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• Alberto Raez Jaramillo

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DEDICATORIA

Dedicamos esta monografía en primer lugar a Dios, por darnos la dicha de la salud y bienestar físico y espiritual, también a mis padres, como agradecimiento a su esfuerzo, amor y apoyo incondicional, durante mi formación tanto personal como académica. Al docente, por brindarme sus recomendaciones y sabiduría en el desarrollo de cada clase y que ha influido en la realización de este trabajo

OBJETIVOS 

Aplicar los principios de la física sobre la: conservación de masa, cantidad de movimiento y de la energía.



Representar los conceptos del movimiento de los fluidos reales.



Encontrar una relación clara y concisa de la teórica expresada en este informe acerca de la Conservación de Masa y Ecuación de continuidad en la vida cotidiana.

INTRODUCCIÓN La Mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos, las aplicaciones, mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos y sus procesos de interacción con los cuerpos sólidos. Esta parte de la física hoy la conocemos es una mezcla de teoría y experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de los ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro del trabajo de básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque analítico. Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite. Es imprescindible resaltar que Antoine Laurent Lavoisier (1743 - 1794) postula la ley básica de las ciencias naturales y especialmente de la Ecuación de continuidad en 1789 lo siguiente: «En un sistema aislado, durante toda reacción química ordinaria, la masa total en el sistema permanece constante, es decir, la masa consumida de los reactivos es igual a la masa de los productos obtenidos» Este concepto se ha convertido uno de los pilares no solo para la Química, sino para la mayoría de las ciencias naturales y otras materias debido a que es un principio que se cumple en todos los sistemas. Por ello, este principio sirve en Mecánica de fluidos como base para la demostración de la ecuación de continuación.

MARCO TEORICO EL ANÁLISIS INTEGRAL Es el análisis físico de un volumen imaginario (volumen de control), transformando las leyes básicas del sistema a un sistema de ecuaciones integrales en un volumen de control, haciendo uso del método euleriano. Al analizar un volumen de control no siempre se dispone de datos detallados sobre el flujo con el cual se puedan dar simplificaciones de las integrales. Una información más detallada se obtiene por medio de pruebas de laboratorio (modelos a escala reducida) ó por técnicas analíticas, reduciendo el estudio a puntos fijos de donde se obtienen finalmente las ecuaciones de la Mecánica de los Fluidos en forma Diferencial

CONSERVACION DE MASA Inicialmente se tiene la ley de conservación de la masa, la que consiste en que, para un sistema sin pérdidas, la masa no se crea ni se pierde, por lo tanto la masa que entra en un intervalo de tiempo es igual a la que sale en ese mismo intervalo de tiempo, esto se cumple sin importar que tan pequeño sea el intervalo de tiempo. Un sistema se define como un grupo de contenido sin variaciones; por ello, el principio de la conservación de la masa se plantea lo siguiente: RAZON DE CAMBIO CON RESPECTO AL TIEMPO DE LA MASA DEL SISTEMA = 0

Inicialmente, según el principio de conservación de la masa se tiene:

m   me   ms

dm  dme  dms Expresando matemáticamente seria de esta manera: dMsistema 0 dt

Donde la masa del sistema Msistema, se expresa de manera más general como

M

sistema

 



sistema

d

d = Derivada del volumen del sistema  = densidad

……...(1)

En la ecuacion anterior numero 1,definimos que M que viene a ser la masa del sistema sera igual a la integral del producto densidad y derivada del volumen del sistema.En otras palabras esa integral representa la suma de todos los productos densidad y volumen del sistema. Según el teorema de Transporte de Reynolds para un volumen de control cuando el volumen de control es fijo:  dBsistema    VC pbd   SC pbW.nd dt t

(

dNsistema  )S   VC pd   SC (p.V.dA) dt t

Si el volumen de control se encuentra en movimiento con una velocidad uniforme V VC la velocidad que se debe utilizar, el en teorema de transporte de Reynolds, es la velocidad relativa al volumen de control. Si V es la velocidad del flujo, c/r a un sistema de referencia fijo, entonces la velocidad relativa al volumen de control será W  V  VVC (

dNsistema  )S   VC pdV   SC (p.W.dA) dt t

Ahora aplicamos el Teorema de Reynolds para un sistema y volumen de control indeformable que van a coincidir en un instante dado: d  d   d   V.dA  sc dt sistema t vc

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds tenemos que la propiedad extensiva es la masa m y la propiedad intensiva es igual a la unidad  

N=m  1

0

 d   V.dA sc t vc

Esta ecuación nos dice que la cantidad de masa que pasa por la superficie de control es igual a la disminución por unidad de tiempo de la masa que ocupa el volumen de control. Si tenemos que el flujo es permanente: dMsistema 0 dt

Se tiene que:



S.C

(V.d)  0 ………………… (1)

Se tiene que el resultado del flujo masico neto a través de la superficie de control es: . .

