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Administración de Operaciones II

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Ing. Roger Miguel Zumaeta López Instructor Esc. Administración Industrial Diseño de portada: RZ Imagen de portada: http://www.francoischung.com/es/tag/administracio n-de-operaciones MMXVI

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INTRODUCCIÓN Podemos definir la Administración de Operaciones como el área de la Administración de Empresas dedicada tanto a la investigación como a la ejecución de todas aquellas acciones tendientes a generar el mayor valor agregado mediante la planificación, organización, dirección y control en la producción tanto de bienes como de servicios, destinado todo ello a aumentar la calidad, productividad, mejorar la satisfacción de los clientes, y disminuir los costes. A nivel estratégico el objetivo de la Administración de Operaciones es participar en la búsqueda de una ventaja competitiva sustentable para la empresa. Una definición alternativa es la que define a los administradores de operaciones como los responsables de la producción de los bienes o servicios de las organizaciones. Los administradores de operaciones toman decisiones que se relacionan con la función de operaciones y los sistemas de transformación que se utilizan. Así pues, la administración de operaciones es el estudio de la toma de decisiones en la función de operaciones. De estas definiciones surge claramente que el proceso de dirección de operaciones consiste en planificar, organizar, gestionar personal, dirigir y controlar, a los efectos de lograr optimizar la función de producción.

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ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES OBJETIVO Explicar la importancia de la Administración de Operaciones en el proceso de transformación de recursos en productos, orientados a satisfacer las necesidades de un mercado. DEFINICIÓN Esto implica establecer las políticas y planes para utilizar los recursos, de manera tal, que apoyen de la forma más conveniente la estrategia de competitividad a largo plazo. Hoy en día, los clientes tiene muchas opciones respecto a qué producto o servicio comprar. Diferentes atributos atraen a distintos clientes. A continuación, se comentan las principales dimensiones que establecen la posición competitiva de la empresa. ÁREAS DE DECISIÓN Según Schoeder, los aspectos que requieren especial atención son: Proceso: Las decisiones en esta área, determinan el proceso físico o instalación que se utiliza para obtener el producto o servicio. Las decisiones incluyen el tipo y tecnología, el flujo de proceso, la distribución de planta, así como todos los otros aspectos de las instalaciones físicas o de servicios. Muchas de estas decisiones son a largo plazo y no se pueden revertir, en particular, por la inversión de capital; por lo tanto, resulta importante que el proceso físico se diseñe con relación a la postura estratégica de largo plazo de la empresa. Capacidad: Estas decisiones se orientan al suministro de la cantidad correcta de capacidad, en el lugar correcto y en el momento exacto. La capacidad a largo plazo la determina el tamaño de las instalaciones físicas que se construyen. A corto plazo, se puede aumentar la capacidad por medio de subcontratos, turnos adicionales o arrendamiento de espacio. La planeación de capacidad no sólo se orienta al tamaño de las instalaciones sino también al número de apropiado de trabajadores. Inventarios: Las decisiones sobre inventarios determinan lo que debe ordenar, qué tanto pedir y cuándo solicitarlo. Esto permite administrar los materiales desde su compra, a través de los inventarios de materia prima, de productos en proceso y de productos terminados. Los gerentes de inventarios deciden cuánto gastar en inventarios, dónde colocar los materiales y otras soluciones derivadas de lo anterior. Ing. Roger M. Zumaeta López

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Fuerza de trabajo: La administración del recurso humano es el de mayor importancia, dado que nada podrá realizarse sin el personal que elabora el producto o presta el servicio. Las decisiones sobre la fuerza de trabajo incluyen la selección, contratación, despido, capacitación, supervisión y compensación. Calidad: La función de operaciones, es casi siempre responsable de la calidad de los bienes y servicios producidos. Las decisiones sobre calidad deben asegurar que la calidad se mantenga en el producto en todas las etapas de las operaciones, se deben establecer estándares, diseñar equipos, capacitar personal e inspeccionar el producto o servicio para obtener un resultado de calidad. Costo o precio: Siempre hay un segmento del mercado que compra en función al costo. Esto implica una empresa con estructuras de bajos costos de producción; dado que es un sector muy competitivo. Los productos y servicios de este tipo son de tipo general, es decir, no es fácil distinguir un producto o servicio de otro. Calidad: Las características que definen la calidad son: diseño y proceso. Establecer el grado “correcto” de calidad de diseño se basa en concentrarse en los requerimientos del cliente. La calidad del proceso se relaciona con la confiabilidad del producto o proceso. Velocidad de la entrega: Muchos mercados valoran la capacidad de una empresa para entregar su producto con mayor rapidez que sus competidores. Confiabilidad de entrega: entregue cuando haya prometido. Se refiere a la capacidad de la empresa para suministrar el producto o servicio en la fecha de entrega prometida o antes de ella. Afrontar los cambios de la demanda: cambie el volumen. Se refiere a la capacidad de la empresa para responder ante incrementos o decrementos de la demanda; las decisiones pueden pasar de invertir en nuevas tecnologías hasta despedir personal o reducir activos, respectivamente. Flexibilidad y velocidad para la introducción de nuevos productos: Se refiere a la capacidad para ofrecer una amplia variedad de productos; se asocia con el tiempo de desarrollo de nuevos productos. Servicios adicionales: son los que apoyan e incrementan las ventas de productos manufacturados, como consecuencia de tener productos poco diferenciados.     

Apoyo técnico. Apoyo después de la venta. Producción a la medida. Mezcla de productos. Otros

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LOTE ECONÓMICO DE COMPRA OBJETIVO Determinar el lote económico de compra, que permita atender el flujo normal del proceso productivo, a la vez, de minimizar los gastos de gestión de inventarios.

CONCEPTOS Los factores a tener en cuenta en la gestión de stocks pueden ser diferentes de un almacén a otro, o de una empresa a otra. No obstante, hay una serie de elementos que en la mayoría de las ocasiones inciden en la gestión de los almacenes. Dichos elementos a veces pueden controlarse y en otros casos son condicionantes. Entre los factores que con mayor frecuencia se pueden controlar están: la cantidad a pedir o fabricar, el punto de pedido, el stock de seguridad o protección y el plazo de aprovisionamiento. Entre los factores que se presentan como no controlables podemos citar las demandas o necesidades de salida de almacén, la forma de financiación, la caducidad de los artículos y el espacio del almacén. El modelo de Wilson, se aplica para determinar el tamaño del lote a comprar o fabricar. Los supuestos en los que se apoya el modelo son bastante ideales, al menos, es difícil que se den en la realidad en su forma pura. Dichos supuestos son los siguientes:      

Que todas las variables que intervienen en la gestión son conocidas. La demanda o necesidades de salida del almacén son conocidas y regulares a lo largo de todo el período a estudiar. Que los precios de adquisición o costes de fabricación permanecen invariables durante dicho período. Que no existen restricciones de espacio ni de presupuesto financiero. Que los aprovisionamientos son instantáneos, o bien que el plazo de entrega es totalmente conocido. Que los costes de la gestión que afectan a la cantidad o lote a pedir o fabricar se reducen a dos categorías que son: coste de mantenimiento y coste de pedido.

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INVENTARIO SIN DÉFICIT Este modelo tiene como base el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa. Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:  La demanda se efectúa a tasa constante.  El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).  Todos los coeficientes de costos son constantes. En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta.

D (A): Demanda anual

R: Nivel de reorden

Q: Cantidad óptima a pedir

Cu: Costo unitario (de compra)

Im: Inventario máximo

Cp (S): Costo de pedido

t: periodo entre pedidos

Cm (H): Costo de mantenimiento

L: Periodo de anticipación

i: Tasa o porcentaje de mantenimiento

Fórmulas: Cantidad de pedido (unidad)

Q=√

2 Cp D Cm

= √

2 Cp D i Cu

Intervalo entre pedidos (años o la escala de tiempo de su análisis) t=

Q D

Número de pedidos (ped/año) N=

D Q

Punto de reorden (unidad) R = Ddiaria L

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Costo total (um/año) = Costo comprar + Costo de pedir + Costo de mantener Ct = Cu D + Cp

D Q + Cm Q 2

Costo gestión (um/año) = Costo de pedir + Costo de mantener Cg = Cp

D Q + Cm Q 2

Gráfica de costos (gestión)

Ejemplo: La demanda de fajas en V, para un distribuidor de repuestos de automóvil es de 18,000 u/año. El costo de almacenamiento es de 1.20 $/u, el costo de ordenar es de $ 400 y el costo de adquirir es de 1 $/u. El proveedor tiene un tiempo de atención de 20 días. Asumir un año de 250 días. Solución: Si construyéramos una tabla de costos (de gestión) por cantidad pedida (o número de pedidos), obtenemos los siguientes resultados. Cant Núm Costo Costo Costo Q Pedidos Pedido ($) Mant ($) Total ($) 1,800 10.0 4,000 1,080 5,080 3,600 5.0 2,000 2,160 4,160 5,400 3.3 1,333 3,240 4,573 7,200 2.5 1,000 4,320 5,320 9,000 2.0 800 5,400 6,200 10,800 1.7 667 6,480 7,147 12,600 1.4 571 7,560 8,131 14,400 1.3 500 8,640 9,140 16,200 1.1 444 9,720 10,164 18,000 1.0 400 10,800 11,200

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Notamos, que si la cantidad pedida es de 1,800 u el costo asociado es de $ 5,080; al incrementar la cantidad pedida a 3,600 u, el costo disminuye a $ 4,160. Si se incrementa el pedido a 5,400 u, el costo se incrementa a $ 4,573. Cuál es la cantidad a comprar que permita un mínimo costo de inventarios. Al observar la gráfica (ver línea de costo total), el punto de inflexión está entre las 1,800 y 3,600 unidades.

