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• Lorraine Valentina Mendias

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Wayne W. Daniel, Bioestadística, Base para el análisis de las ciencias de la salud. Limusa Wiley, Cuarta eición en español,2008 Capítulo 7 PRUEBA DE HIPÓTESIS

7.1 INTRODUCCIÓN 7.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE UNA SOLA POBLACIÓN

7.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS DE DOS POBLACIONES

7.7 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANCIA POBLACIÓN

DE UNA SOLA

7.8 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA RAZÓN DE LAS VARIANCIAS DE DOS POBLACIONES

7.9 ERROR TIPO 11 Y LA POTENCIA DE LA PRUEBA

7.4 COMPARACIÓN POR PAREJAS 7.10 CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA 7.5 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN DE UNA SOLA POBLACIÓN

MUESTRA PARA CONTROLAR EL ERROR TIPO 11

7.11 RESUMEN 7.6 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE LAS PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES

7.1

INTRODUCCiÓN En el capítulo anterior se estudió un tipo de inferencia estadística, la estimación. El otro tipo, la prueba de hipótesis, es el tema de estudio en este capítulo. Como ocurre con la esthnación, el propósito de la prueba de hipótesis es ayudar al médico, investigador o administrador a tomar una decisión acerca de una población mediante el examen de una muestra de ella. La estimación y la prueba de hipótesis no son tan distintas como se podría suponer por el hecho de que en la mayoría de los libros de texto se dedica un capítulo por separado a cada una. Como se explica más adelante, es posible utilizar intervalos de confianza para llegar a las mismas conclusiones que se alcanzan al utilizar los procedimientos de prueba de hipótesis que se estudian en este capítulo.

Conceptos básicos Se presentan en esta sección algunos conceptos básicos, indispensables para comprender la prueba de hipótesis. Los detalles específicos de pruebas particulares aparecen en las secciones siguientes.

204

7.1

INTRODUCCIÓN

205

DEFINICIÓN

Una hipótesis se define simplemente como una proposición acerca de una o más poblaciones.

En general, la hipótesis se refiere a los parámetros de las poblaciones para las cuales se hace la proposición. El administrador de un hospital puede suponer que el periodo promedio de permanencia de los pacientes internados en el hospital es de cinco días; una enfermera del área de salud pública puede suponer que un determinado programa educativo hará que mejore la comunicación entre enfermera y paciente; un médico puede suponer que cierto medicamento será eficaz en 90 por ciento de los casos en que se utilice. Por medio de la prueba de hipótesis se determina si tales proposiciones son compatibles o no con los datos disponibles.

Tipos de hip6tesis Los investigadores se interesan en dos tipos de hipótesis: de investigaci6n y estadísticas.

DEFINICIÓN La hipótesis de investigación es la conjetura o suposición que motiva la investigación.

Puede ser el resultado de años de observación por parte del investigador. Una enfermera en salud pública, por ejemplo, puede haber notado que ciertos pacientes respondieron más rápidamente a un tipo particular de programa de educación sanitaria. Un médico recordará numerosos casos en los cuales ciertas combinaciones de medidas terapéuticas fueron más efectivas que cualquiera de ellas por separado. Los proyectos de investigación a menudo se llevan a cabo gracias al deseo de tales profesionales de la salud para determinar si sus teorías o sospechas se pueden sostener o no al ser sometidas a los rigores de la investigación científica. Las hipótesis de investigación conducen directamente a las hipótesis estadísticas.

DEFINICIÓN Las hipótesis estadísticas se establecen de tal forma que pueden ser evaluadas por medio de técnicas estadísticas adecuadas.

En este texto, las hipótesis que se estudian son de este tipo. Para los ejemplos y ejercicios se supone que las hipótesis de investigación ya se han considerado.

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CAPÍTULO 7 PRUEBA DE HIPÓTESIS

Pasos para la praeba de hipótesis Por conveniencia, la prueba de hipótesis se presenta como un procedimiento de diez pasos. Nada hay de mágico o sagrado acerca de este formato particular; simplemente divide el proceso en una secuencia lógica de acciones y decisiones. 1. Datos. Es necesario comprender la naturaleza de los datos que forman la base de los procedimientos de prueba, ya que esto detemina la prueba particular que se ha de utilizar. Se debe determinar, por ejemplo, si los datos constan de conteos o medidas. 2. Supuestos (restricciones). Como se estudió en el capítulo relacionado con la estimación, diferentes suposiciones conducen a modificar los intervalos de confianza. Lo mismo ocurre en la prueba de hipótesis: un procedimiento general se modifica según las suposiciones. De hecho, las mismas suposiciones que son importantes en la estimación, también lo son para la prueba de hipótesis. Se ha visto que éstas incluyen, entre otras, suposiciones respecto a la normalidad de la distribución de la población, igualdad de variancias e independencia de las muestras. 3. Hipótesis. En la prueba de hipótesis se trabaja con dos hipótesis estadísticas que deben anunciarse explícitamente. La primera es la hipótesis que debe probarse, mt:jor conocida como hipótesis nula, y que se designa por el símbolo Ho' La hipótesis nula a veces se conoce como hipótesis de no diftrencia, ya que es una proposición de conformidad con (o sin diferencia respecto a) condiciones que se suponen ciertas en la población de interés. En general, la hipótesis nula se establece con el propósito expreso de ser rechazada. En conseLuencia, el complemento de la conclusión que el investigador desea alcanzar se convierte en el enunciado de la hipótesis nula. En el proceso de prueba, la hipótesis nula se rechaza o no se rechaza. Si la hipótesis nula no se rechaza, se dirá que los datos sobre los cuales se basa la prueba no proporcionan evidencia suficiente que cause el rechazo. Si el procedimiento de prueba conduce al rechazo, se concluye que los datos disponibles no son compatibles con la hipótesis nula, pero sirven como apoyo a alguna otra hipótesis. La hipótesis alternativa, identificada mediante el símbolo HA' es una proposición que se creerá cierta si los datos de la muestra llevan al rechazo de la hipótesis nula. Por lo general, la hipótesis alternativa y la hipótesis de investigación son la misma, y de hecho, se utilizan los dos términos indistintamente.

Reglas para establecer la hipótesis estadística Cuando las hipótesis son del tipo considerado en este capítulo, el indicador de igualdad S; o 2 ) debe aparecer en la hipótesis nula. Por ejemplo, suponga que se requiere responder a la pregunta: ¿Se puede concluir que la media de una población es diferente de 50? La hipótesis nula es:

7.1

INTRODUCCIÓN

207

y la hipótesis alternativa es

Suponga que se desea saber si puede concluirse que la media de la población es mayor que 50. Se tienen las hipótesis:

Si se quiere saber si es posible concluir que la media de la población es menor que 50, las hipótesis son

En resumen, es posible establecer las siguientes reglas empíricas para decidir qué proposición se utiliza como hipótesis nula y cuál como hipótesis alternativa. a) La conclusión a la que se desea o espera llegar como resultado de la prueba generalmente se usa como hipótesis alternativa. b) La hipótesis nula debe contener una proposición de igualdad, ya sea =,::;; o;;::. e) La hipótesis nula es la que debe ser comprobada. d) Las hipótesis nula y alternativa son complementarias. Es decir, las dos contemplan de manera exhaustiva todos los valores posibles que los parámetros de suposición pueden asumir. Precaución Debe señalarse que, en general, ni la prueba de hipótesis ni la inferencia estadística conducen a la prueba de una hipótesis, sino que simplemente indican si ésta es apoyada o no por los datos disponibles. Por lo tanto, cuando no es posible rechazar una hipótesis nula, no se dice que es verdadera, sino que probablemente es verdadera. Cuando se habla de aceptar una hipótesis nula, se tiene presente está limitación y no se desea comunicar la idea de que la aceptación implica la demostración. 4. Estadística de prueba. La estadística de prueba es alguna estadística que se puede calcular a partir de los datos de la muestra. Como regla, existen muchos valores posibles que puede asumir la estadística de prueba, y el valor particular observado depende de la muestra particular extraída. Como se verá más adelante, la estadística de prueba sirve como un productor de decisiones, ya que la decisión de rechazar o no la hipótesis nula depende de la magnitud de la estadística de prueba. Un ejemplo de estadística de prueba es la cantidad

(7.1.1)

208

CAPÍTUl.O 7 PRUEBA DE HIPÓTESIS

donde /lo es un valor supuesto de la media de una población. Esta estadística de prueba está relacionada con la estadística

z

(7.1.2)

que ya nos es familiar.

