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TERCER EXAMEN PARCIAL – PROBLEMAS - 7 de Noviembre de 2.003- PLANES 2001 Consultas bibliográficas permitidas. Duración 120 minutos

1º) Para las mujeres entre los 18 y los 24 años de edad, la presión arterial sistólica (en mm Hg) tiene una distribución normal con una media de 114,8 mm Hg y una desviación estándar de 13,1 mm Hg ( basado en datos de la Encuesta Nacional de Salud de Estados Unidos). a) Si se escoge aleatoriamente a una mujer entre los 18 y los 24 años de edad, determine la probabilidad de que su presión arterial sistólica sea mayor que 120. b) Si se escogen al azar 12 mujeres en ese intervalo de edades, determine la probabilidad de que su presión arterial sistólica promedio sea mayor que 120. c) ¿Cuál de las dos probabilidades es menor y por qué? (Interprete) 2º) Se ha determinado el punto de fusión de cada una de las 16 muestras de cierta marca de aceite vegetal hidrogenado, resultando en x = 94,32. Suponga que la distribución del punto de fusión es normal con 

= 1,20.

a) Pruebe H0 :  = 95 versus H1:   95 utilizando una prueba con nivel de significación 0,01. b) Si se utiliza una prueba de nivel de significación de 0,01, ¿cuál es (94), la probabilidad de un error de tipo II para una alternativa  = 94? c) OPTATIVO: ¿Qué valor de n es necesario para asegurar que (94) = 0,1 cuando  = 0,01? Elija entre 3(a) y 3(b)- Haga solo uno de los dos. 3º) En 1.990, el 5,8% de los solicitantes de empleo que se sometieron a pruebas para detectar uso de drogas no pasaron la prueba. a) En el nivel de significación 0,01, pruebe la aseveración de que la proporción de solicitantes que no pasan la prueba ha bajado, si de una muestra aleatoria de 1520 solicitantes de empleo, tomada recientemente, 58 no pasan la prueba (basado en datos de la American Management Association). ¿Sugiere el resultado que menos solicitantes de empleo usan drogas actualmente? b) Usando los resultados de la muestra del punto (a) halle un intervalo de confianza del 99 %, para la verdadera proporción de solicitantes que no pasan la prueba actualmente. 4º) Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes de su instalación, una muestra aleatoria arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: x = 12,5, s12 = 101,17 y 2 y n1 = 8. Después e la instalación una muestra aleatoria arrojó : = 10,2, s2 = 94,73 y n2 = 9. a) ¿Puede concluirse que las varianzas son iguales, al nivel de significación  = 0,05? [Ayuda: Realice la prueba de hipótesis correspondiente ó construya un intervalo de confianza para su decisión.] b) ¿El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas en forma significativa (  = 0,05)? (Pruebe)

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TERCER EXAMEN PARCIAL – PROBLEMAS - 25 de Noviembre de 2.003- PLANES 2001 Consultas bibliográficas permitidas. Duración 120 minutos

