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Universidad San Carlos de Guatemala Facultad de ingeniería Teoría electromagnética 1 ING. Marvin Hernández Vacaciones Junio 2016

Resumen Tercer Parcial

Roberto Enrique Marticorena Barrientos 201404240 Sección N

Introducción El electromagnetismo es una rama de la física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica,polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan enmagnitudes físicas vectoriales o tensoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la mecánica cuántica.

Ley de Biot-Savart La ley de Biot-Savart, relaciona los campos magnéticos con las corrientes que los crean. La obtención del campo magnético resultante de una distribución de corrientes, implica un producto vectorial, y cuando la distancia desde la corriente al punto del campo está variando continuamente, se convierte inherentemente en un problema de cálculo diferencial. El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de intensidad. Los Elementos de Corriente contribuyen al Campo Magnético, ya que cada uno realiza una contribución al campo magnético, en tal punto que es perpendicular al elemento de corriente, y perpendicular al radio-vector.

La ley de Biot-Savart recién descrita utilizando alrededor de 150 palabras puede escribirse en forma concisa con notación vectorial como:

La corriente total que cruza cualquier superficie cerrada es cero, y esta condición sólo puede satisfacerse si se supone un flujo de corriente alrededor de una trayectoria cerrada. Esta corriente que fluye dentro de un circuito cerrado debe ser la fuente experimental del campo, y no el elemento diferencial. De esto se deduce que sólo la forma integral de la ley de Biot-Savart sea la que puede verificarse en forma experimental.

La integración es necesaria para una densidad superficial de corriente no uniforme:

y formas alternas de la ley de Biot-Savart se obtienen

Ley de Ampere El campo magnético en el espacio alrededor de una corriente eléctrica, es proporcional a la corriente eléctrica que constituye su fuente, de la misma forma que el campo eléctrico en el espacio alrededor de una carga, es proporcional a esa carga que constituye su fuente. La ley de Ampere establece que para cualquier trayecto de bucle cerrado, la suma de los elementos de longitud multiplicada por el campo magnético en la dirección de esos elementos de longitud, es igual a la permeabilidad multiplicada por la corriente eléctrica encerrada en ese bucle. La ley circuital de Ampère establece que la integral de línea de H sobre cualquier trayectoria cerrada es exactamente igual a la corriente encerrada por dicha trayectoria:

La integral alrededor de la trayectoria cerrada c, que pasa a través del conductor, da un resultado menor que I y es exactamente igual a la porción de la corriente total que queda encerrada por la trayectoria c. Aunque las trayectorias a y b dan el mismo resultado, los integrandos son, por supuesto, diferentes. La integral de línea, indica que se debe multiplicar la componente de H en la dirección de la trayectoria por un pequeño incremento de la longitud de la trayectoria localizado en cierto punto de la trayectoria, luego moverse a lo largo de la trayectoria al siguiente incremento de longitud y repetir

el proceso, continuando así hasta no recorrer la trayectoria por completo.

Densidad magnética y rotacional La magnitud física que caracteriza al vector que representa al campo magnético recibe el nombre de vector inducción magnética y su símbolo es B. No se confunda con la ley de inducción de Faraday que relaciona la circulación de un campo eléctrico con la derivada temporal del flujo del campo magnético que lo genera. En algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magnético(aunque Inducción magnética e Intensidad de campo magnético no son lo mismo) , ya que es el campo real. La inducción magnética se induce por la intensidad de campo magnético, los cuales no son lo mismo, y depende de la siguiente fórmula:

El nombre dado a µ0 es el de permeabilidad del espacio libre. Se debe notar que debido a que H se mide en amperes por metro, el weber es dimensionalmente igual al

producto de henrys y amperes. Considerando el henry como una nueva unidad, el weber es simplemente una abreviatura conveniente para el producto de henrys y amperes. Cuando se introduzcan los campos variantes con el tiempo, se mostrará que un weber también equivale al producto de volts y segundos. El vector de densidad de flujo magnético B es un miembro de la familia de densidad de flujo de campos vectoriales, como el nombre weber por metro cuadrado lo implica. Una de las posibles analogías entre los campos eléctrico y magnético7 resulta al comparar las leyes de Biot-Savart y de Coulomb. Las líneas de flujo magnético son cerradas y no terminan en una “carga magné- tica”. Por esta razón la ley de Gauss para el campo magnético es:

y la aplicación del teorema de la divergencia muestra que

El conjunto correspondiente de las cuatro ecuaciones integrales que se aplican a campos eléctricos está- ticos y a campos estables es:

Rotacional El estudio de la ley de Gauss se completó aplicándola en un elemento diferencial de volumen, lo cual condujo al concepto de divergencia. Ahora se aplicará la ley circuital de Ampère al perímetro de un elemento diferencial de superficie y hará su aparición la tercera y última de las derivadas especiales del análisis vectorial, el rotacional. El objetivo inmediato es obtener la forma puntual de la ley circuital de Ampère.