Al aplicar las fórmulas antes mencionadas, obtenemos los siguientes resultados: Cantidad económica: 2(400)(18000) Q=√ = 3465 unid 1.2 Tiempo entre pedidos: t=

3465 días = 0.19 años (250 ) = 48 días 18000 año

Número de pedidos N=

18000 = 5.2 ped/años 3465

Punto de reorden R=

18000 (20) = 1,440 unid 250

Costo total Ct = 1(18,000) + 400

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18,000 3,465 + 1.2 = $ 22,156.92 3,365 2

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Casos Propuestos: Inventario sin déficit 1. Sharp Inc., una empresa que comercializa agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1000 unidades; el costo de preparación es de 10 dólares por orden; y el costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Calcule el número óptimo de unidades por orden (Q), el número de órdenes, el tiempo transcurrido y el costo total anual del inventario. Año laboral de 250 días. 2. Suponga que R & B Beverage Company tiene una bebida refrescante que muestra una tasa de demanda anual constante de 3600 cajas. Una caja de la bebida le cuesta a R & B $3. Los costos de ordenar son $20 por pedido y los costos de mantener son 25% del valor del inventario. R & B tiene 250 días hábiles anuales, y el tiempo de entregar es de cinco días. 3. Westside Auto compra directamente del proveedor un componente que usa en la manufactura de generadores para automóviles. La operación de producción del generador de Westside, la cual trabaja a una tasa constante, requerirá mil componentes por mes a lo largo del año. Suponga que los costos de ordenar son $25 por pedido, el costo unitario es $2.50 por componentes y los costos de mantener anuales y un tiempo de entrega de cinco días. Responda las siguientes preguntas sobre la política de inventario. a) ¿Cuál es la EOQ para este componente? y ¿Cuál es el tiempo de ciclo? b) ¿Cuáles son los costos por pedir y mantener inventario? 4. Suponga que a la administración de Westside en el problema anterior le gusta la eficiencia operacional de ordenar una vez cada mes y en cantidades de mil unidades. ¿Cuánto más costosa seria esta política que su recomendación de EOQ? ¿Recomendaría ordenar la cantidad de mil unidades? 5. Tele-Reco es una nueva tienda especializada en televisores, videograbadoras, juegos de videos y otros productos relacionados. Una videograbadora nueva fabricada en Japón le cuesta a Tele-Reco $600 por unidad, la tasa del costo de mantener es de 22%, los costos de ordenar se estiman en $70 por pedido. a) Si se espera que la demanda para la nueva videograbadora sea constante con una tasa de 20 unidades por mes, ¿Cuál es la cantidad a ordenar recomendada para la videograbadora? b) ¿Cuáles son los costos de mantener inventario y de ordenar anuales estimados, asociados con este producto? c) ¿Cuántos pedidos se colocaran en el año? d) Con 250 días hábiles anuales, ¿Cuál es el tiempo del ciclo para el producto? 6. Un distribuidor grande de equipo de perforación para pozos petroleros operó durante los pasados años con políticas EOQ basadas en una tasa de costo de mantener anual de 22%. Bajo la política EOQ, se ha ordenado un producto particular con una Q*=80. Una evaluación reciente de los costos de mantener muestra que debido a un incremento en la tasa de interés asociada con los préstamos bancarios, la tasa del costo de mantener anual debería ser 27%. a) ¿Cuál es la nueva cantidad económica a ordenar para el producto? b) Cuál es la diferencia de unidades entre uno y otro lote económico Ing. Roger M. Zumaeta López

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7. Un determinado comerciante al por menor se dedica a la compra y venta de harina de trigo. Dicho producto lo importa de un país extranjero y lo vende al por menor a los consumidores locales. Cada tonelada de harina le cuesta 2.000 € y al año vende 5.600 toneladas. Una tonelada de harina en el almacén durante el año le cuesta al comerciante 140 €, si se tiene en cuenta el interés de la inmovilización financiera y la merma experimentada por el producto. Los costes fijos de cada pedido, consistentes en el fletamento de un buque carguero ascienden a 12.500 €. a) Determinar el lote económico de compra. b) ¿A cuánto asciende el costo de gestión de inventarios? 8. Una compañía se abastece actualmente de cierto producto solicitando una cantidad suficiente para satisfacer la demanda de un mes. La demanda anual del artículo es de 1500 unidades. Se estima que cada vez que hace un pedido se incurre en un costo de $20 el costo de almacenamiento por inventario unitario por mes es de $2 y no se admite escasez. a) Determinar la cantidad de pedido optima y el tiempo entre pedidos b) Determinar la diferencia de costos de inventarios anuales entre la política óptima y la política actual, de solicitar un abastecimiento de un mes 12 veces al año. 9. Una ferretería tiene que abastecer a sus clientes con 30 sacos de cemento diarios, siendo esta una demanda conocida. Si la ferretería falla en la entrega del producto pierde definitivamente el negocio; para que esto no suceda se asume que no existirá escasez. El costo de almacenamiento por unidad de tiempo es de $ 0.35 unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de $ 55.00 a) ¿Cuál es la cantidad optima a pedir? b) ¿Cuál es el periodo de agotamiento (1 mes = 30 días, 1 año = 360 días) 10. Un local de comida rápida, utiliza 120 vasos de papel, de seis onzas, por día. Los planes del negocio, son atender 360 días al año. Los vasos tiene un costo de $100/ciento, los costos de ordenar son de $5/pedido y los costos de manejo son del 50% al año del costo del artículo. Determine la cantidad óptima de pedido.

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INVENTARIO CON DÉFICIT Este modelo permite déficit. En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida, desaparece el déficit. Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones:  La demanda se efectúa a tasa constante.  El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita).  Todos los coeficientes de costos son constantes.

Q: Cantidad óptima a pedir S: Cantidad unidades agotadas Im: Inventario máximo t: Periodo entre pedidos (t1 + t2) t1: Tiempo con inventario t2: Tiempo con unidades agotadas Cf: Costo faltante Fórmulas: Cantidad de pedido (unidades)

Q=√

2 Cp D(Cm + Cf) Cm(Cf)

Cantidad de unidades agotadas (unidades)

S=√

2 Cp DCa Cf(Cm + Cf)

Inventario Máximo Im = Q - S

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Intervalo entre pedidos (años) t1 =

t(Q − S) Q

t2 =

tS Q

Número de pedidos (ped/año) N=

D Q

Costo total (um/año) = Costo comprar + Costo pedir + Costo mantener + Costo faltante Ct = Cu D + Cp

D (Q − S)2 S2 + Cm + Cf Q 2Q 2Q

Ejemplo: La demanda de fajas en V, para un distribuidor de repuestos de automóvil es de 18,000 u/año. El costo de almacenamiento es de 1.20 $/u, el costo de ordenar es de $ 400 y el costo de adquirir es de 1 $/u. El proveedor tiene un tiempo de atención de 20 días. El costo por unidad faltante es de $ 5. Asumir un año de 250 días. Solución: Cantidad de pedido (unidades) 2 (400)(18,000)(1.2+5)

Q=√

1.2(5)

= 3860 unid

Cantidad de unidades agotadas (unidades) 2 (400)(18,000)(1.2)

S=√

5(1.2+5)

= 747 unid

Inventario Máximo Im = 3,860 – 747 = 3,113 unid Intervalo entre pedidos (días) t=

3,860 = 0.215(250) = 53.75 días 18,000

t1 =

53.75(3,860 − 747) = 43.35 días 3,860

t2 =

53.75 (747) = 10.40 días 3860

Costo total ($/año) Ct = 1 (18,000) + 400

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(3,860 − 747)2 18,000 7472 + 1.2 + 5 = $ 21,733.03 3,860 2(3,860) 2(3,860)

