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• Juan Chaco

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´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

¿Todos preparados para comenzar? P´ aginas 8-9 1.

a) Si es posible. b) Respuesta libre. c)

Positiva. Negativa. Respuesta libre.

d ) Respuesta libre. 2.

a) S´ı, modificando el ´ angulo formado por la base y las paredes laterales. b) El volumen del agua que puede transportar. c) S´ı, porque en alg´ un momento, se podr´a tener la capacidad m´axima usando el mismo material. d ) El ´ area lateral y el volumen. e) Respuesta libre. f ) S´ı, porque se pueden modificar el radio y la altura para que esto suceda. g) Radio, Altura. h) Respuesta libre. Sugerencia: El que menos material utilice para su fabricaci´on. i ) Existe un m´ aximo deseable j ) Respuesta libre.

3. Respuesta libre.

¿Qu´ e sabemos y qu´ e sabemos hacer? P´ aginas 13-14 1. Respuesta libre. 2. Respuesta libre. 3.

a) Entre las semanas 1 a la 3 y entre las semanas 7 a 14. b) En la semana 7.

4. Respuesta libre.

1

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

5.

Analiza y resuelve P´ agina 17 0. √ 7 3 3

−

t4 .

√5 . 2 x7

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 19-20 1.

a) Si f (x) = xn con x ∈ Z, entonces, f 0 (x) = nxn−1 . b) Si c es una constante, g(x) es derivable en x, entonces, la derivada de f (x) = x · g(x) es f 0 (x) = c · g 0 (x).

2.

a) 3x−4 . b) c)

3 √ . 44x 1 3

.

5x 2

d ) −2x3 . e) f) 3.

a)

2 √ . 3 x5 4 √ . 55x 2 3x √ . 2 x3

b) 2, 6. c) y = 2, 6x − 2, 6. 1 d ) y = − 2,6 x + 6, 35.

4.

1 a) y = − 30 x+

b) y =

x 12

−

301 15 .

35 12 .

2

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

c) y = − 31 x + 5.

28 3 .

a) Son dos rectas tangentes al punto (30, 120), por lo tanto pudo abandonar la trayectoria en los puntos: (12, 68 , 32, 15) y (47, 32 , 447, 85). b) Las rectas respectivamente son: y = 5, 07x − 32, 15 y y = 18, 93x − 447, 85.

6.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre. c) Respuesta libre.

7.

a) Los puntos son: (−1, −2) y (1, 2). b) En el punto (4 , 0, 125).

8.

a) La funci´on es creciente en los intervalos cambio cuando t = 4 es 63. b)

√ −4 √x3 −1 . 2 x3

Analiza y resuelve P´ agina 21 1. Respuesta libre.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 23-24 1. Ver procedimiento p´ agina 21. 2. Respuesta libre. 3. Respuesta libre. 4. b)

10 x3

c)

2x2

d) −

+ 4.

4

+

3 √ 4 5 x

6x 5

+

1 . x2 1 √ 2 2 x3

+

+ 4x.

e) −6x + 2. 5.

a) −5. b) 1, 5. c) − 45 4 . d ) − 71 30 .

6. a = −2/3 b = -1/3. 7.

a) x + 1.

3



√

−∞, − 2+3

7



y



 √ −2+ 7 , ∞ . 3

La raz´ on de

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

b)

f 0 (−3) = −2. f 0 (−2) = −1. f 0 (−1) = 0. f 0 (0) = 1. f 0 (1) = 2. f 0 (2) = 3.

c) d ) Se debe cumplir que f 0 (x) = 0. 8. Como f 0 (x) = 3x2 − 3x − 18 entonces f 0 (−2) = 0 y f 0 (3) = 0. 9.

a) Verdadero. b) Verdadero. c) Verdadero.

10.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 29-30 1.

a) f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x). b)

2.

f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x) . [g(x)]2

a)

F (x) = (3x2 + 4x)(2x2 + 3x) + (x3 + 2x2 )(4x + 3). 6x4 + 17x3 + 12x2 + 4x4 + 11x3 + 6x2 .
2x2 5x2 + 14x + 9 .

b)

F (x) =

(3x2 +4x)(2x2 +3x)+(x3 +2x2 )(4x+3) . (2x2 +3) 4 3 2 2x +6x +6x . 4x4 +12x3 +9x2 2 2(x +3x+3) . (2x+3)2

4

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

3.

a) b) c)

√ 7 x5 2. 2 +√ √ 3 7 x5 4 5x − 2 + 5 2x − x2 (14x4 −24x3 +2x−3) . 2

1.

d)

.

4. y = 26x − 76. 5.

1 a) − (2x+3) 2.

b) c) d)

−4(x2 −2x−1) (x2 +1)2

.

−(3t3 +4t2 −6t−16) . t5 2 −(3r +2r−1) r2 (r−1)2

.

6. y = 1, 625x − 3, 125. 7.

a) b) c) d) e)

1. − 52 . 5 9. −2. 3.

8. 5, 2 m/s. 9. 10.

a) Aplicar ley del cociente. b) Aplicar derivada de la resta de funciones. a) g 0 (r)h(r)s(r) + g(r)h0 (r)s(r) + g(r)h(r)s0 (r). 0

s (r) b) − (s(r)) 2.

c) d)

(h0 (r)s(r)+h(r)s0 (r))s(r)−h(r)s(r)s0 (r) . (s(r))2 g 0 (r) h0 (r)s(r) + h(r)s0 (r) − (g(r)) 2.

11.

a) b) c) d)

Verdadero. Falso, la variable es t, no x. Verdadero. Verdadero.

12.

a) Falso. Se debe aplicar la derivada de un cociente. b) Verdadero.

13.

a) Verdadero, y = 3x − 3. b) Verdadero, y = 4x + 5.

14. 13 m/s2 . 15.

Respuesta libre. Respuesta libre. 5

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 35-36 1. Respuesta correcta d. 2. Es la notaci´ on de Leibniz para la regla de la cadena. 3. Respuesta libre. 4.

a) b)

5.

dy dt dy ds

·

=

dy dr dy dq

4· 548 4· 813 x

+

10· 727 4· 236 .

=

·

dr dt . dq ds .

a) b) c) d)

e) 6. y = 7.

a) −144. b) 3. 3 c) − 16 .

8. 9.

a)

dr dt

dA dr 2 = 25 cm s cuando r = 100 cm. Como A = πr , entonces, dt = 2πr dt . Reemplazando los valores se obtiene dA dt = 5· 000π. Por tanto, es correcto.

b)

dV dt

3

2 dr = 60 cm en V = 34 πr3 , entonces, dV s , tambi´ dt = 4πr dt . cm 60 Despejando y reemplazando valores se tiene dr dt = 4π·502 s = 9 cm raz´ on de cambio del radio respecto al tiempo no es 500π s .

3 cm 500π s .

Por tanto, la

10. Respuesta libre.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 39-40 1.

a) Si g(x) es una funci´ on positiva y diferenciable en x, entonces, la derivada de f (x) = 1 0 ln g(x) es f (x) = g(x) · g 0 (x). 6

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

b) Si el exponente es una funci´ on diferenciable g(x), entonces, f (x) = ag(x) es diferenciable y su derivada es f 0 (x) = ag(x) · g 0 (x) · ln a. 2.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre. c) Respuesta libre. d ) Respuesta libre.

3.

g(x) = x2 + 2x, h(x) = x + 3.   g(x) x2 +2x log2 h(x) = ln ln − lnlnx+3 2 2 .

a)

x2 +6x+6 x(x+2)(x+3)log2 .

√ g(x) = 4 x, h(x) = x + 3. eg(h(x)) . √ 4 e x+3 √ . 4 3

b)

4

4.

a)

(x+3)

4x+1 . x2 ln 9+x ln 3 2

x +4x−3 b) − (x+2)(x 2 +3) . 2

d)

1 x −x+1 2 (2x − 1). 2e x 2 x(x ln(2) + 2).

e)

x2 +3x+3 . 2x3 +11x2 +18x+9

c)

5.

a) 1· 469,05. b) −0, 208. c) −13, 97.

6. Respuesta libre.

Analiza y resuelve P´ agina 41 1. Respuesta libre.

Analiza y resuelve P´ agina 43 cos(x) 1. cot(x) = sen(x) . Utilizando la derivada de un cociente se tiene: −sen2 (x)−cos2 (x) −1 = sen2 (x) = −csc2 (x). sen2 (x) 1 2. sec(x) = cos(x) . Utilizando la regla de la cadena se tiene: sen(x) − cos12 (x) − sen(x) = cos 2 (x) = sec(x)tan(x).

7

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

Analiza y resuelve P´ agina 46 1. Respuesta libre. 2.

d dx dy dx

3.

d dy dx dy

4 2 6 3 2 5 x − 7 xy + 2 xy 2 −60y = 112x+105y . 60x−210xy 4 2 5x

=

+

2 3




=

d dx 0.

− 67 xy + 32 xy 2 +

2 3




=

d dy 0.

30(2−7y)x . 105y 2 −60y+112x

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 47-48

1. 2.

a) Las expresiones que relacionan las variables x y y de tal manera que no definen a y expl´ıcitamente son llamadas funciones impl´ıcitas. b) Es un proceso en el que se supone que y es una funci´on derivable de x y que utiliza la regla de la cadena. c)

3.

Primero, se halla la derivada con respecto a x de la expresi´on impl´ıcita dada. dy Se asocian en un solo miembro de la igualdad todos los t´erminos que contienen dx o se agrupan en un solo miembro de la igualdad los t´erminos que contienen dy y en el otro miembro, los t´erminos que contienen dx. dy Se despeja dx .

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre.

4. 5.

dy dx

=

y cos(xy)+sen(x) 2−x cos(xy)

a) y = 3x. b) y = 2x − 3.

6.

a) esen(x) cos(x).

8

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

b) sec2 (x)sen (tan(x)) (−cos (cos (tan(x)))). c) 2 tan(2x) esec(2x) sec(2x).

7.

d ) − xy

cos(y)+sen(x) cos(y)+sen(x) .

e) − xy

cos(xy)+sen(x+y) cos(xy)+sen(x+y) .

a) cos(x). b) 13 senx + x cosx.

8.

a) −3 sent. b) −3 cost. c) Siempre que −3 cost = 0. d ) Siempre que −3 sent = 0.

9. Respuesta libre.

Analiza y resuelve P´ agina 52 1. Falso

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 53-54 1.

√ −1 , si |x| < 1 y 0 ≤ y ≤ π. 1−x2 −1 cot−1 , entonces, y 0 = 1−x 2 , x ∈ R y 0 ≤ y ≤ π. csc−1 , entonces, y 0 = x√−1 , x < −1, x > 1 y − π2 ≤ y x2 −1 1 sen−1 , entonces, y 0 = √1−x , si |x| < 1 y − π2 ≤ y ≤ π2 . 2

a) Si y = cos−1 , entonces, y 0 = b) Si y = c) Si y = d ) Si y =

2. Se deriva en cinco ocasiones y = sen x. 3.

a) √ b)

−4 . 1−4(x2 +2)2

−1 . x+x(ln x)2   2x 



cot−1 (x2 +1) s 1 1− (x2 +1)2

(x2 +1)2

c)

−

csc−1 (x2 +1)   (x2 +1)2 +1 

csc−1 (x2 +1)2

d) √ 2

.

1 . x(1−x) 2x

e) − √2e . 1−e4x 4. y = 0, 5x + 1, 28. 5.

cot−1 x,

2 −1 , 2x , 2−6x .. 1+x2 (1+x2 )2 (1+x2 )3

9

≤ π2 .

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

3x3 + 5x, 9x2 + 5, 18x, 18. √ √ x3 , 3 2 x , 4√3 x , − √3 3 . 8 x

cx2 , 2c

x, 2c, 0, donde c es una constante.


tan x, sec2 x, 2 tan x sec2 x, 2 sec2 x 2 tan2 x + sec2 x . 6.

a) 5. b) 4. c) 3. d ) 2. e) 1.

7.

a) Falso. b) Falso. c) Verdadero.

8.

9.

a) 3, 24 m/s. b) −9,8 m/s2 .   −nn sen (nx)    −nn cos (nx) a) f 0 (x) = nn sen (nx)    nn cos (nx)

si si si si

n = 4m + 1, m ∈ Z n = 4m + 2, m ∈ Z . n = 4m + 3, m ∈ Z n = 4m + 4, m ∈ Z

b) Respuesta libre.

Actividades para practicar P´ agina 55 1.

2.

a)

Recta tangente: y = 0, 5x − 0, 78. Recta normal: y = −2x − 0, 78.

b)

Recta tangente: y = − 43 x + 2, 25. Recta normal: y = 43 x − 1, 92.

c)

Recta tangente: y = 3x − 4. Recta normal: y = − 13 x + 9, 3.

d)

Recta tangente: y = 3x − 4. Recta normal: y = − 13 x + 9, 3.

e)

Recta tangente: y = 7x − 6. Recta normal: y = − 17 x + 8, 28.

f)

Rectas tangentes: y = −0,5x + 1 y y = −0,5x − 1. Rectas normales: y = −2x + 1 y y = −2x − 1.

a) 8 + h0 (2). b) −12 − h0 (2). 10

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

c) 12. d ) − 59 + h0 (2). e) h0 (2) · e−3 + 4. 3.

a)

2 ln(x)+1 √ . 2 ln(x)

b) 2x − c) d) e) 4.

