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• Louis Martinez Acevedo

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Medidas De Tendencia Central

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Este documento fue elaborado por la Maestra Edith Pérez y para su realización fueron consultadas las siguientes fuentes: • Custodio, Carlos (2007) Estadística Básica, 4ta. Edición, Editora Búho, República Dominicana • Richard I. Levin & David S. Rubin (2004), Estadística para Administradores, 7ma. Edición, Editorial Prentice Hall, México • Pea, Daniel, Fundamentos de Estadística (2008), 2da. Edición, Editorial: Alianza, España. • Weiers, Ronad M. (2006) Introducción a la Estadística para Negocios, 5ta. Edición, Editoria Thomson, México. • Johnson, Robert; Kuby, Patricia, (2008) Estadística Elemental, Lo Esencial, Edición 1, Editorial: Cengage Learning, Argentina • Johnson, Robert; Kuby, Patricia (2008) Estadística Elemental, Lo esencial, Edición 1, Edición 2008, Editorial: Cengage Learning, Argentina.

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Medidas De Tendencia Central o De Centralización Al

describir

grupos

de

observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de

tendencia

central

o

de

centralización. Sirve para comparar un conjunto de datos con otro con igual unidad de

http://3.bp.blogspot.com/FG8pUCOmjJw/VVpLWhf3VNI/AAAAAAAAAjI/ZO4MbUImUI/s1600/0036.jpg

medida, con frecuencia a esta medida se le suele llamar promedio, y se define como aquel valor que se utiliza para representar un conjunto de datos. Se expresa en las mismas unidades que los valores de la variable. Las medidas de tendencia central o promedios más utilizados son: 12345-

Media Aritmética Mediana Moda Media Geométrica Media Armónica

Cada una de ellas tiene sus características particulares, las cuales se ponen de manifiesto en función del comportamiento que tengan los datos. La media aritmética, la mediana y la moda son las tres medidas de tendencia central con mayor uso, mientras que la media geométrica y la media armónica son usadas en casos especiales.

Datos NO Agrupados y Datos Agrupados: Los datos con que se realiza el análisis estadístico pueden estar disponibles individualmente o agrupados en una disposición de frecuencias. 2

Los procedimientos de cálculo de las medidas de posición podrían variar según la situación. Cuando disponemos de poco valores, que no ameritan ser organizados en una distribución de frecuencias a estos datos le llamaremos NO agrupados y usaremos el procedimiento y fórmulas correspondientes para estos casos.

Media Aritmética La media aritmética es la medida de tendencia central o promedio más conocida y más ampliamente usada de todas. Se define como el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Esta se representa con la letra X (que se lee “x barra”). Es importante saber que para denotar una suma se utiliza la letra griega:

Esta indica la suma total. entonces la sumatoria

http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/v md/mirror/a/arithmeticmean.gif

Ejemplo: si la variable X toma valores 5, 10, 15,14

La Media Aritmética Para Datos No Agrupados Para calcular la media aritmética para datos NO agrupados (cuando disponemos de pocos valores) usamos: = Ejemplo: • El número de pasajeros que abordaron 7 autobuses del transporte público al salir de su terminar durante una hora fue como sigue:

3

Procedemos a sumar todos los valores y los dividimos entre el total de valores.

La media aritmética o promedio del número de pasajeros que abordaron 7 autobuses del transporte público al salir de la terminar es de 43 pasajeros.

La Media Aritmética Para Datos Agrupados Para calcular la media aritmética para datos Agrupados (cuando disponemos de una distribución de frecuencias) usamos:

Para este caso el Xi es el punto medio de la distribución de frecuencias que es el valor que se obtiene de la semisuma de los límites de clase. Una vez obtenidos los puntos medios de clase se procede a multiplicar cada punto medio de clase por su frecuencia simple correspondiente. Ejemplo: La siguiente distribución de datos se refiere al peso en Kg de 65 personas adultas: Peso ( en Kgs)

fi (No. personas)

[50, 60)

8

[60, 70)

10

[70, 80)

16

[80, 90)

14

[90, 100)

10

[100, 110)

5

[110, 120)

2

Total

65

Ahora procedemos a calcular el punto medio de cada clase y luego lo multiplicamos por su frecuencia simple correspondiente.

4

Peso ( en Kg)

fi

Xi

Xifi

[50, 60)

8

55

8* 55 = 440

[60, 70)

10

65

10*65 = 650

[70, 80)

16

75

[80, 90)

14

85

16*75 =1,200 14*85 =1,190

[90, 100)

10

95

10*95 =950

[100, 110)

5

105

5*105 =525

[110, 120)

2

115

2*115 =230

Total

65

La media aritmética o promedio del peso en Kg de las 65 personas es de 79.77 Kg.

Media Aritmética Ponderada Se utiliza cuando al calcular la media aritmética se considera cada uno de los valores de acuerdo con su importancia en el grupo se le llama media aritmética ponderada.

Ejemplo: Un estudiante de UNICARIBE obtuvo las siguientes calificaciones durante su primer cuatrimestre

5

Calificacio nes Créditos (Xi) (Wi)

Asignaturas

XiWi

Orientación Académica Institucional

90

4

360

Método del Trabajo Académico

85

3

255

Matemática I

72

4

288

Administración I

80

3

240

Total

14

→

En base 4 se realiza el siguiente procedimiento (Regla de Tres) 4

100

X

82 3.27 puntos

El resultado anterior nos indica que ese estudiante universitario obtuvo un índice académico de 81.64 puntos en base a 100 puntos lo que equivale a 3.27 en base a 4 puntos, durante su primer cuatrimestre en UNICARIBE.

Mediana Es una tìpica medida de posicion y se define como el valor central de una serie de datos ordenados, o sea es un valor tal que no mas de la mitad de las observaciones son menores que él y no más de la mitad, mayores. Esto nos

6

quiere decir, que el 50% de las observaciones son menores o iguales que él y el otro 50% son mayores o iguales. Se representa con las letras (Me). Cuando se tienen datos sin agrupar y se desea calcular la mediana es necesario, en primer lugar ordenarlos de acuerdo a su magnitud. Luego se determina el valor central de la serie de datos y esa es la mediana. Si el numero de es par, existiran dos valores centrales y entonces la mediana se obtiene haciendo el promedio de ellos.

Mediana Para Datos No Agrupados Ejemplo 1: El número de pasajeros que abordaron 7 autobuses del transporte público al salir de su terminar durante una hora fue como sigue:

Primero ordenamos los datos:

Luego procedemos a ubicar la posición: =

(indica la posición de la mediana)

Posición 4

Ejemplo 2: Suponiendo que el número de autobuses del ejemplo anterior es 8 y el número de pasajeros era el siguiente: , 47 =

(indica la posición de la Mediana)

7

En este caso la mediana se halla entre la posición 4 y 5, , 50 Posición 4

Posición 5

Entonces para hallar la mediana procedemos a buscar el promedio de los valores que están en la posición 4= 44 y el valor de la posición 5 = 45:

Mediana Para Datos Agrupados Para calcular la mediana para datos Agrupados (cuando disponemos de una distribución de frecuencias) es necesario primero determinar en qué clase esta contenido el valor de la mediana. El procedimiento para establecer cuál es la clase que contiene el valor de la mediana se efectúa de la siguiente forma: 1- Se toma la mitad del total de las observaciones = n/2. 2- Localizar en la frecuencia acumulada (FI) el valor obtenido al dividir n/2 que iguale o lo exceda próximamente. 3- Al identificar esta clase, determinar el valor de la mediana, a través de la siguiente fórmula:

Fórmula Para Calcular La Mediana Para Datos Agrupados

Donde, LI = límite inferior de la clase que contiene la mediana. N= número total de valores u observaciones en la distribución de frecuencias. fi= frecuencia simple de la clase que contiene a la mediana Ci= Intervalo de clase de la clase que contiene la mediana.