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Casos propuestos: Inventario con déficit 1. Cada año la Nova moda vende 20,000 bolsos a los súper almacenes Éxito, que tienen un costo de 14 dólares cada uno. Cada pedido incurre en un costo de 40 dólares. Nova moda cree que la demanda de bolsos puede acumularse y que el costo por carecer de uno durante un año es 20 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 20% del valor del inventario. Determine: a) La cantidad óptima de pedido b) La escasez máxima que se presentará c) El nivel máximo de inventario 2. Un agente de Audi debe pagar $25,000 por cada automóvil que compra. El costo anual de almacenamiento se calcula en 35% del valor del inventario. El agente vende un promedio de 450 automóviles al año. El costo de faltante se estima en $15,000 y el costo de pedir en $8,000. a) Determine la política óptima de pedidos del agente b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará? c) Determine la cantidad de pedidos en el año. 3. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 20,000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.50 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 350. El costo unitario del artículo es $ 500. El costo por unidad de faltante es de $ 150 por año. Determinar: a) La cantidad óptima pedida b) El costo total por año c) El número de pedidos por año 4. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda anual de 5,000 unidades, el costo unitario es de $10,000, su costo de almacenamiento es de $300 por unidad, el costo de hacer el pedido es de $ 150000; si llegase a haber faltante, se incurriría en un costo de $15,000. Determine a) Cantidad económica de pedido b) Cantidad máxima de faltante c) Costo total anual 5. Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobra 14 dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares. La óptica cree que la demanda de armazones puede acumularse y que el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valor del inventario. a) ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido? b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará? c) ¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará?

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INVENTARIO CON DESCUENTO En este modelo se presenta como variable crítica el costo de adquisición para la toma de decisión, debido a que éste va a variar con respecto a la cantidad de productos solicitados Al existir un descuento por cantidad o volumen de compra se genera un incentivo a pedir lotes de un mayor tamaño, sin embargo, esto a la vez incrementa el costo de mantener unidades en inventario. Por tanto se busca determinar la cantidad óptima a pedir para cada nivel o quiebre de precios, analizar si dicho tamaño de pedido es factible, ajustar el tamaño de lote si es necesario y finalmente comparar las distintas alternativas para ver cuál de ellas provee el menor Costo Total. Procedimiento 1. Calcular las cantidades económicas para cada nivel de precio. Esto se realiza con la fórmula de lote económico sin déficit. 2. Evaluar la cantidad a comprar, según los siguientes criterios: a. Si el Q calculado pertenece al intervalo, se compra el Q calculado. b. Si el Q calculado es menor que el Qmin del intervalo, se compra el Qmin del intervalo. c. Si el Q calculado es mayor que el Qmax del intervalo, se descarta la opción. 3. Calcular los costos totales para cada nivel de compra, considerando los valores del punto anterior. 4. La decisión de la cantidad Q a comprar, lo determina la alternativa de menor costo. Ejemplo: Una empresa local de contaduría pide cajas de 10 DVD a un almacén en la ciudad. El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa de contadores utiliza 10,000 disquetes por año. El costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que es de 20% por año. El precio de compra se muestra en la tabla adjunta. Número de cajas Precio por caja pedidas (q) (dólares) 0 < Q =200 >=180 >=150 Sin restricciónFO

Por lo tanto, el modelado es el siguiente: Variables de decisión: M: Cantidad (Kg) de maíz a comprar R: Cantidad (Kg) de residuos grasos a comprar A: Cantidad (Kg) de alfalfa a comprar Función objetivo: Min Z = 21 M + 18 R + 15 A Restricciones: 90 M + 20 R + 40 A >= 200 http://zumlop.jimdo.com

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30 M + 80 R + 60 A >= 180 10 M + 20 R + 60 A >= 150 Ejemplo 2: La oficina técnica coordinadora de cultivos, tiene a su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes: Parcela 1 2 3

Tierra Cultivable [ha] 400 600 300

Asignación de agua [m3] 600 800 375

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maíz, pero el ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla: Parcela Remolacha Trigo Maíz

Consumo de agua [m3/ha] 3 2 1

Cuota máxima [ha] 600 500 325

Ganancia neta [$/ha] 400 300 100

Los dueños de las parcelas, han convenido que en cada parcela se sembrará la misma fracción de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación en cualquiera de las parcelas. La tarea que encara la oficina técnica, es plantear cuantas hectáreas se deben dedicar al cultivo de las distintas especies en cada parcela, de modo que se pueda maximizar la ganancia neta total para todas las parcelas a su cargo. Solución: Identificando las variables de decisión: xi = Cantidad [ha] de remolacha a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3) yi = Cantidad [ha] de trigo a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3) wi = Cantidad [ha] de maíz a cultivar en la parcela i (i=1, 2, 3) Definiendo la función objetivo: Max Z = 400(x1 + x2 + x3) + 300(y1 + y2 + y3) + 100(w1 + w2 + w3)

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Restricciones a) Tierra disponible por Parcela Parcela 1: x1 + y1 + w1 ≤ 400 Parcela 2: x2 + y2 + w2 ≤ 600 Parcela 3: x3 + y3 + w3 ≤ 300 b) Disponibilidad de agua por parcela Parcela 1: 3x1 + 2y1 + 1z1 ≤ 600 Parcela 2: 3x2 + 2y2 + 1z2 ≤ 800 Parcela 3: 3x3 + 2y3 + 1z3 ≤ 375 c) Cuota Máxima de cultivo por especie Remolacha: x1 + x2 + x3 ≤ 600 Trigo: y1 + y2 + y3 ≤ 500 Maíz: w1 + w2 + w3 ≤ 325 d) Misma proporción de tierra cultivable Parcela 1= Parcela 2: (x1 + y1 + w1)/400 = (x2 + y2 + w2)/600 Parcela 2= Parcela 3: (x2 + y2 + w2)/600 = (x3 + y3 + w3)/300 Parcela 3= Parcela 1: (x3 + y3 + w3)/300 = (x1 + y1 + w1)/400 e) La restricción de no negatividad xi, yi, zi ≥ 0 i=1, 2, 3.

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Casos propuestos: Programación lineal modelado 1. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €. Las de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 2. Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene 2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos? 3. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 €,y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 €. a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo. b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido? En caso negativo, cuántos no ha plantado y de qué tipo son. 4. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125 000 €, distribuido entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, y es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30 000 € y un máximo de 81 000 €. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, y es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25 000 €. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determina dicha ganancia máxima. 5. Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario? 6. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de dos toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determina dicho coste mínimo.

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7. Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de «Consumo razonable» y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos de euro por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3 b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. Determine el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio máximo? 8. Una fábrica de papel tiene almacenados 4 000 kg de pasta de papel normal y 3000 kg de pasta de papel reciclado. La fábrica produces dos tipos diferentes de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,1 kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja de segundo tipo se utilizan 0,2 kg de pasta de papel normal y 0,3 kg de pasta de papel reciclado. Los beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son: respectivamente, 5 € para el primer tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo obtenido? 9. Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se coloquen sean jardineras. a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan? 10. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías por cada 100 gramos de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de grasas y 100 kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 € por cada 100 g del ingrediente A y de 2 € por cada 100 g del ingrediente B. El menú que hay que diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y, al menos, 110 kilocalorías por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada uno de los ingredientes que se emplearán en el menú, de manera que su coste sea lo más reducido posible. a) Indique la expresión de las restricciones y la función objetivo del problema. b) Calcule el porcentaje óptimo de cada uno de los ingredientes que se incluirán en el menú. 11. El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20m 3 en el cual transporta mercancía. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía, desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta. Caja 1: 1.00 m3, $ 1,000 Caja 2: 1.20 m3, $ 1,120 Caja 3: 0.80 m3, $ 900 ¿Cómo debe llenar el señor Martínez su camión para maximizar las ganancias en cada viaje que realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje? http://zumlop.jimdo.com

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12. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos.

Hierro

Marca A 40 mg

Marca B 10 mg

Req mínimos 2400 mg

Vitamina B-1

10 mg

15 mg

2100 mg

Vitamina B-2

5 mg

15 mg

1500 mg

Costo por píldora (US$)

0,06

0,08

¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? 13. Considere que una fábrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: Periodos Demandas Costo Prod. Costo de (unidades) (US$/unidad) Inventario (US$/u) 1 130 6 2 2 80 4 1 3 125 8 2.5 4 195 9 3 Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del período. 14. Un laboratorio farmacéutico produce en sus laboratorios los medicamentos Gramax (G), Neutrolín (N) y Sabatox (S) a partir de dos tipos diferentes de ingredientes C1 y C2. Los laboratorios están dotados de dos tipos de tecnologías, la tecnología nueva (Tn) utiliza por cada sesión de mezcla 7 unidades de C1 y 12 de C2 para producir 8 unidades de G, 6 de N y 5 de S, mientras que con la tecnología antigua (Ta) se obtiene en cada sesión de mezclas 10 unidades de G, 7 de N y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2. Teniendo en cuenta los estudios de demanda de los tres productos para el mes próximo, la compañía estima que debe producir al menos 900 unidades de G, 300 de N y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad del ingrediente C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad producida de los tres productos en unidades monetarios son 4, 6 y 7 por unidad del producto G, N y S respectivamente. El problema que se plantea es, como utilizar ambos los procesos de mezcla y los medicamentos disponibles, para que el beneficio sea lo mayor posible.

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MÉTODO GRÁFICO OBJETIVO Aplicar el método gráfico para la solución de problemas de PL. DEFINICIÓN El método gráfico, permite definir un polígono o espacio bidimensional, que representa el espacio solución del problema; siempre y cuando, el modelo de programación lineal se exprese en términos de dos variables. 

 



Conjunto o Región factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución. Es un polígono convexo finito o infinito en el que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntos del plano que cumplen todas las restricciones del enunciado del problema. Solución factible: Cada punto que integra la región (plana) que resuelve el problema. Solución óptima: La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados. Vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector: V = (–b, a) Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden multiplicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no varía.

¿Cuál es el objetivo de la solución gráfica? Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la función objetivo. PROCEDIMIENTO 1) Modelar el problema a solucionar. Por ejemplo, se tiene la siguiente función objetivo (productos X e Y): Max Z($) = 30x + 20y Sujeto a las siguientes restricciones: x + y = 0 2) En cada eje se colocará una de las variables de decisión. 3) Cada restricción se transforma momentáneamente en una igualdad, para determinar pares ordenados que permitirán graficar rectas en el plano cartesiano. http://zumlop.jimdo.com

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De x + y = 7 se obtiene: si x=0  y=7 primera coordenada: (0,7) si y=0  x=7 segunda coordenada: (7,0) repetir el proceso para cada una de las restricciones. 4) Graficar dichas rectas en el plano. Cada una de las restricciones define una recta que divide el espacio solución en dos áreas. a. Se tomará el lado de “arriba” si es una restricción del tipo mayor o igual. b. Se tomará el lado de “abajo” si es una restricción del tipo menor o igual.

5) Grafique el vector director: recuerde que es –b,a (-20,30 o simplificado -2,3)

6) Grafique las rectas de nivel, estas rectas son paralelas al vector director de la función objetivo que pasan por los puntos de la región factible, prolongarlas hasta cortar al eje Y.

7) Finalmente, determine la solución óptima.

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SOLUCIÓN ÓPTIMA La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados. Gráficamente Si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel corta al eje Y en el punto más alto posible. Si la solución es un mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel corta al eje Y en el punto más bajo posible. Considerando el ejemplo, la solución óptima es el punto B(3, 4); puesto que la recta que parte desde ese punto, corta al eje Y en el punto más alto)

Analíticamente Para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo, cada uno de los vértices de la región factible. ZO(0, 0) = 30 (0) + 20 (0) = 0 ZA(5, 0) = 30 (5) + 20 (0) = 150 ZB(3, 4) = 30 (3) + 20 (4) = 170 Máximo ZC(0, 7) = 30 (0) + 20 (7) = 140 La solución óptima es el punto B(3, 4), es decir: fabricar 3 unidades del producto X y 4 unidades de producto Y, lo que generará un ingreso de $ 170.

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NÚMERO DE SOLUCIONES Un problema de PL, puede tener una única solución, infinitas soluciones y sin solución. Solución única Un problema tiene solución óptima única, cuando este corresponde a uno de los vértices de la región factible. Por ejemplo: Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? Modelado: Sea x: bicicletas de paseo e y: bicicletas de montaña Max Z = 200x + 150y Sujeto a: x + 2y = 0; y >= 0 Solución gráfica: Zmáx está en el punto B (20, 30)

Solución analítica: ZO(0, 0) = 200 (0) + 150 (0) = 0 € ZA(40, 0) = 200 (40) + 150 (0) = 8 000 € ZB(20, 30) = 200 (20) + 150 (30) = 8 500 € Máximo ZC(0, 40) = 200 (0) + 150 (40) = 6 000 € Conclusión: fabricar 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña, para lograr ingresos de 8 500 €.

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Infinitas soluciones Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene la solución óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos los puntos del lado que une ambos vértices son soluciones óptimas. Por ejemplo: Sea Z = 30x + 60y Sujeto a: x + y = 0 Solución gráfica: El lado CB es paralelo al vector director de la función objetivo.

Solución analítica: ZO(0, 0) = 30 (0) + 60 (0) = 0 ZA(8, 0) = 30 (8) + 60 (0) = 240 ZB(6, 2) = 30 (6) + 60 (2) = 300 Máximo ZC(0, 5) = 30 (0) + 60 (5) = 300 Máximo Problemas sin solución Un problema de programación lineal puede que no tenga solución, debido a dos razones: a) Porque la región factible es vacía. Sea Min Z = 17x + 35y Sujeto a: x + y >= 7 2x + 3y = 0 y >= 0 http://zumlop.jimdo.com

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b) Porque la región factible no está acotada y no se alcance nunca en ella la solución óptima. Sea Max = 10x + 20y Sujeto a: x = 6 x >= 0 y >= 0

Nota: minimizar una función objetivo en un recinto no acotado, sí puede tener solución.

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Casos propuestos: PL solución gráfica 1. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 2. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas. Contestar justificando las respuestas: a) ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b) ¿Cuál será ese beneficio máximo? 3. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 6 millones de dólares y el coste de una casa de tipo A es de 13 mil y 8 mil una de tipo B. El número de casas de tipo A, ha de ser al menos el 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 mil y cada una de tipo B en 9 mil. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 4. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar a 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 €. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? 5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y 80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de bolsillo, que vende a 8 €, y el de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a 10 € ¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedor para maximizar su ganancia cuando los haya vendido todos? 6. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete de tipo A y 5 euros por cada uno del tipo B. Calcular, cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios.

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7. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá 8. Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos factorías y cada una de ellas produce los dos bienes en las cantidades por hora siguientes: Factoría 1 Factoría 2 Bien 10 u/h 20 u/h A Bien 25 u/h 25 u/h B a) La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los costes de funcionamiento de las dos factorías son: 100 € por hora para la factoría 1 y 80 € por hora para la factoría 2. b) ¿Cuántas horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costes de la empresa y satisfacer el pedido? 9. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de compuestos: A y B. necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le sugiere dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos compuestos es: a) Dieta 1: 2 unidades de A y 3 unidades de B. b) Dieta 2: 1 unidades de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta 1 es 2.5 euros y el de la dieta 2 es 1.45 euros. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo. 10. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 Ha con olivos del tipo A, ni más de 10 Ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m 3 de agua/año y cada una de tipo B, 3 m 3. Cada hectárea de tipo A requiere de una inversión de 500 euros y cada una de tipo B, 225 euros. Se dispone de 4500 euros para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente 500 y 300 litros anuales de aceite. c) Calcular las hectáreas de cada tipo de olivo que se debe cultivar para maximizar la producción de aceite. d) Obtener la producción máxima. 11. Una empresa fabrica dos modelos de sofá: A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 dólares respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y, cuál sería éste?

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12. Disponemos de 210,000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las de tipo A rinden el 10% y las de tipo B rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130,000 euros en las del tipo A y como mínimo 60,000 en las del tipo B. Además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? 13. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada kg de bizcocho y produce un beneficio de 250 ptas, mientras que una torta Real necesita medio kg de relleno por cada kg de bizcocho y produce 400 ptas de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 kg de bizcocho y 50 kg de relleno, aunque por problemas de maquinaria no se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. ¿cuántas tortas Vienesas y cuántas Reales deben vender al día para que el beneficio sea el máximo? 14. Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de problemas para que resuelvan, como máximo, 70 de ellos. Los problemas están clasificados en dos grupos. Los del grupo A valen 5 puntos cada uno, y los del B, 7 puntos. Para resolver un problema del tipo A, se necesitan 2 minutos, y para resolver un problema del tipo B, 3 minutos. Si los alumnos disponen de dos horas y media para resolver los problemas, ¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacer para obtener la puntuación máxima? ¿Cuál es dicha puntuación máxima? 15. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es: G C T Ligero 0,3 0,2 0,3 Pesado 0,3 0,4 0,2

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ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS OBJETIVO La administración de proyectos es la forma de planear, organizar, dirigir y controlar una serie de actividades realizadas por un grupo de personas que tienen un objetivo especifico; el cual puede ser crear, diseñar, elaborar, mejorar, analizar, etc, un producto, servicio. CONCEPTO Es la suma de esfuerzos que en forma temporal se utilizan para generar un producto o servicio en particular o único, cuyo desarrollo se da en etapas o fases.

Es la aplicación racional de conocimientos, habilidades, herramientas y técnicas a las actividades del proyecto, para alcanzar y satisfacer los requisitos del mismo. CONTEXTO Dado que un proyecto se concibe como una tarea única, éste conlleva un grado de incertidumbre. Todo proyecto se divide en fases, las que se conocen como ciclo de vida.

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AGREGACIÓN DE VALOR Y COSTO DE CAMBIAR

Los periodos generales de duración, los podemos apreciar en la siguiente gráfica:

OBJETIVOS DEL PROYECTO Un principio básico de la gestión de proyectos, así como en toda actividad de gestión, es que los objetivos estén definidos a priori y con un grado de suficiente de claridad y precisión. Hay proyectos donde la definición de objetivos se hace realmente difícil, pero esa dificultad no significa que no deba hacerse, puesto que cuanto más inmaterial es o más arriesgado sea un proyecto más necesario será contar con un marco de referencia, aunque sus contornos sean menos nítidos que en otras ocasiones.

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TRIÁNGULO DEL PROYECTO El objetivo del proyecto es siempre triple: Resultado (Ámbito), Coste, Plazo. No basta con conseguir uno o dos objetivos, ni hay que dar más importancia a uno o a otro.

El primer objetivo es el resultado final de proyecto, es decir, la obra que se quiere realizar y que supone el origen y justificación del proyecto, por lo que puede considerarse el objetivo más importante y significativo. Pero la consecución del objetivo técnico no es suficiente. Eso sí: ha de considerarse más bien como una condición ineludible. En el caso de abordar la electrificación de una aldea, la aldea se debe electrificar, pero no a cualquier precio ni en cualquier plazo. En el caso de proyectos externos, el objetivo de costo suele estar definido y tiene una importancia grande. Normalmente existe un contrato, y el proveedor deberá respetarlo o tendrá dificultades para revisar al alza el presupuesto. En proyectos internos es frecuente que el objetivo de coste no figure en forma explícita, algo que se debe intentar reducir. El plazo es el objetivo que más fácilmente se deteriora, convirtiéndose así en el que mejor mide el grado de calidad de gestión del proyecto. A menudo se piensa que el plazo de realización de un proyecto no debe valorarse excesivamente, puesto que es algo que "casi nunca se respeta". Pero hay proyectos en los que este objetivo se convierte en el más importante. ¿Qué pasaría si las obras del estadio olímpico no estuvieran terminadas para la inauguración de los Juegos Olímpicos? El aspecto triangular de los objetivos se refuerza por la necesidad de coherencia y proporción entre los mismos. Los tres son inseparables y forman un sistema en el que cada modificación de cada una de las partes afecta a las restantes. Pueden darse los siguientes casos:

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TÉCNICA PERT-CPM Durante muchos años, los diagramas de Gantt constituían prácticamente el único método de planificación y control de proyectos. A finales de los años cincuenta aparece, una técnica para la planificación de proyectos, que es el PERT. La técnica se inicia en 1957 por problemas surgidos en la planificación y control del proyecto “Polaris” (submarino de la armada norteamericana). PERT (Program of Evaluation and Review Tecnique): Toma en cuenta el la duración probable de cada tarea. Es decir, se emplea en proyectos no realizados anteriormente, por lo que se desconocen los tiempos reales de duración de las tareas, por tanto, estos tiempos se determinan por técnicas probabilísticas. CPM (Critical Path Method): Toma como base la duración real de cada tarea. Se aplica a proyectos realizados anteriormente, en la medida que se conocen los tiempos de cada actividad. Es conveniente usar esta técnica cuando un proyecto: 

Tiene todas sus actividades bien definidas.  Las actividades se pueden comenzar, interrumpir y realizar de forma separada dentro de una secuencia dada.  Las actividades se pueden relacionar con otras.  Las actividades están ordenadas de forma que se pueda seguir una secuencia.  Una vez comenzada una actividad, debe continuar sin interrupción hasta su finalización. “La red” es un modelo gráfico que señala las relaciones secuenciales entre los sucesos claves en un proyecto. PERT puede mostrar el camino crítico, que es la secuencia más larga de actividades conectadas a través de la red y que determina la duración total del proyecto. Este camino crítico es la base para la planificación y el control de un proyecto”. Para disminuir el tiempo total, hay que reducir los tiempos de las actividades que forman parte del camino crítico, teniendo en cuenta que esa disminución suele conllevar un aumento del coste de la actividad. Esta técnica también permite visualizar las tareas que no son críticas. Si aparecen retrasos inevitables durante el proyecto, el director del proyecto puede retrasar esas actividades, si lo desea, para reducir la demanda de recursos. Como los cambios en el alcance del proyecto y los requisitos de tiempo normalmente aparecen a medida que avanza el proyecto, el camino crítico identificado al principio del proyecto puede, al final, no determinar la duración total del proyecto. A menudo, una actividad que originalmente no estaba en el camino crítico se retrasa hasta el punto de que el proyecto completo se prolonga, creando un nuevo camino crítico. El director de proyecto debe supervisar continuamente aquellas actividades que pueden ser muy proclives a retrasarse. Cuanto más complicado sea el proyecto, más tareas habrá cerca del nivel crítico, así como varios caminos críticos. El director de proyecto debe valorar el impacto de hacer cambios significativos en estas actividades las del camino crítico para asegurar que no se forma un nuevo camino crítico.

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FASE DE DISEÑO La técnica PERT parte de la descomposición de un proyecto en actividades. Para su realización se consumen unos recursos determinados (como mano de obra, máquina, etc.) las actividades ocurren entre dos sucesos (que llamaremos suceso inicial y suceso final), entendiendo como suceso un acontecimiento o punto temporal (una fecha) que no consume recursos. La representación se realiza por medio de un grafo en donde las actividades se reflejan mediante arcos y los sucesos mediante vértices. Cada tarea o actividad se representa con una flecha orientada, cuyos extremos están limitados con círculos llamados nodos. La tarea se designa con una letra mayúscula o por un código numérico, formado por el par (i,j), que indican los nodos inicial y final, respectivamente. Debajo de la flecha se consigna la duración de la actividad o tarea.

Nota: Dos tareas no pueden tener el mismo nodo inicial y final, para ello deberá “cortar” una de las actividades, la que se unirá al final del nodo común a través de una actividad ficticia (duración = 0).

Relaciones de precedencia Para iniciar la actividad B es necesario haber finalizado la actividad A.

Relaciones de precedencia convergentes Para iniciar la actividad D es necesario haber finalizado las actividades A, B y C.

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Relaciones de precedencia divergentes Para poder iniciar cualquiera de las actividades B, C, o D, es necesario que haya finalizado la actividad A.

Ejemplo 1: Un cliente adquiere un disco duro (nuevo o usado) para una Pc. Le encomienda a Ud., la tarea de dejarla apta para su utilización. Identificar las actividades a. Instalación física del disco duro (cable de datos, cable de poder, configuración como master o esclavo, etc). b. Verificar reconocimiento de hardware (setup). c. Instalación lógica (particiones y formato lógico y/o físico). d. Instalación del sistema operativo. e. Instalación de las aplicaciones. Tabular la secuencia de las actividades y las precedencias Actividad

Descripción

Precedencia

A Instalación física del disco duro Ninguna B Reconocimiento por hardware A C Instalación lógica B D Instalación del sistema operativo C E Instalación de aplicaciones D Nota: Los códigos o nodos de cada actividad, se completa luego de tener la red de precedencias Dibujar la red de precedencias A 1

B

C

2

3

D 4

E 5

6

Completar la tabla de secuencias Nodos 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6

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Activid A B C D E

Descripción Instalación física del disco duro Reconocimiento por hardware Instalación lógica Instalación del sistema operativo Instalación de aplicaciones

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Preced Ningun a A B C D

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Ejemplo 2: Se le encomienda la tarea de preparar una taza de café. Identificar las actividades: a. b. c. d. e. f. g. h.