Fórmula general para la esladística de prueba La siguiente es la fórmula general para una estadística de prueba que se aplica en muchas de las pruebas de hipótesis que se estudian en este libro: . d b esta d stlca e prue a

estad stica relevante - par metro supuesto =--------.!...-------"-error est ndar de la estad stica relevante

En la ecuación 7.1.1., x es la estadística relevante, /lo es el parámetro supuesto, y cr I el error estándar de x.

¡;;

5. Distribución de la estadística de prueba. Se ha señalado que la clave para la inferencia estadística es la distribución muestral. Es necesario recordar esto en los casos en que sea necesario especificar la distribución de probabilidad de la estadística de prueba, Por ejemplo, la distribución de la estadística de prueba

z

sigue una distribución nonnal estándar si la hipótesis nula es verdadera y si satisface las suposiciones. 6. Regla de decisión. Todos los valores posibles que la estadística de prueba puede asumir son puntos sobre el eje horizontal de la gráfica de la distribución para esta estadística y se dividen en dos grupos: uno de ellos constituye lo que se conoce como regi6n de rechazo y el otro fonna la región de no rechazo. Los valores de la estadística de prueba que fonnan la región de rechazo son aquellos que tienen la menor probabilidad de ocurrir, mientras que los que fonnan la región de no rechazo tienen la mayor probabilidad de ocurrir, sí la hipótesis nula es verdadera para ambas regiones. La regla de decisión señala que se debe rechawr la hipótesis nula si el valor de la estadística de prueba que se calcula a partir de la muestra es uno de los valores de la regi6n de rechazo, y que no se debe rechawr la hipótesis nula si el valor calculado de la estadística de prueba es uno de los valores de la región de no rechazo.

Nivel de significación La decisión en cuanto a qué valores van hacia la región de rechazo y cuáles van hacia la región de no rechazo se toma con base en el nivel de significación deseado, designado por a. El ténnino nivel de significación refleja el

7.1

INTRODUCCIÓN

209

hecho de que algunas veces la prueba de hipótesis recibe el nombre de "prueba de significación", y un valor calculado para la estadística de prueba que cae en la región de rechazo se dice que es significativo. El nivel de significación, u, designa el área bajo la curva de la distribución de la estadística de prueba que está por encima de los valores, sobre el eje horizontal, que constituyen la región de rechazo. DEFINICIÓN El nivel de significación (J es una probabilidad y, de hecho, es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera.

Dado que rechazar una hipótesis nula verdadera sería un error, parece razonable que se deba hacer pequeña la probabilidad de cometerlo y, de hecho, esto es lo que se hace. Se elige un valor pequeño de u para hacer que la probabilidad de rechazo para una hipótesis nula sea pequeña. Los valores que se encuentran con más frecuencia son .01, .05 Y .10.

