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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Habilidad Verbal SEMANA 15 A EL TEXTO FILOSÓFICO El texto filosófico aborda temas de relevancia e interés universal, como el sentido de la existencia, la naturaleza del ente, el valor de la libertad, el problema de la ciencia, etc. Está escrito con la intención deliberada de reflexionar y de hacernos reflexionar. La marca distintiva del texto filosófico es la densidad conceptual y la necesidad de hacer distinciones. ACTIVIDAD Luego de leer los tres textos siguientes, reflexione sobre estas preguntas: 1. 2. 3.

¿Cuáles son las principales características de la labor filosófica? ¿Tiene algún sentido la actividad filosófica en la actualidad? ¿Existe oposición entre indagación filosófica e investigación científica? TEXTO A

De hecho, el valor de la filosofía debe ser buscado en una larga medida en su real incertidumbre. El hombre que no tiene ningún barniz de filosofía, va por la vida prisionero de los prejuicios que derivan del sentido común, de las creencias habituales en su tiempo y en su país, y de las que se han desarrollado en su espíritu sin la cooperación ni el consentimiento deliberado de su razón. Para este hombre el mundo tiende a hacerse preciso, definido, obvio: los objetos habituales no le suscitan problema alguno, y las posibilidades no familiares son desdeñosamente rechazadas. Desde el momento en que empezamos a filosofar, hallamos, por el contrario, que aún los objetos más ordinarios conducen a problemas a los cuales sólo podemos dar respuestas muy incompletas. La filosofía, aunque incapaz de decirnos con certeza cuál es la verdadera respuesta a las dudas que suscita, es capaz de sugerir diversas posibilidades que amplían nuestros pensamientos y nos liberan de la tiranía de la costumbre. Así, el disminuir nuestro sentimiento de certeza sobre lo que las cosas son, aumenta en alto grado nuestro reconocimiento de lo que pueden ser; rechaza el dogmatismo algo arrogante de los que no se han introducido jamás en la región de la duda liberadora y guarda vivaz nuestro sentido de admiración, presentando los objetos familiares en un aspecto no familiar. Russell, Bertrand. Los problemas de la filosofía (1912). 1.

Se colige que, para el autor del texto, la reflexión filosófica A) posibilita nuevas interpretaciones del mundo. B) es exclusividad de poltrones y apáticos. C) permite ordenar el mundo unívocamente D) tiene como finalidad la incredulidad total. E) es inherente a todos los hombres prejuiciosos. Solución: La filosofía es capaz de sugerir diversas posibilidades que amplían nuestros pensamientos. Clave: A

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¿Cuál de los siguientes enunciados es incompatible con el texto? A) Sin reflexión filosófica, seríamos esclavos de la tiranía de lo habitual. B) La capacidad racional del hombre posibilita la actividad filosófica. C) El filósofo posee soluciones para todos los problemas importantes. D) La admiración viabiliza la liberación de la tiranía de la costumbre. E) El ser humano con un barniz de filosofía aprecia lo heterodoxo. Solución: La filosofía es incapaz de decirnos la verdadera respuesta a las dudas que suscita. Clave: C TEXTO B

Todos los hombres y mujeres son filósofos. Si no son conscientes de tener problemas filosóficos, en cualquier caso tienen prejuicios filosóficos, la mayoría de éstos son teorías que dan por supuestas: teorías que han absorbido de su entorno intelectual o de la tradición. Dado que pocas de estas teorías se sostienen de forma consciente, son prejuicios en el sentido de que se sustentan sin examen crítico, aun cuando puedan tener gran importancia para las acciones prácticas de las personas, y para toda su vida. Constituye una defensa de la existencia de la filosofía profesional afirmar la necesidad que los hombres tienen de examinar críticamente estas teorías difundidas e influyentes. Teorías como éstas constituyen el inseguro punto de partida de toda ciencia y de toda filosofía. Toda filosofía debe partir de las ideas dudosas del sentido común acrítico. Su meta es llegar hasta el sentido común esclarecido y crítico: alcanzar una concepción más cercana de la verdad; y con una influencia menos perniciosa sobre la vida humana. Popper, Karl “Cómo veo la filosofía” (1978). 3.

Podemos colegir del texto que, para los filósofos, A) resultan fundamentales la crítica y la búsqueda de la verdad. B) el sentido común y la investigación científica son incompatibles. C) los prejuicios del sentido común son enteramente insondables. D) es imposible teorizar y reflexionar sobre la condición humana. E) la reflexión epistemológica carece de utilidad teórica y práctica. Solución: La filosofía parte de ideas dudosas del sentido común acrítico; su meta es llegar hasta el sentido común esclarecido y crítico, es decir, alcanzar una concepción más cercana de la verdad. Clave: A

4.

Si se pudieran esclarecer críticamente los prejuicios filosóficos, A) la actividad filosófica profesional sería vituperada. B) la búsqueda de la verdad resultaría innecesaria. C) los problemas se resolverían mediante teoremas. D) la ciencia tendría un punto de partida más fiable. E) la investigación dejaría su lugar protagónico. Solución: Clave: D

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TEXTO C El principal interés de la Filosofía es cuestionar y entender las ideas más comunes que todos usamos a diario sin pensar en ellas. Un historiador puede preguntarse qué ocurrió en algún tiempo pasado, pero un filósofo preguntará: “¿Qué es el tiempo?” Un matemático puede investigar las relaciones entre los números, pero un filósofo preguntará: “¿Qué es un número?” Un psicólogo puede investigar cómo aprenden un lenguaje los niños, pero un filósofo preguntará: “¿Qué hace que una palabra signifique algo?” Cualquiera puede preguntar si es malo entrar furtivamente en un cine sin haber pagado, pero un filósofo preguntará: “¿Qué hace que una acción sea buena o mala?”. No podríamos arreglárnosla en la vida sin dar por sentado las ideas de tiempo, número, lenguaje, bueno y malo; pero en Filosofía investigamos esas cosas en sí mismas. El objetivo es hacer un poco más profundo nuestro entendimiento del mundo y de nosotros mismos. Obviamente, no es tarea fácil. Mientras más básicas son las ideas que tratamos de investigar, la tarea es más difícil. Así, la Filosofía es una actividad bastante vertiginosa, y sus resultados no permanecen incuestionables por mucho tiempo. NAGEL, Thomas ¿Qué significa todo esto? (1987) 5.

Es incompatible con el texto afirmar que la labor filosófica A) es una actividad intelectual y sus resultados son invariables. B) se distingue de ciencias como la química, la biología y la física. C) se caracteriza por su talante teórico y alejado de lo experimental. D) busca profundizar y ampliar nuestro entendimiento de la realidad. E) implica una labor ardua, vertiginosa y con resultados cuestionables. Solución: La Filosofía es una actividad bastante vertiginosa, y sus resultados no permanecen incuestionables por mucho tiempo. Clave: A

6.

Si un filósofo quisiera reflexionar en el campo de la Física, formularía la siguiente pregunta: A) ¿Cuál es la estructura atómica del hidrógeno? B) ¿Cuáles son las leyes que descubrió Newton? C) ¿En qué consiste lo que llamamos realidad? D) ¿Qué influencia tiene la gravedad en la Tierra? E) ¿Por qué existen los agujeros negros? Solución: El principal interés de la Filosofía es cuestionar y entender las ideas más comunes que todos usamos a diario sin pensar en ellas, en ese sentido, un físico presupone la existencia del mundo externo a nuestra conciencia. Clave: C COMPRENSIÓN LECTORA TEXTO

Se engendran muchos engaños en el mundo, o por decirlo más osadamente, todos los engaños del mundo se engendran porque nos enseñan a temer mostrar nuestra ignorancia y porque nos vemos obligados a aceptar todo cuanto no podemos refutar. Hablamos de todo con seguridad y convicción. El proceder de Roma consistía en que lo

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que un testigo declaraba haber visto con sus propios ojos y lo que un juez ordenaba, con su más cierto saber, se concebía con este modo de hablar: “paréceme”. Me hacen odiar las cosas verosímiles cuando me las imponen como cosas infalibles. Gusto de esas palabras que suavizan y moderan la temeridad de nuestras afirmaciones: “quizá”, “en cierto modo”, “algo”, “dicen”, creo” y otras semejantes. Y si tuviera que educar a los niños, les pondría tanto en los labios esa manera de responder inquisitiva y no resolutiva: “¿qué quiere decir? No lo entiendo”. Podría ser con esto que habrían conservado las maneras de los aprendices incluso a los sesenta años antes que parecer doctores a los diez, como ocurre. Quien quiera curarse de su ignorancia, ha de confesarla. Iris es hija de Taumante. Es la admiración el fundamento de toda filosofía, la inquisición su progreso, la ignorancia su final. Incluso hay cierta ignorancia fuerte y generosa que nada tiene que envidiarle en honor y en valor a la ciencia, ignorancia que para concebirla no es menester menos ciencia que para concebir la ciencia. Michel de Montaigne. Ensayos (1595). 1.

En última instancia, el texto constituye A) una apología al reconocimiento de la propia ignorancia. B) un recuento de los crasos errores de la humanidad. C) una crítica a la educación impartida en el siglo diecisiete. D) una añoranza del proceder judicial de la antigua Roma. E) una acerva crítica a todo aquel que pretende ser científico. Solución: Según Montaigne, todos los engaños del mundo se engendran porque nos enseñan a temer mostrar nuestra ignorancia y porque nos vemos obligados a aceptar todo cuanto no podemos refutar. Ante esto, Montaigne recomienda que quien quiera curarse de su ignorancia, ha de confesarla. Clave: A

2.

Montaigne emplea el término IRIS para referirse a A) lo resolutivo. D) la certeza.

B) la filosofía. E) lo eterno.

C) la sabiduría.

Solución: Según Montaigne, Iris es hija de Taumante, vale decir, es la admiración el fundamento de toda filosofía. Clave: B 3.

Podemos establecer que Montaigne evoca lo jurídico en Roma con la intención de A) burlarse de quienes respetan la autoridad judicial. B) mostrar las falencias de su sistema judicial. C) contraponer dicha concepción a la de su tiempo. D) negar la posibilidad de un juicio justo y objetivo. E) proponer una reforma judicial profunda y duradera. Solución: [Ahora] hablamos de todo con seguridad y convicción. [En cambio,] el proceder de Roma consistía en que lo que un testigo declaraba haber visto con sus propios ojos y lo que un juez ordenaba, con su más cierto saber, se concebía con este modo de hablar: “paréceme”. Clave: C

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En el texto, el término TEMERARIO implica A) ser valiente para reconocer la propia ignorancia. B) considerar que nunca podremos alcanzar la verdad. C) entregarse a los encantos de Iris y Taumante. D) pretender alcanzar un conocimiento definitivo. E) privilegiar la honestidad a la fatua sabiduría. Solución: Montaigne prefiere palabras que suavizan y moderan la temeridad de las afirmaciones: “quizá”, “en cierto modo”, “algo”, “dicen”, creo” y otras semejantes. Dichas palabras convierten en solo verosímil lo que pretenden como infalible. Clave: D

5.

Resulta incompatible con el texto aseverar que A) Montaigne podría refrendar el aserto “sólo sé que nada sé”. B) reconocer la propia ignorancia involucra considerable esfuerzo. C) Montaigne privilegia lo verosímil frente a la inconcusa certeza. D) la admiración es necesaria para el filosofar y la reflexión en general. E) la educación, para Montaigne, debe propender a la certeza. Solución: Si tuviera que educar a los niños, les inculcaría una manera de responder inquisitiva y no resolutiva. Para que no parezcan doctores a los diez años. Clave: E SERIES VERBALES

1.

DETRIMENTO, SUBYUGAR;

MENOSCABO;

A) emancipar, fortalecer. D) aleatorio, azaroso.

VEROSÍMIL,

INCREÍBLE;

B) estrago, perjuicio. E) irreal, quimérico.

AHERROJAR,

C) apología, diatriba.

Solución: Sinonimia, antonimia, sinonimia, antonimia. Clave: C 2.

DENEGAR, DESESTIMAR; ACUCIAR, APRESURAR; DILUIR, DISOLVER; A) soslayar, obviar. D) mitigar, recabar.

B) aplacar, disimular. E) endulzar, exacerbar.

C) imprecar, bendecir.

Solución: Sinonimia en todos los casos. Clave: A 3.

DILUCIDAR, ACLARAR, EXPLICAR, A) denostar.

B) enmarañar. C) loar.

D) corroborar. E) elucidar.

Solución: Sinonimia. Clave: E Semana Nº 15

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¿Cuál es el término que no corresponde al campo semántico? A) farfullar.

B) inquirir.

C) indagar.

D) investigar.

E) pesquisar.

Solución: Campo semántico en torno a la acción de investigar. Clave: A 5.

INDEMNE, DAÑADO; ENCAUZAR, DESCARRIAR; CONTRITO, IMPENITENTE; A) ojeriza, odio. D) acechar, asechar.

B) indolente, sensible. E) encausar, guiar.

C) desidia, pereza.

