución de $7500. El granjero también recabó información adicional segura de un corredor de bolsa con respecto al grado de estabilidad de los futuros precios de artículos de consumo. La valoración del agente de “favorable” o “desfavorable” se describe por medio de las siguientes probabilidades condicionales: a) Desarrolle el árbol de decisiones b) Especifique la decisión optima para el problema

𝑎1 , 𝑎2 favorable y desfavorable 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , suban, no cambien, bajen

Ejercicio 5 Usted es el autor de la que promete ser una novela exitosa. Tiene la opción de o publicar la novela usted mismo, o por medio de un editor. El editor le ofrece $20,000 por firmar el contrato. Si la novela tiene éxito, venderá 200,000 copias. De lo contrario, venderá sólo 100,000. El editor le paga $1 de regalías por ejemplar. Una investigación del mercado indica que hay 70% de probabilidades de que la novela tenga éxito. Si decide publicarla usted mismo, incurrirá en un costo inicial de $90,000 por la impresión y la comercialización, pero obtendrá una utilidad neta de $2 por cada ejemplar vendido.

Ejercicio 5 (a) Basado en la información dada, ¿aceptaría la oferta del editor, o publicaría usted mismo la novela? (b) Suponga que contrata a un agente literario para que realice una encuesta en relación con el éxito potencial de la novela. Por experiencia pasada, el agente le aconseja que cuando una novela tiene éxito, la encuesta predecirá el resultado equivocado 20% de las veces. Cuando la novela no tenga éxito, la encuesta predecirá correctamente 85% de las veces. ¿Cómo afectaría esta información su decisión?

Valor esperado de la información perfecta (VEIP) Para evaluar si debe realizarse el experimento, se usa esta cantidad para calcular el valor esperado de la información perfecta. VEIP = pago esperado con información perfecta - pago esperado sin Experimentación Como la experimentación casi nunca puede proporcionar información perfecta, el VEIP resulta ser una cota superior sobre el valor esperado de la experimentación.

Ejemplo “Problema de Goferbroke Co” EJERCICIO 2 GUIA DE CLASE

Función de utilidad El concepto de función de utilidad se ideó para reflejar las diferencias subjetivas del tomador de decisiones

Y es NEUTRO (Indiferente) X es ADVERSO al riegos (precavido) Z es PROPENSO al riesgo (decidido)

Ejemplo Suponga que hay una probabilidad 50-50 de que una inversión de $20,000 produzca una retribución de $40,000 o que se pierda. 𝑈 −20000 = 0 𝑈 40000 = 100 Establecemos una lotería para una suma de efectivo x cuya utilidad esperada es 𝑈 𝑥 = 𝑝𝑈 $40000 + 1 − 𝑝 𝑈 −$20000 , 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 = 100𝑝 + 0 1 − 𝑝 = 100𝑝 Para determinar U(x) el tomador de decisiones formula una preferencia entre una cantidad de efectivo garantizada x

Ejemplo El valor de p refleja la neutralidad del tomador de decisiones ( o indiferencia) hacia el riesgo. 𝑈 $20000 = 100(0.8) = 80

Altos valores de p con la misma lotería reflejan la búsqueda del riesgo

Ejemplo Una empresa tiene tres alternativas de inversión. Los resultados se proporcionan en miles de dólares

a) Con el método del valor esperado, ¿cuál decisión es preferible?

Ejemplo b) dos tomadores de decisiones expresaron las siguientes probabilidades de indiferencia. Encuentre la decisión preferente para cada tomador de decisiones con el enfoque de la utilidad esperada.

DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE

Consideraciones preliminares MATRIZ DE RETRIBUCIÓN

Hay m alternativas Hay n estados de la naturaleza aleatorios Retribución 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 depende de: • Alternativa i y estado j de la naturaleza

Condiciones preliminares La distribución de probabilidad asociada con los estados 𝑠𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 o se desconoce o no puede ser determinada Hay tres criterios de decisión especiales: • Laplace • Minimax Difieren con base en al enfoque que adopte el • Savage tomador de decisiones ante el problema. • Hurwicz

Criterio de Laplace Basado en un principio de razón insuficiente

Ya que no se conocen las distribuciones de probabilidad, no hay razón alguna para creer que las probabilidades asociadas con los estados de la naturaleza sean diferentes. Todos los estados son igualmente probables de que ocurran

Criterio de Laplace Todos los estados son igualmente probables de que ocurran

P ( s1 )  P ( s2 ) 

1  P ( sn )  n

Si la retribución representa la ganancia, la mejor alternativa es la que da por resultados

1 n  Max   v(ai , s j )  ai  n j 1 

Criterio minimax (Pesimista) Basado en la actitud conservadora de hacer la mejor de las peores condiciones posibles.

• Si 𝑣 𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 es una perdida entonces selecciona la acción que corresponde al siguiente criterio minimax





min max v(ai , s j ) ai

sj

Criterio maximin (Pesimista) • Si 𝑣(𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 ) es una ganancia entonces selecciona la acción que corresponde al siguiente criterio maximin





max min v(ai , s j ) ai

sj

Opciones

Exc

Bueno

Regular

Malo

Min Rj

Des y Com

650

200

-25

-75

-75

V. Inc

45

45

45

45

45

V. Con

250

100

0

0

0

Criterio de Savage Este criterio “modera” el grado de conservadurismo del criterio minimax (maximin) al reemplazar la matriz de retribución (ganancia o pérdida) con una matriz de pérdida (o lamento), mediante

 



v  ai , s j   min v  ak , s j  , si v es una perdida ak  r  ai , s j    max v  ak , s j   v  ai , s j  , si v es una ganancia  ak



Ejemplo Hank es un estudiante inteligente y suele obtener buenas calificaciones, siempre que pueda repasar el material del curso la noche anterior al examen. Para el examen de mañana, Hank enfrenta un pequeño problema. Sus hermanos de fraternidad van a tener una fiesta que va a durar toda la noche, y a la cual le gustaría asistir. Hank tiene tres opciones: a1: parrandear toda la noche a2: dividir la noche en partes iguales entre estudiar y participar en la fiesta a3: estudiar toda la noche.

Ejemplo El examen de mañana puede ser fácil (S1), moderado (s2) o difícil (s3) dependiendo del impredecible humor del profesor. Hank anticipa las siguientes calificaciones

1. Recomiende un curso de acción para Hank (basado en cada uno de los criterios de decisión bajo incertidumbre)

Ejercicio Para la temporada de siembra venidera, Farmer McCoy puede sembrar maíz (a1), trigo (a2) o soya(a3), o utilizar el terreno para pastoreo (a4). Las retribuciones asociadas con las diferentes acciones dependen de la cantidad de lluvia: lluvia fuerte (s1), lluvia moderada (s2) , lluvia ligera (s3), o sequía (s4). La matriz de retribuciones ( en miles de dólares ) se estima como

Desarrolle un curso de acción para Farmer MacCoy basado en cada una de las tres criterios de decisión bajo incertidumbre.

DECISIONES BAJO CONFLICTO (TEORIA DE JUEGOS)

Juego de 2 personas, Suma Cero En un conflicto, cada uno de los dos jugadores (oponentes) tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Asociada con cada par de estrategias está la retribución que un jugador recibe del otro. Tal situación se conoce como juego de suma cero entre dos personas porque la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. Supuestos 1. Dos jugadores 2. Jugador-fila debe elegir entre 1,2,…, m cursos de acción. Jugador-columna debe elegir entre 1, 2,3,…, n cursos de acción. 3. la ganancia del Jugador-fila viene de la pérdida del Jugador-columna. 4. Hay Conflicto de Intereses. 5. No hay Cooperación entre Jugadores.