1º) La duración de cierto tipo de baterías está normalmente distribuida con media de 8 horas y desviación estándar de 1 hora. a) Si se escoge aleatoriamente una batería, ¿cuál es la probabilidad de que dure por lo menos 7,5 horas? b) Si las baterías se venden en paquetes de 4 baterías. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración promedio de las 4 baterías, de un paquete seleccionado, sea por lo menos de 7,5 horas? c) Responda las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje de baterías dura por lo menos 7, 5 horas? ¿Qué porcentaje de paquetes de 4 baterías, tendrá una duración promedio (de las baterías) de por lo menos de 7,5 horas? 2º) Un fabricante de aparatos de televisión afirma que se necesitan a lo sumo 250 microamperes de corriente para alcanzar cierto grado de brillantez con un tipo de televisor en particular. Una muestra de 20 aparatos produce un promedio muestral de corriente de 257,3. Denotemos por  el verdadero promedio de corriente necesaria para alcanzar la brillantez deseada con aparatos de este tipo, y supongamos que  es la media de una población normal con  = 15. a) Pruebe al nivel de significación 0,05 la hipótesis nula de que  es cuando mucho 250 versus la alternativa apropiada. b) Si  = 260 ¿Cuál es la probabilidad de un error de tipo II? c) OPTATIVO: Vuelva a hacer el problema (a) usando un valor P en sus conclusiones. Elija entre 3(a) y 3(b)- Haga solo uno de los dos. 3º) a) Algunos científicos piensan que los robots jugarán un papel esencial en las fábricas en los próximos 20 años. Supongamos que, en un experimento para determinar si es factible el uso de robots para tejer cables de computadora, se empleó un robot para ensamblar 500 cables. Se examinaron los cables y se encontraron defectuosos 14 de ellos. Si los ensambladores humanos tiene una tasa de defectos de 0,03 (3%), ¿apoya esta información la hipótesis de que la proporción de partes defectuosas es menor para robots que para humanos? Utilice un nivel de significación de 0,01. b) Un estudio de salubridad implica 1000 fallecimientos seleccionados al azar, en 331 de los cuales la causa de la muerte fue una afección cardíaca (basado en datos de los centros para el Control de Enfermedades). Usando los datos de la muestra, construya un intervalo de confianza bilateral del 99 % para la proporción de todos los fallecimientos causados por enfermedades cardíacas. 4º) Se encontró que la desviación estándar muestral de concentración de sodio en sangre entera (mE/L) para 20 anguilas marina fue de s 1 = 40,5, mientras que la desviación estándar muestral de concentración para 20 anguilas de agua dulce fue de s 2 = 32,1 . Si se supone normalidad de las dos distribuciones de concentración, pruebe al nivel de significación 0,10, si la información sugiere diferencias entre las varianzas de concentración para los dos tipos de anguilas. (Use la prueba de hipótesis correspondiente ó hallando el intervalo de confianza pertinente) 5º) Se cree que el codo del tenista se agrava por el impacto que se experimenta al golpear la pelota. El artículo “Forces on the hand in Tennis One- Handed Backhand” reporta la fuerza (en newtons) en la mano inmediatamente después del impacto en un golpe de revés, a una mano para seis jugadores avanzados y para ocho jugadores intermedios. El resumen de datos aparece en la tabla siguiente: Tipo de Tamaño Media Desviación estándar jugador muestral muestral muestral Avanzados 6 40,3 11,3 Intermedios 8 21,4 8,3 Los autores del artículo supusieron en sus análisis de los datos que ambas distribuciones de fuerza (avanzados e intermedios) eran normales con la misma desviación estándar . ¿Puede concluirse que la fuerza media después del impacto es mayor para jugadores avanzados de lo que es para jugadores intermedios? Pruebe usando  = 0,01 APELLIDO Y NOMBRES:....................................................................................................................................

CARRERAS:................................................................................................... LU.............................. TERCER EXAMEN PARCIAL – PROBLEMAS - 22 de Diciembre de 2.003- PLANES 2001 Consultas bibliográficas permitidas. Duración 120 minutos

1º) El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automóvil atiende a un cliente es una variable aleatoria con media  = 3,2 minutos y una desviación estándar  = 1,6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo promedio con el cajero sea: a) A los sumo 2,7 minutos. b) Al menos 3,2 minutos pero menos de 3,4 minutos. 2º) Se afirma que un auto se maneja en promedio más de 20000 kilómetros por año. Para probar esta afirmación, se pide a una muestra de 100 propietarios de automóviles que lleven un registro de los kilómetros que viajen. ¿Está de acuerdo con esta afirmación si la muestra aleatoria muestra un promedio de 23500 kilómetros y una desviación estándar de 3900 kilómetros? a) Diseñe la prueba de hipótesis correspondiente usando un nivel de significación  = 0,05. b) Vuelva a hacer el problema (a) usando un valor P en sus conclusiones. 3º) Se considera un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema existente tiene p = 0,8 como probabilidad de lanzamiento exitoso. Se realiza una muestra de 40 lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y 34 resultan exitosos. a) Costruya un intervalo de confianza del 95 % para p. b) ¿Concluiría que el nuevo sistema es mejor? 4º) En la siguiente tabla se listan las cantidades de nicotina medidas en muestras de cigarrillos largos con y sin filtro seleccionados aleatoriamente. Todas las mediciones están en miligramos, y los datos provienen de la comisión Federal de Comercio de Estados Unidos. LARGOS CON FILTRO 1,2 1,3 1,1 0,8 1,0 1,0

1,1 1,0

1,0 0,9

0,1 1,2

1,1 1,1

1,0 0,1

LARGOS SIN FILTRO 1,6 1,9 1,6

1,8

1,7

1,7

1,4

1,5

0,8 1,2

1,0 0,9

0,9

a) Asumiendo que las cantidades de nicotina para ambas clases de cigarrillos largos (con y sin filtro) se distribuyen aproximadamente normal, pruebe al 5 % de significación que las varianzas poblacionales correspondientes a las dos clases de cigarrillos largos son iguales. b) Use el nivel de significación de 0,05 para probar la afirmación de que la cantidad media de nicotina que contienen los cigarrillos largos con filtro es igual a que la cantidad media de nicotina que contienen los cigarrillos largos sin filtro.

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TERCER EXAMEN PARCIAL – PROBLEMAS - 20 de Noviembre de 2.004- PLANES 2001 Consultas bibliográficas permitidas. Duración 120 minutos

2º) La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre (a) la probabilidad de que la vida promedio de una muestra aleatoria de nueve de estas máquinas caiga entre 6,4 y 7,2 años; (b) el valor de x a la derecha del cual vcaería el 15% de las medias muestrales calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve. 3º) Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóviles muestra que, en el estado de Virginia, un automóvil se maneja , en promedio, 23500 kilómetros por año con una desviación estándar de 3900 kilómetros. (c) Construya un intervalo de confianza del 99% para el número medio de kilómetros que se maneja un automóvil anualmente en Virginia. (d) ¿Qué puede afirmar con 99% de confianza sobre el tamaño posible de nuestro error si estimamos que el número medio de kilómetros manejados por los propietarios de automóviles en Virginia es 23500 kilómetros por año? (e) Construya un intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del número de kilómetros manejados por los propietarios de automóviles en Virginia 3º) Las siguientes mediciones se registraron para el tiempo de secado, en horas, de cierta marca de pintura látex: 3,4 2,5 4,8 2,9 3,6 2,8 3,3 5,6 3,7 2,8 4,4 4,0 5,2 3,0 4,8 Suponga que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal, (a) encuentre un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio de de secado de dicha pintura. (b) encuentre un intervalo de confianza del 95% para la desviación estándar del tiempo de de secado de la pintura. 4º) El gobierno otorga fondos para los departamentos de agricultura de nueve universidades para probar las capacidades de rendimiento de dos nuevas variedades de trigo. Cada variedad se planta en parcelas de igual área en cada universidad y el rendimiento, en kilogramos por parcela, se registra como sigue: Universidad

Varieda d

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

38

23

35

41

44

29

37

31

38

2

45

25

31

38

50

33

36

40

43

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia media entre los rendimientos de las dos variedades, suponga que las diferencias de rendimiento se distribuyen en forma aproximadamente normal. 5º) Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de condianza del 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que pasan todas las pruebas. 6º) Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación para pacientes que se tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves de la vejiga: Mediacamento 1

Medicamento 2

n1= 14

n2= 16

x 1 = 17

x 2 = 19

s1 2 = 1,5

s2 2 = 1,8

Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia  2 –  1 en el tiempo medio de recuperación para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.

PRUEBA DE HIPOTESIS4º) Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes de su instalación, una muestra aleatoria arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: x = 12,5, 2 2 y s1 = 101,17 y n1 = 8. Después e la instalación una muestra aleatoria arrojó: = 10,2, s2 = 94,73 y n2 = 9. a) ¿Puede concluirse que las varianzas son iguales, al nivel de significación  = 0,05? [Ayuda: Realice la prueba de hipótesis correspondiente ó construya un intervalo de confianza para su decisión.] b) ¿El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas en forma significativa (  = 0,05)? (Pruebe)