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TRABAJO COLABORATIVO ALGEBRA LINEAL SEGUNDA FASE

REALIZADO POR: SHIRLEY FIELD CODIGO: 1042417676 GRUPO: 100408_12

PRESENTADO A: FELIX ANTONIO GONZALEZ

ADMINISTRACION DE EMPRESAS UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 2015

INTRODUCCION En el presente trabajo expondremos de manera práctica los temas trazados en la línea de estudio del Algebra Lineal segunda Unidad, ya que a través del desarrollo de los ejercicios propuestos, se analizó que existen diferentes formas de realizarlos, una de ellas es mediante el método Gaussiana el cual consiste en consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable por otra parte observamos los pasos a seguir para el desarrollo de ecuaciones mediante el método Gauss Jordán llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y WILHELM JORDAN, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas e indudablemente no podemos dejar de hablar y analizar el método de la regla de CRAMER. La regla de CRAMER es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a GABRIEL CRAMER (1704 – 1752. La regla de CRAMER es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema; la cual nos permite determinar nuestro grado de conocimiento sobre el tema y la asignatura como tal, y como eje fundamental para el desarrollo de situaciones prácticas de nuestra carrera como Ingenieros de Sistemas agrupando conceptos y experiencias que nos ayuden a enriquecer como profesionales y como personas.

OBJETIVOS

©

Conocimos cada uno de los temas propuestos en la unidad 2, conocer la estructura general de las unidad Dos Sistemas de Algebra Lineal Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales y capacitándonos en cada uno de los capítulos profundizando en cada uno de los temas, logrando la solución de cada uno de los temas con precisión y exactitud.

©

Observamos que he venido desarrollando habilidades para recopilar, analizar e interpretar la información obtenida de cada uno de los capítulos que integraron cada una de las unidades del módulo de Algebra Lineal, estudiando con disciplina y responsabilidad.

©

Como estudiantes identificamos y practique cada uno de los conceptos aprendidos en los ejercicios propuestos.

©

Los estudiantes conocimos los elementos básicos y su aplicación en el planteamiento y solución de problemas y los diferentes modelos matemáticos de los métodos para resolver ejercicios.

1. Utilice el método de eliminación GAUSS - JORDAN, para encontrar tosas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas Lineales: 1.1

La matriz ampliada es: [

|

[

]

| ]

[

|

]

[

| ]

[

| | [

[

| ]

[

| ]

| ]

[

]

| ]

De la última matriz (que se encuentra en su forma escalonada reducida), se tiene:

1.2 La matriz ampliada es: *

[

|

+

|

[

]

|

*

]

|

[

|

]

+

La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida por lo que el método finaliza allí. El sistema resultante será:

Notemos que la variable z está presente en las dos ecuaciones y a z la llamaremos variable libre. Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a z un valor arbitrario, así obtenemos los valores para x e y.

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos y en la segunda ecuación:

Z es arbitrario. Lo que buscamos es un vector (x,y,z), que satisfaga el sistema por lo tanto podemos escribirlo así:

Que escrito como vector fila sería: [

]

Como z es un valor arbitrario, el sistema tiene infinitas soluciones ya que a z se le pueden asignar infinitos valores. 1.3

[

|

]

[

[

|

]

[

|

]

|

[

]

|

]

| [

]

|

| | [

| ]

[

]

|

|

|

|

[

]

[

]

|

|

|

|

[

]

[

]

|

|

|

|

[

[

]

| |

]

|

[

]

[

]

| [

]

De la última matriz que se encuentra en su forma escalonada reducida se tiene:

1.4

La matriz aumentada es:

[

|

]

[

|

]

[

|

]

Aquí ya podemos detenernos, ya que, si observamos cuidadosamente, en la tercera fila dice: , lo cual es absurdo. Se trata de un Sistema Lineal Inconsistente (No tiene solución) 2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorización LU.

Empleando el método fácil para hallar L y U, tenemos

[

]

[

]

De donde

[

][

]

[

De la multiplicación de matrices, del lado izquierdo y de la igualdad tenemos:

[ [ [ [ [

][ ][ ][ ][ ][

[

][

[

][

]

] ] ]

] ]

]

]

[ ] [

]

[

]

De la cuarta fila:

De la tercera fila:

(

)

De la segunda fila:

(

)

(

)

Por último de la primera fila tenemos:

(

)

(

)

(

)

NOTA: El resultado es el mismo que en el punto 1.3 ya que son el mismo sistema de ecuaciones resueltas por diferente método. 3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar la )

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante: [

]

Ahora para hallar la inversa de la matriz utilicemos el método de reducción de GAUSS-JORDAN

Lo primero que hacemos ponerla junto con su matriz identidad. [

|

[

|

]

[

|

]

| |

] [

[

|

[

[

|

|

]

]

[

]

|

[

]

|

]

]

| |

[

]

[

]

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación B=[

]

. Dónde:

Por tanto:

[ [

]

]

Es decir que la solución es:

4. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que: 4.1 Contiene los puntos Solución: ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

)̂

̂ ̂

̂

̂

̂

Por lo tanto:

Ecuaciones Paramétricas:

Ecuación Simétrica

4.2 Contiene a Solución: Como la recta está representada por su correspondiente ecuación simétrica utilizamos sus coeficientes para hallar el vector de la siguiente forma: ̂

̂

̂

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única) Encontremos el determinante: [

]

Ahora para hallar la inversa de la matriz utilicemos el método de reducción de GAUSS-JORDAN

Lo primero que hacemos ponerla junto con su matriz identidad. [

|

[

|

]

[

|

]

| |

] [

[

|

[

[

|

|

]

]

[

]

|

[

]

|

]

]

| |

[

]

[

]

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación B=[

]

. Dónde:

Por tanto:

[ [

]

]

Es decir que la solución es:

4. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que: 4.1 Contiene los puntos Solución: ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

)̂

̂ ̂

̂

̂

̂

Por lo tanto:

Ecuaciones Paramétricas:

Ecuación Simétrica

4.2 Contiene a Solución: Como la recta está representada por su correspondiente ecuación simétrica utilizamos sus coeficientes para hallar el vector de la siguiente forma: ̂

̂

̂

Ecuaciones Paramétricas:

Ecuaciones Simétricas:

5. Encuentre la Ecuación General del Plano que: 5.1 Contiene a los puntos Formamos los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

̂

̂ ̂ ̂

̂ ̂

̂

̂

̂

Ahora hallamos un vector que sea perpendicular a ⃗⃗⃗⃗⃗ como vector normal) ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

̂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

̂

̂

̂ ̂ ̂

⃗⃗⃗⃗⃗ simultáneamente, (este nos servirá

̂|

|

̂ ̂

̂ ̂

̂

|

̂|

̂|

|

|

̂

̂

̂

Utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo Q) tenemos:

Verificamos si la ecuación resulta igual si decidimos hacer ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

|

̂

̂

⃗⃗⃗⃗⃗ y escogemos el punto P.

̂ |

̂| ̂

̂

| ̂

̂|

|

̂|

|

̂

5.2 Contiene al punto

̂

̂

Solución: Remplazamos los valores del punto P en el vector normal:

6. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

Lo primero que debemos hacer es resolver las dos ecuaciones simultáneamente, es decir: *

[

|

|

+

]

[

[

| ]

|

[

| ]

]

Aquí finaliza el método de reducción de GAUSS-JORDAN. Las ecuaciones resultantes son:

Nótese que z (que está presente en las dos ecuaciones) es la variable libre. Por lo tanto despejando x e y tenemos:

Si designamos a

nos queda:

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en que se intersectan los dos planos

.

Para verificar obtengamos un punto en común a los dos planos a partir de las ecuaciones paramétricas y veamos que satisface las ecuaciones de los dos planos.

Sea

, entonces:

(

)

Verifiquemos que estos valores se cumplen para ambas ecuaciones: (

) (

( )

) (

( )

)

(

( )

) (

)

Si cambiamos el valor de t con diferentes números iremos obteniendo diferentes puntos de la recta la cual es el resultado de la intersección de los dos planos. 7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R2, constituyen un Espacio Vectorial. NOTA: Muestre que cada uno de los axiomas se satisface. PROPIEDAD

SIGNIFICADO

Propiedad asociativa de la suma

u + (v + w) = (u + v) + w

Propiedad conmutativa de la suma

v+w=w+v

Existencia de elemento neutro o nulo de la suma

Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.

Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma

Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) = 0.

Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores

a (v + w) = a v + a w

Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares

(a + b) v = a v + b v

Propiedad asociativa mixta del producto por a (b v) = (ab) v un escalar Existencia de elemento unidad del producto por un escalar

Veamos pues que

1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K

juega el papel

Los elementos de

:

son, de forma genérica, pares

de números reales.

Defino la operación pertenece a , esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

Es decir

que

CONCLUSION

Gracias a algebra lineal podemos decir que adquirimos habilidades que podemos usar en la vida practica y profesional dado que ante un problema práctico vinculado con nuestra especialidad y donde su solución sea usando los conocimientos del Álgebra Lineal nos exige desarrollar nuestras capacidades mentales generales, es decir, adquirimos un método de razonamiento que podemos transpolar a otras situaciones futuras en la vida.

Mediante el uso de las matrices se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, además se resalta la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.

BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

Grossman, Stanley. Algebra Lineal, Quinta Edición 2003 Módulo de Algebra Lineal para descargar en formato PDF. (2010). Campus Virtual UNAD. Fecha de consulta: 09:15, mayo 05, 2010 de http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/resource/view.php?id=797

Método de Eliminación Gaussiana. (2010). MITECNOLÓGICO. Fecha de consulta: 11:33, mayo 5, 2010 de http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoEliminacionGaussiana

Eliminación de GAUSS-JORDAN. (2010). Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 09:15, mayo 05, 2010 de http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan