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ECUACIONES DIFERENCIALES Actividad 2

John Edinson Alvarez Ramirez

Fundación Universitaria Compensar Febrero 2021 Bogotá

CONTEXTUALIZACIÓN Muchos de los fenómenos físicos han sido modelados a través de Ecuaciones Diferenciales, es por ello que es importante identificarlos y darles solución para poder establecer funciones que relacionen las variables involucradas.

ACTIVIDAD MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES Condiciones básicas para el desarrollo de la actividad: En un horno eléctrico ponga a hornear un producto alimenticio de su preferencia (pastel, arepa, plátano, etc.), cuando esté listo, sáquelo del horno, mida su temperatura y posteriormente registre la temperatura del alimento en intervalos de 10 minutos hasta que alcance la temperatura ambiente. Con los datos obtenidos plantee una ecuación diferencial utilizando para ello la ley de enfriamiento de Newton, resuélvala encontrando una ecuación que enuncie la temperatura del alimento en función del tiempo y compárela con los datos obtenidos experimentalmente. La ley de enfriamiento de Newton nos describe que la razón de perdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente que lo circunda.

Se expresa de la siguiente forma:

𝑑𝑄 = 𝛼𝑆(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡

𝛼 = 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Si la temperatura del cuerpo es mayor que la ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, esta será proporcional a la diferencia de temperaturas.

Se puede expresar en forma diferencial como:

𝑑𝑄 = −𝑚𝐶𝑒 𝑑𝑇

𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜, 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝐶𝑒 = 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜

Por lo tanto, al combinar estas dos ecuaciones tenemos:

𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡

𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑎 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Resolviendo esta ecuación diferencial para un cuerpo que se enfría desde una temperatura 𝑇0 hasta una temperatura 𝑇, obtenemos la temperatura del cuerpo en función del tiempo:

𝑇

∫ 𝑇0

𝑡 𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎 0

ln(𝑇 − 𝑇𝑎 ) = 𝑘𝑡 + ln(𝑇0 − 𝑇𝑎 )

𝑇 = 𝑇𝑎 +(𝑇0 − 𝑇𝑎 )𝑒 𝑘𝑡

Solución

El experimento se realiza con una taza de agua con temperatura de 181.5 °F colocada en un refrigerador cuya temperatura ambiente es de 56.0 °F. A los 10 minutos de haber dejado el agua en el refrigerador tiene una temperatura de 145.2 °F.

Nos hacemos la siguiente pregunta:

¿a los cuantos minutos estará en equilibrio térmico el agua de la taza con la temperatura ambiente?

Para saber cuánto tiempo tarda en llegar a ese estado nos valdremos de la ecuación de enfriamiento.

Debemos resolverla de la siguiente manera

La ecuación se puede resolver por separación de variables, de esta manera dejamos a un lado de la igualdad todas las variables T y al otro lado de la igualdad las variables t.

La rapidez de enfriamiento o razón de cambio entre temperatura y tiempo debe ser expresada mediante una derivada.

𝑑𝑇 𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡

𝑇 = 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑡 = 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Ahora debemos convertir esta expresión matemática en una ecuación se procede a expresar la proporcionalidad mediante la constante k, al agregar esta constante hace que aparezca el signo = en la ecuación.

Entonces tenemos la siguiente ecuación;

𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡

La anterior ecuación representa lo que sucede con el fenómeno de enfriamiento; esta es clasificada como una ecuación diferencial ya que posee una expresión de derivada. A continuación, la ecuación se puede resolver por separación de variables ya que es una ecuación separable, de esta manera dejamos a un lado de la igualdad todas las variables T y al otro lado de la igualdad las variables t; nos queda entonces la siguiente forma. 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎 )𝑑𝑡

𝑑𝑇 = 𝑘 𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎

Una vez separados los diferenciales con sus correspondientes variables se procede a aplicar un proceso de integración en ambos lados.

∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎

𝑙𝑛|𝑇 − 𝑇𝑎 | = 𝑘𝑡 + 𝐶

Tan pronto terminemos de integrar es necesario agregar una contante de integración, en este caso se representa con la letra C.

Ahora debemos despejar;

𝑒 𝑙𝑛|𝑇−𝑇𝑎| = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶

𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑒 𝑘𝑡 ∗ 𝐶

Debemos despejar la temperatura;

𝑇 = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 Condiciones iniciales

𝑇𝑎 = 56.0°𝐹 𝑇0 = 181.5°𝐹 𝑇10 = 145.2°𝐹

A continuación, debemos sustituir la temperatura del medio ambiente en nuestra funciona y nos queda de la siguiente forma: 𝑇 = 56.0 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡

Tomamos esta ecuación como referencia para ir sustituyendo los valores de C y k conforme se vayan obteniendo. Nuestra primera condición nos dice que la temperatura vale 181.5 °F en un tiempo 0; por lo tanto, esos valores los vamos a sustituir en nuestra función quedando así: 𝑇(0) = 56.0 + 𝐶𝑒𝑘(0) = 181.5 56.0 + 𝐶 = 181.5 𝐶 = 181.5 − 56.0 𝐶 = 125.5

Ya que tenemos el valor de C lo reemplazamos en nuestra ecuación de referencia. 𝑇 = 56.0 + 125.5𝑒 𝑘𝑡 Ahora debemos buscar el valor de k. 145.2 = 56.0 + 125.5𝑒𝑘(10) 145.2 − 56.0 = 𝑒 𝑘(10) 125.5 89.2 = 𝑒 𝑘(10) 125.5 ln (

89.2 ) = ln(𝑒 10𝑘 ) 125.5

−0.341424719 = 10𝑘

−0.341424719 =𝑘 10 𝑘 = −0.0341424719 Reemplazamos el valor de k.

𝑇 = 56.0 + 125.5𝑒 −0.0341424719𝑡

¿Cuál es la temperatura del agua al pasar 35 minutos?

𝑇(𝑡) = 56.0 + 125.5𝑒 −0.0341424719𝑡 𝑇(35) = 56.0 + 125.5𝑒 −0.0341424719(35) = 93.9°𝐹

Como deseamos conocer el tiempo en que la taza de agua caliente alcanza la temperatura de 100.0°F debemos sustituir en la formula el valor de T.

𝑇(𝑡) = 100.0 56.0 + 125.5𝑒 −0.0341424719𝑡 = 100 125.5𝑒 −0.0341424719𝑡 = 100 − 56.0 𝑒 −0.0341424719𝑡 =

44 125.5

44 −0.0341424719𝑡 = ln ( ) 125.5 𝑡=

1 44 ln ( ) = 30.7 𝑚𝑖𝑛 −0.0341424719 125.5

En la siguiente tabla se muestran algunas temperaturas tomadas con termómetro.

Tiempo

Temperatura

0 𝑚𝑖𝑛

181.5 °𝐹

10 𝑚𝑖𝑛

145.2 °𝐹

20 𝑚𝑖𝑛

124.3 °𝐹

30 𝑚𝑖𝑛

109.2 °𝐹

¿tiempo en que el agua caliente alcanza la temperatura de

30.7 𝑚𝑖𝑛

100.0 °𝐹

100.0°F?

35 𝑚𝑖𝑛

93.9 °𝐹

¿Cuál es la temperatura del agua al pasar 35 minutos?

Al responder estas dos preguntas nos damos cuenta que la respuesta va de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton.

Conclusiones

Con esta actividad nos damos cuenta conforme pasa el tiempo el agua se enfría de una forma más lenta es decir que hay una razón de cambio menor a medida que pasa el tiempo. Cuando la diferencia de temperatura entre el agua caliente y la temperatura ambiente es mayor el agua se enfría más rápido que cuando la diferencia sea menor; cuando la temperatura se parece más a la del ambiente el agua se va enfriando más lento.