Solución: Antonimia en todos los casos. Clave: B SEMANA 15 B TEXTO 1 La imagen más simple que podemos formarnos del origen de una ciencia empírica es la que se basa en el método inductivo. Se eligen y agrupan hechos concretos, de tal suerte que la relación legiforme que los une emerge con toda claridad. Mediante el agrupamiento de estas regularidades se pueden obtener ulteriormente regulaciones más generales, hasta que –a la vista del conjunto de los distintos hechos- se configura un sistema más o menos unitario tal que la mente que contempla las cosas a partir de las generalizaciones alcanzadas por último podría, en sentido inverso, por vía puramente lógica, llegar de nuevo a los hechos particulares. Una rápida ojeada al desarrollo efectivo de nuestra ciencia muestra que los grandes progresos del conocimiento científico sólo en una pequeña parte se han obtenido de este modo. En efecto, si el investigador se acercara a las cosas sin ninguna idea preconcebida, ¿cómo podría aferrar en medio de una enorme cantidad de la más complicada experiencia unos hechos que serían por sí solos simplemente suficientes para evidenciar relaciones legiformes? Galileo no habría podido encontrar jamás la ley de la caída libre de los cuerpos pesados sin la idea preconcebida según la cual, aunque las relaciones que de hecho observamos se hallan complicadas por la acción de la resistencia del aire, a pesar de ello nosotros consideramos unas caídas de los cuerpos como si esa resistencia desempeñara un papel prácticamente nulo. Los progresos verdaderamente grandes del conocimiento de la naturaleza se han producido siguiendo una vía casi diametralmente opuesta a la de la inducción. Una concepción intuitiva de lo esencial de un gran conjunto de casos lleva al investigador a la propuesta de un principio hipotético. Del principio (sistema de axiomas) el investigador extrae por vía puramente lógica las consecuencias de la manera más completa posible. Estas consecuencias deducibles del principio, con frecuencia mediante desarrollos y cálculos aburridos, se compararan luego con las experiencias, proporcionando así un criterio para la justificación del principio admitido. El principio (axiomas) y las consecuencias forman juntos lo que llamamos una “teoría”. Toda persona culta sabe que los grandes progresos del conocimiento de la naturaleza –por ejemplo, la teoría de la gravitación de Newton, la termodinámica, la teoría cinética de los gases, la electrodinámica moderna, etc.- han tenido todos ellos su origen de este modo, y que su fundamento es de naturaleza hipotética. El investigador, pues, parte siempre de los hechos, cuyo nexo constituye el objetivo de sus esfuerzos. Pero no llega a un sistema Semana Nº 15

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teórico por la vía del método inductivo; más bien, se aproxima a los hechos mediante una opción intuitiva entre teorías pensables basadas en axiomas. Una teoría puede ser reconocida como errónea si hay un error lógico en sus deducciones, o puede ser reconocida como inadecuada si un hecho no encaja en sus consecuencias. Pero jamás puede demostrarse la verdad de una teoría. Y ello porque jamás se sabe si en el futuro no se descubrirá alguna experiencia que contradiga sus consecuencias; y siempre puede pensarse en otros sistemas de pensamiento, capaces de conectar los mismos hechos tomados en consideración. Si se dispone de dos teorías, ambas compatibles con el material dado, entonces no existe más criterio para preferir una a la otra que la mirada intuitiva del investigador. Y así se comprende cómo agudos investigadores que dominan teorías o hechos pueden sin embargo ser apasionados defensores de teorías opuestas. En esta agitada época someto al lector las presentes consideraciones, breves y objetivas, pues opino que con la silenciosa entrega a objetivos eternos, comunes a todas las culturas humanas, se puede hoy, de un modo más activo, ser útiles al saneamiento político que a través de los tratados y las profesiones de fe políticas. Einstein, Albert. “Induktion und Deduktion in der Physik” (1919). 1.

En síntesis, el texto constituye una A) reflexión epistemológica sobre la ciencia empírica. B) crítica de tipo político en torno a la actividad científica. C) manifestación del espíritu intuitivo de los científicos. D) oposición tajante al empleo de la inducción en la ciencia. E) contribución al análisis filosófico de la coyuntura. Solución: Eisntein pretende mostrar una imagen objetiva del proceder científico, eso constituye una reflexión epistemológica. Clave: A

2.

Es compatible con el texto señalar que el método inductivo A) nunca ha sido empleado por los científicos naturales o sociales. B) corresponde a una imagen simple pero incompleta de la ciencia. C) fue desestimada totalmente por Albert Einstein en su artículo. D) proporciona resultados idénticos a los del llamado método deductivo. E) ha sido la causa del empleo militar del conocimiento científico. Solución: La imagen más simple que podemos formarnos del origen de una ciencia empírica es la que se basa en el método inductivo. [Pero] una rápida ojeada al desarrollo efectivo de nuestra ciencia muestra que los grandes progresos del conocimiento científico sólo en una pequeña parte se han obtenido de este modo. Clave: B

3.

En el texto, la expresión IDEA PRECONCEBIDA alude a la A) probabilidad. D) inducción.

B) deducción. E) interrogante.

C) hipótesis.

Solución: La idea preconcebida permite evidenciar una relación legiforme en una serie de hechos en apariencia inconexos. Las hipótesis tienen la forma de esas relaciones legiformes pues refieren un conjunto de casos. Clave: C Semana Nº 15

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En el texto, la expresión RELACIÓN LEGIFORME refiere a A) una ley de la naturaleza. C) un esquema formal. E) una hipótesis empírica.

B) una teoría científica. D) una intuición metafísica.

Solución: Se eligen y agrupan hechos concretos, de tal suerte que la relación legiforme que los une emerge con toda claridad. Por ende, la relación legiforme refiere a lo ontológico y no a lo gnoseológico. Clave: A 5.

Podemos inferir, respecto al acercamiento del científico a los hechos, que Einstein defendería la siguiente tesis: A) Nuestra mente, al nacer, es como una tabula rasa. B) La causalidad sólo es sustentada por la costumbre. C) Toda observación tiene una carga teórica previa. D) Las teorías científicas son sólo convenciones. E) Los paradigmas científicos son inconmensurables. Solución: “Si el investigador se acercara a las cosas sin ninguna idea preconcebida, ¿cómo podría aferrar en medio de una enorme cantidad de la más complicada experiencia unos hechos que serían por sí solos simplemente suficientes para evidenciar relaciones legiformes?” Es decir, siempre nos acercamos a lo real desde una idea preconcebida, hipótesis, que involucra conceptos y carga teórica. Clave: C

6.

En el texto, la referencia a Galileo hecha por Einstein tiene como finalidad A) corroborar su planteamiento a partir de la historia de la ciencia. B) ejemplificar las consecuencias del empleo del método inductivo. C) convencer de su amplio manejo de las referencias históricas. D) incentivar el estudio de ciencias empíricas como la astronomía. E) negar el estatus de ciencia a la disciplina astronómica antigua. Solución: La investigación de Galileo es un caso paradigmático del empleo de ideas preconcebidas, por ende sigue la dirección de la reflexión de Einstein. Clave: A

7.

A lo largo del texto, la expresión VÍA PURAMENTE LÓGICA significa A) alejarse completamente de la intuición. B) emplear el denominado método deductivo. C) ubicarse dentro de las ciencias formales. D) reemplazar la deducción por la inducción. E) generar un principio o axioma de la teoría. Solución: A lo largo del texto, la vía puramente lógica se opone al método inductivo y se coloca después de la intuición de la hipótesis; por ende, indica la deducción de consecuencias contrastables a partir de la hipótesis. Clave: B

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Según Albert Einstein, el proceder científico en las ciencias empíricas puede ser esquematizado del siguiente modo: A) Problema – hipótesis– ley científica - teoría científica. B) Inducción – hipótesis- contrastación – ley científica. C) Intuición – hipótesis – deducción – contrastación. D) Axioma – deducción – hipótesis – intuición. E) Teoría científica – hipótesis – intuición – deducción. Solución: La concepción intuitiva lleva a la hipótesis. Luego se deducen consecuencias de la hipótesis que se deben comparar con la experiencia (contrastar). Clave: C

9.

Resulta incompatible con lo sostenido por Einstein afirmar que A) una teoría científica nunca puede ser calificada como verdadera. B) la intuición puede brindar un criterio de elección entre teorías. C) a partir del siglo XX se emplea el método hipotético deductivo. D) una teoría científica incluye un principio o sistema de axiomas. E) es imposible constituir una teoría únicamente desde la inducción. Solución: Einstein menciona grandes progresos científicos desde la época de Galileo y Newton. Clave: C

10. Si los científicos solo procedieran inductivamente, A) serían incapaces de lograr avances científicos. B) tendrían un manejo culto de la historia de la ciencia. C) podrían captar las grandes verdades del universo. D) emplearían sus conocimientos con fines bélicos. E) calificarían a la cosmología como ciencia empírica. Solución: Toda persona culta sabe que los grandes progresos del conocimiento de la naturaleza han tenido todos ellos su origen de este modo, y que su fundamento es de naturaleza hipotética. Clave: A 11. La expresión OBJETIVOS ETERNOS es compatible con A) la búsqueda constante e infructuosa de la verdad. B) la constante avidez por el poder de los políticos. C) el saneamiento moral de los científicos alemanes. D) la negación del empleo práctico del conocimiento. E) el sentimiento de superioridad de los científicos. Solución: La silenciosa entrega a objetivos eternos, comunes a todas las culturas humanas, hace referencia a la investigación científica que, como se menciona líneas arriba, nunca podrá alcanzar la verdad. Clave: A Semana Nº 15

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12. En última instancia, Einstein considera que su accionar como científico A) está en las antípodas de toda reflexión política. B) puede tener influencia en el ámbito político. C) es fútil pues el universo es totalmente ininteligible. D) desdeña el empleo de hipótesis causales. E) implica un apoyo tácito al movimiento anarquista. Solución: Con la silenciosa entrega a objetivos eternos, comunes a todas las culturas humanas, se puede hoy, de un modo más activo, ser útiles al saneamiento político que a través de los tratados y las profesiones de fe políticas. Clave: B TEXTO 2 ¡Oh, humanidad!, ¡humanidad! ¿Y es posible que durante sesenta siglos hayas vivido en tanta abyección? Te llamas santa y sagrada y no eres más que la constante y gratuita mujer de tus lacayos, de tus curas y de tus soldados. ¡Tú lo conoces, y sin embargo, lo sufres! Estar gobernado equivale a estar con guardias de vista, a vivir inspeccionada, espiada, dirigida, legislada, reglamentada, hollada, adoctrinada, sermoneada, violentada, estimada, apreciada, censurada y mandada por hombres que para ello carecen de títulos, de ciencia y de virtudes. Estar gobernado equivale a estar registrada, tarifada, timbrada, medida, cotizada, licenciada, privilegiada, enmendada, amonestada, ultrajada, impedida, reformada, dirigida y corregida en cada operación, en cada transacción, en cada movimiento que emprendas. Bajo el pretexto de utilidad pública y en nombre del interés general se imponen contribuciones, se hace la ejecución de los bienes del individuo, se le exige rescate y se le explota, monopoliza, concusiona, precipita, mistifica y roba; después, a la menor resistencia, a la primera queja, se le reprime, se le multa, se le vilipendia, se le veja, se le pega, se le sacude, se le intima, se le desarma, se le agarrota, se le encarcela, se le fusila, se le ametralla, se le juzga, se le condena, se le deporta, se le sacrifica, se le vende, se le hace traición, y, para colmo de esto, no falta quien luego se le burle en sus barbas, le ultraje y le deshonre. He ahí el gobierno, he ahí la justicia, he ahí la moral. Y sin embargo, entre nosotros existen demócratas que pretenden que el gobierno tiene algo bueno; existen socialistas que en nombre de la libertad, la igualdad y la fraternidad, sostienen esta ignominia; existen, en fin, proletarios que aceptan candidaturas a la presidencia de la República. ¡Hipócritas! Proudhon, Pierre Joseph. Idea general de la revolución en el siglo XIX (1851). 1.

Medularmente, el autor del texto muestra su A) oposición a cualquier forma de gobierno. B) malestar ante los constantes errores humanos. C) enojo ante la hipocresía de los presidentes. D) apoyo a toda fuerza que califique como rebelde. E) postulación al principal puesto del Estado. Solución: Proudhon denuncia que, a pesar de todo lo que él muestra sobre el gobierno, existen demócratas que pretenden que el gobierno tiene algo bueno; existen socialistas que en nombre de la libertad, la igualdad y la fraternidad, sostienen esta ignominia. Clave: A

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En el texto, los términos ABYECCIÓN e IGNOMINIA implican A) verdad.

B) maltrato.

C) pureza.

D) virtud.

E) ingenuidad.

Solución: La humanidad vive bajo abyección, bajo la ignominia de los que pretenden defenderla pero la maltratan, ¡hipócritas! Clave: B 3.

Se puede inferir que Proudhon defiende una postura política A) optimista.

B) ecléctica.

C) anarquista. D) socialista.

E) reformista.

Solución: Proudhon se opone a la democracia, al socialismo y a toda forma de gobierno. Clave: C 4.

Si el autor del texto creyera factible realizar reformas democráticas positivas, A) constituiría un movimiento revolucionario para apoderarse del poder. B) aumentaría el control policial y militar en un posible gobierno. C) eliminaría el aporte estatal para las investigaciones científicas. D) propugnaría la participación del pueblo en elecciones presidenciales. E) iniciaría una propuesta de ley para deportar a todos los disidentes. Solución: Bajo el pretexto de utilidad pública y en nombre del interés general; existen, en fin, proletarios que aceptan candidaturas a la presidencia de la República. Clave: D

5.

Resulta incompatible con el texto afirmar que, según Proudhon, A) ningún demócrata reúne las virtudes para gobernar un grupo humano. B) el remate de los bienes individuales es un acto injusto de los gobernantes. C) coerción y tiranía se identifican plenamente con cualquier tipo de gobierno. D) la injusticia y la inmoralidad de los gobernantes es algo patente y demostrado. E) debe otorgarse pleno apoyo a una revolución de raigambre socialista. Solución: Incluso los socialistas sostienen la ignominia del gobierno. Clave: E TEXTO 3

El sistema de los números reales se escoge en física por su utilidad, simplicidad y elegancia matemáticas, junto con el hecho de que concuerda, en un rango muy amplio, con los conceptos físicos de distancia y tiempo. No se ha escogido porque sepamos que está de acuerdo con estos conceptos físicos en todos los rangos. Se podría esperar que no exista tal acuerdo a escalas muy pequeñas de distancia o tiempo. Es práctica común utilizar reglas para la medida de distancias simples, pero esas mismas reglas tendrán una naturaleza granular cuando descendamos a la escala de sus propios átomos. Esto, en sí mismo, no nos impide seguir utilizando los números reales de una forma aproximada, pero se necesita una sofisticación mucho mayor para la medida de distancias aún más pequeñas. Semana Nº 15

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Deberíamos tener al menos alguna sospecha de que pudiera haber en último término alguna dificultad de tipo fundamental para distancias en la escala más ínfima. Resulta que la naturaleza se muestra muy amable con nosotros y parece que los mismos números reales que nos hemos acostumbrado a utilizar para la descripción de las cosas a una escala cotidiana o mayor conservan su utilidad a escalas mucho más pequeñas que los átomos — con certeza por debajo de una centésima del diámetro "clásico" de una partícula subatómica, por ejemplo un electrón o un protón— y aparentemente por debajo de la "escala de la gravitación cuántica", ¡veinte órdenes de magnitud más pequeña que el tamaño de dicha partícula! Esta es una extraordinaria extrapolación a partir de la experiencia. El concepto familiar de distancia como número real parece ser válido también para el cuásar más remoto y aún más allá. De hecho, esta adecuación del sistema de los números reales no se cuestiona normalmente. ¿Por qué se confía tanto en estos números para la exacta descripción de la física, cuando nuestra experiencia inicial de la importancia de tales números se reduce a un rango relativamente limitado? Esta confianza — quizá inmerecida— debe descansar (aunque este hecho no se reconoce a menudo) en la elegancia lógica, consistencia y potencia matemática del sistema de los números reales junto con una creencia en la profunda armonía matemática de la naturaleza. Penrose, Roger. La mente nueva del emperador (1989). 1.

¿Cuál es el tema central del texto? A) La utilización del sistema de los números reales en la ciencia física. B) La confianza inmerecida en los números por parte de los matemáticos. C) La simplicidad como criterio de elección entre teorías matemáticas. D) La relación entre sistema matemático y mundo externo posible. E) La extrapolación de la experiencia de lo visto a lo no experimentado. Solución: El texto gira en torno a la justificación de la elección del sistema de números reales en la investigación física. Clave: A

2.

¿Cuál de las siguientes alternativas contiene el mejor resumen del texto? A) La confianza que tienen los físicos en el sistema de números reales no tiene ninguna justificación plausible y es del todo inmerecida dado que no serviría para lo infinitamente pequeño. B) Los matemáticos, al momento de elegir un sistema de números sobre otros, emplean criterios subjetivos como la elegancia o la simplicidad, pero no se equivocan al emplear los números reales. C) Existe una relación innegable entre el sistema de números reales y las relaciones que se describen en las leyes científicas de la ciencia física, de allí su gran avance en la actualidad. D) Lo infinitamente pequeño puede ser analizado solo de modo superficial con la matemática actual, por consiguiente es sumamente importante que se creen nuevos sistemas de números. E) El empleo de los números reales en la física se sustenta en su elegancia, consistencia y potencia matemáticas, y en la armonía matemática de la naturaleza de conceptos como distancia y tiempo. Solución: Penrose muestra esencialmente los motivos por los cuales los físicos emplean el sistema de números reales. Clave: E

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Es incompatible con el texto señalar que el sistema de números reales se caracteriza por ser A) simple. D) potente.

B) elegante. E) útil.

C) inconsistente.

Solución: La consistencia matemática es una característica básica de un sistema matemático. Clave: C 4.

Respecto a la correspondencia entre matemática y naturaleza, Roger Penrose se muestra A) escrupuloso pues incide en el carácter conjetural de esa relación. B) escéptico puesto que señala que es imposible conocer la realidad. C) dogmático dado que confía plenamente en el poder de la física. D) dubitativo ya que no decide el sistema de números a emplear. E) plenamente confiado debido a las aproximaciones matemáticas. Solución: Penrose señala que la adecuación de los números reales con los hechos, incluso los más pequeños físicamente, no se cuestiona normalmente y que esta confianza es quizá inmerecida pues no tenemos certeza al respecto. Clave: A

5.

En el texto, el vocablo SOFISTICACIÓN implica mayor A) delicadeza. D) veracidad.

B) rapidez. E) adecuación.

C) complejidad.

Solución: Podemos seguir utilizando los números reales de una forma aproximada, pero se necesita una sofisticación (complejidad) mucho mayor para la medida de distancias aún más pequeñas. Clave: C ELIMINACIÓN DE ORACIONES 1.

I) Con su hipótesis, Halley predijo que el cometa aparecería nuevamente; el día de Navidad de 1758 apareció efectivamente de nuevo un cometa en el cielo visible, que desde entonces lleva su nombre. II) Con la hipótesis de la órbita elíptica, Halley repasó los datos astronómicos disponibles de los 150 años anteriores, y se percató que al menos en dos casos (1530 y 1606) podría tratarse del mismo cometa. III) En 1682 se produjo la visita de un cometa, Halley observó y anotó cuidadosamente los datos del mismo, él defendía la hipótesis de que al menos ese cometa era de órbita elíptica y, por tanto, recurrente. IV) La teoría newtoniana es compatible tanto con que los cometas describan elipses muy excéntricas como con que describan parábolas; en el primer caso el astro pasa varias veces por una misma región, en el segundo no. V) Halley pudo predecir la llegada de un cometa en el año 1758 gracias a sus conocimientos de la teoría de Newton y una revisión de datos astronómicas anteriores. A) I

Semana Nº 15

B) II

C) III

D) IV

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E) V Pág. 13

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Solución: Tema: La hipótesis de la órbita elíptica de los cometas defendida por Halley. Se elimina la oración V por redundancia, pues está implícita en las demás oraciones. Clave: E 2.

I) La primera clasificación que se impuso fue la de Aristóteles, quien clasificó los seres vivos en reino vegetal y reino animal. II) Los naturalistas, a lo largo del tiempo, han dado mucha importancia a la clasificación de los seres vivos. III) La clasificación de los seres vivos hecha por Aristóteles se mantuvo durante mucho tiempo. IV) La clasificación es una parte importante de la actividad científica, sobre todo en la biología. V) Fue Karl von Linné quien creó agrupaciones jerarquizadas (taxones), e inventó el sistema de nomenclatura binomial. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Se elimina la oración IV por inatingencia. El tema es la clasificación de los seres vivos. Clave: D 3.

I) Stanley Prusiner, en la década de los noventa, bautizó un conjunto de proteínas con el nombre de priones. II) Stanley Prusiner, científico norteamericano, recibió el premio Nobel en Medicina en la década de los noventa. III) En 1992, Stanley Prusiner propuso que había un tipo de enfermedades que se transmitían por proteínas. IV) Los priones son más sencillos que los virus y pueden causar enfermedades en el cerebro. V) A diferencia del resto de los agentes infecciosos que contienen ácidos nucleicos, un prion sólo está compuesto por aminoácidos. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Se elimina la oración II por inatingencia. Tema central: Los priones. Clave: B 4.

I) Arquímedes refutó la hipótesis aristotélica al mover con una sola mano, mediante un sistema de poleas, un barco totalmente cargado en el puerto de Siracusa. II) Para el filósofo griego Aristóteles, el movimiento sólo se producía ante la presencia de una fuerza actuante. III) Generalizando sobre efectos dinámicos cotidianos, principalmente sobre la tracción, Aristóteles formuló una especie de hipótesis mecánica general. IV) La hipótesis aristotélica fue que la velocidad es directamente proporcional a la fuerza actuante e inversamente proporcional a la cantidad de materia y a la resistencia o rozamiento del medio. V) La primera hipótesis aristotélica fue completada con otra: dados un cuerpo y un medio, por debajo de cierto umbral la fuerza no produce movimiento. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Se elimina la oración I por inatingencia. Tema central: La hipótesis mecánica general de Aristóteles. Clave: A

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SEMANA 15 C Sobre Discurso del método de René Descartes TEXTO 1 René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, Touraine (Francia). Estudió con los jesuitas en el colegio de la Flèche. Allí desarrolló una gran afición por las matemáticas y un cierto escepticismo respecto de las demás ciencias. Luego se dedicó a trabajar independientemente en el álgebra y la geometría, que se convirtieron en sus materias favoritas “debido a la certidumbre de sus pruebas”. Cursó la materia de Derecho en la Universidad de Poitiers. En cuanto recibió su diploma, “abandonó del todo el estudio de las letras y resolvió no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de sí mismo o del gran libro del mundo”. Después de participar durante una breve temporada en la vida social de París, se encerró por dos años en una vivienda de esta ciudad, oculto incluso a sus amigos, para entregarse por completo al estudio de las matemáticas. Isaac Beeckman, un eminente matemático de la época, le propuso a Descartes que encontrase la ley matemática que rige la aceleración de los cuerpos que caen. Ninguno de los dos sabía que Galileo había resuelto ya dicho problema. Descartes estableció diversas soluciones, basadas en hipótesis diferentes. El problema es que ninguna de ellas coincidía con el modo como caen realmente los cuerpos: por aquel entonces Descartes aún no conjugaba el análisis matemático con la experimentación. Al año siguiente, Descartes informó a Isaac Beeckman su descubrimiento de la geometría analítica. Tras este retiro, se alistó como soldado y participó en la Guerra de los Treinta Años, no por sentimientos patrióticos, sino porque quería conocer a fondo el mundo y la naturaleza humana. Un año después de su encuentro con Beeckman, Descartes tuvo una famosa experiencia. Se había alistado en el ejército del duque de Baviera, aliado de Francia en la Guerra de los Treinta Años. El día 10 de noviembre, abstraído en sus pensamientos, tomó importantísimas decisiones. En primer lugar, decidió que debía dudar metódicamente de todo lo que sabía acerca de la física y de los restantes conocimientos organizados, y que debía encontrar ciertos puntos de partida evidentes en sí mismos que le permitiesen reconstruir todas las ciencias. En segundo lugar, decidió que él debía llevar a cabo, por sí solo, su programa. A esta etapa militar siguieron varios viajes por Europa. En 1625 regresó a París. Aquí entró en contacto con el círculo de Mersenne, trabajó en su “matemática universal” y se embarcó en especulaciones sobre gran cantidad de cuestiones diversas que iban de la psicología moral a la prolongación de la vida. También resultó absorbido por la vida social, la música, las lecturas frívolas y el juego. Decidió establecerse en los Países Bajos, donde pasó un largo periodo de casi veinte años, dedicado al retiro y a la investigación científica. Llamado por la reina Cristina de Suecia, que quería que el propio Descartes le explicara algunos puntos de su pensamiento, se trasladó a Estocolmo en el año 1649, pero su endeble complexión no soportó el clima de esas latitudes y murió en esa ciudad probablemente de pulmonía el 11 de febrero de 1650 a los 53 años. 1.

En el texto, el término escepticismo connota A) suspicacia. D) diatriba.

B) desconfianza. E) investigación.

C) censura.

Solución: Guardar escepticismo sobre los conocimientos implica desconfianza, duda. Clave: B Semana Nº 15

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La frase “endeble complexión” presenta una característica ……… de Descartes. A) saludable. D) física.

B) psíquica. E) moral.

C) ambigua.

Solución: Endeble complexión alude a la fragilidad del filósofo moderno. Clave: D 3.

Cabe inferir que Descartes muestra predilección por la búsqueda de un saber A) ficcional. D) escéptico.

B) conjetural. E) social.

C) apodíctico.

Solución: Su preferencia por las matemáticas implica la búsqueda de la certeza. Clave: C 4.

Se infiere del texto que para descubrir una ley de la naturaleza se requiere A) enumerar todas las posibles situaciones de gran abstracción. B) conciliar hipótesis incompatibles en cuanto a la matemática. C) refutar diversas soluciones matemáticas de nivel filosófico. D) combinar el análisis matemático con la experimentación. E) confirmar varios enfoques matemáticos de índole paradójica. Solución: En el texto se menciona que Descartes estableció diversas soluciones basadas en hipótesis diferentes pero que no llegó a resolverlo porque no conjugaba el análisis matemático con la experimentación, en ese sentido el análisis matemático no basta es necesario establecerla con la ayuda de la experimentación. Clave: D

5.

Del texto se infiere que la ciencia cartesiana se sustenta en A) la evidencia. D) la religión.

B) la lógica. E) el misticismo.

C) el silogismo.

