• Author / Uploaded
• Juan Chaco

Citation preview

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Todos preparados para comenzar? P´ aginas 144-145 1. (a) Volumen, ´ area, operaciones con n´ umeros reales, coordenadas. (b) No, porque para darle la forma, aprovechar bien el espacio, entre otro, necesit´o realizar los c´ alculos adecuados. (c) Respuesta libre (d) S´ı, porque tienen formas geom´etricas (e) Respuesta libre 2. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica

(c) Gr´ afica

(d) Gr´ afica (e) Circunferencia, cicloide, espiral 1

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e sabemos y qu´ e sabemos hacer? P´ aginas 149-150 1. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica

(c) Gr´ afica

2. Gr´afica 3. (a) Gr´ afica 2

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) Diagonal rect´ angulo que es la tapa de la caja y luego un lado del cuadrado (c) 39, 23 4. (a) Respuesta libre (b) En una manzana Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 152 (r, θ + 2kπ) con k entero

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 153-154 1. Gr´afica

2. (a) F 3

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) F (c) V (d) F (e) F (f) F (g) V 3. (a) D (b) C1 (c) A1 (d) D1 (e) D2 (f) B2 (g) B2 4. Punto A: 3, 5π 2




Punto B: (−3, 3π)
Punto C: 2, 7π 2 Punto D: (−1, 4π) 5. Gr´afica

(a) (b) Gr´ afica (c) Gr´ afica (d) Gr´ afica 6. 3 : 35 Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 158 √ −4senθ±8 1+cos2 θ cos2 θ

4

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 159-160 1. A(3, 0) √
B 2 2, π4 √
C 4 2, π4 2. A = (0, 75, 1, 29) A = (−1, 76, 1, 76) √ π
3. (a) 2, 4 (b) (5, −53, 13◦ )
(c) 1, − π4 √
(d) 6 5, 5π 6 4. b, e y g

5

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4 √ √ 5. (a) (2 2, 2 2) (b) No es posible √ √ (c) (− 2, − 2) (d) (−0, 93, −0, 34) 6. (a) 2 = tanθ (b) 1 − rsenθtanθ (c) rsenθ = 1 (d) r= 16 (e) −rc os2θ = 1 7. (a) y = x (b) x2 + y 2 = 25 (c) y = 8 (d) No es posible porque r2 = r − x Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 161 Porque al pasar a coordenadas rectangulares se obtiene x2 +y 2 = 16 ecuaci´on de una circunferencia.

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 164 Porque a dar´ıa 0 Porque b dar´ıa 0 Una recta

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas165-166 1. Gr´afica (a) (b) Gr´ afica (c) Gr´ afica (d) Gr´ afica 2. (a) y = 2 −

2 3x

(b) x2 + y −





5 2 2

Gr´ afica =

25 4

Gr´ afica

(c) x2 + (y − 3)2 = 9 Gr´ afica 6

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

3. (a) rcosθ = 4 Gr´ afica (b) r2 =

1 cos2 θ−sen2 θ

Gr´ afica

(c) 4. (a) rcosθ = 2 (b) r = 2cosθ (c) r = 2senθ 5. (a) F (b) F (c) F 7

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(d) V Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 158 Gr´afica

8

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 171-172 1. (a) Simetr´ıa respecto a a y θ =

π 2

(b) Simetr´ıa respecto al eje polar (c) Simetr´ıa respecto al polo (d) Simetr´ıa respecto al eje polar 9

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(e) Simetr´ıa respecto al polo (f) Simetr´ıa respecto al eje polar (g) Simetr´ıa respecto al polo 2. (a) r = 1 − senθ (b) r =

θ π

(c) r = 2cos2θ (d) r = 1 + cosθ (e) r = 2sen3θ 3. (a) 1 + 3cosθ (b) r2 = 10 − 5senθ (c) r = 2 + 3cosθ 4. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica (c) Gr´ afica (d) Gr´ afica (e) Gr´ afica Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

10

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 174 A partir de la forma, del eje de simetr´ıa y el valor de la excentricidad.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 175-176 1. (a) e = 3 (b) e =