Ejemplo Dos compañías, A y B, venden dos marcas de un medicamento para la gripe. La compañía A se anuncia en radio (A1), televisión (A2) y periódicos (A3). La compañía B, además de utilizar la radio (B1), la televisión (B2) y los periódicos (B3), también envía folletos por correo (B4). Dependiendo de la efectividad de cada campaña publicitaria, una compañía puede capturar una parte del mercado de la otra. La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o perdido por la compañía A.

Solución

Estrategia pura Siempre que el máximo de los mínimos de fi la sea igual que el mínimo de los máximos de columna, los jugadores no pueden mejorar sus resultados al cambiar las estrategias. Se dice que el juego está en un punto de equilibrio. En el punto de equilibrio, las estrategias óptimas y el valor del juego no pueden mejorarse cuando cambian las estrategias de cualquier jugador. Por tanto, una estrategia pura se define como la estrategia óptima para ambos jugadores.

Máximo (mínimo de las filas)= Mínimo (máximo de las columnas)

Juegos de Estrategias mixta Los juegos con estrategias combinadas pueden resolverse por medio de métodos gráficos o programación lineal. La solución gráfica es adecuada para juegos con exactamente dos estrategias puras de uno o ambos jugadores. Por otra parte, la PL (programación lineal) puede resolver cualquier juego de suma cero entre dos personas.

Ejemplo Considere el siguiente juego de 2 3 4. La retribución es para el jugador A 1. Determina si hay una estrategia pura 2. Cuál es la estrategia que debe tomar cada jugador?

Solución 1. Comprobamos si existe una estrategia pura.

Max min -1 2 Min max

4

3

3

6

Solución 2. Determinar las ecuaciones lineales de retribución para el jugador A

Solución 3. Graficar las retribuciones para el jugador A E(V)

Eje x

Solución 4. Determinar el punto Max min para de las estrategias del jugador A La envolvente inferior de las cuatro líneas representa la retribución mínima (peor) esperada para A, independientemente de las elecciones de B.

La solución óptima del jugador A demanda una combinación 50-50 de A1 y A2

Solución 5. Repetir procedimiento para determinar la combinación de estrategias para el jugador B

La combinación óptima del jugador B se determina por medio de las dos estrategias que definen la envolvente inferior de la gráfica

Solución E(V)

La mejor de la peor solución para B es el punto mínimo de la envolvente superior de las dos líneas dadas

Otra opción Los juegos en que el jugador A tiene m estrategias y el jugador B sólo tiene dos, pueden tratarse del mismo modo. La diferencia principal es que graficaremos la retribución esperada de B correspondiente a estrategias puras de A. Por consiguiente, buscaremos el punto Minimax en lugar del punto Maximin de la envolvente superior de las líneas trazadas.

Ejemplo Considere el juego siguiente de dos personas con suma cero:

Solución 1. Comprobamos si existe una estrategia pura.

Solución Si un juego mayor que 2 2 requiere una estrategia mixta, primero buscamos estrategias dominadas con el fin de reducir el tamaño del juego. Una estrategia dominada existe si otra estrategia es al menos tan buena sin importar lo que haga el oponente.

Solución Se puede seguir revisando la dominancia de estrategias para el jugador A. Sino se encuentran mas estrategias dominadas, se revisa si existen estrategias dominadas para el jugador B.

Solución A partir de este juego de 2x2 se plantean las ecuaciones lineales y se encuentran los respectivos puntos para las estrategias.

Resumen de los pasos para resolver los juegos de suma cero para dos personas 1. Utilice el procedimiento Maximin para el jugador A y el procedimiento Minimax para el jugador B con el fi n de determinar si existe una solución de estrategia pura. Si existe una estrategia pura, es la solución óptima. 2. Si no existe una estrategia pura y el juego es mayor que 2 2, identifique una estrategia dominada para eliminar una fila o columna. Elabore la tabla de resultados reducida y continúe con la dominancia para eliminar el mayor número de filas y columnas posible. 3. Si el juego reducido es 2x2, calcule las probabilidades de una estrategia mixta óptima posible.