Solución: En el texto se dice que Descartes consideraba que debía de dudar metódicamente para llegar a ciertos conocimientos evidentes en sí mismos que le permitiesen reconstruir todas las ciencias. En ese sentido el fundamento de la ciencia radicaría en esos conocimientos evidentes a partir de la cual se la reconstruye. Clave: A 6.

Se desprende del texto que Descartes A) tenía un interés superficial en las matemáticas. B) despreciaba a la metafísica de toda índole. C) mostraba interés en varias áreas del saber. D) ostentaba un fuerte sentimiento de patriotismo. E) disponía escasos conocimientos en geometría.

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Solución: Descartes tuvo interés por la matemática, la filosofía, la física, la psicología moral, la prolongación de la vida, la música; es decir fue una persona multifacética no se intereso sólo por la matemática y la filosofía. Clave: C 7.

Resulta incompatible con el texto enunciar que Descartes A) fue incapaz de resistir el rigor del clima de Suecia. B) propugnó la aplicación estricta de la duda metódica. C) intentó resolver el problema físico de la aceleración. D) tenía sólidos conocimientos en las matemáticas. E) se caracterizaba por un chauvinismo exagerado. Solución: Si se alistó no fue por un amor a la patria, sino por una curiosidad genuina. Clave: E TEXTO 2

En filosofía natural, René Descartes se propuso dos cosas. En primer lugar, examinar y generalizar el método matemático de la ciencia natural. En segundo lugar, construir mediante dicho método una imagen mecánica general de las operaciones de la naturaleza. Descartes había leído las doctrinas de Francis Bacon acerca del método científico. Aunque simpatizaba con los objetivos del filósofo inglés, pensaba que Bacon había iniciado sus investigaciones por un lugar inadecuado. Bacon había partido de las experiencias del mundo material en lugar de hacerlo de los principios generales que suministraban la base de la investigación deductiva. Descartes se sentía impresionado por el método matemático que se desarrollaba en el seno de las ciencias físicas y se dio cuenta de que del mismo modo que el estudioso de la mecánica limitaba la diversidad de las cosas observables a aquellas que eran medibles, así también él debía recortar la variedad de teorías que se pudiesen sugerir, limitándola a aquellas que se pudiesen desarrollar matemáticamente. Del mismo modo, no todas las cualidades medibles tenían la misma importancia, habiéndose de desestimar algunas para simplificar el estudio. Descartes pensaba que no todas las ideas susceptibles de tratamientos matemáticos tenían la misma importancia, sino que había ciertas ideas fundamentales «dadas por intuición» que suministraban el punto de partida más seguro para las deducciones de carácter matemático. Dichas ideas eran las de movimiento, extensión y Dios. La idea de Dios constituía el fundamento principal de su sistema, dado que Dios había creado la extensión y había puesto el movimiento en el universo. Puesto que el movimiento había sido conferido al universo una vez solo en el momento de la creación, la cantidad de movimiento del mundo había de ser constante. Mediante tal argumento, Descartes llegó al principio de conservación del momento. 1.

Medularmente, el sistema de Descartes se cimienta en A) la deducción. D) la creencia.

B) el cálculo. E) la intuición.

C) la observación.

Solución: El sistema cartesiano parte de las evidencias dadas por la intuición. Clave: E Semana Nº 15

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En el texto, la palabra COSA significa A) entidad. D) método.

B) propiedad. E) naturaleza.

C) tarea.

Solución: Cosa se usa como sinónimo de tarea, algo que se debe hacer. Clave: C 3.

Resulta incompatible con el texto aseverar que A) Descartes sostenía que la extensión equivalía al movimiento. B) la ciencia cartesiana se fundamentaba en un método matemático. C) el universo está en movimiento por un acto de voluntad sobrenatural. D) la aplicación de las reglas matemáticas tiene una índole deductiva. E) en el sistema cartesiano la existencia de Dios tiene un estatus crucial. Solución: Extensión y movimiento eran nociones diferentes obtenidas por intuición. Clave: A

4.

Un fiel seguidor de las ideas de Descartes sostendría que A) el movimiento puede ser considerado esencialmente perpetuo. B) las deducciones de la matemática se prueban empíricamente. C) las ciencias físicas pueden prescindir de las deducciones. D) el concepto de deducción es más importante que el de intuición. E) la búsqueda de la verdad es imposible sin orden en el pensar. Solución: Tal es la posición que se deriva del método. Clave: E

5.

Si Descartes hubiese sido un epígono de Bacon, se habría adherido al A) racionalismo. D) irracionalismo.

B) indeterminismo. E) empirismo.

C) politeísmo.

Solución: Aunque Descartes simpatizaba con los objetivos de Bacon, estaba en contra de su empirismo. Clave: E ÍTEMS SOBRE DISCURSO DEL MÉTODO Tiene, a continuación, 10 preguntas sobre el Discurso del método de René Descartes. Antes de elegir la respuesta para cada ítem, rememore la lectura del discurso cartesiano y reflexione en torno a ellas. 1.

Se infiere que una persona que viaja por muchos países diferentes A) descubre que la cultura occidental es universal. B) determina que todo el mundo carece de verdad. C) es incapaz de comprender los libros de leyes. D) sabe eludir todas las argucias y sofisterías. E) mira con tolerancia las costumbres ajenas.

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Solución: Según Descartes la consideración de otras costumbres nos lleva a pensar que lo diferente no equivale a ridiculez ni a irracionalidad. Clave: E 2.

Resulta incompatible con el pensamiento cartesiano decir que A) saber latín es muy útil para leer libros antiguos. B) el campo de la filosofía es el reino de lo debatible. C) las matemáticas son inútiles en las artes mecánicas. D) la memoria es una capacidad importante para pensar. E) la cuestión del método es gravitante para las ciencias. Solución: Descartes solía pensar que la única utilidad de las matemáticas era en las artes mecánicas. Clave: C

3.

En la perspectiva cartesiana, la lógica aristotélica A) ha sido rebatida en la época medieval. B) es crucial para el nuevo descubrimiento. C) es insoslayable en la ciencia del álgebra. D) solamente sirve para construir entimemas. E) carece de potencia heurística para la mente. Solución: En efecto, Descartes dice que la lógica no sirve para descubrir nuevas verdades. Clave: E

4.

Para Descartes, la creación del mundo se puede considerar A) imposible. D) mirífica.

B) irreal. E) irracional.

C) imperfecta.

Solución: Descartes, de modo explícito, concede y habla del milagro de la creación. Clave: D 5.

Si alguien sostuviera que la perfección está garantizada si la obra fue hecha por muchas personas, A) podría valerse de los ejemplos de la arquitectura. B) Descartes se opondría al falaz razonamiento. C) emitiría un juicio imposible de rebatir lógicamente. D) no podría distinguir entre barbarie y civilización. E) abogaría por la obra de un solo legislador prudente. Solución: Según Descartes, en las obras hechas por manos diversas hay imperfección. Clave: B

6.

El método cartesiano pone de relieve A) la asimetría. D) la conjetura.

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B) la prevención. E) la imaginación. (Prohibida su reproducción y venta)

C) la exhaustividad.

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Solución: Descartes consideraba importantes las enumeraciones completas con el fin de que se tuviese la seguridad de no omitir nada. Clave: C 7.

Se puede determinar que el primer precepto del método cartesiano pone de relieve el valor A) del análisis. D) de los datos.

B) de la síntesis. E) de la experiencia.

C) de la intuición.

Solución: Gracias a la intuición se obtiene la evidencia. Clave: C 8.

Según el tratado que reseña en la Quinta Parte, en la descripción de la naturaleza Descartes seguía A) el enfoque teológico. C) la concepción logicista. E) la ciencia de la geometría.

B) el razonamiento causal. D) el método probabilístico.

Solución: Encadena las causas con los efectos. Ergo, sigue el razonamiento causal. Clave: B 9.

La duda cartesiana es muy diferente de la duda escéptica porque Descartes quiere llegar a la A) lógica. D) paradoja.

B) revelación. E) refutación.

C) certeza.

Solución: La duda cartesiana es metódica porque se enmarca en la ruta que conduce a la verdad. Clave: C 10. Si Descartes hubiese podido ver una computadora programada para emitir palabras, habría A) refutado la creencia en la idea de Dios. B) sostenido que sus tesis siguen en pie. C) abominado de su método filosófico. D) conferido razón a todos los animales. E) negado la existencia del sonido. Solución: Dado que no sería una evidencia de creatividad lingüística, las tesis cartesianas sobre el alma racional seguirían en pie. Clave: B

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ELIMINACIÓN DE ORACIONES 1.

I) A finales del siglo XVIII, Lavoisier diseñó un experimento teniendo en cuenta que una consecuencia de la teoría del flogisto es que los cuerpos pierden materia al quemarse. II) De acuerdo con la teoría del flogisto, Lavoisier tendría que observar que el volumen de aire dentro de la campana debía aumentar como efecto de la asimilación de flogisto; no obstante, el experimento produjo los resultados opuestos. III) La teoría del flogisto, desarrollada durante el siglo XVIII por Stahl, explicaba la combustión atribuyendo a los cuerpos combustibles una sustancia, el flogisto, que éstos liberan al arder. IV) En su experimento, Lavoisier colocó una cantidad de sustancia combustible (mercurio) sobre un sólido flotante en agua y la encerró bajo una campana de cristal; luego encendió el mercurio. V) Lavoisier realizó un experimento empleando mercurio que produjo resultados contrarios a los que se estimaban a partir de la teoría del flogisto propuesta por Stahl en el siglo dieciocho. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Tema: El experimento de Lavoisier para refutar la teoría del flogisto. Se elimina la oración V por redundancia, pues está implícita en las demás oraciones. Clave: E 2.

I) Durante los siglos XVIII y XIX la dinámica newtoniana se había aplicado desde sus inicios con éxito a la astronomía, aunque presentaba anomalías importantes. II) Algunos astrónomos conjeturaron que las deficiencias respecto a la órbita de Urano podían deberse a la presencia en sus alrededores de un astro de gran tamaño. III). El planeta Neptuno pudo descubrirse en el siglo XIX por una conjetura que intentaba resolver una aparente deficiencia dentro de la teoría newtoniana. IV) Una de las principales deficiencias de la teoría de Newton a mediados del siglo XIX era el de la órbita de Urano, que difería de los valores previstos por esa teoría física. V) En 1846, Leverrier descubrió un nuevo planeta, Neptuno, en una posición y momento acordes con la órbita prevista por los que conjeturaron la presencia de otro astro. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Tema: El descubrimiento de Neptuno a partir de la teoría newtoniana. Se elimina la oración III por redundancia, pues está implícita en las demás oraciones. Clave: C 3.

I) Entre los geólogos existía un considerable desacuerdo sobre la causa del calentamiento global que originó luego la extinción de los dinosaurios. II) Según una hipótesis opuesta a la del impacto, el calentamiento fue el resultado de un período de numerosas e intensas erupciones volcánicas. III) Los datos geológicos más recientes coinciden con las consecuencias contrastables deducidas a partir de la hipótesis del impacto. IV) Según una hipótesis, el origen del calentamiento global que extinguió a los dinosaurios fue el impacto de un enorme meteorito contra la Tierra. V) Hay acuerdo generalizado acerca de que los dinosaurios se extinguieron hace 65 millones de años por los efectos de un calentamiento global. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Tema: Las hipótesis sobre el calentamiento global que produjo la extinción de los dinosaurios. Se elimina la oración I por redundancia. Clave: A Semana Nº 15

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.

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I) Karl Raimund Popper nació en Viena, el 28 de julio de 1902 en una familia judía que se bautizó en la comunidad luterana deseando asimilarse a la sociedad mayoritariamente cristiana. II) El padre de Karl Popper era doctor en Derecho por la Universidad de Viena, además era un gran aficionado a la historia y a la filosofía. III) Las inquietudes filosóficas acompañaron a Karl Popper desde muy joven, quizá en parte por la influencia de su padre con quien discutía sobre cuestiones filosóficas. IV) Karl Popper siempre tuvo una profunda preocupación por los problemas filosóficos y sociales, siendo miembro de una asociación socialista marxista en el año 1918. V) La teoría filosófica de Popper surgió como una reacción a los planteamientos del positivismo lógico y del marxismo. A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solución: Tema: Aspectos biográficos de Karl Popper. Se elimina la oración V por inatingencia. Clave: E SERIES VERBALES 1.

Cordial, atento, amable, A) alerta.

B) afable.

C) agnóstico.

D) absorto.

E) inerme.

Solución: Sinonimia Clave: B 2.

¿Cuál es el término que no corresponde al campo semántico? A) empeño

B) tesón

C) constancia D) obligación

E) persistencia

Solución: El campo semántico es el del esfuerzo o empeño. Clave: D 3.

ARDIENTE, ABRASADOR, CANDENTE, A) febril.

B) tenso.

C) ígneo.

D) fútil.

E) procaz.

Solución: Sinonimia Clave: C 4.

Refutar, rebatir; obligar, coercer; manumitir, emancipar; A) purificar, absterger. D) odiar, soslayar.

B) intentar, perder. E) ilustrar, menoscabar.

C) alabar, vituperar.

Solución: La serie verbal se completa con un par de sinónimos. Clave: A 5.

Abstruso, inteligible; mendaz, veraz; efímero, sempiterno; A) estólido, mendaz. C) escrupuloso, detallista. E) escéptico, incrédulo.