1 2

11

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(c) e = 2 (d) e = (e) e =

3 2 3 4

2. (a) Hip´erbola, Centro (3, 1), V´ertices (3 +

√

5, 2) y (3 −

(b) Elipse, Centro (0, 0), V´ertice (15, 0) Gr´afica

12

√

5, 2) Gr´afica

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4


(c) Par´ abola, V´ertice −8, − 13 Gr´afica

(d) Par´ abola, V´ertice (0, 0) Gr´ afica

3. (a) 16r2 cos2 θ + 25r2 sen2 θ = 400 (b) r2 cosθ − 14rsenθ = −49 (c) 9rc osθ − 16r2 sen2 θ = 1296 4. (a) Elipse, e =

3 10

Gr´ afica

(b) Par´ abola, e = 1 Gr´ afica (c) Hip´erbola, e = 5. (a) r == (b) r ==

5 3

Gr´ afica

4 1+senθ 1,5 1+0,5cosθ

6. Respuesta libre Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

13

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 180 S´ı. Se puede utilizar la identidad sec2 t − tan2 t = 1

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 181-182 1. (a) Gr´ afica (b) Gr´ afica

14

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(c) Gr´ afica

(d) Gr´ afica

15

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(e) Gr´ afica

(f) Gr´ afica

(g) Gr´ afica

2. (a) V (b) F (c) V 3. (a) 1 (b) 3 (c) 4 (d) 2 4. (a) y = (b) y =

1 x

√

−x

(c) y = x2 16

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(d) y = x2 5. (a) S´ı es funci´ on (b) S´ı es funci´ on (c) No es funci´ on, ya que se obtiene una lemnisacta (d) S´ı es funci´ on Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 185 15, 6

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 187-188 1. Gr´afica

2. (a) A(1, 2, 0), B(−5, 2, 0), B(2, −4, 0) (b) A(0, 2, 3), B(0, 2, 1), B(0, −4, −1) (c) A(1, 0, 3), B(−5, 0, 1), B(2, 0, −1) Octante 1.◦ 2.◦ 3.◦ 4.◦ 5.◦ 6.◦ 7.◦ 8.◦

Abscisa x + + + +

Ordenada y + + + + -

Cota z + + + + -

3. 4. (a) Que tengan la misma ordenada: E,B,F,C. Que tengan la misma abscisa:

17

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) (0, 0, 0) (A, 0, 0) (A, B, C) (0, E, 0) (A, 0, 0) (0, 0, G) (0, E, F ) (A, E, C) 5. (a) d = 5, 39 (b) d = 14, 25 2

2

6. dAB + dAC = dBC

2

2, 452 + 1, 412 = 2, 832 6, 0025 + 1, 9881 ≈ 8, 008 7. (a) (x − 1)2 + y 2 + z 2 = 4 Gr´ afica

(b) (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 1 Gr´afica

(c) x2 + y 2 + z 2 = 25 Gr´ afica (d) (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 14 Gr´afica Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 191-192 √ 1. (a) ( 3, 54, 73◦ , 45◦ ) 18

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) (5, 39, 11, 80◦ , 53, 13◦ ) √ (c) ( 3, 90◦ , 35, 26◦ ) 2. (a) (1, 41, 1, 41, 0) (b) (1, 3, 2, 25, 1, 50) (c) (0, 0, −1) (d) (0, 0, 5) (e) (1, 0, 0) 3. (a) θ = 142, 10◦ y φ = 38, 4◦ (b) θ = 124, 34◦ y φ = 16, 61◦ (c) φ = 0◦ (d) θ = 0◦ y φ = 8, 3◦ 4. (a) (1, 2, 0) (0, 2, 0) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 3) (1, 0, 3) (1, 2, 3) (0, 2, 3) √ (b) ( 5, 0◦ , 63, 4◦ ) (2, 0◦ , 0◦ ) (0, 0◦ , 0◦ ) (1, 0◦ , 0◦ ) 19

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(3, 0◦ , 0◦ ) √ ( 11, 18, 4◦ , 0◦ ) √ ( 14, 36, 7◦ , 63, 4◦ ) √ ( 13, 6◦ , 0◦ ) (c) Cuando uno de los v´ertices se encuentran sobre el eje uno de los ´angulos es 0◦ ) al expresarlo en esf´ericas. Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

Actividades para practicar P´ agina 193 1. Plano polar

2. Plano polar

(a) (5, 92, 59, 5◦ , 78, 7◦ ) √ (b) ( 27, 79, 2◦ , 90◦ ) (c) (1, 73, 54, 7◦ , 45◦ ) (d) (2.23, 0◦ , −63.4◦ ) (e) (5, 126, 8◦ , 0◦ ) (f) (7, 6, 112, 9◦ , −81, 8◦ ) √ 3. (a) ( 2, 135◦ ) 20

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4 √

◦ (b) ( 145 2 , 85, 2 ) √ (c) ( 17, 255, 93◦ ) √ (d) (2 17, 284, 03◦ ) √

37 ◦ 2 , 9, 46 ) √ 109 ( 15 , 343, 3◦ )

(e) ( (f)

√ √ 4. (a) (3 2, 3 2) √ (b) (− 3, −1) √ (c) (4 − 3, −4) √ (d) (−1, − 3) (e) (0, 45, 0, 38) √

(f) (−(

3 1 7 , −7)

5. Plano polar

6. (a) r2 16 (b) r2 (cos2 θ − 4sen2 θ) = 1 (c) r2 (cos2 θ + 4sen2 θ) = 4 (d) r(rcos2 θ − 10cosθ + rsen2 θ) = −24 (e) r(rcos2 θ − rsen2 θ + 2senθ) = 5 7. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica (c) Gr´ afica 21

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(d) Gr´ afica (e) Gr´ afica 22

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(f) Gr´ afica (g) Gr´ afica

8. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica

(c) Gr´ afica (d) Gr´ afica 23

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(e) Gr´ afica 9. (a) Gr´ afica

(b) Gr´ afica (c) Gr´ afica 24

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(d) Gr´afica

(e) Gr´afica

¿Qué sabemos y qué sabemos hacer Página 193 1. (a) Las placas de vidrio cubren el a´rea superficial del elipsoide y el n´ umero de placas corresponde a la superficie 25

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) Respuesta libre (c) Es mayor el ´ area superficial del elipsoide 2. Respuesta libre 3. (a) Verdadero, usando la regla de la cadena (b) Falso, g 0 (x9 = 36x3 − 15x2 + 2x − 4 (c) Verdadero usando la regla de la potencia (d) Verdader, aplicando la regla de la cadena 4. (a) 14uc (b) 6uc (c)

16 3 uc

(d) 14uc + 6uc +

16 3 uc

=

46 3 uc

Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 200 Se halla el ´area que cubre la funci´ on

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 203-204 1. (a) tanx (b) x3 − 3x √ (c) 2x2 + 1 (d) 4cosx 2. f (x) Z Integral 3 √ dx 2 x 2x Z 3√ − xdx Z 2 √ x 5 xdx Z 9πx2 5 dx 16(x3 ) 9

Resultado 3

−x 2 + C 5

x− 2 + C 5 11 5 11 x

√ 3π 4 4

+C

x3 + C

3. 4. (a) S´ı corresponde (b) No corresponde (c) No corresponde 26

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

5. (a) 5



9 4 2x

−

9x4 4

(b) −cos(x) −

1 2

 − 4x3 + 2x2 + C
x + 12 sen(2x) + C


6. −4cot 14 (x + 1) + C Z 7. csc2 xdx 8. Gr´afica

Z

1 1 p 1 p dx = − ln| x2 + 1 + 1| + ln| x2 + 1 − 1| 2 2 x x2 + 1 Z 1 (b) Incorrecta. Porque dx = arctan(x) + C x2 + 1 Z (3x + 5)5 (c) Incorrecta. Porque (3x + 5)4 dx = +C 15

9. (a) Incorrecta. Porque

√

10. 0, 04(12, 5x + 6)2 Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

27

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 207-208 1. Se halla la integral Se aplica la condici´ on especial Se despeja C 2. c. 3. (a) −cos(t) − ln|cos(t)| + C √

(b)

5 32 3 x

+ 0, 74

4. Gr´afica

5.