8

Ejemplo: La siguiente distribución de datos se refiere al peso en Kg de 65 personas adultas:

Peso( en Kg)

fi (No. personas)

[50, 60)

8

[60, 70)

10

[70, 80)

16

[80, 90)

14

[90, 100)

10

[100, 110)

5

[110, 120)

2

Total

65

1ero: Hallamos la frecuencia acumulada de la distribución de frecuencias Peso en Kg

Fi

FI (menor que)

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

8 +10 = 18

[70, 80)

16

18 + 16 = 34

[80, 90)

14

34 + 14 = 48

[90, 100)

10

48 + 10 =58

[100, 110)

5

58 + 5 = 63

[110, 120)

2

63 + 2 =65

Total

65

2do: Dividimos el número de observaciones entre 2: =

9

3ero.: Con el resultado anterior obtenido (32.5) Localizamos la clase donde se encuentra contenida la mediana: como no hay ningún valor en la frecuencia acumulada (FI) igual 32.5, tomamos entonces el valor mayor siguiente = 34 De esta manera la clase que contiene la mediana es clase de 70 a menos de 80 Kgs. fi LI

Fi Peso en Kgs

CI = 80-70=10

FI (menor que)

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

8 +10 = 18

[70, 80)

16

18 + 16 = 34

[80, 90)

14

34 + 14 = 48

[90, 100)

10

48 + 10 =58

[100, 110)

5

58 + 5 = 63

[110, 120)

2

63 + 2 =65

Total

65

Clase donde se encuentra ubicada la mediana.

4to.: Procedemos a buscar los datos de las incógnitas de la formula:

LI= 70

fi = 16 CI = 10 Una vez obtenidos los valores de las incógnitas procedemos a sustituirlos en la formula y posteriormente a los cálculos aritméticos correspondientes.

10

79.06 Kgs.

El 50% de los de las personas adultas tienen un peso de 79.06 Kgs o menos y el 50% restante tienen un peso de 79.06 Kgs o más.

Moda Esta medida de posición se asocia con el valor más común, más típico o que ocurre más frecuentemente en un conjunto de datos. Es el valor al cual corresponde la mayor frecuencia. Se representa con la letra (Mo). Cabe

mencionar

que

en

media

http://www.universoformulas.com/wpcontent/uploads/2014/04/moda-520x245.jpg

aritmética y mediana solo puede haber una de cada una en un conjunto de datos, en cambio, de moda puede haber una, varias o ninguna. Para datos no agrupados este valor se puede obtener por simple observación: Ejemplo El número de pasajeros que abordaron 7 autobuses del transporte público al salir de su terminar durante una hora fue como sigue:

se puede observar el valor mas frecuente es el 46.

Moda Para Datos Agrupados Para datos Agrupados el procedimiento consiste en: 1. Identificar la clase donde está contenida la moda, para esto solo tenemos que buscar aquella clase que tenga la frecuencia simple mayor. 11

2. Identificada esta clase procedemos a determinar el valor de la moda mediante la siguiente formula:

Donde, Li= Limite inferior de la clase donde esta ubicada la moda.

f m = frecuencia simple de la clase que contiene la moda(frecuencia simple Mayor) f m-1 = frecuencia simple anterior a la frecuencia simple de la clase que contiene La moda (frecuencia simple anterior a la seleccionada) f m+1 = frecuencia simple posterior a la frecuencia simple de la clase que contiene La moda (frecuencia simple posterior a la seleccionada). CI = Intervalo de clase de la clase. Ejemplo: La siguiente distribución de datos se refiere al peso en Kg de 65 personas adultas: Peso( en Kg)

fi (No. personas)

[50, 60)

8

[60, 70)

10

[70, 80)

16

[80, 90)

14

[90, 100)

10

[100, 110)

5

[110, 120)

2

Total

65

1ero. Procedemos a ubicar la frecuencia simple mayor, que será la clase que contiene la moda. 12

Peso (en Kg)

fi (No. Personas)

[50, 60)

8

[60, 70)

10

[70, 80)

16

[80, 90)

14

[90, 100)

10

[100, 110)

5

[110, 120)

2

Total

65

La clase que contiene la moda es aquella comprendida entre 70 y menos de 80 kg. Cuya frecuencia simple es 16. Ahora procedemos a buscar las demás incógnitas de la formula:

LI = 70

f m = 16 f m-1 = 10 f m+1 = 14 CI = 10 =

=

= 70 + (0.75) 10 = 70 + 7.5 =77.5 Kgs.

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