El rotacional de cualquier vector es un vector, y cualquier componente del rotacional está dada por el límite del cociente de la integral cerrada de línea del vector alrededor de una pequeña trayectoria en un plano normal a la componente deseada entre el área encerrada, conforme la trayectoria se reduce a cero. Debe notarse que la definición de rotacional dada antes no se refiere en forma es:

Potencial Magnetico La solución de problemas de campo electrostático se simplifica bastante utilizando el potencial electrostático escalar V. Aunque este potencial posee un significado físico muy real, matemáticamente no es más que un escalón que permite resolver un problema en varios pasos más pequeños. Dada una configuración de carga, primero se encuentra el potencial y entonces, a partir de éste, la intensidad de campo eléctrico. Se podría preguntar si se puede disponer, o no, de este tipo de ayuda en los campos magnéticos. ¿Se puede definir una función de potencial que pueda encontrarse a partir de la distribución de corriente y de la cual los campos magnéticos puedan determinarse con facilidad? ¿Puede definirse un potencial magnético escalar similar al potencial electrostático escalar? En las páginas siguientes se mostrará que la respuesta a la primera pregunta es “Sí”, pero la respuesta a la segunda es “A veces”. Primero se abordará la última pregunta suponiendo la existencia de un potencial magnético escalar, el cual se designa como Vm, de cuyo gradiente se obtenga la intensidad de campo magnético:

Sin embargo, el rotacional del gradiente de cualquier escalar es igual a cero; la prueba de esta identidad vectorial se deja para un rato de ocio. Por lo tanto, si H se define como el gradiente de un potencial magnético escalar, la densidad de corriente debe ser cero a través de la región en la cual el potencial magnético escalar está definido así. Se tiene entonces:

Si ninguna corriente I es encerrada por la trayectoria, entonces se puede definir una función de potencial univalente. Sin embargo, en general,

Hasta ahora lo único que se ha visto es que la definición de A no está en conflicto con ningún resultado anterior. Todavía resta demostrar que esta definición particular ayuda a determinar con mayor facilidad los campos magnéticos. Sin duda, no se puede identificar a A con una cantidad fácilmente medible o con un experimento de los que hacen historia. En la siguiente sección se mostrará que, dada la ley de Biot-Savart, la definición de B y la definición de A, A puede determinarse a partir de los elementos diferenciales de corriente por

Dado que la magnitud de la corriente en el filamento es constante, se ha elegido la forma que permite quitar una cantidad de la integral. Las expresiones alternativas para A son entonces

Fuerzas e Inductancias Fuerzas:

En un campo eléctrico, la definición de intensidad de campo eléctrico muestra que la fuerza sobre una partícula cargada es

La fuerza está en la misma dirección que la intensidad de campo eléctrico (para una carga positiva) y es directamente proporcional a E y Q. Si la carga está en movimiento, la fuerza en cualquier punto de su trayectoria está dada por (1). Experimentalmente se encuentra que una partícula cargada y en movimiento, en un campo magnético de densidad de flujo B, experimenta una fuerza cuya magnitud es proporcional al producto de las magnitudes de la carga Q; su velocidad, v, la densidad de flujo, B, y el seno del ángulo entre los vectores, v y B. La dirección de la fuerza es perpendicular a v y B, y está dada por un vector unitario en la dirección de v × B. La fuerza puede, por lo tanto, expresarse como:

Los dos primeros problemas al final de este capítulo ilustran los diferentes efectos de los campos eléctrico y magnético en la energía cinética de una partícula cargada que se mueve en el espacio libre. La fuerza sobre una partícula en movimiento debido a campos eléctricos y magnéticos combinados se obtiene fácilmente por superposición,

Inductancias: La inductancia es el último de los tres parámetros familiares de la teoría de circuitos que se definirá en términos más generales. La resistencia se definió en el capítulo 5 como la razón de la diferencia de potencial entre dos superficies equipotenciales de un material conductor y la corriente total a través de una u otra superficie equipotencial. La

resistencia es solamente función de la geometría y la conductividad. La capacitancia se definió en el mismo capítulo como la razón de carga total en una de las superficies equipotenciales, y la diferencia de potencial entre las superficies. La capacitancia es función solamente de la geometría de las dos superficies conductoras y la permitividad del medio dieléctrico entre ellas. Como un preludio para definir la inductancia, es necesario introducir primero el concepto de eslabonamiento de flujo. Considérese un toroide de N vueltas en el cual una corriente I produce un flujo total. Se supondrá primero que este flujo forma un eslabón o rodea cada una de las N vueltas, y se verá que cada una de las N vueltas eslabona el flujo total. El eslabonamiento de flujo N se define como el producto del número de vueltas N y el flujo que forma un eslabón en cada una de ellas. Para una bobina que tiene una sola vuelta, el eslabonamiento de

flujo es igual al flujo total.

Bibliografia  https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_magn %C3%A9tica  https://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional