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ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS

PRESENTACION

Presentación del formador Hola, te doy la bienvenida a este curso de Algebra Lineal. Tu servidor será el formador que te guie y apoye en el aprendizaje de los temas de esta asignatura. Mis datos son: Nombre: Miguel Ángel Espinoza Zárate. Docente del área de Ciencias Básicas. Estudios: Ingeniería Eléctrica y Maestría en Ciencias de Ingeniería en Electrónica. Área de especialidad: Programación NeuroLingüistica, Electrónica Digital, Diseño de Sistemas, Redes de Computadoras, Calculo Integral. Aprendiendo: Cálculo Vectorial, Algebra Lineal, Cálculo Diferencial. Dirección(es) electrónica(s): [email protected] [email protected]

Presentación del formando Formato:

Presentando la asignatura.

Motivos Para Estudiar Contabilidad

Razones y ventajas para estudiar contabilidad Una de las profesiones más elegidas y estudiadas en las universidades e institutos de estudios superiores es Contabilidad. Si tu elección de estudio se inclina por contabilidad es bueno que tengas

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS conciencia sobre la competencia que encontrarás en la vida pero si tu preferencia es marcada no encontrarás dificultad para desarrollarla. La contabilidad está estrechamente conectada a las matemáticas y por eso todo el tiempo estarás involucrado en cuentas, revisión impositiva, balances totales, distribución de utilidades y todo lo que de alguna forma esté relacionado con la administración de la plata y/o propiedades de una compañía o persona. Ya te lo hemos recordado anteriormente, tendrás que competir con muchos contadores en el área ; sin embargo, si destacas por tus habilidades y capacidades conseguirás un trabajo sólido y con buen sueldo sin dificultad. En el siguiente reporte conversaremos sobre ciertas ventajas que hallarás estudiando contabilidad. Lista de razones para estudiar contabilidad: BUEN SALARIO Las personas que eligen contabilidad consiguen sueldos que les posibilita una vida tranquila y acomodada. En su generalidad, los contadores que han terminado de estudiar su profesión tienen la posibilidad de cubrir sus demandas de familia y también sus demandas personales sin ninguna dificultad. Asimismo, cuando estudian contabilidad , estos profesionales logran conseguir un especial control de su dinero y de los gastos que hacen. El sueldo de estas personas estará vinculado con el trabajo que desarrollen logrando en algunos países sueldos superiores a los $ 30,000. INDEPENDENCIA Se considera una de las principales ventajas al elegir como profesión la Contabilidad que podrán desarrollar su carrera de forma independiente. Tener una contabilidad es insustituible en todo negocio, oficina o empresa y tú mismo la puedes controlar desde tu oficina que a la vez puede estar incorporada en tu propia casa, y así puedes trabajar y a la vez dirigir tu propio trabajo y horario. Tendrías un trabajo bajo de presiones, con el control en tus manos dirigiendo los pasos de tu labor. DIVERSIDAD Las personas que estudian la profesión de contabilidad pueden desarrollarse en diversas áreas del ambiente de trabajo. Entre otros, tienen el ámbito privado, el ámbito público, el sector de la investigación y la posibilidad de ser maestro en una universidad. De todos los sectores que hemos informado, el ámbito público y privado son los que cuentan con más profesionales del ramo. OPORTUNIDADES Una ventaja muy importante que encontrarás cuando estudies contabilidad es la facilidad de conseguir incluirte en el área laboral de la profesión o prácticas pre profesionales rápidamente estando como estudiante de últimos ciclos, tanto de la universidad como del instituto donde te estés formando como contador/a. Existe una necesidad permanente de contadores en las empresas y por ello siempre se les solicitará, las compañías privadas prefieren a los que han egresado recientemente para labores como asistentes de contabilidad; de esta forma comenzaran a conocer paso a paso todo el circuito de la contabilidad de la compañía y así más adelante podrán recibir el encargo de tareas más complicadas. TIEMPO Para estudiar contabilidad requieres de 4 a 5 años y puedes ejercerla desde que comienzas a estudiarla. Pasa lo mismo que en otras profesiones y carreras, cuánto más pronto el profesional practique y ejerza su profesión, más será considerado en su perfil profesional y obtendrá mayores reconocimientos. http://www.datosgratis.net/motivos-para-estudiar-contabilidad/

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Adicionalmente a lo anterior, desde el punto de vista personal, todo profesional debe tener como competencia profesional la solución de problemas. Sin embargo, los egresados del nivel bachillerato (nivel medio superior, en México) son profesionales.

Entonces, ¿Cuál es la diferencia entre un profesional técnico y uno de nivel licenciatura? Siguiendo con la concepción personal, un profesional técnico es un profesional que tiene como competencia profesional la solución de problemas de sistemas de su especialidad por medio de actividades de instalación, operación y mantenimiento de dichos sistemas, y los profesionales de nivel licenciatura tienen como competencia profesional la solución de problemas de su especialidad por medio de la actividad de diseño o rediseño de los propios sistemas. Es decir, los profesionales técnicos resuelven problemas instalando, operando o manteniendo sistemas y los profesionales de nivel licenciatura resuelven problemas diseñando sistemas de su especialidad. Segú lo anterior, ¿Cuál, consideras, debe ser la competencia de un oficinista o un obrero con estudios menores del nivel bachillerato? Considero que las competencias laborales de un oficinista/obrero son:

Si un Contador Público es un profesionista que soluciona problemas diseñando sistemas de contabilidad para la organización que lo ocupa, ¿en qué momento del diseño del sistema contable requiere de las herramientas intelectuales que le proporcionan los estudios de las matemáticas? La respuesta obvia es: en todo el proceso. En general, la aritmética es una herramienta bastante utilizada por todos los profesionistas y personas en general. LA MATEMÁTICA EN LA CONTABILIDAD

Yanet Fernández Haber (CV) Lucía Caridad Domínguez Delgado (CV) [email protected]

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS INTRODUCCIÓN Si definimos la Matemática como la ciencia de los números sería dar una definición inexacta, pues mantendríamos al margen todos los demás elementos que componen dicha ciencia y que tiene por objeto el cálculo, la cantidad, o sea, los números, las figuras y los movimientos. Los conocimientos matemáticos permiten investigar los procesos y las leyes de la naturaleza, la sociedad y la técnica, así como, resolver los problemas prácticos que se presentan en la vida diaria en dichos campos. El cálculo matemático es cada vez más necesario para los profesionales del mundo financiero a todos los niveles. Muchas de las operaciones financieras no pueden ultimarse ni explicarse sin recurrir a conceptos matemáticos, por lo general relativamente sencillos, pero en los que intervienen por lo menos los cálculos de interés y a veces conceptos estadísticos. Desde 1494, año en el que fue escrito el primer libro contable La Summa de Fray Luca Pacciolo, se puede decir que la matemática y la contabilidad están estrechamente ligadas ya que este libro resultó ser un tratado fundamental de matemáticas, principalmente de álgebra y aritmética. Las herramientas simbólicas de las que se vale la contabilidad son innatas del conocimiento lógico matemático; el hombre para su actividad económica y para sus negocios desde la antigüedad estuvo obligado a hacer numerosos cálculos donde el resultado de estas operaciones dependía totalmente del uso adecuado de los procedimientos que pudiera brindarle la matemática. Todos los miembros de la sociedad (entidades económicas, instituciones, personas físicas) se relacionan con el dinero, que circula de unos a otros, incrementándose o disminuyendo. Por consiguiente, es necesario tener clara visión sobre ciertos aspectos relacionados con ese intermediario general: de qué fuentes puede obtenerse y en qué cantidad; las condiciones en que se obtiene; cómo administrarlo del modo más eficiente posible; cuánto y cuándo se pagará o se cobrará. Todo esto es posible con el empleo de algoritmos matemáticos que brinden información para la adopción de medidas aceptadas.

Fernández Haber y Domínguez Delgado: "La matemática en la contabilidad” en Contribuciones a la Economía, agosto 2010, en http://www.eumed.net/ce/2010b/

DESARROLLO La utilización de los números reales para medir precios, cantidades, ingresos, tipos impositivos, tipos de interés y costos medios, entre otras cosas es el ejemplo más claro de la aplicación de la matemática a la contabilidad. Según estudios realizados, la contabilidad no ha logrado expresar con la terminología matemática todos los procedimientos y leyes que dominan su práctica concreta, sería ideal que todo fenómeno contable sea identificado con un modelo matemático. En muchos trabajos de Contabilidad vemos elementos de matemática, por ejemplo la Teoría de Redes y el Álgebra de Matrices para la representación y el tratamiento de flujos contables en la Contabilidad de Costos, en la Financiera y en el Planeamiento Financiero.

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS El libro "Costos. Contabilidad, Análisis y Control", que es considerado de gran valor aborda casi todos los temas de Contabilidad de Costos con una óptica innovadora utilizando las técnicas analíticas cuantitativas más elaboradas, por ejemplo, se revisan Técnicas de Presupuestación y Contabilidad por Áreas de Responsabilidad utilizando la Teoría de las Cadenas de Markov, en el prorrateo de Costos Indirectos utiliza el cálculo matricial y se hace un estudio sobre Costos Estándar con la ayuda del Cálculo Infinitesimal. Además de estos elementos también emplean el Análisis Combinatorio, las Líneas de Espera, la Programación Lineal, el Muestreo Estadístico, la Programación Dinámica y el Análisis Insumo-Producto. El Modelo Matemático Contable surge como muestra de la relación entre ambas ciencias, es decir, la representación de un problema contable a través de un modelo matemático; aquí la utilización de las matrices en su concepción matemática se ve asociada al problema donde las filas están relacionada con los débitos y las columnas con los créditos, garantizando así una representación concisa y uniforme. De la información generada por los registros contables se apoya la llamada Matemáticas Financieras, que como bien lo dice su nombre, es la aplicación de la matemática a las finanzas, donde tiene su centro en el estudio del valor del dinero en el tiempo, para obtener un rendimiento o interés combinando el capital, la tasa y el tiempo y que con ella se resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad como es el caso de ajustes económicos, presupuesto, decisiones de inversión, etc. Hay modelos económicos que manejan las funciones compuestas, es el caso de variables económicas importantes como son la oferta y la demanda que responden a cambios en parámetros como los precios se pueden ver expresadas matemáticamente por funciones definidas implícitamente por un sistema de ecuaciones. Los rendimientos de las funciones de producción están evaluados también con el grado de homogeneidad de dicha función, terminología matemática ésta, es decir, se catalogan como rendimientos constantes, decrecientes a escala o crecientes a escala en dependencia del valor que tome éste. Los problemas de optimización económicos ya sean de maximizar o minimizar requieren de varias variables y pueden ser descritos matemáticamente por una función objetivo la cual hay que optimizar y que puede estar sujeta o no a restricciones; conduciendo así a un problema de programación lineal que es una técnica matemática de inmensa importancia. La programación no lineal está también presente en los problemas económicos como es el caso de hallar niveles no negativos de actividad a los cuales hay que hacer operar los procesos de producción para obtener la mayor cantidad posible del bien, teniendo en cuenta la imposibilidad de usar más recursos de los que se dispone en total. La teoría de las ecuaciones diferenciales es uno de los campos más fascinantes de las matemáticas, ésta comprende muchos resultados sobre el comportamiento general de las soluciones. En la contabilidad la vemos asociada a problemas como es el caso del crecimiento económico que se necesita de una ecuación diferencial para describir la acumulación del capital a lo largo del tiempo y en un área importante de la optimización dinámica, la llamada cálculo de variaciones, donde la condición de primer orden para óptimo necesita de una ecuación diferencial de segundo orden. Al cálculo diferencial está ligada la llamada integración, herramienta útil para los económicos que le ayuda en determinados razonamientos como es el caso del cálculo de magnitudes importantes como son el de las reservas del flujo de divisas de un país, el cálculo de rentas de las personas

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS físicas y la influencia de la distribución de la renta en la demanda, su valor actual, el futuro y el descontado. A través de las estadísticas se pueden hacer mediciones cuantificables para controlar y proyectar sus operaciones financieras y el Álgebra Lineal facilita la descripción de un modelo económico por un sistema de ecuaciones lineales del cual es importante saber si tiene solución y cuando esta es única. Las series numéricas, otro elemento matemático, tienen gran aplicación en la economía y las finanzas en cálculos como el del Valor del dinero a través del tiempo y flujos de pagos. La lógica, que a pesar de ser una rama de la matemática es considerada como ciencia y arte de encontrar la verdad, de discernir lo verdadero de lo falso también encuentra su aplicación en la contabilidad. Estos últimos años han sido protagonistas de la aparición de más productos de los que el mundo del comercio y del dinero hubiese creado jamás, resultando evidente su aceleración cada minuto que pasa. Y es que aparejado a estas innovaciones desenfrenadas se ha desarrollado evolutivamente otro aspecto de este campo: el de los instrumentos matemáticos. CONCLUSIONES No se concibe la economía ni la contabilidad sin habilidades matemáticas, ya que el desarrollo de modelos matemáticos ofrece enormes posibilidades de avance científico para la Contabilidad y la Contabilidad y son la base para extraer las informaciones que sustentan a los registros contables, el contenido de los estados financieros, así como su análisis e interpretación. Son las matemáticas, por lo tanto, un admirable complemento de la Contabilidad moderna, ya que al desarrollarse ésta tan rápidamente ha ensanchado considerablemente su campo de acción, necesitándose en la solución de los muchos problemas que en la práctica se presentan, y con el fin de obtener un considerable ahorro de esfuerzo y tiempo, de las relaciones que ella investiga en el campo de las finanzas. BIBLIOGRAFÍA 1. Arenas Herrera, Jesús. La modelación matemática como base de la autonomía científica de la contabilidad. 2. Ballestero, Enrique 1975 La Nueva Contabilidad Madrid, Alianza Editorial, S.A. 1979 Teoría y Estructura de la Nueva Contabilidad. Madrid, Alianza Editorial, S.A. Corcoran, A. Wayne 1983 Costos. Contabilidad, Análisis y Control. México, Editorial Limusa. Cyert, H.J. et altri 1962 Estimation of the allowance for doubtful accounts by Markov Chains. Management Science. 3. En http://www.alfinal.com/consultor/management/modelacionmatematica.shtml, 10-03-2004 4. En http://ciberconta.unizar.es/LECCION/estatuto/estatuto.pdf. 5. Griffin, Charles - WILLIAMS, Thomas. Un análisis comparativo de la contabilidad y las matemáticas. Págs. 333-340-

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS 6. Kleiman, Ariel y Kleiman, Elena K. De 1973 Matrices. Aplicaciones matemáticas en Economía y Administración. México, Editorial Limusa. 7. Mepham, M.J. 1966 Matrix Algebra and Accounting - I. The Accountant 8. Revista Contaduría - Universidad de Antioquia No. 26-27. Marzo-septiembre de 1995. Pág. 68. 9. Shank, John K. 1972 Matrix methods in Accounting Reading, Massachusetts, Addison-Wesley Publishing Company. 10. Springer, Clifford H. et altri 1972 Inferencia Estadística. México, Unión Tipográfica Editorial Hispanoamericana, Serie de Matemáticas para la Dirección de Negocios, Tomo III. 11. Thierauf, Robert J. 1982 Introducción a la Investigación de Operaciones México, Editorial Limusa 12. Tua Pereda, Jorge, El concepto de la contabilidad a través de sus definiciones, Cap. 3, pág. 124 Ibid., p. 166 (http://www.eumed.net/ce/2010b/fhdd.htm)

En este curso se abordará el estudio del Algebra Lineal y se analizará su aplicación en las áreas correspondientes de la contabilidad al establecer un sistema contable, por ejemplo, el subsistema de determinación y cálculo de costos. En ese contexto, lo más importante es la habilidad de manejar los conceptos de: matrices y sistemas de ecuaciones lineales, sus propiedades y sus operaciones. Es evidente que para el aprendizaje de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, se hace necesario saber, con antelación los conceptos de ecuación lineal. Lo que implica el conocimiento y la experiencia en el uso de aritmética, geometría analítica y trigonometría. Por ello es importante que analizar los conocimientos que se solicita adquirir en este curso de Algebra Lineal y se reflexione sobre el plan a seguir para cumplir con dicho requerimiento.

Temas 1 Números complejos.

Subtemas 1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.

2 Matrices y determinantes.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

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3 Sistemas de ecuaciones lineales.

4 Espacios vectoriales.

5 Transformaciones lineales.

2.2 Operaciones con matrices. 2.3 Clasificación de las matrices. 2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. 2.6 Definición de determinante de una matriz. 2.7 Propiedades de los determinantes. 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 2.9 Aplicación de matrices y determinantes. 3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 3.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, GaussJordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5 Aplicaciones. 4.1 Definición de espacio vectorial. 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. 5.1 Introducción a las transformaciones lineales. 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. 5.3 La matriz de una transformación lineal. 5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Actividad de aprendizaje: Investigar la aplicación de cada uno de los temas en la práctica profesional del contador Público. Y realizar el reporte en escritura manual en el siguiente formato: Reporte de actividad de aprendizaje. Aplicación de los temas de Algebra Lineal en la práctica profesional de los contadores públicos. Nombre:

Temas 1 Números complejos.

2 Matrices y determinantes.

3 Sistemas de ecuaciones lineales.

4 Espacios vectoriales.

Aplicaciones

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5 Transformaciones lineales.

En el aprendizaje del Algebra Lineal para los Contadores Públicos, se debe enfatizar la importancia de las matrices ya que se aplican, por lo general como herramienta para la solución de problemas que involucran la aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales. ¿Qué es una matriz? Para responder a esta pregunta, se analiza previamente y se reflexiona en grupo la definición del concepto. Definición de concepto. “Los conceptos son construcciones o imágenes mentales, por medio de las cuales comprendemos las experiencias que emergen de la interacción con nuestro entorno. Estas construcciones surgen por medio de la integración en clases o categorías, que agrupan nuestros nuevos conocimientos y nuestras nuevas experiencias con los conocimientos y experiencias almacenados en la memoria.” (http://es.wikipedia.org/wiki/Concepto)

El concepto como “constructo” mental “El concepto es una representación gráfica de la simbología representativa de las palabras; son "construcciones" mentales de todo lo que nos rodea y podemos percibir como efectivamente lo hacemos, con símbolos que definen el mundo que nos rodea y en el que nos encontramos.” (http://es.wikipedia.org/wiki/Concepto)

Actividad de aprendizaje. Mi concepto de concepto

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Actividad de aprendizaje. Investigar tres definiciones de matriz y escribir el concepto personal de matriz. Definición1 de matriz.

Fuente:

Definición2 de matriz.

Fuente:

Definición3 de matriz.

Fuente:

Concepto de Matriz:

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Nombre:

Actividad de aprendizaje. Leer el siguiente artículo de historia.

Historia Cronología Año 200 a.C.

1

Acontecimiento En China los matemáticos usan series de números.

1848 d.C. J. J. Sylvester introduce el término "matriz". 1858

Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices.

1878

Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.

1925

Werner Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura 2 china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices 3 para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693. Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en 2 el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX. Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en1848/1850. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica. Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

Fin de la historia

Si consideramos que: En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números. ¿Cuál es tu concepto de número? Mi concepto de número

Historia del concepto de número Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resuletos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material siemple, sólo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos tallados: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas 2 con registros de fases lunares. En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimanl y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20. El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, 3 registros de movimientos planetarios. En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías: 1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío. 2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etíope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos. 3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Concepto general de número

Tipos de números Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemán Zählen 'números'). Los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales. Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como . Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e(este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler. Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física. Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos como octoniones y los sedeniones. A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.

Números complejos Mi concepto de número complejo

1.1 Definición y origen de los números complejos. Actividad de aprendizaje: leer el siguiente articulo (abrir con click derecho).

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Origen El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Concepto general de número complejo

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Definición Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones: 

Suma



Producto por escalar



Multiplicación



Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:  

Resta División

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Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que . http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

Números complejos Números complejos en forma binómica Un número complejo en forma binómic a es a + bi.

El número a es la parte real del número comp lejo .

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número co mplejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número co mplejo se reduce a bi, y se dice que es un nú mero imagin ario puro.

El conjunto de los números comp lejos se designa por

.

Operaciones de complejos en forma binómica Suma de números complejos (a + bi) + (c + di) = ( a + c) + (b + d) i

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Resta de números complejos (a + bi) − (c + di) = ( a − c) + (b − d) i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4 i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

( ( ( ( ( (

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Resolución de ejemplos:

( ( ( ( ( (

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( )( ) ( )( )

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS Resolución de ejercicios propuestos

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Potencias de la unidad imaginaria i0

= 1

i1

=

i2

= −1

i3

= −i

i4

= 1

i

Los resultados de las potencias de la unidad imag inaria se repiten de cuatro en cuatro.

Para

saber

cuánto

vale

una

determina da

potencia

de

i,

se

divide

el

exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equiva lente a la dada.

i22

i22

= (i4)5 ·

i27

= −i

i2

= − 1

Ejercicios: Calcular las siguientes potencias: 1.

ALGEBRA LINEAL para CONTADORES PUBLICOS 2. 3. 4.

Resolución de ejercicios propuestos

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Números complejos en forma polar Módulo de un número complejo

El

módulo

de

un

número

complejo

es

el

módulo

del

vector

determinado po r el o rigen de coorden adas y su afijo . Se designa por | z|.

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Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real . Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) =

es el argumento.

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Operaciones de complejos en forma polar Multiplicación de complejos en forma polar

6 4 5 ° · 3 1 5 ° = 18 6 0 °

Producto por un comp lejo de módulo 1

Al mu ltip lic ar un número complejo z = r α p or 1 β se gira z un ángulo β alrededor d el o rigen.

rα · 1β = rα

+ β

División de complejos en forma polar

645° : 315° = 230 °

Números complejos en forma trigonométrica r (cos α + i sen α)

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Binómica

z = a + bi

Polar

z = rα

trigonométrica

z = r (cos α + i sen α)

Pasar a la fo rma polar y trigonométrica :

z = 260º

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)

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z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

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z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)

z = −2

z = 2180º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

z = 2i

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z = 290º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

z = −2i

z = 2270º

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)

Escribe en forma binómica:

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

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z =1 0 º = 1

z =1 1 8 0 º = − 1

z =1 9 0 º = i

z =1 2 7 0 º = − i Resolución de ejercicios

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. Potencias de complejos en forma polar

(2 3 0 ° ) 4 = 16 1 2 0 ° Fórmula de Moivre

Raíz de complejos en forma polar

k = 0,1 , 2 ,3, … (n -1)

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Resolución de ejercicios.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Análisis de raíces de ecuaciones polinomiales En el caso del análisis de raíces de ecuaciones polinomiales, es muy importante el estudio de Teorema fundamental del algebra, el Teorema del residuo, y el Teorema del factor que vamos a enunciar a continuación

Teorema fundamental del algebra Toda ecuación polinomial de grado mayor o igual a uno tiene al menos una raíz, es decir que el teorema fundamental del algebra (TFA) asegura la

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existencia de al menos una raíz para cualquier ecuación polinomial de grado mayor o igual a uno.

Teorema del residuo El residuo de dividir el polinomio De grado n ≥1 entre x-b, donde b es cualquier constante, es igual

(b).

Teorema del factor Si el residuo de dividir el polinomio

(x) (de grado mayor o igual a uno)

entre x-b es cero, entonces x-b es un factor de dividir

(x) entonces el residuo de

(x) entre x-b es cero.

Ejemplos: El polinomio Al dividir

, tiene una raíz real a saber: -0.9112547456 el resultado es 145

¿Cómo se obtuvo este resultado? El resultado se obtuvo por medio de una división sintética, la cual consiste en lo siguiente:  Se ordena el polinomio en orden decreciente.  Se separan los coeficientes poniendo ceros donde no hay término correspondiente.  Se cambia de signo al término independiente que es divisor.  El primer término del cociente es el primer coeficiente del término de mayor grado.

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 A partir de ese momento se multiplican los cocientes por el divisor hasta el último término del dividendo.  El número final que queda es el residuo.

Ejemplo: Tomando el polinomio anterior

, se tiene:

Este es el residuo

De acuerdo con el teorema del factor el polinomio tiene factor x+3, esto se comprueba por que al efectuar la division de

entre x+3 el residuo es cero

Solución de una ecuación Definición: La solución de una ecuación es el número de o conjunto de números reales o complejos que al sustituirlo en lugar de la variable satisface a la igualdad ejemplo: la solución de la

ecuación

tiene como solución

Como se podrá observar a partir de este momento, por cada raíz compleja que es solución de la ecuación, se tiene su conjugado.

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Hay que observar que el número total de raíces que tiene un polinomio, por el TFA corresponde al grado del término mayor del polinomio. En el ejemplo, el grado del polinomio es 3 y tiene 3 raíces. La pregunta es, del número total de raíces que tiene un polinomio ¿cuántas se pueden esperar que sean reales y cuántas complejas, además de las reales cuántas podrían ser positivas y cuántas serán negativas? esta pregunta se puede contestar con la regla de los signos de Descartes.

Regla de los signos de Descartes La ecuación polinomial de grado n con ≠ 0, en donde todos sus coeficientes son números reales y decir que el cero no es una raíz de la ecuación entonces:

≠ 0, es

1. El número de raíces positivas de (x)=0 contadas cada una tantas veces como indique su multiplicidad, es igual al número de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio o es menor que este número disminuido en una cantidad par. 2. El número de raíces negativas de (x)=0 contadas cada una tantas veces como indique su multiplicidad, es igual al número de variaciones de signo de los coeficientes del polinomio valuado en ---x, es decir (-x) o es menor que este número disminuido en una cantidad par. Ejemplo: Sea no tiene ningún cambio de signo, por lo tanto no se espera ninguna raíz real positiva. Haciendo veamos que tiene tres cambios de signo, por lo tanto esperamos tres raíces reales negativas o una raíz real negativa. Raíces reales positivas

Raíces reales negativas 0 0

Raíces complejas 3 1

2 4

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Resolviendo para: =0 Se tiene { 0.2995457166 – 0.6279304552∙i, 0.2995457166 +0.6279304552∙i, 0.04804288559 – 2.483977456∙i, 0.04804288559 + 2.483977456∙i, 0.6951772044} la solución presentada cumple claramente con la regla de los signos de Descartes, pues tiene una raíz real negativa y cuatro raíces reales complejas. Nótese como se dijo, cuando hay una raíz compleja esta viene por pares es decir que para cada raíz compleja se tiene su conjugado.

Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.