.

  .V .dA   mafuera   madentro De la ecuación (1) se sabe que



S.C

(V.d)  0 ,por ello reemplazando en la

ecuación (2) tendremos que: . .

.

0   mafuera   madentro Esto quiere expresar que la masa que entra al volumen de control es igual a la masa que sale.

La expresión matemática que representa el flujo masico a través de dA es:

 V.d

Por otro lado, el flujo masico a través de una superficie cualquiera A es: .

m   V.d A

Ahora teniendo el término V.d que viene a ser el flujo volumétrico a través de dA. El flujo volumétrico que pasa a través de una superficie cualquiera A se denomina caudal Q y es: Q   V.d A



Q = flujo volumétrico (pies3/s o m3/s)

Si la densidad es constante en el are de integración se tiene .

m   V.d   V.d A

A

.

m   V.d  Q A

Es importante resaltar lo siguiente: 

Para flujos incompresibles ρ esta distribuida uniformemente sobre el área A.



Para flujos compresibles Normalmente se considerará una densidad de fluido distribuida uniformente en cada sección de flujo y se permitirá que ocurran cambios de densidad solo de una sección a otra.

Por ello,se define la velocidad media como la velocidad que tendría el flujo en una sección de paso dada A, si el perfil de velocidades fuera constante y el flujo masico se mantuviera, es decir: V

Por tanto

 V .d A A

A

A

Q VA .

m  Q  VA

Aplicación de la Conservación de la Masa-Ecuación de Continuidad Algunos ejemplos en la vida cotidiana de la ecuación de continuidad pueden ser: 

Cuando un fluido va por una manguera, el caudal no varía lo que varía es la velocidad o el área transversal de la manguera.



Cuando el agua de nuestros hogares fluye por una tubería de diferentes áreas y con ello diferentes velocidades y presiones.



En la aeronáutica, para diseñar los distintos componentes y someterlos a pruebas para su correcto funcionamiento, por ejemplo, los motores a propulsión de los aviones. En las conexiones industriales de agua por las diferentes redes de tuberías. Para determinar el periodo de tiempo necesario para el llenado y vaciado

  

En las conexiones de las mangueras a hidrantes, para poder determinar la velocidad necesaria que podría ser efectiva para poder sofocar un incendio o siniestro.

PROBLEMA En el ducto que se muestra a continuación se mezclan agua a 1 m3/s y alcohol (DR=0.8) A 0.3 m3/s ¿Cuál es la densidad media de la mezcla de alcohol y agua?

Resolución Usando el volumen de control. Nosotros notamos lo siguiente: .

m   AV Y del principio de conservación de la masa, nosotros obtenemos : .

.

.

.

.

m1  m2  m3  m0.8v  mv Luego

 AV 1 1   A2V2   A0.8V 0.8V   AV V

Reemplazando los datos en el problema nosotros tenemos:

V

(50 ft )(3 ft )(3 ft s)  (80 ft )(5 ft )(4 ft s) (30 ft )(6 ft )(0.8)  (70 ft )(6 ft )

V  3.63 ft s

REFERENCIAS 

POTTER M.C., WIGGERT D.C. “Mecánica de Fluidos”. Ed. Thomson. Ciencias e Ingenierías.

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MUNSON B.R., YOUNG D.F., OKIISHI T.H. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos” Ed. Limusa Wiley.

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FRANZINI J.B. y FINNEMORE E.J. “Mecánica de Fluidos – con aplicaciones en Ingeniería” Ed. Mc. Graw-Hill

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WHITE F.M. “Mecánica de los fluidos” Ed. Mc. Graw-Hill 1983.

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Josep M. Bergadà Grañó “Mecánica de fluidos” Editorial UPCGRAU 2012