Tipos de errores El error que se comete cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera se conoce como error del tipo l. El error del tipo 11 se comete cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. La probabilidad de cometer un error del tipo II se designa por ~. Siempre que se rechaza una hipótesis nula se tiene el riesgo de cometer un error del tipo 1, al rechazar una hipótesis nula verdadera. Siempre que no se rechaza una hipótesis nula, existe el riesgo de no rechazar una hipótesis nula falsa. En general, aunque se dé un valor pequeño a u no se ejerce control sobre ~, aunque se sabe que en la mayoría de las situaciones prácticas es mayor que u. Nunca se sabe si se ha cometido o no uno de estos errores cuando se rechaza o no se rechaza una hipótesis nula, ya que se desconoce el verdadero estado de las cosas. Si el procedimiento de prueba conduce al rechazo de la hipótesis nula, puede ser un consuelo el hecho de que al dar un valor pequeño a u la probabilidad de cometer un error del tipo 1 también es pequeña. Si no se rechaza la hipótesis nula, no se conoce- el riesgo concurrente de cometer un error del tipo 11, ya que por lo común se desconoce a ~,pero como se ha señalado, en la mayoría de situaciones prácticas, se sabe que es mayor que u. La figura 7.1.1 muestra las posibles acciones que el investigador puede emprender para varias condiciones de una prueba de hipótesis, así como las condiciones en las que se produce cada uno de los dos tipos de error. 7. Cálculo de la estadística de prueba. A partir de los datos contenidos en la muestra, se calcula un valor de la estadística de prueba y se compara contra las regiones de no rechazo y rechazo que ya fueron especificadas. 8. Decisión estadística. La decisión estadística consiste en el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula. Se rechaza si el valor calculado de la estadística de

210

CAPíTULO 7 PRUEBA DE HIPÓTESIS

Acción posible

No rechazar Ha Rechazar Ho

Cond""ó ; ICI n d e l a hilpoteslS nu1a Verdadera Falsa Acción correcta Error tipo 11

Error tipo 1

Acción correcta

FIGURA 1.1.1 Condiciones en las que es posible cometer un error de tipo 1 o un error de tipo lI.

prueba cae en la región de rechazo, y no se rechaza si el valor calculado de la estadística de prueba cae en la región de no rechazo. 9. Conclusión. Si Ho se rechaza, se concluye que HA es verdadera. Si Ho no se rechaza, se concluye que H o puede ser verdadera. 10. Valor de p. El valor de p es una cantidad que indica qué tan insólitos son los resultados de la muestra, considerando que la hipótesis nula sea verdadera. Un valor de p indica que no es muy probable que los resultados de la muestra hayan ocurrido; ofrece lajustificación para dudar de la certeza de la hipótesis nula, si ésta es verdadera.

Es importante aclarar que cuando la hipótesis nula no es rechazada, tampoco se puede decir que se acepta. Se debe decir que la hipótesis nula "no se rechaza". Se evita el uso de la palabra "aceptar" en este caso porque pudiera haberse cometido el error de tipo 11. Dado que, frecuentemente, la probabilidad de cometer un error de tipo 11 puede ser realmente alta, no se pretende cometerlo al aceptar la hipótesis nula. La figura 7 .1.2 muestra un diagrama de flujo de los pasos a seguir cuando se aplica una prueba de hipótesis.

Propósito ck probar la hipótesis Uno de los propósitos de la prueba de hipótesis es ayudar a los administradores y médicos en la toma de decisiones. En general, la decisión clínica o administrativa depende de la decisión estadística. Si se rechaza la hipótesis nula, la decisión clínica o administrativa refleja, por lo general, el hecho de que la decisión es compatible con la hipótesis alternativa. En general, se cumple lo opuesto si no se rechaza la hipótesis nula. Sin embargo, la decisión administrativa o clínica puede tener otras formas, como la decisión de reunir más datos. Sin embargo, en este punto es necesario destacar que el resultado de la estadística de prueba sólo es una parte de la evidencia que influye sobre la decisión administrativa o clínica. La decisión estadística no debe interpretarse como definitiva, sino considerarse junto con toda la demás información importante de que disponga el experimentador. Con base en estos comentarios generales se estudian a continuación pruebas de hipótesis específicas.

7.2

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA L\ MEDIA DE UNA SOU POHUCIÚN

FIGURA 7.1.2

211

Pasos del procedimiento par:a prueba de hipótesis.

7.2 PRUEBA DE IllPÓTESIS Pi\Ri\ LI\ UEDIi\ DE UNA SOLI\ POBLI\CIÓN En esta sección se estudia la prueba de una hipótesis en torno a la media de una población según tres condiciones distintas: 1) cuando el muestreo se realiza a partir de una población de valores que siguen una distribución normal con variancia co­ nocida; 2) cuando el muestreo se realiza a partir de una población con distribución