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B) polémico, tenaz. D) necio, perspicaz.*

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Solución: La serie verbal se completa con un par de antónimos. Clave: D

Habilidad Lógico Matemática EJERCICIOS DE CLASE Nº 15 1.

En la figura se muestra una lámina que tiene la forma de un cuadrado de 4cm de lado y AB = 2cm. Si al cuadrado se le hace rotar 90º en sentido contrario al de las agujas del reloj con respecto al punto A, halle el perímetro en centímetros de la región genera por el lado BC.

C A) 8 + 4 

B) 8 + 3 

C) 8 + 5 

D) 8 + 2 

B

E) 8 + 6 

A

Solución: Luego Perímetro = 8 + 4 

Clave: A 2.

En la figura, la región sombreada representa a una lámina uniforme de metal conformada por semicircunferencias y cuartos de circunferencia. Si el lado de cada cuadrado mide 6 m y Diego desliza un disco de radio 1 m desde el punto A por todo el contorno de la lámina sombreada hasta retornar a la posición inicial en el punto A, halle la distancia recorrida por el centro del disco. 6m

A) 20 m B) 24 m A

C) 26 m D) 28 m E) 22 m .

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(II)

Solución:

4m

2 (7) En (I) recorre: = 3,5 m 4

(III)

2 (1) En (II) recorre:  m 2

En (III) recorre:

2 (2)  2 m 2

(I)

Luego distancia recorrida es 4  3,5    2   26 m Clave: C 3.

En la siguiente secuencia, halle la figura que ocupa el lugar 9460.

; Fig.2

Fig.1

A)

;

B)

; ...

; Fig.3

C)

Fig.4

D)

E)

Solución:

Se repite cada 4 veces, 0

9460  4

Clave: A 4.

En la siguiente secuencia, halle la figura que ocupa el lugar 4565.

+

;

+

;

Fig.2

Fig.1

Fig.3

+ A)

B)

+

;

+

C)

+

+

; ...

Fig.4

D)

+

E)

+

Solución: Se repite cada 4 veces o

4565  4 1

Clave: D Semana Nº 15

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La figura muestra un cuadrado inscrito en una circunferencia. Si esta gira 1125º en sentido horario y luego 90º en sentido antihorario alrededor de su centro, ¿qué figura se obtiene?

A)

B)

C)

D)

E)

*

Solución: Gira en sentido horario 1125º = 3 x360 + 45° resulta

Gira en sentido antihorario 90° resulta Clave: C 6.

En la siguiente secuencia, ¿qué figura se obtiene al superponer la figura 50 con la 803?

.

Fig. 1

A)

Fig. 2

B)

Fig. 3

C)

Fig. 5

Fig. 4

D)

E)

Solución: Observamos que las figuras se repiten cada 4.

Fig 50 = fig(40+2)

● Fig803 = fig(4º+3)

Semana Nº 15

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Al superponer resulta:

Clave: A 7.

En la siguiente secuencia, halle la figura que ocupa el lugar 50.

? (1)

;

A)

(2) B)

;

(3) C)

;

(4)

D)

;

… ; (50)

E)

Solución: El cuadrado inferior izquierdo, permanece fijo. El cuadrado inferior derecho de la figura 1, es el que se va trasladando, en sentido horario. Las diagonales van formando un triángulo, en sentido horario. Las figuras se repetirán cada 12. Se busca la figura (50) que equivale a la 2. Clave: A 8.

El tiempo empleado en viajar en un tren es directamente proporcional a la distancia recorrida e inversamente proporcional a la velocidad; a su vez, la velocidad es inversamente proporcional al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 30 km en 30 minutos, ¿cuántos km puede recorrer el tren de 10 vagones en 10 minutos? A) 20

B) 25

C) 30

D) 32

E) 24

Solución:

Clave: A Semana Nº 15

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En la cooperativa de ahorros “María Magdalena”, los 1000 socios votaron dos mociones sin abstenerse. En la primera votación, por cada 4 votos a favor había 6 en contra. En la segunda votación, por cada 8 votos a favor hubo 2 en contra. ¿Cuál es la suma del número de los votantes a favor de la primera moción y los votantes en contra de la segunda moción? A) 630

B) 590

C) 650

D) 400

E) 600

Solución: # votantes a favor: a # votantes en contra: b a 4    a  4k , b  6k b 6  10k  1000  k  100  a  400, b  600 2da moción # votantes a favor: a1 # votantes en contra: b1 a 8  1   a1  8k1 , b1  2k1 b1 2  10k1  1000  k1  100  a1  800, b1  200

Suma: a + b1 = 400 + 200 = 600 Clave: E 10. Definimos el operador  x  de la siguiente manera:

x   Si

M( x ) 

n ; Si

n  x  n 1  n  Z

 x  1,75    x  9, 25   x  2,75   x  1,75 , halle 2 2  x  2  x  2 

A) 1

B) 2

C) 4

D) 3

M(2, 25)

E) – 4

Solución: Se tiene:

M( 2,25) 

 2,25  1,75   2,25  9,25   2,25  2,75   2,25  1,75  2,25  22  (2,25  2)2 

M( 2,25) 

 4  7  0,5   0,5  0,252  (0,25)2 

M( 2,25) 

 4  7  0  ( 1) 4 1 0 Clave: C

Semana Nº 15

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Pág. 27

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

11. En el conjunto de los números reales positivos, se define el operador & como

a & b  3 a b & a  ,

a &b  0 .

Halle la suma de las cifras de la diferencia positiva entre (28)&(38) y (38)&(28). A) 3

B) 7

C) 9

D) 6

E) 5

Solución:

a & b  3 a (b & a )  b & a  3 b(a & b) Luego : a & b  3 a (b & a )  a & b  3 a ( 3 b(a & b)) Así : (a & b)9  a 3 (b(a & b)) (a & b)8  a 3b  a & b  8 a 3b Luego : 28 & 38  8 (28 )3 (38 )  8.3  24 y 38 & 28  8 (38 )3 (28 )  27.2  54  54  24  30  3+0=3 Clave: A

12. En la figura, ABCD-EFGH es un cubo y M es punto medio de CG . Si el área de la región sombreada es 9 6m2 , calcule el área de la superficie lateral del cubo.

A) 144m2 B) 140m2

F

G

E

H

M

C) 142m2 B

C

D) 148m2 E) 134m2

Semana Nº 15

A

D

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Pág. 28

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Ciclo 2011-II

F

Solución: – Área (BDM)=

G

(2a 2)(a 3)  9 6  a2  9 2

a

E

– ASL  (8a)(2a)

M

H a

– Por tanto: ASL  144m2

3 a

B

C

a 2

N

a

2

a a

A

2

2

D Clave: A

13. En la figura se tiene un cubo cuya distancia entre BF y AG es de 8 2 cm . Determine el área lateral del cubo. A) 1024 cm2

B) 2048 cm2

C) 1536 cm2

D) 1280 cm2

E) 384 cm2 Solución: Arieta del cubo: x

En el BFH, O es el punto medio de BH y OM // FH FH x 2 = = 2 2  x  16 OM=

x 2



16 2

AL  4(16)2  1024 cm2

Clave: A

14. La figura muestra un sólido compacto formado por 27 cubos idénticos de 1 cm de arista. Carlitos, solamente adicionando y pegando la menor cantidad de cubos idénticos de 1 cm de arista forma un paralelepípedo compacto. Determine el área lateral del sólido obtenido. A) 36 cm2

B) 56 cm2

C) 64 cm2

D) 68 cm2

E) 45 cm2

Semana Nº 15

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Pág. 29

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: Adicionando y pegando resulta el sólido que se muestra AL  2 (3  4)  (4  4) AL  2(28)  56 cm2

Clave: B

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 15 1.

En la figura, AB = 16cm y BC = 12cm. ¿Cuál es la mínima longitud que recorre el centro del aro de radio 2cm, al rodar en el interior del triángulo hasta que regrese a su posición inicial? B

C A A) 24 cm

B) 28 cm

C) 20 cm

D) 30 cm

E) 32 cm

Solución: Es un triángulo de 37° y 53°. Al unir el centro del aro, con A y C, se forma ángulos de 18.5° y 26.5°. Luego usando el radio = 2, se halla los segmentos de la figura.

2

B 2

8

6 A

6

10

4

C

La longitud recorrida por el centro es: 10 + 8 + 6 = 24 cm. Clave: A

Semana Nº 15

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Pág. 30

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.

Ciclo 2011-II

En la siguiente sucesión de figuras formadas por láminas transparentes y congruentes, al trasladar la figura 222 sobre la figura 976, ¿qué figura se obtiene?

, Fig. 1

A)

, Fig. 2

B)

C)

, Fig.3

, ... Fig. 4

D)

E)

Solución: Posición del Punto:

8+7 8+2

2 5

8 +5

Posición del Sombreado:

8 +4

74 83

8 0

4 +2 4+1

8 +1

1 6

2

1

3

4

8+6 8 +3

4+3

4

Figura 976 = 8 0

0

0

Figura 222 = 8 + 6 = 4 + 2

0

Figura 976 = 8 = 4

Resultado

Clave: A 3.

Si la figura (I) gira 810° en sentido antihorario y la figura (II) gira 990° en sentido antihorario y luego trasladamos una figura sobre la otra, ¿qué figura resulta?

A) Semana Nº 15

B)

C)

D)

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E) Pág. 31

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: Girando la figura (I) 810° = 360(2) + 90 = 90

Para

990°= 360(2) + 270 = 270

Luego girando la fig (II) se tiene Superponiendo Clave: A 4.

En un tablero de ajedrez es posible sólo un tipo de movimiento: Cada casilla se puede trasladar a otra casilla de la misma manera en la que se traslada el caballo de ajedrez. ¿Cuántos movimientos como mínimo son necesarios en la figura (I) para obtener la figura (II)?

(I) A) 18

(II)

B) 16

C) 14

D) 12

E) 20

Solución: A

1° de IIA a IC, 2° de IIG a IE,

B

C

D

E

F

G

H

I

3° de IIIF a IID, 4° de IH a IIIG,

II

5° de VF a IVH, 6° de IVE a VG,

III

7° de VIG a IVF.

IV

Mediante la simetría obtenemos

V

2(7) = 14 movimientos.

VI VII VIII

Clave: C Semana Nº 15

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Pág. 32

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.

Ciclo 2011-II

Una constructora acepta en hacer una obra en 30 días, empleando 20 obreros y trabajando 8 horas diarias. Después de haber avanzado los 2/5 de la obra se pidió a la constructora que la obra quedase terminada 6 días antes del plazo previsto. La constructora acepta tal pedido, para ello aumenta una cierta cantidad de obreros y el trabajo diario en dos horas más, cumpliendo con éxito la obra. ¿Cuántos obreros se aumentaron? A) 7

B) 8

C) 12

D) 3

E) 4

Solución: Analizando las magnitudes se tiene ( # obreros) (# horas diarias) (# días) = cte Además se tiene solo (18 - 6) días para hacer la obra después de los 12 días de haberse empezado la obra. Por otro lado Si se avanzó los 2/5 de la obra entonces transcurrieron (2/5)(30) = 12 días Sea x = # de obreros adicionales Entonces se tiene: (20)(8)(30) = (20)(8)(12) + (20 + x)(10)(18 - 6) x=4 Clave: E 6.

En un taller de mecánica el costo que cobra un mecánico por reparar un auto es directamente proporcional al número de marcas que conoce, e inversamente proporcional al número de horas que tarda en reparar dicho auto. Si Augusto conoce las marcas Dodge, Mazda, Nissan, Ford y Chevrolet; además tarda 4 horas en reparar un auto y cobra S/250 por cada uno. ¿Cuánto cobrará en soles Andrés por auto si conoce una marca menos y tarda 2 horas menos por reparación? A) 275

B) 300

C) 325

D) 350

E) 400

Solución: Sea C: costo por auto M: número de marcas de autos H: horas que tarda en reparar un auto Según los datos CM/H = K De los datos, 250*7/5 = 2C/3 De donde C = 300 Clave: B Semana Nº 15

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Pág. 33

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.

Ciclo 2011-II

de la siguiente manera: a 

Se define el operador

11a  4 ; a Z 3a

Halle el valor de “x” en la siguiente ecuación: x  x A) 4

B) 2

C) 5

D) 6

E) 8

Solución:

x  x

Como:



11 x  4  x 3x

(3 x  1).( x  4)  0 

2

 3 x  11 x  4  0

x 

1  x 4 3

Como debe ser entero: x 4 

11( x)  4  4  11x  4  12 x  x  4 3( x)

Clave: A 8.

En el conjunto de los números reales se define el operador  como a b  a  a  b ; a  b  0 . Calcule 16  2 .

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E)

2 2 Solución: a  b  a b  a ; b  a  b  a  b 

a  b  a  b a  b   

a  b

 a  b a  b   

 a  b

 a2 b  a  b 

a  b

 a2 b

2

4

3

a  b  3 a2b

 16  2  3 162 x2  8 Clave: D

Semana Nº 15

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Pág. 34

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.