1 . x2 +1

2e2x+1 ((2x+1) ln(2x+1)+1) . 2x+1 √ x cos( x2 +2) √ . x2 +2 2x ln2(x ln2 lnx −1) . x(lnx)2

a) −3. b) cos(x)(b + c + ax) + sen(x)(a − d − cx) = x sen(x). c) a = 2, b = c = 1.

5.

a) b) c) d)

6.

2−2xy . x2−3 y x e y+y . x2 ey y+x 3x2 +y cos(xy) 1−x cos(xy) . − xy .

a) 256cos(2x). b) −27cos(3x).
c) etan(x) sec2 (x) 2tan(x) + sec2 (x) . d ) −sen(x).

7.

a) Verdadero. b) Verdadero. c) Falso. d ) Falso. e) Verdadero.

8.

a) 30 cos(15). b) La altura del agua en el cilindro aumenta a raz´on de 18 cm/min. c)

3 48π .

¿Qu´ e sabemos y qu´ e sabemos hacer? P´ agina 57 1.

a) MEO. b) 27· 000 km/h. c) Sat´elite II. 11

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

d ) Respuesta libre. e) Respuesta libre. f ) Respuesta libre. 2.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre. c) Respuesta libre.

3. Respuesta libre.

Analiza y resuelve P´ agina 60 1. M´aximo absoluto en el punto (2, 8 , 1, 4). M´ınimo absoluto en el punto (2, 2 , −1). M´aximos relativos en (−2, 2 , 1) y (1, 4 , 0, 6). M´ınimo relativo en (−1, 4 , −0,6).

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 61-62 1.

f (1) = 2. f (−2) = 1. f (−4) = −3. f (−3) = −2.

2.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre.

3.

a) La gr´ afica en f 0 (1) indica que f (1) pasa de ser creciente a ser decreciente. b) La gr´ afica en f 0 (−1) indica que f (x) en x = −1 pasa de ser decreciente a ser creciente. c) Falso.

4.

a) Falso. b) Falso. c) Falso. d ) Falso.

5. Respuesta libre. 6.

a) En el mes 12. b) En el mes 6. c) 15 miles de millones.

12

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 65-66 2x − 1, x = 1, positivo, creciente. 1 √ , x = 4, positivo, creciente. 2 x

1.

(x + 2)ex , x = −3, negativo, decreciente. 3x2 , x = 1, positivo, creciente. 1 − 4x, x = 0, positivo, creciente. 2.

3.

[−2 , −1), [0 , 1), [3 , 3, 1), b) [−2, 3 , −2), [−1 , 0), [1 , 3), c) Cuando x toma uno de los valores del conjunto {−1, 7 , −0, 5 , 0, 6 , 2, 4}     −1 −1 √ a) −∞ , √ , ∞ y 3 3 a)

b) c) d) e)

Respuesta libre. Falso. Falso. No tiene puntos cr´ıticos.

4.

a) b) c) d) e)

Respuesta libre. −1, f (−1) = − 1e . 0. Decreciente, respuesta libre, negativa. (0, ∞).

5.

a) x = 34 . b) No tiene.

6.

a) b) x = 2, x = 0. c) (1 , 1). d ) Respuesta libre.

7.

a) x3 . b) Respuesta libre. 13

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 69-70 1.

f (x) es continua en [1 , 2). f (x) es derivable en (1 , 2). f (1) = f (2) = 0.   b) f 0 1 + √13 = 0.

a)

2. No es posible, no es derivable en x = 1. 3.

4.

a)

f (x) es continua en [1 , 3]. f (x) es derivable en (1 , 3). f (1) = f (3) = −4. f 0 (2) = 0.

b)

g(x) es continua en [0 , 3] f (x) es derivable en (0 , 3). f (0) = f (3) = 2.  √  f 0 13 + 319 = 0.

a) c = 0, 44. b) c = 0, 6. c) c = −0, 4. d ) c = ±0, 4.

5.

a)

x = −4. x = −2. x = 0.

b) (−∞ , −4), (−4 , −2), (−2 , 0), (0 , ∞),

6.

c)

f (−6) > 0, entonces, creciente en (−∞ , −4). f (−3) < 0, entonces, decreciente en (−4 , −2). f (−1) < 0, entonces, decreciente en (−2 , 0). f (1) > 0, entonces, creciente en (0 , ∞).

d)

El punto (−4 , −8) es un m´aximo relativo. El punto (0 , 0) es un m´ınimo relativo. M´ aximos: A, C, E. M´ınimos: B, D, F.

7.

a) Falso. b) Verdadero. c) Falso. d ) Falso.

14

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

8.

Funci´ on Derivada Puntos cr´ıticos Intervalos Puntos de prueba Intervalos de crecimiento Intervalos de decrecimiento M´ aximos M´ınimos

√

√1 2 x+1

x y = x−3 3 − (x−3) 2

y = xe−x −xe−x + e−x

x = −1

x=3

x=1

(−1 , ∞)

(−∞ , 3) y (3 , ∞)

(−∞ , 1) y (1 , ∞)

0

2, 4

−1, 2

(−1 , ∞)

-

(1 , ∞)

-

(−∞ , 3) y (3 , ∞)

(−∞ , 1)

-

-

x=1 -

y=

x+1

Analiza y resuelve P´ agina 74 1. La funci´ on v(t) tiene un m´ınimo en x ≈ −3, 19, sin embargo, el ejercicio restringe a los tres primeros minutos, en ese intervalo de tiempo la funci´on es estrictamente creciente y no tiene m´aximos o m´ınimos.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 75-78 1.

a)

C´ oncava hacia abajo: (−∞ , −1, 4) y (0 , 2, 8). C´ oncava hacia arriba: (−1, 4 , 0) y (2, 8 , ∞).

b) Tres puntos 2. Cuando x toma alg´ un valor del conjunto {−3, −1, 1, 2}. 3.

4.

a)

f 00 (−2, 5) = 0 Para x < −2, 5 f 00 (x) > 0. Para x > −2, 5 f 00 (x) < 0.

b)

f 00 (0) = 0 Para x < 0 f 00 (x) < 0. Para x > 0 f 00 (x) > 0.

c)

f 00 (−π) = 0 Para x < −π f 00 (x) < 0. Para −π < x < −2, 5 f 00 (x) > 0.

a) Falso. b) Falso. c) Verdadero. d ) Falso. 15

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

e) Verdadero. 5.

a)

y 0 = 2at + b. y 00 = 2a.

y 0 es la funci´ on que modela la velocidad v(t). 00 y es la funci´ on que modela la aceleraci´on a(t).   2 b −b +4ac c) − 2a , 4a .

b)

d ) Negativo. e) M´ aximo. f ) Positivo. g) Respuesta libre. 6.

a) 36x − 83 . √

b)

c)

x = −322. x = 0.√ x = 322.

 √   √  3 2 81 M´ aximos en las coordenadas − 3 2 2 , 81 , , 2 2 2 . M´ınimos en el punto (0, 0).

d ) Respuesta libre. 7. Verdadero. 8.

a) Verdadero. b) f (x) no tiene m´ınimo. c) f (x) no tiene m´ınimo.

9.

a) C´ oncava hacia arriba. b) C´ oncava hacia abajo.

10.

a) Falso, si existen. b) Falso, por ejemplo x2 . c) Verdadero.

11.

a) 4x3 + 12x2 b)

x = −3. x = 0.

c)

Decrece en el intervalo (−∞ , −3). Crece en el intervalo (−3 , ∞).

d ) 12x2 + 24x. e) Los puntos (−3, 27) y (0, 0). f)

En el intervalo (−∞ , −3) f (x) es c´oncava hacia arriba. En el intervalo (−3 , 0) f (x) es c´oncava hacia abajo. En el intervalo (0 , ∞) f (x) es c´oncava hacia arriba. 16

´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

g) 12.

a) Verdadero. b) Verdadero, f (x) solo tiene un m´ınimo en

13.

a) Respuesta libre. b) Respuesta libre.

¿Qu´ e estamos aprendiendo? P´ aginas 83-86 1.

Falso. Falso. Falso. Falso. Falso. Falso. Falso. Falso. Falso. Verdadero.

2. 3.

a) Falso, no est´ a definida en x = 2. b) Verdadero. c) Falso. d ) Verdadero. e) Verdadero.

17

1 1 e, −e




´ ´ MATEMATICAS 11 - MODULO 3

4.

  −x − 5    x + 5 a) f (x) =  −x + 1    x − 1

if if if if

x ≤ −5 − 5 < x ≤ −2 . −2