Hervir agua Preparar taza y cucharilla Disponer los ingredientes Verter el agua hervida Agregar azúcar Agregar café Mezclar Servir

Tabular la secuencia de las actividades y las precedencias Nodos

Activid A B C D E F G H

Descripción Hervir agua Preparar taza y cucharilla Disponer los ingredientes Verter el agua hervida Agregar azúcar Agregar café Mezclar Servir

Preced Ning Ning Ning A, B C,D D E,F H

Dibujar la red de precedencias 1

A 4

D

E

5

7

G

8

H

9

B 2

F

C

6

3

Completar la tabla Nodos 1-4 2-4 3-5 4-5 5-7 5-6 6-7 7-8 8-9

Activida d A B C D E F G H

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Descripción Hervir agua Preparar taza y cucharilla Disponer los ingredientes Verter el agua hervida Agregar azúcar Agregar café Ficticia Mezclar Servir

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Preced Ning Ning Ning A, B C,D C,D E,F H

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Ejemplo 3: Construir la red de precedencia del siguiente proyecto. Completar los nodos. Nodos

1

A

Activid A B C D E F G H I J C

3

D

6

A H

E B

4

D

B

F

J

7

8

5

G

1

I

Preced Ning Ning A A B B E C,G D,E H,I,F

C

2

G 5

2

Descripción

H

4

E

I F

3

J

6

7

Ejemplo 4: Construir la red de precedencia del siguiente proyecto. Nodos

Activid A B C D E F G H I J K

Descripción

A

G

1

2

6

I 9

C

F

D 5

11

K

E 4

10

J

B 3

Preced Ning A B B B B C,D E,F G,H I J

H 7

8

12

Nota: La actividad I, requiere de las actividades G (inicia en el nodo 6) y H (inicia en el nodo 7); por lo tanto la actividad H debería ser el nodo 7-9. Por estética, para la actividad H se han creado sus propios nodos (7-8). Por lo tanto, se hace necesario crear la actividad ficticia 8-9. http://zumlop.jimdo.com

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Red de precedencias: Casos propuestos 1. Judy Kramer, directora ejecutiva del St Adolf’s Hospital; emprendió una evaluación para identificar las brechas en la capacidad para ofrecer un servicio de calidad superior. Para ello, debe desarrollar las actividades indicadas en la tabla adjunta. Construya la red de precedencias e indique la duración del proyecto. Activ Descripción A Seleccionar personal administrativo y médico B Seleccionar lugar y realizar levantamiento topográfico C Seleccionar el equipo D Preparar planos definitivos de construcción y distribución E Llevar los servicios públicos al predio F Entrevistar candidatos para ocupar las plaza G Comprar equipo y supervisar la entrega del mismo H Construir el hospital I Desarrollar un sistema de información J Instalar el equipo K Capacitar al personal de enfermería y de apoyo

Preced A B B A C D A E, G, H F, I, J

2. El director del Bluebird University acaba de aprobar los planes para realizar un seminario de capacitación en ventas. En virtud de la incertidumbre que rodea la planificación del nuevo curso, el asistente ha preparado las siguientes estimaciones de tiempo para cada actividad: Tiempo Activ Descripción Predec (días) A Diseñar folleto y anuncio del curso 5 B Identificar a los posibles profesores 6 C Preparar un plan detallado del curso 3 D Enviar el folleto y las solicitudes a los A 11 estudiantes E Enviar solicitudes a los profesores B 8 F Seleccionar al profesor para el curso C, E 3 G Aceptar a los estudiantes D 4 H Seleccionar el texto para el curso F 5 I Pedir y recibir los textos G, H 8 J Preparar el aula para las clases G 4 El director desea inaugurar el seminario dentro de 47 días hábiles a partir de hoy ¿podrá inaugurar el seminario en el plazo deseado?

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3. Cuando el hotel The Phoenix, trató de rediseñar las instalaciones de su spa, el equipo de gerencia creó una estructura de división del trabajo para comparar diferentes opciones del proyecto y elegir la mejor. ¿Cuándo podrá la gerencia tomar una decisión sobre el spa? Act A B C D E F G H I J

K L M

Descripción Concepción del proyecto Reunión de puesta en marcha del proyecto Creación de las especificaciones del spa Investigación geotécnica Caracterizaciones preliminares del sitio Investigación del subsuelo Pruebas de laboratorio Evaluación de riesgos geológicos Desarrollo del diseño Diseños iniciales Plano preliminar de zonificación Diseños finales Aprobación de los diseños por el propietario Documentación y estimación de costos Documentación para la construcción y paquete de paisajismo Adquisición de estimaciones y ofertas de contratistas Decisión Aprobación de uno del tres proyectos por parte del propietario

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Predec

Tiempo (días)

-

2

A

30

B C D E

10 10 5 10

B C, G H I

70 15 18 5

F, I

80

J, K

90

L

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FASE DE PROGRAMACIÓN Esta etapa del método, permite determinar los inicios, términos y holguras de las actividades. También se identificarán las actividades que forman parte de la ruta crítica (actividades con holgura cero). 1. Obtener información sobre la duración del proyecto, así como los inicios y términos de cada una de las actividades. Actividad

Descripción

Precedenci a

Duración

A

Ning

5 días

B

A

10 días

C

A

4 días

2. Construida la red de precedencias, completar los diagramas según se indica. TiA: Tiempo de inicio de la actividad “A” (nodo inicial) TfA: Tiempo de finalización de la actividad “A” (nodo terminal) d: Duración de la actividad “A”

Nota: 

El lado izquierdo de los recuadros, representa los inicios y finalizaciones tempranos (ES: early start, EF: early finish).  El lado derecho de los recuadros, representa los inicios y finalizaciones tardíos (LS: last start, LF: last finish). 3. Determinar los tiempos de inicio (del nodo 1 al nodo n)  En el primer nodo del proyecto, el tiempo de inicio es cero.  El tiempo de inicio en el nodo siguiente es: Tij =Tii + d = 3 + 8 = 11 

Si a un nodo “llegan” varias actividades (cuando se va de izquierda a derecha), el tiempo de inicio será el mayor de todas las tareas que convergen en dicho nodo común. Nodo i-k: Ti + d = 5 + 6 = 11 Nodo j-k: Ti + d = 3 + 9 = 12 Por lo tanto, tiempo de inicio del nodo k, es 12

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4. Determinar los tiempos de finalización (del nodo n al nodo 1)  En el último nodo del proyecto, el tiempo de finalización es igual al tiempo de inicio.  El tiempo de finalización en el nodo anterior (nodo Inicial de la actividad en estudio), es: Tfi =Tfj - d = 15 - 8 = 7



Si de un nodo “salen” varias actividades, el tiempo de finalización será el menor de todas las tareas que parten de un nodo común. Nodo i-j: Tf - d = 25 - 6 = 19 Nodo i-k: Tf - d = 12 - 9 = 3 Por lo tanto, el tiempo de finalización en el nodo i, es 3

Ejemplo 1: La comisión de Cultura y Recreación del Consejo Metropolitano, desea construir un jardín botánico para contribuir a la recreación de los habitantes. Para ello debe realizar las actividades indicadas en la tabla adjunta. Construya la red actividades del proyecto.

Código

Actividad

Tiempo (hr)

A B C D E F G H I

Planeación Compras Excavación Corte de madera Colocación Ensamble Nivelación Rellenado Decoración

20 60 100 30 20 10 20 10 30

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Precedentes Ning A A B C, D E F F G,H

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Ejemplo 2: Determinar los tiempos de inicio y finalización (días), del siguiente proyecto.

Tiempos de inicio: Nodo 3-5: 6 + 10 = 16 Nodo 4-5: 5 + 5 = 10 Por lo tanto, en el nodo 5, el Ti = 16 Tiempos de finalización: Nodo 2-3: 6 – 4 = 2 Nodo 2-4: 11 – 3 = 8 Por lo tanto, en el nodo 2, el Tf = 2 Otra manera, es utilizar una escala de tiempo.

Este diagrama, además de mostrar la duración del proyecto, muestra también los inicios, términos y holguras de las actividades.

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Duración del proyecto: Casos propuestos 1. Determinar los tiempos de inicio y finalización, del siguiente proyecto.

2. Determinar los tiempos de inicio y finalización, del siguiente proyecto.

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RUTA CRÍTICA Es el conjunto de actividades que limitan la duración de un proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice en el plazo previsto, las actividades de la ruta crítica deberán realizarse en sus tiempos asignados, dado que tienen una holgura igual a cero. Dicho en otros términos, si una actividad de la ruta crítica se retrasa, el proyecto como un todo se retrasará en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una holgura; es decir, pueden empezar más tarde y no afectan la duración del proyecto. De ser necesario, estas actividades pueden “ceder” sus recursos. Cálculo Teniendo la red, la ruta crítica lo conforma la “ruta” de mayor duración, en consecuencia, las actividades comprendidas en dicha ruta merecen un cuidado especial, pues un retraso en una de ellas, implica un retraso para el proyecto.

Rutas posibles para llegar del nodo 1 al nodo 9: A-B-D-E-F-G-I A-B-D-E-F-H-I A-C-E-F-G-I A-C-E-F-H-I

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tiempo 190 hr. tiempo 180 hr tiempo 200 hr (ruta crítica) tiempo 190 hr

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HOLGURA En todo proyecto, las actividades de la ruta crítica tienen holgura igual a cero. Las actividades que cuentan con holgura, pueden retrasar su inicio tanto tiempo como holgura tenga. Holgura = Terminación tardía – Duración – Inicio temprano H = LF – d - ES

Ejemplo Construir la red y calculado los tiempos de las actividades.

Construir la siguiente tabla: Activ A B C D E F

ES Gráf red 0 2 2 6 5 16

d 2 4 3 10 5 4

EF ES + d 2 6 5 16 10 20

H 0 0 6 0 6 0

LS ES + H 0 2 8 6 11 16

LF LS + d 2 6 11 16 16 20

La ruta crítica es: A-B-D-F (las líneas sombreadas)

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Ruta crítica: Casos propuestos 1. La Comisión de Bienestar Ciudadano, ha decidido construir un jardín botánico y una zona de comidas en el centro de la ciudad con el fin de contribuir a la recreación de sus habitantes. Construya la red y determine la duración de las actividades y del proyecto. Activ

Descripción

Predec

A B C D E F G H I

Planeación Compras Excavación Corte de madera Colocación Ensamble Nivelado Rellenado Decoración

Planeación Planeación Compras Corte, Excavación Colocación Ensamble Ensamble NIvelado, Ensamble

Tiempo (horas) 20 60 100 30 20 10 20 10 30

a. Determine la secuencia de actividades. b. Determine la ruta crítica. 2. El rector de la Southwestern University, tomó la decisión de ampliar la capacidad del estadio localizado en el campus universitario. Activ A B C D E F G H I J K L

Descripción Depósitos, seguros e impuestos Cimientos, base de concreto Arreglo de asientos y palcos Pasillos, escaleras y elevadores Cableado interior Aprobaciones de inspección Plomería Pintura Ferretería Mosaico, alfombra y ventanas Inspección Acabados y detalles, limpieza

-

Tiempo (días) 30

A

65

A

60

C

50

B E

30 0.1

D, E G H H

35 30 60 12

J I, K

0.1 60

Predec

¿Podrá terminarse la construcción en 270 días?

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3. Alfa es una compañía en la que se manufactura y ensambla todo tipo de gabinetes. Se va a manufacturar un nuevo tipo de gabinete, el cual requiere las siguientes tareas: Activ A B C D E F G H I J

Descripción Preparar las ruedas Montar las ruedas Ensamblar los costados Colocar la cubierta superior Colocar la base Insertar las ménsulas Insertar las repisas Colocar las puertas Colocar el panel posterior Pintar la unidad

Tiempo (min) 10 5 15 11 10 5 5 10 10 15

Las ruedas se montan después de ser preparadas. La base no puede unirse hasta que se ensamblen los costados y las ruedas estén montadas. La parte superior no puede unirse ni insertarse las ménsulas hasta que estén ensamblados los costados. Las repisas se colocan después de haber colocado las ménsulas. El panel posterior se une después de que la base y la cubierta superior son colocadas. Las puertas se colocan después de que se instalan las repisas, la base y cubierta superior. La unidad se pinta después de haber sido colocadas la base y la cubierta superior. a. Identifique los predecesores inmediatos de cada tarea. b. Construya la red del proyecto

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4. El Maser es un nuevo automóvil deportivo diseñado sobre pedido. Un análisis de la tarea de construir un Maser revela la siguiente lista de actividades relevantes, sus precedentes inmediatos y su duración. Activ

Descripción

Prec

A B C D E F

Reunión equipo trabajo Diseño Pedido de accesorios Construcción del chasis Construcción de puertas Unir ejes, llantas y tanque de gasolina Construcción de carrocería Construcción transmisión y dirección Ajuste de puertas Construcción de motor Prueba estacionaria del motor Ensamble de chasis Prueba de chasis en movimiento Pintura de carrocería Instalación de cableado Instalación de interiores Aceptar entrega de accesorios Montaje de carrocería y accesorios Prueba del auto en movimiento Ajuste de ensamble exterior Supervisión final

A B B B D

Tiempo (días) 1 8 1 1 1 1

B

2

B

3

G, E B J

1 4 2

F, H, K L

1 1

I N N C

2 1 2 5

M, O, P, Q R

1

S

1

T

1

G H I J K L M N O P Q R S T U

1

Si el Maser debe terminarse 2 días antes, ayudaría si: a. ¿Se compraran transmisiones y direcciones prefabricadas? b. ¿Se instalarán robots para construir el motor en la mitad del tiempo? c. ¿Se acelerara en 3 días la entrega de accesorios especiales?

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TÉCNICA DE ESTIMACIÓN DE TIEMPOS OBJETIVO Determinar la duración de un proyecto, en base a tiempos probabilísticos. CONCEPTO Si la duración de las actividades no es conocida con certeza, se puede emplear la Técnica de Revisión y Evaluación del Programa (PERT) para determinar la probabilidad de que un proyecto termine antes de una fecha específica. Para ello, haremos uso de las siguientes fórmulas: Tiempo estimado: 𝑎 + 4 𝑡𝑚 + 𝑏 𝑡𝑒 = 6 Varianza: 𝑏−𝑎 2 2 𝜎 =( ) 6 Desviación estándar: 𝜎 = √𝜎 2 Sean los datos siguientes: Activ A B C D E F G H I J

Descripción Diseño de producto Diseño de envase Orden y recibo mat producc Orden y recibo mat envase Fabricación producto Fabricación envase Envasar productos Prueba mercado del producto Prueba mercado del envase Entrega a distribuidores

Preced A B C D E F G,H I

a 3.5 1.0 1.5 1.2 2.0 1.8 3.0 2.0 0.5 0.8

m 5.0 1.5 3.0 3.2 3.5 2.8 6.5 4.2 0.8 2.1

b 11.0 5.0 4.5 4.0 8.0 5.0 7.0 5.2 2.3 2.8

te

σ2

Estos tiempos suponen lo siguiente: por ejemplo, la actividad F requiere 1.8 semanas en condiciones óptimas y 5.0 semanas en condiciones pesimistas, siendo el tiempo de estimación probable 2.8 semanas. Si esta actividad se repitiera varias veces, el tiempo esperado que requiere dicha actividad es de 2.8 semanas. ¿Hasta qué punto son confiables estos datos? Estas estimaciones serán útiles para determinar la dispersión de los tiempos, para así evaluar el nivel de incertidumbre de que el proyecto se termine conforme a lo programado. ¿Por qué las tres estimaciones? ¿Por qué no simplemente estimar los valores esperados y hacer los cálculos de PERT/CPM con base en éstos?

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La justificación que responde estas interrogantes:  

 



Se necesita saber qué tan confiables son las estimaciones de los tiempos esperados. Esto se puede hacer teniendo las tres estimaciones. Si el tiempo requerido para terminar una actividad es muy grande, entonces tendremos menos confianza en el tiempo esperado que si el intervalo fuera menor. Por ejemplo: si las tres estimaciones para la actividad “fabricar el producto” fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 en ambos casos el tiempo promedio sería 3.0 semanas; pero en el primer caso tendríamos más confianza en que estas cifras modificadas fueran más precisas puesto que tiene menor variabilidad. Un intervalo amplio de las estimaciones representa una mayor incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado que se calcula. A menor confianza, la probabilidad de terminar el proyecto hacia una fecha dada se reduce. La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puede calcularse la dispersión de los tiempos de las actividades y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa. Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión o variación de las estimaciones de los tiempos de las actividades.

Aplicando dichas fórmulas al caso de estudio, tenemos: Activ Varianza 2 A 1.56 B 0.44 C 0.25 D 0.22 E 1.00 F 0.28 G 0.44 H 0.28 I 0.09 J 0.11 A partir de estos datos, se obtiene, que la actividad A tiene un mayor grado de incertidumbre que la actividad J. (1.56 vs 0.11). Variabilidad en la fecha de terminación del proyecto. 





Al calcular la ruta crítica se utilizaron los tiempos esperados de duración para los tiempos de las actividades; lo que se obtuvo fue una duración esperada para el proyecto. Como es probable que cada actividad varíe en duración en vez de ser fija; el tiempo de terminación del proyecto será variable, y en particular si existen variaciones considerables en las actividades de la ruta crítica. Es “probable” que el tiempo de duración del proyecto varíe positiva como negativamente.

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





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La influencia en el tiempo de duración del proyecto no sólo es de las actividades de la ruta crítica, sino que se puede generar otra ruta crítica debido a la variabilidad de las actividades. Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variación en la incertidumbre, puede utilizarse para calcular la variación total en el tiempo esperado del término del proyecto. Al calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toman las varianzas (2), de las actividades que forman la ruta crítica. Para calcular la varianza del tiempo de terminación del proyecto, simplemente se suman las varianzas (2) de las actividades que forman la ruta crítica.

De la gráfica se tiene que la ruta crítica lo forman las actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas. La varianza del proyecto es: 2 = A2 + C2 + E2 + G2 + I2 + J2 2 = 1.56 + 0.25 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.11 2 = 3.45 semanas La desviación estándar para la terminación del proyecto es  = (2)1/2 = (3.45)1/2  2 semanas Estadísticamente, se considera que los tiempos de terminación de un proyecto no están descritos por una distribución beta sino que siguen una distribución aproximadamente normal o en forma de campana (Gauss).

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Estandarización o Normalización:

Utilizando la distribución normal podemos hacer planteamientos de probabilidades con respecto a fecha de término del proyecto; dada una fecha específica de terminación, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa fecha o antes. Ejemplo se desea saber cuál es la probabilidad de que el proyecto termine antes de 26 semanas. Primero.Convertir 26 semanas a un valor Z. (X = 26,  = 22 y  = 2)

Z=

X- 

26 – 22 2

=2

Segundo.Con el valor Z = 2 y una tabla de distribución normal, se encuentra que la probabilidad asociada es 0.9772. La probabilidad de que el proyecto se termine en 26 semanas o menos es 0.9772 o 97.72%; por tanto, se puede tener bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse para esa fecha.

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Casos propuestos: 1. Una cadena de restaurantes fast-food desea adquirir una nueva computadora que le permita llevar su contabilidad y realizar el control de inventarios. Una empresa de informática le presenta al Director la siguiente información

Calcular la probabilidad de terminar el proyecto en 55 días. 2. Cierta empresa ha decidido añadir un nuevo producto a su línea. Las actividades a realizar son las siguientes. (Los números entre paréntesis representan los nodos).

a. Si se contratan vendedores con experiencia y se elimina el periodo de entrenamiento. ¿se podrá colocar el producto 7 semanas antes? b. Probabilidad de terminar en 37 semanas.

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3. Un proyecto se compone de las siguientes actividades.

¿Qué plazos de ejecución tienen un 80% y 90% de probabilidad de cumplirse?

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Tabla Distribución Normal

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ESTIMACION DE COSTOS vs TIEMPO Hasta el momento, los casos estudiados se han centrado en aspectos del tiempo, y como cumplir éstos conforme a la fecha programada. La relación costo vs tiempo, es una relación del tipo inversamente proporcional, dado que una disminución/aumento en el tiempo de ejecución conlleva a un aumento/disminución de costos, según se aprecia en el siguiente esquema.

Muchas actividades pueden reducir su duración, pero sólo aumentando los costos, para ello por ejemplo: habría que acelerar pedidos y quizá para ello debamos pagar extras; podría utilizarse más equipos y/o mano de obra adicionales. Sin embargo, las actividades no pueden reducirse más allá de cierto punto, sin importar la cantidad de dinero adicional que se invierta. La relación entre las actividades y sus duraciones, se estiman con la siguiente ecuación: Cunid tiempo = Cn – Cc tc - tn

Nota: Costo actual

proy =

Costo ant proy + Costo var por unid tiempo - Costo fijo

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Para determinar qué actividad debe reducirse y en cuánto, es necesario saber:   

El costo esperado asociado con cada tiempo esperado de actividad. El tiempo más breve posible para cada actividad si se aplica el máximo de recursos. El costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible para esa actividad.

Caso de aplicación: Se tiene la siguiente información: Activid

Preced

G A B C D E F H I

Ning Ning Ning A A B,C B,C G,D,E H,F

Duración Normal Tope 22 2 8 4 14 12 12 6 18 14 10 8 8 2 14 12 6 6 Costo

Costo Normal Límite 50 50 420 700 800 960 1,000 1,300 1,080 1,200 300 480 1,000 2,200 1,200 1,500 300 300 6,150 8,690

Los totales de la columna de costo normal nos indican los costos directos del proyecto ejecutado en tiempos estándares Los totales de costo límite no nos indican un costo real, ya que no será necesaria que todas las actividades sean realizadas en tiempo límite, sino solo algunas de ellas. Procedimiento: Se tiene los siguientes datos: Activid

Preced

A B C D E F G H

Ning A B C, H B E A G

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Duración (d) Normal Tope 3 1 4 2 6 3 4 1 5 3 3 0 6 1 3 1

70

Costos ($) Normal Tope 300 360 500 900 1,000 1,600 600 650 1,200 1,500 500 500 800 1,050 900 1,200

Costo ($) unid tiemp

60 200 200 50 100 0 250 300

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Solución: Construyendo la red. Ruta crítica: A-B-C-D (17 días)

La actividad D, tiene el menor costo de reducción, entonces se reduce en un día, teniendo la nueva red. La nueva ruta crítica: A-B-C-D

La actividad A (de las que quedan), tiene el menor costo de reducción, por lo tanto, se reduce en un día, teniendo la nueva red: La nueva ruta crítica: A-B-C-D (A y D ya se redujeron a su máximo).

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Las actividades B y C, tienen el mismo costo de reducción; pero conviene reducir B, porque reduce la longitud de dos rutas. Al reducir B en un día, se dan dos rutas críticas: A-B-C-D y A-G-H-D.

Por lo tanto, se deberá reducir en forma simultánea 1 día en una actividad en cada una de las rutas. Puesto que la actividad B se puede reducir aún en un día (basados en el punto anterior), para la ruta A-B-C-D. También se reducirá la actividad G, para la ruta A-G-H-D. Nos queda la siguiente red:

Las rutas críticas siguen siendo: A-B-C-D y A-G-H-D.

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Quedan por reducir C y H, a las que se reducen un día, con lo que nos queda la nueva red:

En este punto todas las actividades son críticas; por lo tanto, si quisiéramos realizar una mayor reducción en el tiempo total del proyecto, habría que reducir simultáneamente las tres rutas críticas: A-B-C-D, A-G-H-D y A-B-E-F. Pero las actividades A-B-C-D ya se redujeron a su máximo; por lo tanto, el proyecto completo ya se redujo a su máximo.

Esto no significa que el proyecto deba hacerse en 12 días, sino que es el tope hasta el cual puede reducirse su duración y los costos asociados a tales tiempos menores.

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Costo del proyecto: Casos propuestos: 1. En la tabla adjunta se muestran actividades asociadas a la construcción de una casa.

2.

Una compañía que monta espectáculos musicales acaba de firmar un contrato para un nuevo show. El productor ha identificado las siguientes tareas que necesitan hacerse antes de presentar el espectáculo:

La coreografía se realiza después de orquestada la música. Los ensayos de danza no pueden empezar hasta que cada parte esté preparada, se contrate a los artistas y se termine la coreografía. El escenario es diseñado y construido después del ensayo de danza. El vestuario se prepara después de contratados los artistas. El ensayo de vestuario se hace después del ensayo de danza y cuando el vestuario esté listo. Al ensayo de vestuario le sigue el ensayo general, que también requiere el escenario. El ensayo final sigue después del ensayo general.

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REFERENCIAS Libros Administración de Operaciones

Richard Chase

Principios de Administración de Operaciones

Jay Heizer & Barry Render

Administración de Operaciones

Lee Krajewski

Administración de Operaciones

Roger Schroeder

Ejercicios de Investigación de operaciones

Félix Alonso Gomollón

Métodos cuantitativos para los negocios

David R. Anderson

Métodos cuantitativos para los negocios

B Render R Stair M Hanna

Dirección de producción y operaciones

Ma. Luz Martín Peña

Introduc a la Dirección de producción y operaciones Rafaela Alfalla Luque Web http://www.slideshare.net/fperalesv/creacin-y-desarrollo-de-nuevos-productos http://www.investigaciondeoperaciones.net/eoq_con_descuentos.html http://ingindustrialinvop.blogspot.pe/2011/06/blog-post.html http://es.slideshare.net/alconguerrero/ejercicios-lep-sin-faltante?related=1 http://www.gestiondeoperaciones.net/inventarios/ejemplo-del-modelo-de-loteeconomico-con-produccion-y-consumo-simultaneo-poq/ http://ingindustrialinvop.blogspot.pe/2011/02/modelo-lep-sin-faltantes.html http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Aplicaciones_PL.pdf http://www.iessantvicent.com/departament/matematiques/solucions/MCS2_SM/u4.pdf (ejemplos resueltos progr lineal método gráfico) http://www.edu.xunta.es/centros/iesastelleiras/?q=system/files/cuatro.pdf http://www.monografias.com/trabajos104/soluciones-programacionlineal/soluciones-programacion-lineal.shtml http://es.slideshare.net/YORSCHITOOO/programacion-lineal-45285385 (mét gráf)

Videos Evoluc Adm Operac https://www.youtube.com/watch?v=IPvhWKlThZk

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Ing. Roger M. Zumaeta López