2 (−3)4 + (−3) + 4 4 9 16 81 4 + 4 + 4 = 106 53 4 = 2

4=

Es Falso porque

53 2

6=

1 2

6. Gr´afica 7. (a) No se cumple, porque tanπ + senπ − 21 = − 12 √ (b) No se cumple, porque 23 ( −9)3 − (−9)2 − 8. Tiene soluci´on imaginaria. se cumple para x=9 8. F (q) = 2.000q 2 + 15.000q + C El costo de producir 25 marcos de madera es 1.629.000 9. Ninguna cumple la condici´ on 10. La soluci´ on es incorrecta ya que la constante es negativa Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

28

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 211-212 1. Este m´etodo tiene su fundamento en la regla de la cadena usada en las derivadas, en consecuencia, es utilizado para integrar funciones compuestas. 2. (a) senx (b) 5x2 + 3x (c) x2 + 6 (d) 6x2 − 3x √

Z

p y queda 3u2 du = ( 2 + x2 )3 + C Z 1 cosu 5 (b) Se toma como u = x y queda du = senx5 + C 5 5

3. (a) Se toma como u =

2+

x2

(c) Se toma u = 3x2 + 6x − 1 y queda

1 2

6u 7 du

29

=

7 2 30 (3x

2

+ 16x − 1) 7 + C

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4 4. on Z Operaci´ (−cotx)dx Z x2 (x3 + 1)dx Z ex dx x e −1

5. (a) (b)

u

du

Integral

u = senx

cosxdx

−ln|senx| + C

u = x3 + 1

x2 dx

u = ex − 1

ex dx

3 1 √ (2x + 1) 2 + C 3 2 1 4 cos(2x) + senx(−2

(x3 +1)2 6

+C

ln|ex − 1| + C

+ senx) + C

√ 6. (a) −10 x − 5 + C (b) (c)

28 43 4 54 5x − 3 x + C 1 − 10 (1 − e2x )5 + C 5

7

7. (a) Incorrecta. Se realiza la sustituci´ on u = cosx y se obtiene − cos5 x + cos7 x + C 4. (b) Incorrecta. Se realiza la sustituci´on u = x − 1 y se obtiene 49ln|x − 1| − 7ln2 (x − 1) + 1 3 3 ln (x − 1) + C 8. El resultado es el mismo

x4 2

+ 2x3 + 2x2 + C

9.

353 aproximadamente Z 10. −cot(x)csc2 xdx Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

ANALIZA Y RESUELVE P´ agina 213 Z

x3 dx =

x4 Es el mismo resultado 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 215-216 1. En los que hay un producto Z 2. x2 lnxdx 3. 5

4. (a) 30(x + 5) 2 −

250 3 (x

3

+ 5) 2 + C

(b) xln(x + 3) + 3ln(x + 3) − x − 3 + C (c) No tiene soluci´on 5. = 3( 41 x4 sen(4x) + 14 x3 cos(4x) −

3 2 16 x sen(4x)

30

−

3 32 xcos(4x)

+

3 128 sen(4x))

+C

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

Z Integral x5 lnxdx Z

3x2 cos3xdx

Z

1 xsec2 xdx Z4 lnx dx 2 Z x xex dx

u x4 x3 x2 x 1

dv cos(4x) sen(4x) cos(4x) senx cosx

u x5 x4 x3 x2 x 1

dv ex dx ex dx ex dx ex dx ex dx ex dx

u

dv

Resultado 1 6 6 x lnx

x6 36

lnx

x5

3x

cosu

x

sec2 x

lnx

1 x2

− lnx x −

x

ex

ex x − ex + C

−

+C

x2 sen3x + 23 xcos3x − 29 sen3x + C 1 4 (xtanx

+ ln|cosx|) + C 1 x

+C

6. f (x) = x5 ex 7. (a) No son adecuadas (b) Adecuadas (c) Adecuadas Z lnx 8. dx = x2   Z 1 1 lnx − x − − · dx = x x Z lnx − x + x−2 dx = −1

x − lnx x + − −11 + C =

+C − (lnx+1) x √ √ √ 9. 2(− xcos( x)) + sen( x) + C 10. 11. Respuesta libre Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

31

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 219-220 1.

Rπ

senx dx

2.

R2

2x2 + 1 dx =

3.

R2

π 2

1 1

17 3

5x dx = 5x|21 = 5(2) − 5(1) = 5(2 − 1) = 5(1) = 5

4. (a) 0 7 3

(b) ln (c) (d)




3 2ln2 203 96

5. (a) Es divergente (b) 32

6. f (x) = x2 − 1 7. (a) No es correcto. El ´ area es (b) No es correcto. El ´ area es

8 3 15 4

8. (a) 3 (b) 6 (c) 11, 5 (d) 9 Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

Actividades apra practicar P´ agina 221 1. (a)

x4 4

+

2x3 3

−

5x2 2

+x

32

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

(b) senx (c) ln|x2 + 1| (d)

x4 2

+ x2

2. (a)

(b)

(c)

(d) (e) 33

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

3. (a) (b) (c)

1 7 sen(7x) + C 1 4 4 (x − 1) + C 3(−x2 cosx + 2(xsenx

(d) ln| (e) 4. (a) (b) (c)

x2

54x4

+ cosx))

+ 1 + x| − cotc + C

− 48x3 + 9x2 + C

5 3 2 8 2 2 5 (x + 4) − 3 (x + 4) + C − e1x + ln|ex + 1| − x + C − 16 cos2 (3x) + C

(d) 3 5. (a)

√



x4 4

 + 2x2 + C

1 4 2 4 x cos x

(b) xarcsenx

1 4 16 (−2x cos(2x) √ + 1 − x2 + C

+

+ 4x3 sen(2x) − 3(−2x2 cos(2x) + 2xsen(2x) + cos(2x))

(c) ex x2 + 2ex x − 3ex + C   3 (d) 13 13 x3 lnx − x9 + C 6. (a) F (q) = 80q 2 − 7.000q + 468.000. El costo para 15 unidades es 381.000 (b) 117 Z 7. lnx(x2 )dx 8. (a) 12 (b) 7, 30 (c) 14, 5 (d) 10, 5 Seguimiento al aprendizaje Respuesta libre

34

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

Desarrolla tus competencias P´ agina 223 1. (a) Son valores estad´ısticos que muestran el comportamiento de la econom´ıa (b) Para mostrar el comportamiento de la econom´ıa 2. DTF, UVR, TRM Producci´ on y empleo PBI, PNB, PBI real Precios y tasas UVR, DTE, Petr´ oleo WTI

Monetario y financiero Indicadores de liquidez - indicadores de actividad- Indicadores de rentabilidad Finanzas p´ ublicas Super´ avit fiscal- deuda p´ ublica nacional- presupuesto nacional

3. 4. (a) Respuesta libre (b) Respuesta libre (c) Respuesta libre

Desarrolla tus competencias P´ agina 225 1. F V V V V F 2. El consumo de los bienes y servicios adquiridos por la familia y las empresas Inversi´ on de las empresas Gasto p´ ublico adquirido por la administraci´on p´ ublica Resultados de las exportaciones-importaciones. 3. (a) Respuesta libre (b) Respuesta libre ´ PREPARATE PARA LA PRUEBA PISA 463, 92 D´olares

¿Qu´ e aprendimos superando el reto? P´ agina 225 1. Respuesta libre 2. Respuesta libre 35

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 4

3. (a) A =

1 2

Rβ α

r2 dθ

(b) r es el radio, θ ´ angulo central en radianes. (c) Respuesta libre 4. (a) Cardioide (b) Son similares (c) x = a(3cost − cos(3t)) y y = a(3sent − sen(3t)) (d) Son similares (e) Respuesta libre

36