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Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Introducción Conceptos básicos, probabilidades.

medidas

de

tendencia

central

y

de

dispersión,

Hablar del mundo de la administración de los negocios, de la gerencia de las empresas de producción de bienes y servicios, o de comercialización de productos, es conversar de actividades que generan una gran cantidad de datos estadísticos, tanto cualitativos como cuantitativos, los cuales deben ser cuidadosamente coleccionados y ordenados para ser tratados estadísticamente, a fin de generar información valiosa y oportuna para la toma de decisiones. Cualquier emprendimiento debe sustentarse en un estudio estadístico que permita evaluar el riesgo. La descripción de datos comprende el estudio de: las medidas de ubicación o de tendencia central y las medidas de dispersión, lo que conduce a la comprensión de la forma como están distribuidos los datos provenientes de una investigación, sean estos, datos sin agrupar (datos a granel) o agrupados en una distribución de frecuencias. Las medidas de tendencia central que se estudiarán son: media, mediana y moda; y las medidas de dispersión: rango, desviación media y desviación estándar. Las medidas de ubicación o de tendencia central señalan el centro de la distribución de los datos, mientras que las medidas de dispersión indican cuan concentrados o dispersos se encuentran los datos con respecto a un valor central. Por ejemplo la desviación estándar nos da la medida de la dispersión respecto de la media aritmética, comúnmente conocida como media. La descripción de datos también comprende su presentación gráfica y su análisis. Una de las técnicas estadísticas para representar un conjunto de datos es el diagrama de tallo y hojas. La descripción de los datos se complementa con el cálculo de los cuartiles, deciles y percentiles; la elaboración de los diagramas de caja y determinación del sesgo o asimetría de la distribución de los datos. El estudio de la probabilidad permite a la estadística realizar análisis predictivos de eventos o situaciones que pueden darse en el futuro, y que podrían afectar no solo el desenvolvimiento de las empresas, sino su supervivencia misma.

Asesoría didáctica En la guía de este parcial debe realizar cuatro actividades de aprendizaje. Para resolver las Actividades de Aprendizaje, inicie su estudio leyendo el capítulo I, Introducción, pág. 1-6. Del texto guía Estadística para Administración y Economía de Levin, Richard I. y Rubin, David S. Esto le permitirá conocer cuáles son los objetivos del curso, algo sobre la historia de la estadística, su división y las características del texto guía, para que sepa cómo usarlo. Es recomendable que destine un cuaderno de trabajo, en el cual usted irá desarrollando y resolviendo los ejercicios de su guía y también los problemas de autoevaluación.

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Del capítulo 2, estudie 2.1. ¿Cómo podemos ordenar datos? pp. 8-10. Este tema permite tener una idea clara sobre las precauciones que debe tener presente en la recolección de datos para un estudio estadístico. Lea con atención los ejercicios que se exponen en 2.2. Ejemplos de datos sin procesar, a continuación, en su cuaderno de trabajo realice las aplicaciones del ejercicio 2.2. p. 12., de su texto guía. Estudie 2.3. Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de frecuencias, pp. 12-16, inmediatamente en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de autoevaluación de ejercicios 2.3. p. 16, cuyas soluciones las puede ver en la p. 19. Luego de comprender toda la temática expuesta, podrá resolver los ejercicios de la Actividad de Aprendizaje 1. Para desarrollar la actividad de aprendizaje 1.1. Clasificación de la estadística, tipos de variables y niveles de medición. En este cuadro se presenta un breve resumen sobre la clasificación de la estadística, los tipos de variables y sus niveles de medición. Tipos de estadística Estadística descriptiva. Estadística inferencial. Tipos de variables Cualitativas. Cuantitativas. Discretas. Continuas. Niveles o escalas de medición. De las variables cualitativas. Nominal. Ordinal. De las variables cuantitativas. De intervalo. De razón. Para complementar el estudio de estos temas, lea la siguiente página Web: http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/insIntrod2.htm Representaciones gráficas de datos cualitativos. Los datos cualitativos se organizan en tablas de frecuencias. Este tema no se encuentra en el texto guía, pero es importante que lo sepa, por lo que tendrá que buscar información en otros textos o en Internet. Gráfica o diagrama de barras. Conjunto de barras separadas que se usa para representar datos sobre todo cualitativos, que se han resumido en una tabla de

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frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. En el eje horizontal se representan las categorías y en el eje vertical las frecuencias. Gráfica o diagrama de pastel o de tarta. Gráfica circular que se usa para mostrar datos cualitativos de nivel nominal, donde a cada categoría le corresponde un sector circular de área proporcional a su frecuencia o porcentaje. La suma de los sectores debe dar 100%. Estas gráficas se hacen fácilmente usando el Excel. Para ampliar sus conocimientos sobre este tema, lea la siguiente página Web: http://www.fisterra.com/mbe/investiga/graficos/graficos.asp Para resolver la actividad de aprendizaje 1.2. Estudie 2.4. Construcción de una distribución de frecuencias, pp. 20-22 de su texto guía; lea sugerencias y suposiciones en el encabezado de la p. 25 y luego realice la autoevaluación ejercicios 2-4, p. 25, cuyas soluciones se encuentran en la pág. 29. En el texto se dice que en las aplicaciones de la vida real, donde se manejan grandes volúmenes de datos, para construir las distribuciones de frecuencias se usan paquetes computacionales. Usted también lo puede hacer; sin embargo conviene que los ejercicios de la guía lo haga a mano, toda vez que de esta forma se estará preparando para las pruebas. Estudie 2.5. Representación gráfica de distribuciones de frecuencias, pp. 29-34, aquí se explica lo que es y cómo se construye un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva o polígono de frecuencias acumuladas. Ver figuras 2-7, 2-8, 2-9, 2-11 y 2-12, pp. 30, 31 y 33. En la p. 34, se muestra la figura 2-13, en la que se explica la forma como se lee información en la ojiva “o menos”. En su cuaderno de trabajo, realice los ejercicios de de autoevaluación de ejercicios 2.5, p.38, cuyas soluciones se encuentran en la p. 41. En la p. 42, lea el artículo: estadística en el trabajo En la p. 45, lea el tema: repaso del capítulo, donde se hallan las definiciones de los términos introducidos en el capítulo 2. Como elaborar una distribución de frecuencias: El texto guía no profundiza mayormente en este tema, por esta razón aquí se detallan los pasos para construir una distribución de frecuencias. Para el efecto, supongamos que se tiene una muestra de 34 calificaciones de la asignatura de Estadística Descriptiva, en la que la calificación más baja fuese 8 y la más alta 38 sobre 40 puntos. Siga los siguientes pasos: 1. Determinar el número K de clases. Algunos autores recomiendan el uso de fórmulas que dependen del tamaño de la muestra (número n de datos). Una de estas fórmulas establece que: 2 k es el número de clases. En el ejemplo n = 34 observaciones: 2 se tiene k = 6 es la cantidad óptima de clases.

6

k

n , donde

34 , entonces

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2. Determinar el ancho del intervalo o amplitud de clase (i). Para ello se puede usar la fórmula:

i Donde

H

L K

H es el dato mayor, L el dato más pequeño. (H – L)

En este caso: L = 8, H = 38 y k = 6, entonces:

i

38 8 6

es el rango.

5.0 .

Si sale un valor exacto ó un entero con decimales, se debe escoger un número mayor. 3. Calcular los límites de cada clase. En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, en los que el límite superior del intervalo no forma parte de él, sino que se incluye en el intervalo de la clase que le sigue. En el ejemplo se han elegido los siguientes límites para las clases: [7, 12), [12, 17), [17, 22), [22, 27), [27, 32), [32, 40), con lo que la distribución queda más o menos centrada. ( 7 es 1 unidades menor que el dato más pequeño y 40 es 2 unidades mayor que el dato más grande) 4. Determinar las frecuencias. Se contabiliza el número de elementos de cada clase. Para evitar errores de conteo, se debe ordenar los datos de menor a mayor en un arreglo, esto puede hacer usando Excel, ó si lo hace manualmente, use la técnica de tallo y hojas. Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.3. Que se refiere al tema: Medidas de tendencia central. Estudie 3.1. Estadística sumaria, pp. 58-60 de su texto guía. Estadística para Administración Y Economía de Levin, Richard I. y Rubin, David S. El tema inicia dando una idea de lo que es tendencia central, dispersión, sesgo y curtosis. Estudie 3.2. Una medida de tendencia central: La media aritmética, pp. 6065, aquí aprenderá a diferenciar entre estadísticos y parámetros, a calcular la media aritmética de una población y la media aritmética de una muestra de datos no agrupados. También aprenderá a calcular la media aritmética de datos agrupados en una distribución de frecuencias. Tenga presente que en este caso intervienen las frecuencias y los puntos medios o marcas de clase. Además conocerá cuales son las ventajas y desventajas de la media aritmética. Realice los ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.2, cuyas solucionas las encuentra en la pág. 69. Estudie 3.3. Una segunda medida de tendencia central: La media ponderada, pp. 69-71; analice los ejemplos y la explicación, resuelva los

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ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.3, p. 72, cuyas soluciones se hallan en las páginas 73-74. Estudie 3.5. Una cuarta medida de tendencia central: La mediana, pp. 77-81, aquí aprenderá a calcular la mediana de datos no agrupados y de datos agrupados. Para calcular la mediana de datos agrupados use la fórmula [3-8] ver p. 80. Realice los ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.5, p. 81. Cuyas soluciones las encuentra en la p. 83. Estudie 3.6. Una medida final de tendencia central: La moda, pp. 84-86; aquí aprenderá a calcular la moda de datos no agrupados y agrupados. Lea también las ventajas y desventajas de la moda y la comparación de la media, mediana y moda. Advertencia, en la figura 3-8 (b), p. 86 hay que corregir, intercambie los nombres de la media y la moda. Luego resuelva ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.6, p. 87, sus soluciones se hallan en la p. 89. Referencia rápida de contenidos y fórmulas para el desarrollo de la actividad de aprendizaje. Medidas de tendencia central de datos no agrupados Media

x

Media poblacional

N x

Media muestral

Media ponderada

xw

x n

wx w

los w son los pesos

Mediana Para encontrar la mediana de datos no agrupados, primero hay que ordenar los datos: Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central. Si el número de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos datos Centrales. Moda Es el valor más frecuente de los datos. Puede haber más de una moda. Medidas de tendencia central de datos agrupados Media aritmética

x

f X n

Fórmula en la que: X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia

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Mediana

Mediana

n 2

Lm

Fa fm

(w )

Donde:

Lm = límite inferior de la clase de la mediana Fa = frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase de la mediana. f m = frecuencia de la clase que contiene a la mediana Moda Se la puede aproximar por el punto medio de la clase modal. Un valor más preciso se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Moda Lmo

d1 d1

d2

w

Donde:

Lmo = límite inferior de la clase modal d1 = (frecuencia de la clase modal) – (frecuencia de la clase que le antecede)

d 2 = (frecuencia de la clase modal) - (frecuencia de la clase que le sigue) w = es el ancho del intervalo de clase. Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.4. Que se refiere a las medidas de dispersión: Estudie 3.7. Dispersión. Por qué es importante. pp. 89-90; aquí comprenderá la importancia de determinar la dispersión o variabilidad de los datos, su uso en el análisis financiero y en control de calidad. Estudie 3.8. Rangos. Medidas de dispersión útiles. pp. 91-93, aquí aprenderá a calcular las tres medidas, llamadas medidas de distancia, estas son: rango, rango interfractil y rango intercuartil. Realice los ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.8, p. 94 sus soluciones se hallan en la p. 95. Estudie 3.9. Dispersión. Medidas de dispersión promedio. pp. 96-103, aquí aprenderá a calcular la varianza y la desviación estándar de una población y de una muestra, para datos no agrupados y para datos agrupados. Se dará cuenta que en uno y otro caso, las fórmulas que se usan son diferentes. Revise con atención los dos ejemplos desarrollados en las pp. 101 y 102 y resuelva los dos ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.9, pp. 103-104. Estudie 3.10. Dispersión relativa: El coeficiente de variación. pp. 107-108, aquí aprenderá a comparar la dispersión de las distribuciones de datos usando el coeficiente de variación. Realice los ejercicios de autoevaluación de ejercicios 3.10. p. 108, sus soluciones se encuentran en la p. 112.

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Estudie 3.11. Análisis exploratorio de datos (AED), pp. 112-113, aquí se explica una técnica útil en el análisis exploratorio de datos, que consiste en la elaboración del diagrama de tallo y hoja, lea cuáles son sus ventajas y revise con atención el ejemplo que se expone en la p. 113. Como preparación para la primera evaluación, lea repaso del capítulo, pp. 119:

118-

Aquí se dan las fórmulas para calcular las medidas de dispersión Medidas de dispersión o variabilidad para datos no agrupados: Rango = valor más grande – valor más pequeño

(Rango = H – L )

Varianza Varianza poblacional:

2

Varianza muestral:

2

2

x N

s

x

x

n 1

2

s

o

x2

2

n x

2

n 1

La segunda fórmula de la varianza muestral es una fórmula directa, esta exige un menor número de operaciones de cálculo, por lo que recomiendo su uso. Desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza. 2

x

Desviación estándar poblacional

x2

N

s

Desviación estándar muestral

x

2

N

x

2

x2

n 1

n x

2

n 1

En general se trabaja con la desviación estándar de la muestra, a no ser que se indique lo contrario. Medidas de dispersión o variabilidad para datos agrupados: Amplitud de variación o rango AV = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la clase más baja. Desviación estándar

s

f X

x

2

n 1

f X2

n x

2

n 1

Donde:

X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia.

x = media aritmética. Observación Las fórmulas de las medidas de dispersión de datos agrupados son diferentes de las que se emplean con datos sin agrupar.

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Dispersión relativa Coeficiente de variación De la población:

Cv

( 100)

De la muestra:

Cv

s x

( 100)

Coeficiente de asimetría o sesgo, denominado coeficiente de Pearson.

3( Media Mediana) s

CA

Cuartiles, deciles y centiles: Para calcular la posición de un cuartil, decil o percentil se usa la fórmula.

Lc

n 1

C 100

Una vez calculada la posición del percentil, proceda a calcular el percentil conforme se explica en los ejemplos 1 y 2. (No confunda la posición del centil o percentil con su valor) Ejemplo 1 Para la posición del primer cuartil Q1 use C = 25, para el tercer cuartil Q3 use C= 75 (Q1 = C25; Q3 = C75 ), en algunos textos en vez de C se usa P, así P25 Para calcular la posición de un decil, por ejemplo D 3 use C = 30; para el decil 7 D7 use C = 70 Si Lc es entero el centil es el dato de la posición Lc Si Lc no es entero, por ejemplo si L25 = 7.62, el centil o percentil 25 se encontrará a 0.62 de la distancia entre el séptimo y el octavo dato, Su valor se calcula del siguiente modo: C25 = Q1 = Dato7 + 0.62(Dato8 – Dato7) En el cálculo de los cuartiles, recuerde por ejemplo que el primer cuartil Q1 es aquel valor que es mayor o igual que el 25% de los datos y menor o igual que el 75% de ellos. Ejemplo 2 Calcular el primer y tercer cuartiles de los siguientes datos: 8.4

8.8

9.2

10

11.3

Solución: En este caso: n = 10, para Q1

L25

25 (10 1) 100

2.75

12.5

13.6

C = 25 y para Q3

14

15

C = 75

Es la posición de Q1, mientras que su valor es:

Q1 = Dato 2 + 0.75 (Dato 3 – Dato 2)

Q1

12.9

8.8 0.75(9.2 8.8) 8.8 0.3 9.2

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De igual manera:

L75

(10 1)

75 100

8.25

Es la posición de Q3, mientras que su valor es:

Q3 = Dato 8 + 0.25 (Dato 9 – Dato 8)

Q3

13.6 0.25(14 13.6) 13.6 0.1 13.7

La mediana es Q 2 se calcula del mismo que los otros cuartiles. Diagrama de caja El diagrama de caja permite visualizar la simetría o la asimetría de una distribución de datos. Para construir un diagrama de caja se requieren 5 valores: La media, la mediana, el dato menor o mínimo, el dato mayor o máximo y el primero y tercer cuartiles. Rango intercuartílico Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil:

Rango Intercuartílico Q3

Q1

Ejemplo 3. Suponga que en el servicio de entrega a domicilio de cierta pizza, el tiempo mínimo de entrega es de 15 minutos, que el tiempo máximo es de 40 minutos, que la mediana es 25 minutos y que los cuartiles son: Q1 20 Q3 32.5 minutos. a) Calcular el rango intercuartílico. b) Trazar el diagrama de caja y en base a este indique si la distribución de los datos es o no simétrica. Solución: a) Rango intercuartílico = 32.5 – 20 = 12.5 b) El diagrama de caja es el que se muestra a continuación.

Las líneas que van desde el mínimo a Q1 bigotes.

y desde Q3 al máximo se denominan

El diagrama muestra que: 1. El bigote izquierdo es más corto que el derecho. 2. Que Q1 está más cerca de la mediana que Q3

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Comentario Se observa que: la cola ó el bigote de la derecha es más largo que el de la Q izquierda, y también la distancia entre la mediana y 3 es mayor que la distancia entre Q1 y la mediana, lo que indica que la distribución de los datos es asimétrica, con sesgo positivo. Para resolver la actividad de aprendizaje 1.5 Estudie el capítulo 4 del texto guía Estadística para Administración y Economía de Levin, Richard I. y Rubin, David S.: Probabilidad I: Ideas Introductorias. Lea 4.1 Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad, p. 128., esto le permitirá conocer la historia del estudio de las probabilidades y sus aplicaciones. Estudie 4.2 Terminología básica en probabilidad, pp. 129-130, aquí encontrará lo que es un evento, un experimento, un espacio muestral, cuando se habla de eventos mutuamente independientes, qué es una lista colectivamente exhaustiva. Del ejercicio 4.2, p. 130. Y en su cuaderno de trabajo realice los dos ejercicios de autoevaluación, cuya solución la encuentra en la p. 131 y responda a las preguntas sobre conceptos básicos 4-5 y 4-6. Estudie 4.3 Tres tipos de probabilidad, pp. 131-134, clásica o a priori, basada en frecuencias y subjetiva; lea también las sugerencias y suposiciones de la p. 134. Del ejercicio 4.3, p. 134, realice los ejercicios de autoevaluación 4-3 y 4-4, cuyas soluciones se hallan en las pp. 136-137. Estudie 4.4 Reglas de probabilidad, pp. 137-141, aquí encontrará definiciones y reglas para calcular la probabilidad marginal, la regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes, la regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes y el uso de diagramas de Venn, que permiten relacionar las probabilidades con la teoría de conjuntos. Del ejercicios 4.4, p. 141, en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de autoevaluación 4-5 y 4-6 cuyas soluciones las encontrará en la p. 143. Estudie 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística, pp. 143-148. Aquí aprenderá que existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística: marginal, conjunta y condicional, fórmulas que se usan para su cálculo y ejemplos. De ejercicios 4.5, pp. 148-149, realice los ejercicios de autoevaluación 4-7 y 4-8, cuyas soluciones se hallan en la p. 150. Para la aplicación de la parte conceptual, realice los ejercicios de conceptos básicos 4-24, 4-25, 4-26 y 4-27. Estudie 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística, pp. 151-155. Aquí aprenderá que, las probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística son: Condicional, conjunta y marginal; y las fórmulas que se usan para su cálculo.

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De ejercicios 4.6, p. 156, realice los ejercicios de autoevaluación 4-9, 4-10; sus soluciones se hallan en las pp. 157-158. Realice también los ejercicios de conceptos básicos 4-33, 4-34 y 4-35. Estudie 4.7 Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: teorema de Bayes, pp. 158-162. Aquí aprenderá que es una probabilidad revisada o a posteriori y la forma como se calcula. De Ejercicios 4.7, p. 163, realice los ejercicios de autoevaluación 4-11 y 4-12; y también el 4-43 de conceptos básicos. En las pp. 168-169 lea el repaso del capítulo 4 y las ecuaciones (fórmulas) introducidas en este capítulo. Para resolver actividad de aprendizaje 1.5, lea con atención la siguiente ayuda. Aquí se dan definiciones, fórmulas y ejemplos que le servirán como una referencia rápida para el estudio y desarrollo de su tarea. Enfoques de probabilidad Probabilidad objetiva Probabilidad Clásica:

Probabilidad empírica:

P( E )

P( E )

numerodecasos favorables número de casos posibles númerode veces que ocurrioun eventoen el pasado númerototal de observaciones

Donde: E significa evento o suceso, y P(E ) se lee probabilidad de que ocurra el evento E. Probabilidad subjetiva: Se asigna en base a la experiencia y buen criterio Ejemplo de probabilidad clásica: Si se lanza al aire una moneda equilibrada, cuál será la probabilidad de que se obtenga una cruz o cara: a) Cruz es: b) Cara es:

P(cruz) = 1/2 P(cara) = 1/2

porque 1 de las 2 alternativas. porque 1 de las 2 alternativas.

Ejemplo de probabilidad empírica: Suponga que en un experimento se realizan 1000 ensayos y se produjo un evento E en 200 ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de que en un ensayo cualquiera se produzca el evento E? R:

P(E) =200/1000 = 1/5 = 0.20

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, es decir es el conjunto universo de ese experimento; a este conjunto se suele representarse mediante la letra S o con el símbolo Ω. Ejemplos:

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1. El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: S=

s, c donde s=sello y

c = cara 2. El espacio muestral en el lanzamiento de un dado es:

1,2,3,4,5,6

S=

3. El espacio muestral en el lanzamiento de dos monedas es S = (s, c), (s, s), (c, s), (c, c) 4. Si en una urna hay 5 bolas rojas, 3 blancas y 4 azules y se saca al azar dos bolas, el espacio muestral es el siguiente: S = (r, r ), (r, b), (r, a), (b, r ), (b, b), (b, a), (a, r ), (a, b), (a, a) Relación entre la probabilidad y la teoría de conjuntos El estudio de las reglas de probabilidad está estrechamente relacionado con la teoría de conjuntos, para ello se asimila un evento con un conjunto. En conjuntos U = Conjunto universo A = Subconjunto de U = Conjunto vacío

A = Complemento de A A U A U A

En probabilidades S ó Ω = Espacio muestral. E = Evento = Evento nulo

E = Evento contrario de E

A

Axiomas de Kolmogorov 1. P(E) ≥ 0 La probabilidad de un evento es un número comprendido entre 0 y 1 2. P(S) = 1 La probabilidad del espacio muestral es 1 3. P(E1 ó E2 ó …ó En) = P(E1) + P(E2)+… +P(En) donde E1, E2,,… son eventos mutuamente excluyentes. Propiedades de las probabilidades 1. P ( ) 0 2. 0 ≤ P(E) ≤ 1 3. 4. 5.

P( A) 1 P( A) P( A) P( A) P( A Si A B P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) )

Diagramas de Venn Conjunto Universo Conjunto A Complemento de A es la parte del universo que no es A Conjuntos A y B disjuntos

Conjuntos A y B secantes o Solapados

A)

P(S ) 1

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Primero

Reglas de probabilidad Regla especial de adición Se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos Para un par de eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) Para tres eventos A, B, C : P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) En el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules, calcular la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea: a) Roja o Blanca: P(roja o blanca) = P(roja) +P(blanca) = 3/10 + 2/10 = ½ b) Blanca o azul: P(blanca o azul) =P(blanca) + P(azul) = 2/10 + 5/10 = 7/10 Regla general de la adición Se aplica para calcular la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento que no sean mutuamente excluyentes. (la fórmula es válida también para eventos mutuamente excluyentes dado que P(A y B) = 0 ) Para los eventos A, B:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Ejemplo: Un estudiante está tomando Algebra y Castellano, si la probabilidad de que apruebe algebra es 0.75, la de que apruebe Castellano es 0.9 y la probabilidad de que apruebe Algebra y Castellano es 0.70. Se pregunta cual es la probabilidad de que apruebe Algebra o Castellano. P(A o C) = P(A) + P(C) – P(A y C) = 0.75 + 0.90 - 0.70 = 0.95 Para resolver estos problemas debe realizar un diagrama de Venn como el de la figura.

Regla especial de la multiplicación Se aplica para calcular independientes.

la

probabilidad

Para dos eventos A y B: Para tres eventos A, B y C:

conjunta

de

ocurrencia

de

eventos

P(A y B) = P(A) P(B) P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)

Ejemplo: Se lanza un dado por dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en los dos lanzamientos caiga en 3? P(3, 3) = P(3) P(3) = (1/6) (1/6) = 1/36 Obsérvese que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del primero. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento B, dado que ya ocurrió un evento A. o también la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ya ocurrió el evento B. Esto se escribe:

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P( B / A) Si se cumple que

P( A y B) P( A)

P( A / B)

P( A y B) P( B)

P( A / B) P( A) los eventos o sucesos A y B son estadísticamente

independientes Regla general de la multiplicación Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes, es decir, cuando la ocurrencia de uno de ellos está condicionada a la ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A) P(B/A)

o también

P(A y B) = P(B) P(A/B)

Estas fórmulas y las de la probabilidad condicional están relacionadas, ya que las unas se obtienen de las otras mediante despejes. Tomemos el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules y supongamos que se desea calcular la probabilidad de que al sacar una bola y luego otra, la primera sea roja y la segunda blanca: P(R y B) = P ( R ) P( B / R )

3 10

2 9

6 90

1 15

Obsérvese que la probabilidad de que la primera vez salga roja es 3 /10, pero al haber sacado una roja ahora nos quedan en total 9 bolas, de las cuales 2 son blancas. Calculemos ahora la probabilidad de sacar una bola roja y una azul: Como no se indica el orden tendremos que: P(R y A) = P(R, A) + P(A, R) =

3 10

5 9

5 10

3 9

1 3

Tabla de contingencia o matriz de probabilidad Los problemas de probabilidades se resuelven fácilmente usando una tabla de contingencia o matriz de probabilidad, en ella se pueden leer las probabilidades a priori y las probabilidades conjuntas o de intersección. Además permite calcular fácilmente las probabilidades de la unión de eventos y las condicionales, tal como se ilustra a continuación. Ejemplo: El personal que labora en una empresa está formado por hombres y mujeres que trabajan en las siguientes secciones: Gerencia, Profesional y Técnica, cuyos datos se resumen en la siguiente tabla: Sección Gerencia Profesional Técnica

Género Hombre 8 24 50

Mujer 3 16 35

Complete esta tabla de contingencia y luego suponiendo que se elige al azar un empleado calcule las siguientes probabilidades. a) b) c) d) e)

La probabilidad de que sea mujer. La probabilidad de que sea hombre y trabaje en la sección técnica La probabilidad de de que trabaje en Gerencia o en la sección profesional La probabilidad de que trabaje en gerencia, dado que sea mujer. La probabilidad de que sea hombre dado que trabaje en la Sección técnica.

Solución: A la tabla de los datos le añadimos una fila y una columna para los totales parciales de las filas y de las columnas. En la celda del extremo inferior derecho se coloca el total horizontal y vertical. Sección Gerencia Profesional

Género Hombre 8 24

Total Mujer 3 16

11 40

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

a) b) c) d)

Técnica

50

35

85

Total

82

54

136

P(Mujer) = 54/136 P(Hombre y Técnica) = 50/136 P (Gerencia o Profesional) = P(Gerencia) + P(Profesional) = 11/136 + 40/136 = 51/136 P(Gerencia/ Mujer) = 3/54 En la columna de MUJER vemos que 3 de las 54 trabajan en gerencia. También se puede aplicar la fórmula de la probabilidad condicional.

P(Gerencia y Mujer) P( Mujer)

P(Gerencia/ Mujer) e)

3 / 136 54 / 136

3 54

P(Hombre/ Técnica) = 50/85 En la fila TECNICA se ve que 50 de los 85 técnicos son hombres. Aplicando la fórmula:

P( Hombre y Tecnica) P(Tecnica)

P( Hombre/ Tecnica)

50 / 136 85 / 136

50 85

10 17

Explicación del teorema de Bayes En la siguiente gráfica sea S el espacio muestral y sean los eventos

A1 , A2 , A3 , A4

mutuamente excluyentes

y colectivamente exhaustivos, de modo que:

S

A1

A2

A3

A4

Y sea el evento B tal que:

B

( A1

B)

( A2

B)

( A3

B)

( A4

B)

Entonces la probabilidad de que ocurra B viene dada por:

P( B)

P( A1 y B) P( A2 y B ) P( A3 y B ) P( A4 y B) ;

P( B)

P( A1 ) P( B / A1 ) P( A2 ) P( B / A2 ) P( A3 ) P( B / A3 ) P( A4 ) P( B / A4 )

luego:

Esta es la probabilidad total de que ocurra B. De la probabilidad condicional sabemos que:

P( B / A)

P( A y B) P( A)

P( A / B)

P( A y B) P( B)

De aquí se tiene que:

P( AyB)

P( A / B) P( B)

P( B / A) P( A)

Es decir:

P ( A / B) P ( B )

P( B / A) P( A)

Si ahora suponemos que P(A1) es una probabilidad a priori, P(B/A1) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado que ocurrió A1; y pensemos que se quiere calcular la probabilidad a posteriori de que ocurra A1 dado que ocurrió B, simplemente despejemos P(A1/B); según la fórmula anterior.

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

P( A1 ) P( B / A1 ) P( B)

P( A1 / B)

Donde P(B) es la probabilidad total de B, sustituyendo P(B) en el denominador se obtiene la fórmula del Teorema de Bayes.

P( A1 / B)

P( A1 ) P( B / A1 ) P( A1 ) P( B / A1 ) P( A2 ) P( B / A2 ) P( A3 ) P( B / A3 ) P( A4 ) P( B / A4 )

Reglas de conteo 1.- Fórmula de la multiplicación Si hay m formas de realizar una cosa y n formas de hacer otra, habrán mxn formas de realizar ambas en conjunto. Esta regla se extiende a 3, 4 ó más acciones. Ejemplo: Un joven tiene 3 pares de zapatos, 4 pantalones y 5 camisas. ¿De cuantas maneras puede vestirse? N = 3x4x5 = 60 (puede vestirse de 60 formas) Ejemplo: ¿De cuantas maneras puede usted colocar 4 libros en un estante? El libro que va a colocar en primer lugar puede elegir de 4 maneras, le quedan 3 libros, entonces el que va a colocar en la segunda posición puede elegirse de 3 maneras; le quedan 2 para la tercera posición; y una vez colocado el tercero le queda 1 para la cuarta posición; es decir: No de formas = 4x3x2x1 = 24 = 4! 2.-

Permutaciones:

n! ( n r )!

n Pr

Nos da el número de arreglos de r objetos

tomados de un grupo de n objetos. Un arreglo se diferenciará de otro por el orden de sus elementos, por ejemplo ab y ba son diferentes. Ejemplo: Cuantos números de 2 cifras se pueden escribir usando los dígitos 1, 2 y 3 bajo la condición de que no haya dígitos repetidos. 3

P2

3! (3 2) !

6

Los números de dos cifras construidos con los dígitos 1, 2 y 3 son efectivamente 6, tal como usted puede ver: 12

3.- Combinaciones:

13

21

n

nCr

23

31

32

n! r !( n r ) !

r

Las combinaciones son arreglos de r objetos tomados de un grupo de n objetos, donde no importa el orden de ellos. Ejemplo: Con los dígitos 1, 2 y 3, cuantas sumas diferentes se puede tener, tomando dos a dos, bajo la condición de que no haya dígitos repetidos. Observe que en este caso no importa el orden porque por ejemplo las sumas 1+2 y 2+1 son las mismas, entonces el número de sumas distintas son:

3

C2

3 2

3! 2 ! 1!

3

Ejemplo: Cuantas combinaciones de dos letras se pueden formar con las letras A, B, C y D?

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero 4

Estas combinaciones son: AB

C2

4! 2! 2!

AC

AD

4 x3 x 2 ! 2 x1x 2! BC

Obsérvese que como combinación AB permutación.

6

BD y CD. y BA es la misma, pero no como

Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 1.1. Problema 1 La siguiente distribución de frecuencias representa el número de días en que los empleados de la Compañía Industrial E.J. Wilcox estuvieron ausentes a causa de enfermedad, durante un año.

Numero de días ausentes 0 hasta 3 3 hasta 6 6 hasta 9 9 hasta 12 12 hasta 15

Número de empleados 5 12 23 8 2

TOTAL

Planteamientos

50

a. Suponiendo que lo anterior es una muestra. ¿Cuál es su tamaño? (0.25 puntos) b. ¿Cuál es el punto medio de la primera clase?(0.25 puntos) c. Elabore el histograma (0.5 puntos) d. Debe obtenerse un polígono de frecuencias. ¿Cuáles son las coordenadas en la gráfica para la primera clase? (0.5 puntos) e. Elabore un polígono de frecuencias (0.5 puntos) f. Interprete la tasa de ausentismo de los empleados utilizando ambas gráficas. (0.5 puntos) Problema 2 El Departamento de Agricultura de Nebraska tiene los siguientes datos que representan el crecimiento mensual( en pulgadas) de muestras de maíz recién plantado:

0.4 0.9

1.9 0.7

1.5 0.9

0.9 0.7

0.3 0.9

1.6 1.5

0.4 0.5

1.5 1.5

1.2 1.7

0.8 1.8

a. Organice los datos en un arreglo descendente. (0.25 puntos) b. Construya una distribución de frecuencias relativas utilizando intervalo de 0.25 (0.25 puntos)

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

c. A partir de lo que ha hecho hasta este punto. ¿qué conclusiones puede sacar acerca del crecimiento en la muestra? (0.5 puntos) d. Construya una ojiva que le ayude a determinar que fracción del maíz creció a una tasa mayor que una pulgada por semana. (0.5 puntos) e. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento semanal aproximada del elemento medio del ordenamiento de datos? (0.5 puntos)

Objetivos

Orientaciones didácticas

Construir representaciones gráficas de datos cualitativos. Ordenar datos cuantitativos en listas o arreglos ordenados en forma ascendente o descendente, medidas de dispersión.

Para resolver el problema 1, lea las páginas que se encuentran al final de la guía correspondiente al libro Estadística para Administración y Economía de Lind, Marchall y Mason, capítulo 2. Para resolver el problema 2, debe haber leído los temas 2.2 y 2.3 del texto guía.

Criterios de evaluación

Usa escalas y leyendas en los ejes y traza correctamente el diagrama de barras. Usa leyendas en el diagrama de pastel. Lee e interpreta los resultados.

Actividad de aprendizaje 1.2. Problema 1 Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artículo de fin de semestre, 10%, y los exámenes parciales, 10%. A partir de los datos siguientes, calcule el promedio final para los cinco estudiantes del seminario.

Planteamientos

Estudiantes 1 2 3 4 5

Tareas 85 78 94 82 95

Parciales 89 84 88 79 90

Artículo 94 88 93 88 92

Ex. semestral 87 91 86 84 82

Ex. Final 90 92 89 93 88

(0.5 puntos). Problema 2 Considere la siguiente información acerca de la cantidad de empleos no agrícolas (en miles de trabajadores) durante marzo de 1992 en Estados

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Unidos, incluyendo Puerto Rico y las Islas Vírgenes:

Alabama Alaska Arizona

1639 235,5 1510

Arkansas California Colorado Connecticut

951,1 12324,3 1552,7 1510,6

Delaware Distrtito de Columbia Florida Georgia Hawaii Idaho Illinois

335,2 667 5322,8 2927,1 546,3 400,4 5146,2

Indiana

2496,3

Iowa Kansa Kentucky Lousiana Maine Maryland Massachusetts

1229,2 1108,3 1474,8 1617,5 500 2037,3 2751,6

Michigan Minnesota Mississippi Missouri

3828,9 2117,1 940,9 2275,9

Montana Nebraska Nevada New Hampshire New Jersey New Mexico New York North Carolina North Dakota Ohio Oklahoma Oregon Penrisylvania Rhode Island South Carolina South Dakota Tennessee Texas Utah Vermont Virginia Washington West Virginia Wisconsin Wyoming Puerto Rico Islas Virgenes

299,3 730,6 638,4 466,5 3390,7 583,3 7666,4 3068,3 271 4709,9 1196,9 1245,6 4992,1 413,2 1494,6 295,6 2178,6 7209,7 752,2 244,8 2792,4 2165,8 622,1 2272,1 198 842,4 42,4

Fuente: Sharon R. Cohany, “Employment Data”, en Monthly Labor Review 115(6), junio de 1992: 80-82. a) Organice los datos en diez clases mutuamente excluyentes de igual ancho. (0.5 puntos). b) Determine las frecuencias absolutas y relativas que caen dentro de cada clase. (0.5 puntos). c) ¿Son estos datos discretos o continuos? (0.5 puntos). d) Construya una distribución y una ojiva de frecuencias acumuladas “menor que” para la distribución de frecuencias relativas del inciso b). (0.5 puntos). e) Con base en la ojiva del inciso d, ¿qué fracción de los estados tiene un nivel de empleo no agrícola mayor a los tres millones? (0.5 puntos).

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Objetivos

Construir distribuciones de frecuencias centradas y representar las distribuciones de datos mediante gráficas.

Orientaciones didácticas

El problema 1, es una aplicación de la media ponderada. Para resolver el problema 2 debe haber estudiado los temas 2.4 y 2.5 del texto guía. Puede ampliar sus conocimientos buscando información en el Internet, para el efecto puede digitar: Estadística descriptiva o también Agrupación de datos en intervalos. Importante: En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, vea el ejemplo de la Ayuda 1.2

Criterios de evaluación

Construye distribuciones de frecuencias en forma correcta. Calcula frecuencias relativas. Traza histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas usando escalas adecuadas. Lee resultados en la Ojiva “O menos” u “O más”.

Actividad de aprendizaje 1.3. Problema 1 Los siguientes datos representan las edades de los pacientes admitidos en un pequeño hospital el día 28 de febrero de 1996: 85 75 66 88 80 56 89 83 65 87 83 52 Datos no agrupados

Planteamientos

43 56 53 44

40 67 75 48

a) Construya una distribución de frecuencias con clases 40-49, 50-59, etcétera. .(0.5 puntos) b) Calcule la media de la muestra a partir de la distribución de frecuencias. .(0.5 puntos) c) Calcule la media de la muestra a partir de los datos sin procesar. .(0.5 puntos) d) Compare los incisos b) y c) y comente su respuesta. .(0.5 puntos) Problema 2 Para la siguiente distribución de frecuencias, determine: a) b) c) d)

La clase de la mediana.(0.5 puntos) El número de elemento que representa la mediana. (0.5 puntos) El ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana.(0.5 puntos) El valor estimado de la mediana para estos datos .(0.5 puntos)

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Clase 100-149.5 150-199.5 200-249.5 250-299.5

Frecuencia 12 14 27 58

Clase 300-349.5 350-399.5 400-449.5 450-499.5

Frecuencia 72 63 36 18

Objetivos

Calcular medidas de tendencia central de datos sin agrupar y de datos agrupados. Establecer la diferencia entre las fórmulas y procedimientos de cálculo que se emplean con en uno y otro caso.

Orientaciones didácticas

El problemas 1 se refieren a las medidas de tendencia central de datos no agrupados. El problema 2, es una aplicación de las medidas de tendencia central de datos agrupados. Las fórmulas a aplicarse en cada ejercicio se encuentran en la ayuda 1.3.

Criterios de evaluación

Conoce el propósito, significado y propiedades de las medidas de tendencia central. Calcula las medidas de tendencia central de datos no agrupados y agrupados. Diferencia las fórmulas que se usan con datos sin agrupar y con datos agrupados.

Actividad de aprendizaje 1.4. Problema 1 Según datos tomados del SRI (Servicio de Rentas Internas), los siguientes datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas (en miles de dólares), de 25 negocios establecidos en una ciudad del Ecuador, correspondientes al período que finalizó. 7.9 12.9 9.8 12.4 14.5

Planteamientos

11.7 11.1 11.1 5.4 9.1

10.8 9.1 10.3 7.2 9.6

11.4 12.8 11.1 11.3 11.1

9.2 10.0 9.9 13.1 10.2

Con estos datos sin agrupar realizar los siguiente: a) b) c) d) e) f) g)

Calcular el rango. (0.5 puntos) Calcular la media y la mediana. (0.5 puntos) Calcular el primer y tercer cuartiles. (0.5 puntos) Trazar un diagrama de caja. ((0.5 puntos) Comente sobre la forma de la distribución de los datos. (0.5 puntos) Calcular la desviación estándar (0.5 puntos) Calcular el coeficiente de variación.(0.5 puntos)

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Problema 2 Encuentre la media y distribuciones binomiales: a) n =16, p= 0.40. b) n =10, p =0.75.

la desviación (1.0 punto)

estándar

de

las

siguientes

Problema 3 Los siguientes datos representan el número de cheques en dólares rechazados de una muestra tomada en 23 bancos, firmados por clientes que depositan directamente y que mantienen un saldo promedio de $1000. 260 300 280 300

200 150 200 200

210 290 220 250

250 180 250 150

200 180 200 250

250 220 300

a) Elaborar un diagrama de tallo y hoja para estos datos (0.5 puntos) b) ¿Alrededor de que valor, si lo hay, se encuentran concentrados los valores de los cheques rechazados? Explique su respuesta. (0.5 puntos)

Objetivo

Calcular las medidas de dispersión: rango, varianza, desviación estándar y desviación relativa para describir como se “dispersan los datos”, analizando sus limitaciones y bondades de cada uno de ellos.

Orientaciones didácticas

Para resolver el problema 1 debe haber estudiado los temas 3.7 y 3.8, además lea la ayuda 1.4. Para resolver el problema 2, debió haber estudiado el tema 3.9 del texto guía y sus ejemplos. Para resolver el problema 3, debe primero estudiar el tema 3.11 del texto guía. pp. 112-114

Criterios de evaluación

Calcula el rango, percentiles (cuartiles) aplicando las fórmulas en forma correcta. Calcula las medidas de dispersión de datos no agrupados y agrupados. Usa correctamente las fórmulas pertinentes a cada situación. Traza diagramas de caja e interpreta en forma correcta la simetría o asimetría o sesgo de las distribuciones de los datos. Usa el teorema de Chebychev para medir la concentración de los datos alrededor de la media. Conoce lo que es la desviación relativa y para qué sirve.

Actividad de aprendizaje 1.5. Planteamientos

Problema 1 (0.5 puntos)

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

Hay 52 cartas en una baraja americana ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta que se saque sea una de espadas? Problema 2 (0.5 puntos) La probabilidad de un suceso A es 1/3, la de B es 2/4 y la de la intersección 3/8. Calcule: a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos. b) La probabilidad de que no suceda A. c) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B. d) La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B. Problema 3 (0.5 puntos) Se lanza un solo dado ¿Cuál es la probabilidad que caiga un ``dos``? Problema 4 La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos durante el último mes; pero, debido al aumento en las medidas de seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada ladrón; también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla.

Primera Sexo ofensa Hombre Mujer

Reincidente 60 70 44 76 104 146

Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule: a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre. (0.3 puntos) b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. (0.3 puntos)

c) la

probabilidad

de

que

sea

mujer,

dado

que

es

reincidente.

(0.3puntos)

d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. (0.3 puntos)

e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente.(0.3 puntos)

Objetivos

Orientaciones didácticas

Comprender que son las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, dependientes e independientes mediante el estudio de los principios teóricos y sus reglas para el cálculo de las probabilidades de dichos eventos.

Los problemas contienen el cálculo de probabilidades simples probabilidad acumulada, ver conteo y cálculo de probabilidades.

y

Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva CADM

Parcial de estudio:

Primero

También se incluye probabilidades conjuntas y condicionales con eventos dependientes e independientes, se calculan fácilmente a partir de la tabla de contingencias. Ver aplicación del teorema de Bayes. Ver AYUDA.

Conoce las fórmulas de conteo y las aplica en forma correcta. Conoce los fundamentos de las probabilidades. Calcula probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, de eventos dependientes e independientes aplicando las fórmulas pertinentes. Organiza e interpreta datos de una matriz de contingencia. Construye diagramas de árbol. Aplica la regla de Bayes para calcular probabilidades revisadas o a posteriori.

Criterios de evaluación

Formato de entrega

Archivo de Microsoft Office.

Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma, mediante la sección Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:

Enviar a

Formato:

Preguntas o dudas

G1.Apellido.Apellido.Nombre.Estad.descriptiva

Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: Utilice la sección Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Puntaje por actividad Actividades de aprendizaje Actividad Actividad Actividad Actividad Actividad

de de de de de

aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. Suman

Puntaje 4.5 3.0 4.0 5.5 3.0 20

“En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, estos serán incluidos como parte del examen o en un anexo”.

El tutor de la asignatura

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