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PIOTR MARIAN WISNIEWSKI PRZYKUCKA

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 13.11 Supóngase que el error de fase de un dispositivo de rastreo tenga la siguiente densidad de probabilidad

 π  c ox s0 < x < 2  f (x) =     0 p a l ar d as e xm a s Calcúlese la probabilidad de que el error de esta fase este: π a) entre 0 y 4 π b) mayor que 3 Respuesta: π

a)

4

∫cos xdx =senx

π 4 0

=0.707

0

( x )= P ( X < x ) b) F   π π PX  > =1−PX  <    3 3 π =1−F  3 π =1−s e n =0 .1 3 3 9 3 π b

3

a

0

Donde F(x)= ∫ f(x)d x = ∫cos xdx 13.17 La producción de artículos en gran escala siempre ocasiona una variación aleatoria, debida a influencias que son impredecibles e incontrolables. Así, en la producción de pernos, el diámetro X(cm) de los mismos se debe considerar como una variable aleatoria. Suponga que la distribución de X tiene densidad:

 k(x − 0.9) (1.1− x) 0.9 < x < 1.1   f (x) =    0 p a r ala sd e m ax s  Determinar k y encontrar

µy σ

Respuesta: a) k=750 b) EX= 1;

σ=0 .0 4 4 7

DISTRIBUCION BETA 17.16 El porcentaje de impurezas por unidad de producción en un cierto producto quimico es una variable aleatoria x que tiene una dicción de densidad:

 1 x2 2 (1 − x ) 0 < x < 1   f (x) =    0 p a lr a ads e m x a s  No es posible vender una unidad de producción con más de 40% de impurezas. ¿Cuál es la probabilidad de que una unidad de producción seleccionada al azar no pueda venderse por demasiadas impurezas? Respuesta: α=3 β =2 0 .4

P (X>0 .4 )= 1 −P (X } 3=X

P (A )= 0 .2 5 1 P (A )= 0 .6 5 2 P (A )= 0 .1 3 Por distribución multinomial: 1 0 ! 5 3 2 P ( X 5 ,X 3 ,X 2 )= ( 0 .2 5 ) ( 0 .6 5 ) ( 0 .1 ) = 0 .0 0 6 7 1= 2= 3= 5 ! 3 ! 2 !

DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y GAMMA 16.29 El tiempo de paro semanal, en horas, para una línea de producción tiene

= β= 2 distribución gamma con α . Calcular la probabilidad de que el tiempo de paro para una semana dada no sea mayor que 10 horas.

Respuesta:

α = β= 2

1 ∞ 2−1 −2 − 5 P (X< 1 0)= 1 −2 x ed x= 1−e =0 .9 9 3 2 ∫ 2Γ (2 )1 0 x

16.27 El kilometraje (en miles de kilómetros) que alcanzan los automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria con densidad de probabilidad:

 1 −x  e 2 0x>0  2 0 f (x) =     0 p a l ar d as e xm a s

Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure: a) a lo sumo 10 mil kilómetros b) entre 16 mil y 24 mil kilómetros c) al menos 30 mil kilómetros Respuesta: 1

− a) P (X< 1 0)= 1 − e2=0 .3 9 3 4

b) 0.1482 c) 0.2231 DISTRIBUCION NORMAL 15.46 Sea X una variable aleatoria con distribución N(1.5;2). Calcular las probabilidades: a) P(X < 2.5) b) P(X > -0.5) c) P(0.5 < X < 2) d) P(|2X-1| < 1) e) P(|X| > 0.5) Respuesta: a) b) c) d)

0.6915 0.8413 0.2902 0.1747

e) 0.8502 15.21 Supóngase que la temperatura t durante el mes de agosto está distribuida normalmente con media de 38ºC y varianza de 9. Encuentre la probabilidad de que la temperatura sea mayor que 40ºC. Respuesta: µ = 38 σ2 = 9 σ =3 P (X>4 0)=1−P (X