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• Dany Villafuerte

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Nombre de la asignatura:

Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Introducción Los eventos probabilísticos pueden referirse a variables aleatorias discretas o continuas. Aquí se estudian las siguientes distribuciones de probabilidad de variable discreta: Binomial, Poisson e Hipergeométrica. Las distribuciones de probabilidad discreta, continua y los números índice son parte del mundo de los negocios y de la administración de empresas, muchas veces los gerentes y administradores deben tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, razón por la que es necesario aprender a evaluar los riesgos. Una distribución de probabilidad de variable aleatoria continua es la distribución normal, debido a que esta tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a la resolución de problemas de inferencia estadística. Un gran número de distribuciones naturales como los pesos de las personas, las estaturas, el coeficiente intelectual y muchos procesos físicos, biológicos y económicos, presentan las características de una distribución normal. Por tanto su estudio reviste gran interés para los gerentes y administradores de empresas. Finalmente se estudiarán los números índice, los cuales son de fundamental importancia en el mundo financiero, en la administración empresarial y en el manejo de la economía de los estados. Es tarea de los administradores el análisis e interpretación de índices del mercado de valores, como por ejemplo el Promedio Industrial Down Jones, Nasdaq y otros; y la elaboración de diversos índices como: el índice de precios al consumidor (IPC), el índice de precios al productor (IPP).

Asesoría didáctica En este periodo de estudio resolverá cuatro actividades de aprendizaje. Para resolver la actividad de aprendizaje 2.1 Estudie el capítulo 5: Distribuciones de probabilidad. Estudie el apartado 5.1: ¿Qué es una distribución de probabilidad?, pp. 178179. Usted verá que una distribución de probabilidad es semejante a una distribución de frecuencias, aprenderá a representar gráficamente una distribución de probabilidad y a reconocer los tipos de distribución de probabilidad. De ejercicios 5.1, p. 180, realice en su cuaderno de trabajo los ejercicios de Conceptos básicos 5-1 y 5-2. Estudie el apartado 5.2 Variables aleatorias, pp. 181-184, aquí aprenderá a diferenciar entre una variable aleatoria discreta y variable aleatoria continua, a calcular el valor esperado, para ello lea sugerencias y suposiciones de la p. 184. De ejercicios 5.2, p. 184, realice los ejercicios de autoevaluación 5-1 y 5-2. Sus soluciones se hallan en la p.187. Estudie el apartado 5.3 Uso del valor esperado en la toma de decisiones, pp. 187-190, lea con detenimiento el ejemplo expuesto. De ejercicios 5.3 resuelva el ejercicio de autoevaluación 5-3. Su solución la puede ver en la p. 191.

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Estadística Descriptiva

Parcial de estudio:

Segundo

Estudie el apartado 5.4 La distribución binomial, pp. 191-199. Aquí se explica que un proceso de Bernoulli es aquel que cumple las tres características que se señalan; el uso de la fórmula para calcular la probabilidad binomial, el uso de la tabla de distribución binomial, la representación gráfica de la distribución binomial y su variación para diferentes valores de probabilidad y diferentes valores de n y como calcular las medidas de tendencia central μ y σ de la distribución binomial. De ejercicios 5.4, Ejercicios de autoevaluación, p. 200, resuelva 5-4, 5-5 y 5-6. Sus soluciones se hallan en las pp. 201-202. Estudie el apartado 5.5 La distribución de Poisson, pp. 2002-206, aquí aprenderá a identificar una distribución de Poisson sobre la base de sus características, a usar la fórmula para calcular la probabilidad y a usar la tabla 4a del apéndice (ver CD). De ejercicios 5.5, p. 207 realice los ejercicios de autoevaluación 5-7 y 5-8. Sus soluciones las puede ver en la p. 209. Para resolver la actividad de aprendizaje 2.2: Distribuciones de probabilidad discreta Variable aleatoria: discreta y continua. Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad

    X . P( X ) 

Media o valor esperado:



 2    X   2 .P( X )

Varianza: Puede usar la fórmula alterna.



 2   X 2 P (X )   2   2

Desviación estándar: Distribución de probabilidad binomial Características:

1. Solo tiene dos resultados posibles en cada ensayo de un experimento: Éxito o fracaso 2. La variable aleatoria es el resultado del conteo del número de éxitos en n ensayos. 3. La probabilidad de éxito en cada ensayo es siempre igual en cada ensayo. 4. Los ensayos son independientes. Fórmula:

P ( X ) n C x p x ( 1  p ) n  x Tablas de probabilidad binomial Se las usa para calcular las

probabilidades binomiales para n desde 1 a 15

Media de una distribución binomial:

  np

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 2  n p (1  p)

Varianza de una distribución binomial:

  n p (1  p)

Desviación estándar: Probabilidad acumulada

Se calcula sumando las probabilidades de cada uno de los eventos involucrados. Distribución de probabilidad de Poisson Características: 1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento en un intervalo dado. 2. La probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo. 3. Los intervalos no se superponen y son independientes. Fórmula:

P (X ) 

 X e  x!

Dónde:

 np

Nota: en los ejercicios de probabilidad acumulada, se suman las probabilidades de cada uno de los eventos involucrados. Distribución hipergeométrica Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”. Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada nuevo elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando. Sean:

N : Cantidad de elementos de elementos del que se toma la muestra. K : Cantidad de elementos existentes que se consideran " exitos " n : Tamaño de la muestra. X : Variable aleatoria discreta (cantidad de resultados considerados exitos ) x  0,1,2,3,........, n Valores que puede tomar X . K   x   P (X )  

N  K   nx     N   n   

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Ejemplo Una caja contiene 9 pelotas de tenis, de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres pelotas. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan: a) Ninguna pelota en buen estado. b) Al menos una pelota en buen estado. c) No más de dos pelotas en buen estado. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeométrico con: N=9; K=4; n=3; x: Cantidad de pelotas en buen estado en la muestra (variable aleatoria discreta).  4   x  P(X )   

a)

9  4  3  x    , x  0,1,2,3 9   3   

 4  0  P ( X  0)   

9  4  3  0    9   3   

 0.119

b) P(X>=1) = 1 - P(X 6, no se incluye el resultado de la fundición de la varilla 6, por lo que irá desde 6.5; Para x < 15, el resultado de la fundición de la varilla 15 no se incluye, por lo que se tomará hasta 14.5; etc. Lo dicho es equivalente a las siguientes reglas para aplicar el factor de corrección por continuidad Valores a determinar X> X≥ X< X≤ ≤ x ≤ < x < X=

Correcciones +0.5 -0.5 -0.5 +0.5 -0.5 Y +0.5 +0.5 Y -0.5 -0.5 Y +0.5

Ejemplo. Suponga una distribución binomial con n = 40, p = 0.55. Calcular: a) b) c) d)

La media y la desviación estándar de la variable aleatoria. La probabilidad de que x ≥ 25 La probabilidad de que X < 15 La probabilidad de que 15 ≤ x ≤ 25

Solución μ = np = 40x0.55 = 22;

b)

Para calcular P(x ≥ 25) , hay que tomar X = 24.5

z

σ=

n p (1  p)  9.9  3.14

a)

24.5  22  0.796178  0.80 3.14

cuya probabilidad

es 0.2881, entonces: P(x ≥ 25) = 0.5 - 0.2881 = 0.2119 c)

Para calcular P(X < 15), hay que tomar x = 14.5

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z

14.5  22  2.3885  2.39 , A(z = 2.39) = 0.4916 3.14

Entonces: d)

P(X < 15) = 0.5 - 0.4916 = 0.0084

Para encontrar P(15 ≤ x ≤ 25) binomial , al aplicar las correcciones de continuidad se debe calcular P(14.5 ≤ x ≤ 25.5) = P(14.5 ≤ x ≤ 22) + P(22< x ≤ 25.5) = 0.4916 + 0.3665 = 0.8581

Para resolver la actividad de aprendizaje 2.4: Estudie el capítulo 16: números índice. Estudie el apartado 16.1 Definición de número índice, pp. 720-722. Aquí conocerá los tipos de números índice, su uso y las precauciones que se deben tomar en la estimación de los números índice. En su cuaderno de trabajo responda las preguntas planteadas en ejercicios 16.1. Estudie el apartado 16.2. Índice de agregados no ponderados, pp. 723-725. Aquí aprenderá a calcular e interpretar un índice no ponderado, así como las limitaciones de este. De ejercicios 16.2, p. 725, realice el ejercicio de autoevaluación, cuya solución está en la pág. 727. Estudie el apartado 16.3 Índice de agregados ponderado, pp. 727-732. Aquí aprenderá que existen tres métodos de cálculo del índice de agregados ponderado, estos son: El método de Laspeyres, el método de Paasche y el método de agregados con peso fijo. Examine con mucha atención los ejemplos expuestos y luego de ejercicios 16.3, p. 732, realice los ejercicios de autoevaluación 16-2, 16-3 y 16-4, cuyas soluciones se hallan en la p. 734. Estudie el apartado 16.4 Métodos de promedio de relativos, pp. 735-737. Aquí se estudia el Método de promedio no ponderado de relativos y el Método de promedio ponderado de relativos. Este a su vez, dependiendo de la forma de la ponderación, se subdivide en: Índice de precios de promedio ponderado de relativos (Método de Laspeyres) e Índice de promedio ponderado de relativos con valores del año base como pesos. Examine los ejemplos y luego, de ejercicios 16.4, resuelva el ejercicio de autoevaluación 16-5, pp. 737-738, cuya solución se hallan en la p. 740. Estudie el apartado 16.5. Índices de cantidad y de valor, pp. 740-741, revise el ejemplo de la tabla 16.12, p. 741 y luego de ejercicios 16.5 realice el ejercicio de autoevaluación 16-6. Su solución se encuentra en la p. 744. Índice de valor. Un índice de valor mide los cambios tanto de los precios como en las cantidades, para su cálculo se requiere conocer los precios y cantidades del año base y los precios y cantidades del año presente. Se calcula con la fórmula:

V

P Q P Q n

n

0

0

x100

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Índice de precios al consumidor (IPC). El índice de precios al consumidor mide los cambios de los precios de una canasta básica fija de artículos y servicios en el mercado de un período a otro. El IPC tiene varios usos, entre ellos, para determinar el ingreso real.

Ingreso real 

ingreso monetario x100 IPC

Para determinar el poder adquisitivo del salario actual respecto del año o período base.

Poder adquisitiv o del dinero 

$1 x100 IPC

Ejemplo: Supongamos que el IPC del año 2009 respecto de 2005 fuese 120 y que el sueldo de Juan Simpático en el 2009 es de $2000, mientras que en 2005 percibía $1800. ¿Cuál es su ingreso real en comparación con el que percibía en 2005?

Ingreso real 

2000 x100  1666.67 120

Esto significa que actualmente el ingreso real de Juan Simpático es menor que el que percibía en 2005. Ejemplo: Con los datos del problema 1 determine el poder adquisitivo del dólar en 2009 respecto de 2005.

Poder adquisitiv o del dolar 2009 

1 x100  0.8333 120

Significa que el dólar de 2009 equivale a 0.833 del dólar de 2005. Dicho de otro modo lo que en 2005 costaba $83.33, ahora cuesta $100.

Actividades de aprendizaje Actividad de aprendizaje 2.1. Problema 1 (1 punto) Para una distribución binomial con n =7 y p =0.2, encuentre: a) b) c) d)

P(r P(r P(r P(r

= 5). >2).