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• ريكاردو كيما

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Nivel de Dificultad I Ejemplo 1: Una empresa de automóviles tiene 10 vendedores empleados. Los mismos que obtuvieron las siguientes ventas ( Número de autos) en las fiestas de Navidad: 15 10

23 10

4 8

19 28

18 19

a. Obtener el número de autos vendidos por cada vendedor Solución : -

Tal como podemos apreciar, los datos son no agrupados dado que cada uno de éstos no tienen una frecuencia. En consecuencia, debemos utilizar :

∑ Xi X = ----------------- , donde i = 1, 2, … n

n -

Esto quiere decir que sumaremos ( ∑ ) todos los datos, desde X1 = 15, X2 = 23, . . . hasta X10 = 19. Tal como se puede ver a continuación :

∑ Xi

15 + 23 + . . . + 19

154

X = ------------- = --------------------------------- = -------------

10

n

X -

=

10

15,4 ≈ 16 autos

Por lo tanto, cada vendedor ha vendido en promedio 16 autos. Ningún vendedor puede haber vendido 15,4 autos en la medida que se trata de una variable cuantitativa discreta.

Ejemplo 2 : Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información: 

El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una

frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.  La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y 16 semanas respectivamente. Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas.  El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas



Con esta información construya la distribución de frecuencias y calcula la media, mediana, moda

Solución : -

Primero procedemos a insertar una tabla correspondientes para construir las frecuencias: [ [ [ [

X’i

Variable a - 6 [ 6 [ [ ]

8 16 ----

fi 20 40 30 10 100

hi 0.20 0.40 0.30 0.10 1.00

con Fi 20 60 90 100

las

divisiones Hi

-

A continuación insertamos la información que nos han dado. Por ejemplo, el extremo superior del primer intervalo que es “ 6 ”. Sólo debemos tener 4 intervalos. No más. En consecuencia, no necesitamos aplicar Sturges para conocer el número de intervalos

-

Por otro lado, el primer intervalo tiene una frecuencia relativa de 0.20. La segunda marca de clase es 8 y la marca de clase del último intervalo es 16

-

Además, hasta el segundo intervalo se acumula ( Fi ) = 60 ventas y el tercer intervalo presenta una f i = 30 ventas

-

La suma de fi :

-

Como

-

Por lo tanto,

-

En consecuencia, como

∑ f i = n = 100 ventas

h1 = f1 / n

0.20 = f1 / 100

f1 = 0.20 x 100 = 20

F1 = f1 = 20

F2 = F1 + f2 60 = 20 + f2

f2 = 60 – 20 = 40

-

Por lo tanto,

-

Como

-

Por diferencia, hallamos f 4 = 100 – ( 20 + 40 + 30 ) f 4 = 10

-

Habiendo obtenido todos los datos de todas las frecuencias absolutas, entonces procedemos a obtener todas las frecuencias relativas :

∑ f i = f1 + f 2 + f 3 + f 4 = 100

-

Ya sabemos que :

hi = fi / n

-

Terminamos de acumular Fi, tal como se hizo para F2

-

El proceso de acumulación de frecuencia relativa acumulada Hi es similar al caso de la Fi

-

Hallando los intervalos. Tal como podemos ver en la tabla en el primer intervalo los límites son : [ a - 6 [

-

Pero también sabemos que para determinar el límite superior del intervalo, al límite inferior le sumamos el valor de la amplitud (A), tal como veremos a continuación: [ a - (a + A) [

-

Para el siguiente intervalo tenderíamos que al valor (a + A) le debemos sumar de nuevo la amplitud “ A “ : [ (a + A) - { (a + A) + A } [

-

Pero como en el primer intervalo el límite superior tiene un valor específico ( 6 ), entonces donde tenemos (a + A) reemplazamos por ese valor específico, de tal forma que tendríamos lo siguiente : [ 6 - { (6)+A } [

-

Por otro lado, este intervalo tiene una “marca de clase” X’2 = 8, tal como podemos ver en la tabla. Además, toda marca de clase se halla son la semi-suma de los límites de cada intervalo. En este caso como necesitamos conocer la amplitud “A” para hallar todos los intervalos, entonces podemos igualar lo siguiente: ( 6 + ( 6 + A) ) / 2 = 8

-

Como sabemos el denominador “ 2 “ pasará al otro lado multiplicando : 6 + 6 + A = 8x2 A = 16 - 12

-

Entonces, el valor de la amplitud es A = 4 ventas

-

Por lo tanto, nuestro primer intervalo se inicia con : a = 2 [ 2 - 6 [

-

El segundo intervalo será :

[ 6 - (6+ 4)[ [ 6 - 10 [ -

Finalmente, los 4 intervalos serán : [ 2 [ 6 [ 10 [ 14 -

-

6 10 14 18

[ [ [ ]

La tabla completa es tal como aparece a continuación : Número Ventas [ 2 - 6 [ [ 6 - 10 [ [ 10 - 14 [ [ 14 - 18 ]

X’i 4 8 12 16 ----

fi 20 40 30 10 100

hi 0.20 0.40 0.30 0.10 1.00

Fi 20 60 90 100

Hi 0.20 0.60 0.90 1.00

Ejercicios y Problemas Propuestos 1. Obtenga la media aritmética de los siguientes valores : 6

3

5

7

6

2. Calcule la media aritmética de los siguientes valores muestrales : 1.3

7.0

3.6

4.1

5.0

3. Determine el salario medio por hora pagado a los carpinteros que obtuvieron los siguientes ingresos (US $) 15.40 22.76

20.10 30.67

18.75 18.00

4. Una empresa de automóviles tiene 10 vendedores empleados. Los mismos que obtuvieron las siguientes ventas en la fiestas de Navidad: 15 10

23 10

4 8

19 28

18 19

a. Obtener el número de autos vendidos por cada vendedor 5. A continuación se presentan el número de cambios de aceite realizados en una estación de PRIMAX :

41

15

39

54

31

15

33

a. Obtener el valor de la mediana de los cambios de aceite efectuados b. Obtener el valor Modal de los cambios de aceite efectuados 6. Los siguientes datos representan variaciones porcentuales de los ingresos netos del año 2009 al 2010 de 12 empresas de construcción con sede en Lima: 5 7

1 8

-10 2

-6 5

5 -1

12 11

a. Obtener la media de las variaciones porcentuales b. Obtener el valor de la mediana de los cambios de aceite efectuados c. Obtener el valor Modal de los cambios de aceite efectuados 7. A continuación se presentan varios indicadores de crecimiento económico de nuestro país, correspondientes al año 2012 : Indicadore Económico Inflación Exportaciones

Var % 4.5 4.7

Importaciones Ingreso real disponible

2.3

Consumo

2.7

2.9

Indicador Económico PBI real Inversión Inversión Extranjera Productividad Total Productividad Fabricas

Var % 2.9 3.6 2.1 1.4 5.2

a. Determinar la Mediana de variación porcentual b. Determinar la Moda de la variación porcentual 8. Una empresa del sector manufacturero registra los siguientes sueldos: Cargo Gerente General Gerente de Área Supervisor Profesional Administrativo

Sueldo 15 000 12 000 7 000 4 500 2 500

PEA 1 3 6 14 8

a. Con esta información, calcula el sueldo promedio ponderado. 9. El Bufete jurídico Mendoza & Rodriguez se especializa en derecho corporativo. Cobra $100 por hora por la investigación de un caso; $ 75 por hora por una asesoría y $200 por hora por la redacción de un informe. La semana pasada uno de los socios dedicó 10 horas para asesorar a un cliente; 10 horas a la investigación del caso y 20 horas a la redacción del informe final. Cuál fue el promedio ponderado de los servicios legales por hora?

10. La Clínica San Gabriel emplea 200 personas en su área de enfermería. De ese personal, las ayudantes de enfermería trabajan 40 hrs/sem; las enfermeras prácticas trabajan 30 hrs/sem y las enfermeras trabajan 20 hrs/sem. Las primeras reciben un pago de $8 por hora; las segundas reciben un pago de $10 por hora y las últimas reciben un pago de $14 por hora. Cuál es el pago medio ponderado por hora/sem?

Nivel de Dificultad II 11. A continuación se presentan los niveles de producción de bicicletas de los últimos meses del 2009 de las principales empresas del país. : Xi 47 48 49 50 51 52 80

Fi 5 3 2 8 3 4 1

Calcular: a. Mediana b. Moda c. Media Cada resultado deberá ir acompañado de sus respectivas unidades e interpretaciones 12. Consultados 350 matrimonios sobre la edad de la esposa, se confecciona la siguiente tabla: Edad esposa Nº Matrimonios 15-20 23 20-25 28 25-30 76 30-35 54 35-40 60 40-50 42 50-70 67 Calcular a. Media, b. Mediana c. Moda Cada resultado debe ir acompañado de sus unidades e interpretaciones 13. El gasto de servicio Telefónico Fijo mensual en 100 hogares, de una

determinada ciudad, es el siguiente: Gasto en Soles 0 - 50 50 - 100 100 - 150 150 - 200 200 - 250 250 - 300 a. Calcular media, b. Mediana c. Moda. Cada resultado interpretaciones

N° de Hogares 15 10 52 17 1 5

deberá ir acompañado de sus respectivas unidades e

14. El siguiente cuadro contiene una muestra de empresas exportadoras localizadas en Lima con su facturación total del año pasado y el número de empleados. Empresa Export A&1 Export B&2 Export C&3 Export D&4 Export E&5 Export F&6 Export G&7 Export H&8 Export I&9 Export J&10 Export K&11

Facturación (Millones US$) 12.4 5 3.5 2.1 1.5 1.2 1 1 0.4 0.3 0.2

Empleado s 29 31 10 3 8 15 4 5 1 3 4

a. Calcular la media, mediana y moda de la facturación. b. Calcular la media, mediana y moda para el número de empleados. c. ¿Qué medida de tendencia central debe usar si quiere tener una medida de tendencia central representativa para la facturación? 15. Una fábrica tiene dos departamentos: Uno de Producción y otro de Ventas. La información adjunta muestra los sueldos mensuales percibidos en cada uno de ellos : DPTO. DE PRODUCCIÓN

Sueldos Mens US $ 100 – 150

N° Trabajadores 15

DPTO. DE VENTAS

Sueldos Mens US $ 200 – 600

N° Trabajadores 0

150 – 200 200 – 250 250 – 300 300 – 350 350 – 400 400 – 450

25 30 20 5 5 0

600 – 800 800 – 1000 1000 – 1200 1200 – 1400 1400 – 1600 1600 - 2000

5 5 15 20 5 10

a. ¿En qué dpto. los trabajadores están mejor pagados? Sustente con cálculos su respuesta. b. Calcule el sueldo mediano en el dpto. de producción y el sueldo modal en el dpto. de ventas. c. Si se le pidiera en cada departamento usar un indicador representativo. Cuál usaría ¿? 16. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de dos proveedores. Mediante un sencillo proceso de control de calidad ha probado ambas muestras con respecto a la duración de su vida útil, obteniendo los siguientes resultados: Vida útil ( Horas ) 100 - 900 900 - 1100 1100 - 1300 1300 - 1500

Empresa A 10 16 26 8

Empresa B 3 42 12 3

Determinar: a. ¿Cuál de las empresas proveen mejores lámparas? b. Calcular la mediana para la empresa A y B. Qué significa la diferencias de medianas ? Realice la lectura correspondiente c. Calcular la moda para la empresa A y B d. Cuál es la diferencia entre el valor mínimo de duración del 10 % de las lámparas que más duran de la empresa A y el valor mínimo de duración del 10 % de las lámparas que más duran de la empresa B. 17. Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de dólares, que la amplitud es de 8 millones y que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1, 6, 21, 9, 8, 3, 2. Con esta información calcular la inversión promedio, la mediana de las inversiones y la inversión modal. Interprete los resultados. 18. Un empresario desea repartir unas bonificaciones (US $) entre sus empleados en base a la categoría y productividad de los mismos. Dicha distribución quedó de la siguiente forma: Bonificaciones [ 10 - 15 [ [ 15 - 20 [ [ 20 - 25 [ [ 25 - 30 [ [ 30 - 35 [ [ 30 - 35 [ [ 35 - 40 ]

N° Empleados 3 8 15 20 10 15 10

Determine: a. Bonificación media por trabajador b. Bonificación más frecuente c. La Bonificación que separa la mitad de ellas del resto 19. Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información:





El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.  La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y 16 semanas respectivamente. Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas.  El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas Con esta información construya la distribución de frecuencias y calcula la media, mediana, moda 20. La distribución del importe de las facturas por reparación de carrocería de una muestra de 80 vehículos en un taller, viene dada por la tabla siguiente:

Importe ($) 40 - 60 60 - 80 80 - 100 100 - 120

Nº vehículos 10 20 40 10

Se pide: a. Calcular el importe medio. ¿El valor hallado es representativo de la distribución de facturas? b. Calcular el importe mediano y el importe más frecuente. Nivel de Dificultad III 21. En la zona industrial ubicada en la parte sur de una ciudad existen 3 grandes plantas de ensamblaje de artefactos eléctricos que llamaremos A, B y C. La primera emplea a 54 personas y su salario medio es de 1080 soles. En la segunda trabajan 84 empleados y su ingreso medio es de 860 soles. Finalmente, la paga media de los 153 trabajadores de C es de 815 soles. ¿Cuál es el salario medio de los empleados en la industria ensambladora de artefactos de dicha ciudad?

22. La tabla que se presenta a continuación corresponde a los sueldos que perciben los empleados de dos empresas del mismo sector Sueldo $ [ 400 - 500 [ [ 500 - 600 [ [ 600 - 700 [ [ 700 - 800 [ [ 800 - 900 ]

Empresa A Empresa B N° N° de Empleados de Empleados 20 20 25 10 10 15 18 25 12 20

Calcule: a. El Sueldo promedio de los empleados de la empresa A que ganan menos de $700 b. El Sueldo promedio de los empleados de la empresa B que ganan por lo menos $700 c. El sueldo que podrían percibir los empleados en cada empresa d. El sueldo máximo que percibe el 13,5 % de los empleados que menos ganan en la empresa A e. El sueldo máximo que percibe el 13,5 % de los empleados que menos ganan en la empresa B f. El sueldo mínimo que percibe el 21,5 % de los empleados que más ganan en la empresa A g. El sueldo mínimo que percibe el 21,5 % de los empleados que más ganan en la empresa B 23. Uno de los principales factores que repercuten en el costo cuando se adquiere una casa es el de los pagos mensuales del préstamo. Existen muchos sitios en internet donde los futuros compradores pueden consultar las tasas de interés y sus pagos mensuales. Interbank analiza la posibilidad de ofrecer préstamos para la adquisición de casas a través de Internet. Antes de tomar una decisión, selecciona una muestra de préstamos recientes con sus pagos mensuales correspondientes. La información se organiza en la siguiente distribución de frecuencias:

Pago Mensual de Préstamos US $

Propietarios

[ 100 - 500 [ [ 500 - 900 [ [ 900 - 1300 [ [ 1300 - 1700 [ [ 1700 - 2100 [ [ 2100 - 2500 [ [ 2500 - 2900 ]

15 10 5 25 5 4 1

65 a. b. c. d. e.

Determinar : El Pago medio mensual La Mediana de los pagos mensuales de la hipoteca. Interpretar resultado En cuál de los resultados ( Media o Mediana) debería confiar para tomar la decisión de un préstamo Cuál es el monto máximo de hipoteca que pagaría el 5% de los propietarios que menos pagan Cuál es l monto mínimo de hipoteca que pagaría el 12 % de los propietarios que más pagan 24. Los costos de Estiba (E) y Desestiba (D) en algunos de los puertos latinoamericanos aparecen en la siguiente tabla de información :

PUERTOS

Costo E&D (US$)

Cartagena Quito Callao Valaparaiso Mejillones Buenos Aires Sao Paulo

230 240 480 200 220 250 70

Determinar : a. Cuál es el puerto más eficiente en nuestra región. Sustente su respuesta, tanto conceptual como en los cálculos correspondientes b. Se podría sustentar algún costo frecuente en el conjunto de puertos de la región ? 25. Se toma una muestra de llegada de aviones a un aeropuerto para estudiar el problema de retrasos de los vuelos. El tiempo de retrasos se ha tomado en minutos. Minutos de Retraso 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 1. 2. 3.

N° vuelos 28 22 15 12 13 10

Determinar: La media aritmética y la mediana Qué porcentaje vuelos tiene menos de 35 minutos de retraso Qué porcentajes de vuelos tiene por lo menos 20 minutos de retraso

4. 5.

Como máximo cuántos minutos de retraso tienen los vuelos que constituyen e 15 % de todos los vuelos que menos se retrasan ? Cómo mínimo cuántos minutos de retraso tienen los vuelos que constituyen el 20 % de todos los vuelos que más se retrasan?