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• Bentura Ventura

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CAP´ITULO 6

Ecuaci´on de conservaci´on de la masa Como se vio en la lecci´on anterior, el principio de conservaci´on de la masa aplicado a un volumen fluido cualquiera, Vf (t), se escribe Z d ρdV = 0 . (6.1) dt Vf (t) Esta ecuaci´on puede ser referida a cualquier volumen de control Vc (t) mediante la aplicaci´on del Teorema de Transporte de Reynolds en la forma (5.6) con φ = ρ: Z Z d ρdV + ρ(~v − ~vc ) · ~nds = 0 . (6.2) dt Vc (t) Sc (t) F´ısicamente esta ecuaci´on expresa que la variaci´on total de la masa contenida en Vc (t), m´as el flujo convectivo neto de masa a trav´es de la superficie Sc (t) es igual a cero.

6.1. Ecuaci´on de continuidad Para obtener la ecuaci´on de conservaci´on de la masa en forma diferencial se aplica el Teorema de Transporte de Reynolds al volumen fluido Vf (t) en (6.1) y posteriormente se transforma la integral sobre la superficie fluida cerrada Sf en una integral sobre Vf mediante el uso del teorema de Gauss (2.77), obteni´endose Z Z ∂ρ dV + ∇ · (ρ~v )dV = 0 . (6.3) Vf ∂t Vf Como Vf es un volumen arbitrario, el integrando tiene que ser nulo, proporcionando la ecuaci´on diferencial ∂ρ + ∇ · ρ~v = 0 , (6.4) ∂t que se suele denominar ecuaci´ on de continuidad o ecuaci´on diferencial de conservaci´on de la masa. El primer t´ermino representa la variaci´on temporal de la masa por unidad de volumen, mientras que el segundo es el flujo convectivo de masa por unidad de volumen (recu´erdese el significado f´ısico de la divergencia).

�x �x0 �x0 (γ) �v z S ω � r�n θ ds

�er �eθ �eϕ r θ z

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r θ ϕ

�er �eθ �eϕ

ω � �n ds �xS L�x0 d�l �v �x0 (γ) �v L d�l �v ω � � � n ds δV �x �r �v �v + δ�v SP L Q dl �v

δV r �xθ ϕ�r �v �v + δ�v

r θ z

P δV Q

�x �r �v �v + δ�v

P Q ω � 2

´ MECANICA DE FLUIDOS. R Fern´ andez Feria y J. Ortega Casanova 1

ds �n S

r θ ϕ ds �n S Γ V

Γ V

1 ω � (�v + δ�v )δt δV � 2δS

�x �x0 y gasto m´ 6.2. Flujos �xincompresibles asico ds �n S Γ yV compresibles. Caudal �x

1 ω � 2

0 � (�v +�x0δ� v )δt δV (γ) �v � δS � a1 �a2 (�v + δ�v )δt δV δS �x0 (γ) �v ω � � n ds S L d l � v Los l´ıquidos son, acticamente incompresibles, es decir, su densidad �x como �x ya sabemos, pr´ ω � �n ds S 0 L d�l �v � a1 oan 2 de continuidad �x0 (γ)constante. �v a2 l´ aV1 (t) es, a efectos pr´acticos, Por tanto, la ecuaci´ un toma �v ρ e f�� de Sıquido ds �n f�n qn f (t) dV � δV � x �r �v �v + δ�v Pv Qf ω � �n ds S L dl �v la forma simple δV �x �r �v �v + δ�v P Q �v ρ e f�v Vf (t) Sf (t) �v dVρ −11 ds ��nv V f�n qn � F d0 d ∼ d e f∼ d−5f (t) Sf (t) dV ds �n f δV �x �r �v �v + δ�v P Q 1 ∇1 · ~v =F0 , d0 d ∼ d−11 ∼ d−5 F d d 2 ω�∼ d−11 (6.5) ∼ d−5 0 ω � Gases 2 1 (�v + δ�v )δt δV � δS o, en forma integral, ω � Gases (�v + δ�v )δt δV � δS L´ıquidos Gases 2 Z � a a (�v + δ�v )δt δV � δS L´ıquidos L´ıquidos � a 1 a2 (~v − ~vc ) · ~n ds = 10 ; 2 Fuerza de atracci´ (6.6) on Sc �v ρde eatracci´ f�v oVnf (t) Sf (t) dV ds �n f�n qn � a�1 a2 Fuerza de atracci´on �v neto ρ e de fv masa Vf (t) a Strav´ dVde ds �n Fuerza f�n superficie qn f (t) es Fuerza de S repulsi´ n es decir, el flujo cualquier cerrada c es onulo. −11 −5 F�n de df�0n repulsi´ dqn ∼ond ∼d �v ρ e f� V (t) S (t) dV ds Fuerza de repulsi´ on F d0 d ∼ d−11v ∼f d−5 f �v δt �v · �nδtFuerza �n δs S F d0 d ∼ d−11 ∼ d−5 �v δt Gases �v · �nδt �n δs S Gases ST �v �n �v δt �v · �nδt �n δs S Gases �v �n ST L´ıquidos ST �v �n L´ıquidos

L´ıquidos Fuerza de atracci´on

Fuerza de atracci´on

Fuerza de atracci´on Fuerza de repulsi´on

Fuerza de repulsi´on

Fuerza de repulsi´on �v δt �v · �nδt �n δs S

�v δt �v · �nδt �n δs S

ST

�v δt �v · �nδt �n δs S �v �n ST

ST

�v �n

�v �n

Figura 6.1: Conservaci´ on del caudal de un flujo incompresible o del gasto m´ asico de un flujo compresible y estacionario a lo largo de un tubo de corriente.

Si Sc es un tubo de corriente, como el representado en la Fig. 6.1, el caudal Rque circula por su interior es el mismo en todas las secciones transversales; es decir, Q ≡ ST ~v · ~nds, donde ST es cualquier secci´on transversal del tubo de corriente, es invariante a lo largo del mismo. Esto es consecuencia de (6.6) y de que el fluido no puede atravesar la superficie lateral del tubo de corriente por estar constituido por l´ıneas de corriente. La ecuaci´on de continuidad tambi´en se simplifica para los flujos compresibles de gases (ρ 6= constante) si el movimiento es estacionario: ∇ · ρ~v = 0 .

(6.7)

En forma integral, Z

Sc

ρ(~v − ~vc ) · ~nds = 0 ,

(6.8)

tambi´en expresa que el flujo neto de masa a trav´es de cualquier superficie cerrada es cero. Consecuencia de lo anterior es que el gasto m´ asico que circula por el interior de un tubo

´ DE CONSERVACION ´ DE LA MASA CAP´ITULO 6. ECUACION

A B

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�n dx dy

A B

ds ψA

�n dx dy

ds ψA

ψB ψB

A B �n dx dy ds ψA ψB B dydy �n ds dx AA BB �n �nAdxdx ds ψdy ψA ψds ψB ψA ψB A B A B

�n dx dy A B

ds ψA

ψB

�n dx dy

ds ψA

ψB

Figura 6.2: Caudal entre dos l´ıneas de corriente.

R de corriente, G ≡ ST ρ~v · ~nds, permanece constante a lo largo de ´el. Obs´ervese que el gasto m´asico tiene dimensiones de masa por unidad de tiempo (kg/s en el SI), mientras que las dimensiones del caudal son de volumen por unidad de tiempo (m3 /s en el SI). La ecuaci´on (6.5) tambi´en nos dice que el campo de velocidad de un l´ıquido (de un flujo ~ tal que incompresible) es solenoidal, existiendo una funci´on potencial vector ψ ~, ~v = ∇ ∧ ψ

~ = 0. ∇·ψ

(6.9)

Como ya se vio en la secci´on 3.7, esta representaci´on del campo de velocidad tiene ventajas ~ tiene una sola componente sustanciales solo en los movimientos bidimensionales, en los que ψ ~ = ψ~n, donde la funci´on de corriente ψ proporciona las l´ıneas perpendicular al movimiento, ψ de corriente. Otra propiedad interesante de la funci´on ψ es que el caudal (bidimensional) entre dos l´ıneas de corriente viene dado por la diferencia entre los valores de ψ en esas l´ıneas de corriente. En efecto, utilizando coordenadas cartesianas, vx =

∂ψ , ∂y

vy = −

∂ψ , ∂x

(6.10)

y teniendo en cuenta que dψ ≡

∂ψ ∂ψ dx + dy = −vy dx + vx dy , ∂x ∂y

si dos l´ıneas de corriente A y B vienen dadas por ψ = ψA y ψ = ψB , el caudal entre ellas es (ver figura 6.2): Z B Z B Z B Q= ~v · ~nds = (vx dy − vy dx) = dψ = ψB − ψA , (6.11) A

A

A

donde se ha hecho uso de ~nds = (dy, −dx)T . En el flujo estacionario de un gas, la densidad de cantidad de movimiento, ρ~v , es tambi´en solenoidal (6.7), por lo que se puede definir un potencial vector:

´ MECANICA DE FLUIDOS. R Fern´ andez Feria y J. Ortega Casanova

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~. ρ~v = ∇ ∧ ψ

(6.12)

Si el movimiento es adem´as bidimensional, de forma similar al caso incompresible se puede definir una funci´on de corriente que, en coordenadas cartesianas ser´ıa ρvx =

∂ψ , ∂y

ρvy = −

∂ψ , ∂x

(6.13)

de forma que dψ ≡

∂ψ ∂ψ dx + dy = −ρvy dx + ρvx dy , ∂x ∂y

y el gasto m´asico (bidimensional) entre dos l´ıneas de corriente viene dado por la diferencia entre los valores de ψ en esas l´ıneas de corriente: Z B Z B Z B dψ = ψB − ψA . (6.14) ρ(vx dy − vy dx) = ρ~v · ~nds = G= A

A

Referencias. G. K. BATCHELOR, 1967. Cap´ıtulo 3. D. E. ROSNER, 1986. Cap´ıtulos 2 y 3.

A