Ciclo 2011-II

En la figura, ABCD-EFGH es un prisma recto cuyas bases son regiones cuadradas y P es el centro de la cara CDHG. Si AD = 8m y el área de la región sombreada es 40 m2, calcule el área de la superficie lateral del prisma. F

A) 384m2 B) 386m2

G

H

E

P

C) 382m2

B

C

2

D) 388m

A

E) 378m2

D

F

Solución: – Área (ABP) =

8h  40  h  10 2

G

H

E

– El triángulo PMR: not(37º-53º)  a  6

2a P

– ASL  4(8)(2a)

B Por tanto: ASL  384m

2

a

h

C

4 4

R

4 8

4

A

8

M

D Clave: A

10. En la figura se muestra dos sólidos, uno de ellos es un cilindro de revolución y este encaja en forma exacta en el otro solido y forman así un cubo compacto. Si el diámetro de una de las bases del cilindro es la mitad de la diagonal de una de las caras del cubo y el área lateral del cilindro es 8π 2 cm2 , ¿cuál es el área lateral del cubo formado por estas dos piezas? A) 32cm2 B) 64 cm2 C) 16 cm2 D) 24 cm2 E) 36 cm2

Semana Nº 15

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Pág. 35

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: 1) Sea 4L el lado del cubo. 2) Radio de la base del cilindro

2 L cm

3) Como:

 2 L   4L  2  2π  2 L   4L   L  1

A (lateral cilindro)  2π 8π

4) lado del cuadrado: 4 cm 5) Área lateral del cubo formado por las dos piezas: 64 cm2 Clave: B

Aritmética Ejercicios de clase N° 15 1.

Halle el vigésimo término de la sucesión 1;

8021 3

A)

B)

7421 3

11 31 131 ; ; 23 ; ; ….. 3 3 3

C) 2674

D)

8024 3

E) 2675

Solución: a n:

3 11 31 69 131 , , , , ,... 3 3 3 3 3

consideramos 3 ; 11 ; 31 ; 69 ; 131 ; … 8

20 12

38 62 18

6

24 6

 Tn = n3 + n + 1  T20 = 203 + 20 + 1 = 8021  a20 =

8021 3

Clave: A Semana Nº 15

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Pág. 36

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.

Ciclo 2011-II

Calcule la suma de los k primeros términos de la sucesión S: 24;29;36;45; ab ;…; 27b ,…. A) 17 50

B) 1650

C) 1900

D) 1495

E) 1795

Solución: 24 ; 29 ; 36 ; 45 ; 56 ; … 276 5

7 2

9 2

11 2

Tn = n2 + 2n + 21  276 = n2 + 2n + 21  n = 15 15

Suma de los 15 primeros =

 (k

2

 2k  21) 

k 1

términos

15x16x31  15x16  21x15 6 = 1795

Clave: E 3.

En la siguiente progresión aritmética m ≠n , mn ;34;n(m + 2);......; (2n)(m + 2);......  k ter min os

halle el término (k+13). A) 240

B) 230

C) 214

D) 204

E) 252

Solución: Sea r = 34 - mn = n(m  2) - 34 m+n=6 m=2  n=4  S: 24 ; 34 ; 44 ; … ; 84

10 10

Tk

 84 = 24 + (k -1) 10  k=7

 T20 = 24 + 19(10) = 214 Clave: C

4.

En la siguiente progresión aritmética creciente

ab;ba;cd; ……. La suma de los tres primeros términos es 96, calcule la suma de los (a+b+c+d) términos restantes. A) 1005 Semana Nº 15

B) 905

C) 1001

D) 925

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E) 975 Pág. 37

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: P.A: ab ; ba ; cd ; ... ba  r

ba  r

 Suma de los 3 primeros términos = 3 ba = 96  ba = 32 b=3 a=2  r = ba - ab = 32 – 23 = 9  cd = 41  a + b + c + d = 10  la suma de los términos restantes 13 2(23)  12(9) = S13 – 96  S13 = 2  S13 = 1001  S13 – 96 = 905 Clave: B 5.

En la sucesión 3x40; 5x38; 7x36; 9x34;….. ¿Cuántos ceros tiene la suma de los 20 primeros términos de la sucesión? A) 1

B) 2

C)3

D) 4

E)5

Solución: S1: 3;5;7;9;… P.A cuya razón es 2 Tk = 3 + (k – 1) 2 = 2k + 1 S2: 40; 38; 36; 34; … P.A. cuya razón es – 2 Tr = 42 – 2r  Tr = (2n + 1) x (42 – 2n) = 82n – 4n2 + 42  20x21  20x21x41  S20 = 82   4    42x20 6  2  

= …0 Clave: A

6.

El primer término de una progresión geométrica es 10 y el término 86 es 160, halle el término 171. A) 2780

Semana Nº 15

B) 1940

C) 2560

D) 3580

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 2460

Pág. 38

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: T1 = 10 T86 = 160 = 10q85  q85 = 16 T171 = 10q170 = 10(q85)2 = 10(16)2 = 2560 Clave: C

7.

Si ti representa los términos de una progresión geométrica para i =1;2;3;….. tal t 7 .t 9 .t 11 que = 512 y t2 + t3 =18; halle la suma de los 10 primeros términos de t 4 .t 6 .t 8 la progresión geométrica. A) 3120

B) 3550

C) 3260

D) 3069

E) 3160

Solución: t 7 .t 9 .t 11 t 1q6 t 1q8 t 1q10  9 9  t1q3 t1q5 t1q7   q  512  2 t 4 .t 6 .t 8

q=2 t2 + t3 = t1q + t1q = t16 = 18  t1 = 3 2

S10 =

t 1(q10  1)  3(210  1)  3069 q1 Clave: D

8.

La suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica es igual a 21 veces la suma de los dos primeros términos de esta progresión. Si la razón es negativa y el quinto término es 32, halle término que ocupa el lugar 12. A) – 4096

B) 2010

D) – 2010

C) 4096

E) 8512

Solución:

 q6  1  q2  1  21 t S6 = 21 S2  t 1  1    q1   q1 





 q2   13  21q2  1 3











 q2  1 (q2 )2  q2  1  21q2  1 a=-2

T12  T1q11  T1q4 .q7  32(2)7  32x128  4096

Clave: A

Semana Nº 15

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Pág. 39

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.

Si M = 1-

Ciclo 2011-II

9 16 27 2 1 4 3 8 - ……. + + + - + 3 5 9 25 27 125 81 625

halle (1+M)-1

A) -

2 5

B)

2 5

C) -

1 2

D) 2

E)

1 2

Solución: 1 3 9 27     2 4 8 16 M  1     ...        ...     3 9 27 81  5 25 125 625 1 2 1 M  1 5  3   3 2 2 1 1 5 3 1  1 M    (1  M)  1  2 2

Clave: D 10. Halle el valor de K =

A) 2

B)

5 13 35 97 + + + +…… 6 36 216 1296

3 2

C) 1

D)

5 2

E)

2 5

Solución: 5 13 35 97     ... 6 62 63 6 4 13 35 97  6k  5     ... 6 62 63 8 22 62  5k  5   2  3  ... 6 6 6 3 9 27  4k  5   2  3  ... 6 6 6

k

2

3

1  1  1        ... 2 2 2 1 4k  4  426 1 1 2 3 k 2

4k  5 

Clave: B 20

11. Halle el valor de N = ∑(k + 1)(2k + 3) . k =1

A) 6850 Semana Nº 15

B) 6500

C) 6150

D) 6050

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 5600 Pág. 40

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-II

Solución: 20

N =  (2k2  5k  3) k 1

=2

20

20

20

k 1

k 1

k 1

 k 2  5 k   3

20x21x41 20x21  5x  3x20 6 2 = 6850

= 2x

Clave: A

12. Si S = 1x96 + 2x92 + 3x88 + 4x84 +....+ 24x4 , halle la suma de cifras de S. A) 4

B) 5

C) 6

D) 3

E) 7

Solución: 24

S=

 n(100 - 4n)  k 1

S = 100

24

24

n1

n1

24

 100n  4n

2

n1

 n  4 n2

24x25 (24)(25)(49) 4 6 2 = 10400

= 100x

Suma de cinco cifras: 1 + 0 + 4 + 0 + 0 = 5 Clave: B

EVALUACIÓN DE CLASE N° 15 1.

Si (1 - 3x); (x- 2) y (2x+1) son términos consecutivos de una progresión aritmética y 4w ; (2w-1) y (w+1) son términos consecutivos de una progresión geométrica, halle el valor de xw-1 . A) 32

B) 24

C) 16

D) 8

E) 20

Solución: P.A: (x – 2) – (1 – 3x) = (2x + 1) – (x – 2)  x = 2 2 2 2w  1 w  1  4w – 4w + 1 = 4w + 4w  P.G: 4w 2w  1  w = 1  w-1 = 8 8 -1  xw = 16

Clave: C

Semana Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 41

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.

Ciclo 2011-II

Dadas las siguientes sucesiones S1 : 343; 336;329:322;…… S2 : 17;22;27;32;… ¿Cuántos términos comunes existen? A) 12

B) 10

C) 7

D) 8

E) 9

Solución: S1: 343 ; 336 ; 329 ;322; … -7

-7

-7 o

o

P.A: Tk = 343 + (k -1) (-7) = 350 – 7k = 7 = 7 + 7 S2: 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; … 5

5

5 o

o

P.A: Tn = 17 + (n -1) (5) = 12 + 5n = 5 + 2 = 5 + 7 o

Términos comunes = 35 +7 = 35r + 7  17  35r + 7  343 336 10  0,…  r   9,6 35 35  r: 1; 2; 3; …;9  r = 9 Clave: E 3.

Observe el siguiente arreglo de números impares 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ¿Cuál es la suma de los números de la vigésima fila? A) 7500

B) 1000

C) 8000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

 S1 = 1 = 13  S2 = 8 = 23  S3 = 27 = 33  S4 = 64 = 43

D) 8200

E) 8600

Solución: 1ra 2da 3ra 4ta  20°

 S20 = 203 = 8000 Clave: C

Semana Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 42

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.

Ciclo 2011-II

Calcule el valor de 1x5 4x25 8x125 16x625 + 4 + + + ..... 72 7 76 78

S=

A)

295 1911

B)

195 1741

C)

185 1971

D)

115 1981

E)

197 1787

Solución: 1x5 4x25 8x125 16x625 + 4 + + + ..... 72 7 76 78  10  10  2  10  3  10  4  = 1            ...  49  49   49   49  

S=

 10  5 = 1    49  49

=

1 59 5 295    10 49 49 1911 1 49

Clave: A 5.

Si Sn = 1 +3 + 5 +….+n , halle el valor de K= S1 + S2 + S3 +….+ S10 A) 520

B) 425

C) 385

D) 495

E) 245

Solución: Sn = n2  k = 12 + 22 + 32 + … + 102 =

10x11x21 6

= 385 Clave: C 6.

Dada S = 1x499 + 4x498 + 9x497 +...+ 2500x450 halle la cifra de las unidades de S. A) 5

B) 0

C) 2

D) 3

E) 1

Solución: 50

S=

 k 1

k2 (500 – k) =

50

 k 1

50

(500k2 – k3) = 500  k2 -

50x51x101  50x51  S = 500 x   6  2 

k 1

50



k3

k 1

2

Clave: A Semana Nº 15

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Pág. 43

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.

Ciclo 2011-II

En la sucesión 6;15;28;45,66;….. halle el décimo quinto término. A) 516

B) 490

C) 496

D) 231

E) 276

Solución: 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; 66 ; … 9

13 4

17 4

21 4

 tn = 2n2 + 3n + 1  t15 = 2(15)2 + 3(15) + 1 = 496 Clave: C 8.

Dada S = 2 + 5 + 8 + 11 + ….+n , si a los términos de S se la agrega: 1; 2; 3; 4…. respectivamente de tal manera que la nueva suma sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene S? A) 20

B) 24

C) 38

D) 28

E) 30

Solución: Snueva = 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1)

n = 3k – 1

4k(k  1)  Snueva =  (4i - 1)  k 2 i1 k

1830 = 2k (k + 1) – k 30 x 61 = k (2k + 1) k = 30 Clave: E 9.

En la progresión aritmética

ac ; ab 99 b 5;..... si a = b+c, halle el término  ; ;.....; 1 k ter min os

(k +c). A) 179

B) 168

C) 177

D) 171

E) 174

Solución: r = ab  ac  99  ab o

 2ab  99  9c  4b  3c  33  b  3 Tk = T1 (k – 1)r = 93 + (k – 1)3 = 90 + 3k  165 = 90 + 3k  k = 25  k + c = 28  T28 = 93 + 27(3) = 174

b=3 c=7  a = 10 NO b=6 c=3 a=9

SI

Clave: E Semana Nº 15

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Pág. 44

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Ciclo 2011-II

10. En una progresión geométrica de términos positivos la razón es 2 y el producto del primer término con el último es 4608. Halle el mayor valor posible del último término. A) 1530

B) 1536

C) 1620

D) 1690

E) 1556

Solución: q=2 T10 = T1 q9

T1. Tn = 4608 T1 . T1 qn-1 = 9 x 512

= 3 x 29

T12 qn-1 = 32 x 29

= 3 x 512

n = 10

= 1536

T1 = 3

Clave: B

Álgebra EJERCICIOS DE CLASE 1.

Elizabeth compró igual cantidad de lapiceros de 2 colores. Al regalar la cuarta parte del total de lapiceros le quedaron menos de 118, pero si hubiera regalado la sexta parte del total se quedaría con más de 129 lapiceros. ¿Cuántos lapiceros compró Elizabeth? A) 152

B) 156

C) 148

D) 154

E) 150

Solución: Sea 2x : Nº total de lapiceros 1 3 i) 2x   2x   118   2x   118 4 4 1 5 ii) 2x   2x   129   2x   129 6 6 129  6   2x  4 118   5 3 154,8  2x  157,2

 2x  156 Clave: B 2.

Luis le dice a Martín:”cuadruplica los años que tenía hace tres años y réstale el triple de los años que tendré dentro de 3 años y el resultado no excederá a la edad que tu tienes, además las suma de nuestras edades hace 3 años no fue más de 25 años”. Si el producto de las cifras de la edad de Luis es 12, ¿qué edad tendrá Martín dentro de 15 años? A) 31 años

Semana Nº 15

B) 21 años

C) 22 años

D) 20 años

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E) 24 años

Pág. 45

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Ciclo 2011-II

Solución: Edad de Luis: L Edad de Martín: M

i) 4  L  3   3  L  3   M  L  21  M ii) L  3  M  3  25  M  31  L  L  21  M  31  L . . .  1   L  21  31  L 

L  26 ; Pr oducto de cifras L es 12  L  26

iii) En 1 : 5  M  5 M5

Dentro de 15 años la edad de Martín será 20 años. Clave: D

3.

 3x  2 y  2  Si x e y son valores enteros que verifican el sistema  x  y  1 , hallar el  y3  mayor valor de y 2  x 2 . A) 0

B) 3

C) 4

D) – 3

E) – 5

Solución: Del sistema: 1  y  x 

 1 y 

2  2y  y3 3

2  2y  y3 3

1 y3 5  y  1ó 2 

4 x1 3  y2  x 2  0

Si y  1  0  x 

Si y  2  1  x  2  x  0 ó 1  y2  x 2  4 ó 3  Mayor valor de y 2  x 2  4 Clave: C

Semana Nº 15

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Pág. 46

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4.

Ciclo 2011-II

2 x  y  1  Al resolver el sistema  x  y  3 ;  x , y   Z, hallar el valor de x 2  y2 .  x3  A) 2

B) 5

C) 4

D) 8

E) 13

Solución: Del sistema 3  x  y  2x  1  x  3  3  x  2x  1  x  3

4 x3 3 x2 

 1 y  3  y  2  x 2  y2  8 Clave: D 5.

Hallar el valor de

y z

3x 2  y2  3z , donde x, y , z son los valores enteros

 4 x  6 y  10z  46   4 x  2 y  10z  26 positivos que satisfacen el sistema  . yz1   y4 A) 4

B) 5

C) 2

D) 1

E) 3

Solución:

 2x  3y  5z  23 Del sistema:  2x  y  5z  13

 23  3y  2x  5z  13  y . . .  1   23  3 y  13  y 5 y ; y4 2 y3

ii) y  z  1  z  y  1  z  2 ; z  Z z1

En  1  : 14  2x  5  16 9  2x  11  2x  10  x5 

y z

3 x 2  y2  3 z  3 Clave: E

Semana Nº 15

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Pág. 47

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Si el MCD  a ,b   1 y

a 2 u es el área de la región determinada por el b

y  x  1  sistema  x  y  2 , hallar  x4 

3 2

A)

B)

Ciclo 2011-II

ab 6 b . 3

3

C) 2 3

Solución:

D) 2 3 – 2

E)

2+ 3

R

P

M

L1

Q (4,0) S

i) L1 : y  x  1

 1 3  P   ,   2 2 L2 : x  y  2

L2

ii) S   4 , y  ; y  L2  y  2  S   4, 2 

iii) R   4 , y  ; y  L1  y  5  R   4 ,5 

1  7.  4   2  49  a  A  2 4 b 

ab 6 b  3

45 6 4  3 3 Clave: B

7.

Hallar el máximo valor de f x , y  2x  y sujeto a las restricciones

x  y  4  x3  .  y  3   x  0 ; y  0 A) 6 Semana Nº 15

B) 5

C) – 2

D) – 3

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E) 0 Pág. 48

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Ciclo 2011-II

Solución:

M   0,4 

R   0 ,3 

M

Q   3 ,1 

R

P   1, 3 

S   3 ,0 

P Q S

 x,y   0 ,0   0 , 3  1 ,3   3 ,1   3 ,0 

N

f  x , y   2x  y 0 3 1 5 6  max Clave: A

8.

La imprenta del CEPREUNMSM elabora textos del tipo M y N. La utilidad unitaria es de $ 2 para el texto de tipo M y $ 3 para el texto del tipo N. Un texto del tipo M requiere 4 horas para su impresión y 6 horas para el encuadernado, y un texto del tipo N requiere 5 horas para la impresión y 3 horas para el encuadernado. Si se dispone de 200 horas para la impresión y 210 horas para el encuadernado, determine la máxima utilidad que se puede obtener. A) $ 140

B) $ 110

C) $ 160

D) $ 120

E) $ 70

Solución:

TIPO M TIPO N Horas Disponibles

IMPR. 4h 5h

ENCUAD. 6h 3h

200 h

210 h

UTILIDAD x UNIDAD $2 $3

x  Nº textos del tipo M y  Nº textos del tipo N  4 x  5 y  200 i)  6x  3 y  210 UtilidadU  x , y   2x  3 y

Semana Nº 15

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Pág. 49

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ii)

Ciclo 2011-II

(0,70)

(0,40) P (25,20)

(35,0)

iii)

 x,y   0 ,0   0 , 40   25 , 20   35 , 0 

(50,0)

U  x , y   2x  3y 0 120  max 110 70

Clave: D

EVALUACIÓN DE CLASE

1.

La edad que tenía Sonia en el año 2007 no era mayor que la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento y la suma de cifras del año de su nacimiento no excede a 19. Si su edad en el año 2007 era mayor que 27 años ¿qué edad tenía Sonia en el año 2005? A) 35 años

B) 37 años

C) 40 años

D) 42 años

E) 33 años

Solución:

Edad de Sonia en 2007 : x Año de nacimiento: 19 ab i) 27  x 

Semana Nº 15

 

1 ab 2

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Pág. 50

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Ciclo 2011-II

ii) x  2007  19ab  107  ab  27  107  ab 

 

1 ab 2

 54  214  2ab  ab  54  214  2ab  214  2ab  ab  ab  80 



71 , 3  ab

71, 3  ab  80

 ab   72 , 73 . . . , 79    cifras  19    ab  72 ;   a  b  9    x  35

Edad de Sonia en el 2005 fue 33 años Clave: E 2.

Gerardo compró una cierta cantidad de camisas de las marcas P y Q. En dicha compra el número de camisas de la marca P es mayor que el triple del número de camisas de la marca Q, aumentado en 2, además el número de camisas de la marca Q es mayor que el número de camisas de la marca P, disminuido en 7 ¿cuántas camisas como mínimo compró Gerardo? A) 10

B) 9

C) 8

D) 7

E) 6

Solución: p = Nº de camisas de la marca P q = Nº de camisas de la marca Q

i) p  3q  2 ; q  p  7

 q  p  7  3q  2  7 . . .     q  3q  5  2,5  q  q  1 ó 2

ii) En   :

Si q  1  1  p  7  2 8p5 p6 ó 7

Si q  2  2  p  7  1 ;  p 

Como mínimo compró 7 camisas Clave: D

3.

 yx1  Al resolver el sistema 3 y  x  8 ;  x , y   Z, hallar el valor de  y5  A) 2 2

Semana Nº 15

B) 5 2

C) 5

D) 2 5

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x 2  y2 .

E) 4 Pág. 51

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Solución: Del sistema , y  1  x  3y  8 . . .     7  2y

 3,5  y  5  y  4

En    : 3  x  4  x  3 

x 2  y2  5 Clave: C

4.

 x  y 2  Hallar el número de soluciones del sistema  y  2  2x ; x0, y0  A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

x , y  

Z.

E) 5

Solución:

y2  x 2y 2  y  2  4  2y

Del sistema ,

. . .  

 0  y  2  y  0 , 1ó 2

En    :

Si y  0  1  x  2  x  0  x 0 ,1 ó 2 1  x  1 x  0 ó 1 2 Si y  2  0  x  0  x  0

Si y  1  

 Soluciones:  0 , 0  ,  1, 0  ,  2 , 0  ,  0 , 1  ,  1, 1 ,  0 , 2 

Número de soluciones es 6 Clave: D

5.

Si  x 0 , y 0 , z 0



x y z 7  es una solución del sistema   y  3z  12 ;  x , y , z   Z ,  3z   49 

tal que x 0 es el menor valor entero de x , hallar y0  z0  x0  9 . A) – 12

B) – 14

C) – 15

D) – 16

E) – 17

Solución:

  x  y  z  7 . . .  1   i) Del sistema,   y  3z  12 . . .  2   x  2z  19

Semana Nº 15

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 49 x  19 z . . .   3 2  49 x  19 41     x  x 0  13 3 2 3  49  z  16  z 0  16 ii) En    , 3 En 1 y 2 , 3z  12  y  7  x  z  36  y  36  y0  36 

 y0  z 0  x 0  9  16 Clave: D

6.

2 x  3 y  2  Hallar el área de la región determinada por el sistema  y  x  3 .  y0  A)

12 2 u 5

B)

14 2 u 3

C)

16 2 u 5

D)

32 2 u 5

E)

24 2 u 5

Solución: (0,3) P

(– 3,0) (1,0)

 2 y  2x  6 P: 2 x  3 y  2 8 7  7 8  y , x  p  ,  5 5  5 5  8 4    5  16 2 A  u 2 5 Clave: C 7.

Si a y b son el mayor y menor valor respectivamente de f  x , y  

x  2y  2  0  yx  3  la región  , halle el módulo de 2  a  b   xy5   x  0 , y  0 A) 4 3 Semana Nº 15

B) 5 3

C) 15

D) 3 15

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3 5 x  y en 2 3

56 i .

E) 12 Pág. 53

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Ciclo 2011-II

Solución:

 x  2 y  2 . . .  L1   i) Del sistema,  y  x  3 . . .  L 2  x  y  5 . . .  L  3 

(0,5) L3 L2 P

yx 3 ii)  x  y  5  P  1, 4 

(0,3)

(0,1)

(2,0) (x,y) 3 5 f  x,y   x  y 2 3

a

49 5 ; b 6 3

Rp.

 13  2  56

(0,1) 5

(0,3) 5

3

(1,4) 49

6

(2,0) 3

(5,0) (5,0) 15

2

 2  a  b   56 i  13  56 i  15 Clave: C

8.

Una empresa de transportes dispone de las unidades del tipo M y N para realizar una determinada ruta. Si un ómnibus del tipo M debe hacer tantos viajes o más que un ómnibus del tipo N pero no puede exceder los 10 viajes. Entre los dos ómnibus deben hacer no menos de 4 viajes y no más de 16 viajes. Si la empresa de transportes obtiene una ganancia de S/. 400 por cada viaje de un ómnibus del tipo M y S/. 600 por cada viaje de un ómnibus del tipo N. ¿Cuántos viajes debe efectuar un ómnibus del tipo M y N respectivamente para obtener la máxima ganancia?

A) 10 y 6

B) 7 y 5

C) 2 y 2

D) 9 y 7

E) 8 y 8

Solución: i) x = Nº de viajes que debe ejecutar un ómnibus M y = Nº de viajes que debe ejecutar un ómnibus N

 y  x  10    4  x  y  16 x  0 , y  0  ii) G  x , y   400x  600y Semana Nº 15

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Ciclo 2011-II

(0,16)

x=y P = (2,2) Q = (8,8) R = (10,6)

Q R (0,4)

P (4,0)

(x,y) G x , y 

(10,0)

(2,2) 2000

(8,8) 8000

(16,0)

(10,6) 7600

(10,0) 4000

(4,0) 1600

Rp. 8 y 8 Clave: E

Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15 1.

En la figura, la cuerda PQ mide 8 m, la distancia del centro de la base a PQ es 3 m y la altura mide 5 3 m. Halle el área lateral del cono. A) 45 m2 B) 54 m2 C) 36 m2 D) 50 m2 E) 48 m2 Solución:

1) r = 5, g = 10  AL = rg = 50 m2

Clave: D Semana Nº 15

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Pág. 55

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.

Ciclo 2011-II

En la figura, una esfera está inscrita en la superficie de un cono circular recto cuya altura y diámetro de la base miden 8 m y 12 m respectivamente. Por los puntos de tangencia A y B de la esfera y el cono se traza un plano. Halle el área de la sección. A) 6 m2 C)

E)

169 25

144 25

B) 5 m2 m2

D)

136 25

m2

m2

Solución: 1) VP = 10 Si Q es el centro de la esfera, QO = 3  VQ = 5, VB = 4 RM: 3  4 = 5r  r =  Asec = r2 =

144 25

12 5

m2 Clave: E

3.

Dos esferas tangentes exteriores reposan sobre un mismo plano. Si los radios de las esferas miden 12 cm y 27 cm, halle la distancia entre los puntos de reposo. A) 28 cm

B) 30 cm

C) 35 cm

D) 32 cm

E) 36 cm

Solución:

1) x2 = 392 – 152 = 24  54 = 36 cm

Clave: E 4.

En la figura, dos esferas tangentes entre si reposan en una superficie esférica cuyo radio mide 20 cm. Si los radios de las esferas miden 6 cm y 8 cm, halle el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las esferas y de la superficie esférica. A) 24 10 cm2 B) 16 10 cm2 C) 20 10 cm2 D) 18 10 cm2 E) 21 10 cm2

Semana Nº 15

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Ciclo 2011-II

Solución: 1) Los lados del OO1O2 miden 14, 14, 12 cm.  A = =

p(p  a)(p  b)(p  c ) 20(6)(6)(8)

= 24 10 cm2 Clave: A 5.

En la figura, AOB es un sector circular, el círculo tiene radio R = 10 cm y la longitud de mAB es 10 cm. Si el sector circular sombreado es el desarrollo de la superficie lateral de un cono recto, halle el triple del volumen del cono. A) 125 3  cm3 B) 124 3  cm3 C) 121 3  cm3 D) 115 3  cm3 E) 136 3  cm3 Solución: 1) 10 = 2r  r = 5 y h = 5 3  Vcono =

1 3

r2h = 125 3  cm3

Clave: A 6.

Un cono de revolución es seccionado por un plano paralelo a la base distante 4 m del vértice. Si el radio y la altura del cono miden 6 m y 12 m respectivamente, halle el área lateral del tronco de cono. A) 28 5  m2

B) 32 5  m2

C) 30 5  m2

D) 36 5  m2

E) 35 5  m2

Solución: 1) Fig.: r = 2, g = 4 5  AL = (r + R)g = (2 + 6)4 5 = 32 5  m2 Clave: B Semana Nº 15

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.

Ciclo 2011-II

Una esfera es seccionada por tres planos paralelos que equidistan 6 m y están a un mismo lado del círculo mayor paralelo. Si el radio de la sección intermedia mide 9 m, halle el volumen del segmento esférico determinado por las otras dos secciones. A) 815 m3

B) 821 m3

C) 820 m3

D) 828 m3

E) 830 m3

Solución: 1) R2 = a2 + (c – 6)2 R2 = b2 + (c – 6)2  a2 + b2 = 90° R2 = 92 + c2  V=

1 2

(a2 + b2)h +

1 6

h3 = 828 m3 Clave: D

8.

Se construye un cono de revolución con una cartulina siendo la superficie lateral la de un sector circular de 120° y cuyo radio mide 27 cm. Halle el área total del cono. A) 324 cm2

B) 325 cm2

C) 336 cm2

D) 340 cm2

E) 344 cm2

Solución: 1) AL = Abc  rg = 272 

120 360

 r=9

 AT = r(g + r) = 324 cm2

Clave: A 9.

En una pirámide exagonal regular, la arista básica mide 6 m y la distancia del centro de la base a una arista lateral mide 3 3 m. Halle el volumen del cono circular recto inscrito en la pirámide. A) 44 3  m3

B) 48 3  m3

C) 45 3  m3

D) 54 3  m3

E) 51 3  m3

Solución: 1) a = 6, r = 3 3 , h = 6 3  V=

1 3

r2h = 54 3  m3

Clave: D Semana Nº 15

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10. En la figura, la cuña esférica está inscrita en el prisma triangular regular cuyo 2 3 3 volumen es m . Halle el volumen de la cuña. 3 A)

C)

E)

 2

 3

m3

B)

m3

D)

2 9

4 9

 4

m3

m3

m3

Solución: 1) R = ON =

2) Vprisma =

a 3 2

2 3

 Vcuña =

3

4 3

 a=

2R 3

=

R3

a2 3 4

 360

 2R  R = 1

=

2 9

m3

Clave: E 11. Las caras semicirculares de una cuña esférica forman un diedro de 36°. Si el área de la superficie esférica es 400 cm2, halle el área total de la cuña. A) 130 cm2

B) 132 cm2

C) 136 cm2

D) 140 cm2

E) 144 cm2

Solución:

1) 4R2 = 400  R = 10  Atotal de la cuña = AHuso + R2 = 400 

36 360

+ 100

= 140 cm2

Clave: D

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12. En la figura, una esfera cuyo radio mide 2 cm se introdujo en la superficie del cono equilátero. Halle el volumen comprendido entre el casquete próximo al vértice y la superficie del cono. A) C)

4 3 4 5

 cm3

B)

 cm3

D)

3 4 5 4

 cm3  cm3

E)  cm3 Solución:

1) r =

3 y h=1

 V = Vconito – Vseg. esf =

1 3

33–

  1 1 4    3  =  cm3 2 3  3

Clave: A 13. En la figura, ABCD es un rombo, BO = 4 m, BC = 5 m. Halle el volumen del sólido generado por la superficie rómbica al girar 360° alrededor de la recta L. A) 124 m3 B) 125 m3 C) 132 m3 D) 136 m3 E) 144 m3 Solución:

1) Vsólido = 2(Vtronco = Vconito) = 2(84 – 12) = 144 m3

Clave: E

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14. Un tronco de cono circular recto las áreas de las bases son 32 cm 2 y 18 cm2 y su altura mide 6 cm. Halle su volumen. A) 140 cm3

B) 148 cm3

C) 145 cm3

D) 144 cm3

E) 136 cm3

Solución:

1) Vt =

=

1 3

 (R2 + r2 + Rr)h

1  32 18 24  3     6 = 148 cm    3  

Clave: B EVALUACIÓN Nº 15 1.

Los radios de las bases de un tronco de cono circular recto miden 3 y 6 metros, la generatriz mide 6 m. Halle el área lateral de la superficie esférica circunscrita al tronco. A) 144 m2

B) 148 m2

C) 136 m2

D) 152 m2

E) 160 m2

Solución: 1) Por Ptolomeo: BD = 6 3 2) R = 6  radio de la esfera  ASE = 4R2 = 144 m2

Clave: A 2.

En la figura, O es el centro del círculo, T es punto de tangencia. Si PO = 25 cm y el radio de la esfera mide 15 cm, halle el área de la superficie generada por PT al girar 360° alrededor de OP . A) 230 cm2 B) 236 cm2 C) 240 cm2 D) 245 cm2 E) 244 cm2

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Ciclo 2011-II

Solución: 1) Se genera una superficie cónica  AL = rg =   12  20 = 240 cm2

Clave: C 3.

Una región triangular regular gira 360° alrededor de uno de sus lados que mide 6 m. Halle el volumen del sólido generado. A) 54 m3

B) 51 m3

C) 45 m3

D) 48 m3

E) 52 m3

Solución: 1) Vsólido = 2 VC 1 = 54 m3

Clave: A 4.

En la figura, los radios de las esferas miden 1,5 m y la distancia entre ellas es 2 m. Halle el volumen comprendido entre las superficies esféricas y la superficie cilíndrica. A) 8 m3

B)

C) 9 m3

D)

E)

27 5

9 2

m3

27 4

m3

m3

Solución: 1) Vcomprendido = Vcilindro – 2Vesfera = 9 m3

Clave: C

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Ciclo 2011-II

El volumen de un tronco de cono circular recto es 672 m3, la altura mide 8 m y la medida del radio de la base mayor es el doble de la medida del radio de la base menor. Halle la medida del radio de la base menor. A) 5 m

B) 4,5 m

C) 3,5 m

D) 6 m

E) 4 m

Solución:

1) Vt =

1 3

(r2 + 4r2 + 2r2)8 = 672

 r=3m

Clave: 6.

Una esfera está inscrita en un tronco de cilindro recto. Si las generatrices mínima y máxima miden 1 m y 4 m, halle el volumen del tronco de cilindro. A)

8 5

m3

B)

9 5

m3

C) 2 m3

D)

7 5

m3

E)

6 5

m3

Solución:

1) Eje =

5 2

, R=

4 5

2

8 3 4 5  Vt =     = m 5 5 2

Clave: A

Trigonometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15 1.

La gráfica de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c pasa por los puntos (0,3), (1,2) y (– 2, 11). Calcule a + b + c. A) 2

Semana Nº 15

B) – 2

C)

1 2

D) –

1 2

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E) 3

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Ciclo 2011-II

Solución: f(x) = ax2 + bx + c (0,3)  f  f(0) = c = 3 (1,2)  f  f(1) = a + b + 3 = 2 (– 2,11)  f  f(– 2) = 4a – 2b + 3 = 11 a  b  1  2a  2b  2

Resolviendo 2

4a  2b  8  4a  2b  8

6a = 6  a = 1  b=–2 f(x) = x2 – 2x + 3  a+b+c=1–2+3=2 Clave: A 2.

Los puntos A(2, 2) y B(1, – 1) pertenecen al gráfico de la función real definida por la regla F(x) = ax + b. Si el rango de F es el intervalo – 3, 4 y su dominio es c, d, d calcular . c A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

E) 5

Solución: F(2) = 2a + b = 2 F(1) = a + b = – 1

 a = 3, b = – 4

F(x) = 3x – 4 – 3  3x – 4  4  1  3x  8 

1 3

x

8 3

8 d 3 1 8 Dom(F) =  ,  , luego, =8  1 c 3 3  3

Clave: B 3.

Sea la función f: R  R definida por f(x) = A)  2 , 5

B) 2, 3

C) 1, 5

x  5 + 2. Hallar (Ranf – Domf).

D)   2 ,  1

E) 0, 1

Solución: 1) x  Domf 

x –50 

x 5

 x5  x–5

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Ciclo 2011-II

Así, Domf =  ,  5   5,   2) x  Domf  y = f(x)  Ranf  Domf: 

x 5 

x –50

x 5  0 

x 5 + 2  2



 f(x)  2. Luego Ranf = 2,   3)  Ranf – Domf =  2 , 5 Clave: A

4.

2x  1

2

 1 . Si x 1 complemento del dominio de f, calcule el valor de a + b – c.

Sea la función real

A) 4

f definida por f(x) =

C) – 1

B) 1

D) 3

a, b  c es el

E) 2

Solución:

2x  1

x  Df  

x 1

x( x  2) ( x  1)2

2

 x  2  3 x  1     0  x  1  x  1

0



Df =  ,1   1, 0   2,   Cf = 0, 2  {– 1}; a + b – c = 0 + 2 + 1 = 3 Clave: D

5.

La función real f definida por f(x) =

x  2x  8 x 4

3

2

es tal que Dom(f)    1, 3 ,

halle la suma de los elementos del rango de f. B) – 2

A) 0

C) 5

D) 2

E) 3

Solución: Si g(x) =

x 2 ( x  4)( x  2)

 Dom(g) =  1, 0   {0}   4 ,    Dom(f) = {0}  Ran(f) = {0}  Suma = 0 Clave: A

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Ciclo 2011-II

Halle el complemento del dominio de la función real f definida por f(x) =

x5

. C)  1, 5

B) 1, 5 

–  2

A) 1, 5

x 3  5x 2  8x  4

E) 1, 5  – 2

D) 1, 5 Solución: f(x) =

( x  1)( x  2)2

( x  1)( x  2)2



x5

x5

0

 Domf =   , 1   5 ,    {2} (Domf)c = 1, 5  – 2 Clave: E 7.

La función real f definida por f(x) = ax2 + b es decreciente en 4, 8 y el rango correspondiente es – 5, 1, calcular f(–16ab). A) – 3

B) –

3

C) – 2

2

D) –

3

E)

4

1 2

Solución: f(x) = ax2 + b  16a + b = 1

f(4) = 1

f(8) = – 5  64a + b = – 5  f(x) =

1 8

 48a = – 6

a=–

1

b=3

8

x2 + 3

 36 9 3  1   f(– 16ab) = f   16    3  = f(6) =  3 3 8 2 2  8   Clave: B 8.

Si la función real f definida por f(x) = – 4 – x2 – 2x + a, tiene rango hallar a. A) 1

B) – 2

C) – 1

D) 2

E)

 ,  1,

1 2

Solución: f(x) = – (x2 + 2x + 1 – 1) – 4 + a f(x) = – (x + 1)2 – 3 + a – (x + 1)2  0  – (x + 1)2 – 3 + a  f(x)  – 3 + 2 –3+a=–1  a=2 Clave: D Semana Nº 15

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.

Ciclo 2011-II

En la figura se tiene la gráfica de una función periódica f, calcular  33  f(4) + 4f(6) + 8f(– 6) + 16f   .  4 

A) 8

B) 5

C) 9

D) 7

E) 6 Solución: Tenemos f(x) =

x 4

, 0  x < 4 tal que f(x) = f(x + 4), siendo T = 4 el periodo.

Entonces f(4) = f(0 + 4) = f(0) = 0; f(6) = f(2 + 4) = f(2) =

1 2

, f(– 6) = f(2 – 8) = f(2) =

1 2

;

1  33  1   1 f   = f   8 = f   =  4  4   4  16  1  1  33   1  f(4) + 4f(6) + 8f(– 6) + 16f   = 0 + 4   + 8   + 16   = 2 + 4 + 1 = 7  4   16  2 2 Clave: D x 1 10. Dadas las funciones reales f, g y h definidas por f(x) = , g(x) = – 2x + 1 y x 1 h(x) = x2 – 4x + 9, x > 3. Determine la afirmación correcta. A) f y h son crecientes C) f y g son crecientes E) f es decreciente y h creciente

B) s y h son crecientes D) f es la única creciente

Solución: 1) f(x) = 1 –

2 x 1

 f(a) = 1 –

g(b) = 1 –

2 a 1

2 b 1

Sea a < b  a + 1 < b + 1   1–

2 b 1

>1–

1 b 1


3

Sea 3 < a < b  3 – 2 < a – 2 < b – 2 1