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• Edwar Samaniego

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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL PRÁCTICA CALIFICADA N° 1 Jueves, 25 de agosto de 2011 Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 3 p.m. Nombre: _________________________

Escoja y responda sólo 5 de las 6 preguntas. Se descontará 4 puntos si responde todas. 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan. a)

b) (2 puntos c/u)

2. Hallar el valor(es) de

y

para que el siguiente sistema: ( ( (

) ) )

a. Tenga infinitas soluciones. b. Tenga solución única. c. No tenga solución.

(4 puntos)

3. El conjunto solución de un sistema homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incógnitas es un plano que pasa por los puntos ( )y( ). a. ¿Cuál es el rango de la matriz de coeficientes y cuál es la solución completa del sistema homogéneo? b. ¿Cuál es la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema lineal? (4 puntos) 4. Un distribuidor tiene 2 almacenes donde guarda lavadoras que vende a 3 hipermercados. La cantidad de lavadoras disponibles en cada almacén es de 30 y 20 respectivamente, mientras que la demanda de cada hipermercado es de 10, 20 y 20 unidades respectivamente. Plantee un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la cantidad de lavadoras que se debe enviar desde cada uno de los almacenes a cada uno de los hipermercados de manera que se satisfaga la demanda de éstos. Luego resuélvalo utilizando el método de Gauss – Jordan. (el sistema tendrá infinitas soluciones). (4 puntos) 5. Sean: ̅

[

] ; ̅

[ ] ; ̅

[

] y ̅

[

] y sea

el conjunto de todas las

combinaciones lineales de los vectores ̅ , ̅ y ̅ . ¿Cuántos vectores tiene ?

? ¿Está ̅ en (4 puntos)

(continúa en la siguiente página) 6. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta . a. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única entonces el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. b. Si la forma escalonada de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales tiene una fila con puros ceros, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. c. Para que un sistema lineal homogéneo tenga soluciones no triviales es necesario que el número de incógnitas sea mayor que el número de ecuaciones. d. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única entonces el sistema homogéneo asociado a la matriz de coeficientes de dicho sistema admite sólo la solución trivial. (1 punto c/u) Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL PRÁCTICA CALIFICADA N° 2 Jueves, 8 de setiembre de 2011 Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 3 p.m. Nombre: _________________________

1. El conjunto solución de ̅ ̅ para una matriz de tamaño 2 x 3 es un plano de por los puntos ( ) y( ). d. ¿Cuál es el rango de y cuál es la solución completa de ̅ ̅ . e. ¿Cuál es la forma escalonada reducida de la matriz ?

que pasa

(4 puntos) 2.Dados los siguientes vectores: ̅ Se pide hallar el valor de a. Para que el conjunto * ̅ ̅ b. Para que el conjunto * ̅ ̅ c. Para que la matriz , ̅ ̅

[

]; ̅

[

]; ̅

[

]; ̅

[ ]

̅ + sea linealmente independiente. ̅ + genere todo el espacio . ̅ - sea invertible. ̅ ̅

(4 puntos) 3. Supongamos que la solución a la ecuación

̅

̅

[ ]

[ ] es:

[ ]

[ ]

a. ¿Cuál es el rango de la matriz ? b. ¿Cuál es la matriz A? c. Describir con exactitud todos los vectores ̅ para los cuales ̅ ̅ tiene solución encontrando un conjunto generador linealmente independiente para el espacio de esos vectores ̅ . (4 puntos) 4. Encontrar una matriz

de tamaño 3 x 3 tal que la ecuación ̅ ̅

para ̅

(

) tal que

[ ]

̅ tenga como solución:

[ ] (4 puntos)

5. Dada la matriz

[

]

Se pide encontrar dos matrices y tal que donde es una forma escalonada de y es una matriz triangular inferior con “unos” en su diagonal principal. (4 puntos)

UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL EXAMEN PARCIAL Jueves, 29 de setiembre de 2011 Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 2 p.m. Nombre: _________________________

1. Una empresa tiene tres minas con material de las siguientes composiciones:

Mina A Mina B Mina C

Níquel (%) 1 2 1

Cobre (%) 2 5 3

Hierro (%) 3 7 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? Plantee un sistema de ecuaciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss – Jordan. (3 puntos)

[

2. Dada

]

a. Encontrar la solución completa de

̅

[ ]

b. Encontrar un conjunto generador para el espacio de todos los vectores ̅ tal que ̅ ̅. c. Encontrar una factorización de la matriz . (1 punto c/u) 3. En cada caso encontrar una matriz a. Los vectores ( ̅ b.

); (

sabiendo que: ); (

) son algunas soluciones particulares de

[ ] {[ ]} representa el conjunto de todos los vectores ̅ para los cuales

es compatible y

{[ ]} es el conjunto solución de

̅

̅

̅

̅

Nota: Un apartado no tiene nada que ver con el otro. En cada uno, si la matriz no existe debe explicar por qué no existe. (1.5 puntos c/u) Continúa en la siguiente página

5

4. Suponga que una matriz a. Explique por qué

de tamaño 3 x 3 tiene: fila 1 + fila 2 = fila 3 ̅

[ ] no puede tener solución.

b. Encuentre un conjunto generador para todos los vectores ̅ para los cuales ̅ ̅ tiene solución. De la mejor respuesta que pueda basándose en la información alcanzada. c. Por qué es no invertible? (1 punto c/u)

5. Comprobar que: |

|

(

) (2 puntos)

6. En el estudio de ingeniería de control de sistemas físicos, un conjunto estándar de ecuaciones diferenciales se transforma por medio de transformaciones de Laplace en el siguiente sistema de ecuaciones lineales: [

̅ ][ ] ̅

̅ [ ] ̅

………. (1)

Donde es n x n, es n x m, es m x n y es una variable . El vector ̅ es la “entrada” del sistema, el vector ̅ es la “salida” y el vector ̅ es el vector de “estado”. Suponga que es invertible y vea (1) como un sistema de dos ecuaciones matriciales. Resuelva la ecuación superior para ̅ y sustitúyala en la ecuación ( ) ̅ ̅ donde ( ) es una matriz inferior. El resultado es una ecuación de la forma que depende de . ( ) es la función de transferencia del sistema, porque transforma la entrada ̅ en la salida ̅. Encuentre W(s). (3 puntos) 7. Explique por qué: a. El siguiente sistema tiene solución única para cualquier valor de

y

:

b. El conjunto de vectores * ̅ ̅ ̅ + es linealmente independiente si la forma escalonada de la matriz , ̅ ̅ ̅ - tiene un pivote en cada columna. c. Si ̅ ̅ tiene soluciones no triviales entonces | | . (1 punto c/u)

6

UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL PRÁCTICA CALIFICADA N° 3 Jueves, 20 de octubre de 2011 Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 3 p.m. Nombre: _________________________

1. Dados los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios lineales. a.

*(

b.

{[ ]

)

+

⁄

}

c. El conjunto de todos los vectores de d. El plano de

cuyos dos primeros componentes son iguales.

: (2 puntos c/u)

2. Sean:

̅

[ * ̅

]; ̅

[

]; ̅

̅ +;

* ̅

[ ]; ̅

[

];

̅ +

Entonces y son subespacios de . De hecho, y son planos en que pasan por el origen y se intersecan en una línea que también pasa por el origen. Encuentre un vector ̅ distinto de cero que genere dicha línea. (4 puntos) 3. Encontrar una matriz tal que contenga todos los vectores ̅ para los cuales compatible y sea el espacio nulo de . {[

] [

]} ;

{[

] [

̅

̅ es

]} (3 puntos)

7

4. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. * ̅ ̅ ̅ + es un subespacio lineal sólo si los vectores ̅ ̅ ̅ son linealmente independientes. ii. El conjunto solución de ̅ ̅ es un subespacio lineal. iii. Si los vectores ̅ ̅ ̅ ̅ son vectores de entonces ̅ } { ̅ ̅ ̅ es un subespacio lineal de . (1 punto c/u) i.

Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas o demostradas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL PRÁCTICA CALIFICADA N° 4 Jueves, 3 de noviembre de 2011 Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 3 p.m. Nombre: _________________________

1. Encontrar una base para los siguientes subespacios lineales: a. La intersección del plano en con el plano b. El conjunto de todas las matrices simétricas de tamaño 2x2.

. (2 puntos c/u)

*(

2. Sea el subespacio vectores ( ), (

) )y(

) forman una base para

3. ¿Bajo qué restricción o restricciones para y generan todo el espacio de polinomios en de grado

+ . Averiguar si los . (3 puntos)

el conjunto * ?

+ (4 puntos)

* ̅ ̅ + de un subespacio de . Existe un 4. Considere dos bases {̅ ̅ } y ̅ ̅ vector ̅ que pertenece al subespacio tal que: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Si se tiene que ̅ , encuentre la matriz de cambio de base de a , es decir la matriz tal que: ̅ ̅ . (4 puntos)

5. Sea

la transformación expresada por: (

)

(

)

Hallar una base para el Núcleo y una base para el Rango de la Transformación. (4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL PRÁCTICA CALIFICADA N° 5 Jueves, 17 de noviembre de 2011 Duración: 2h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 3 p.m. Nombre: _________________________

1. ¿Qué matriz tiene el efecto de rotar cada vector de un ángulo de 90° y luego proyectar el resultado sobre el eje ? ¿Qué matriz representa la proyección sobre el eje seguida de la proyección sobre el eje ? Graficar. (5 puntos) 2. Se tiene una transformación lineal donde la imagen de ( ) es ( *( ) ( )( ( ) es ( ). Si se tiene una base permite obtener , ( ̅ )- a partir de ̅ ? , ( ̅ )-

) y la imagen de )+ ¿Qué matriz

̅ (5 puntos)

3. Dada

[

]

a. Encontrar la solución de ̅ ̅ más cercana a ( ). b. Encontrar una base ortonormal para el espacio nulo de . (5 puntos)

4. Encuentre el mejor ajuste por una recta a las siguientes mediciones, y dibuje su solución: en , en en , en Luego suponga que en lugar de, por medio de una recta, los datos anteriores se ajustan por una parábola . En el sistema incompatible ̅ ̅ proveniente de las cuatro mediciones, indicar cuál es la matriz de coeficientes , cuál es el vector desconocido ̅ y cuál es el vector de datos ̅ . No es necesario calcular ̅ . (4 puntos)

5. Encontrar los autovalores, y una base para cada uno de los espacios propios de la matriz de 1s: [

] (4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL EXAMEN FINAL Viernes, 2 de diciembre de 2011 Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

Hora: 2:00 p.m. Nombre: _________________________

1. Los vectores ̅ e ̅ de tienen las mismas componentes, las tres iguales a 1, pero el * ̅ ̅ ̅ + siendo: primero referido a la base natural y el segundo referido a la base ̅ ̅ Se pide las componentes del vector ̅

̅

̅ ̅

̅ ̅

̅ ̅

̅ referidas a la base . (3 puntos)

2. La figura de la derecha es la imagen de la de la izquierda en una transformación Encontrar la matriz canónica de dicha transformación.

.

(2 puntos) 3. Se tiene una transformación lineal donde ( ̅ ) ( ( ̅ ) ( ). Encontrar una base de de modo que la matriz lineal relativa a la base sea una matriz diagonal. Explique. , ( ̅ )-

); ( ̅ ) ( ); de la transformación

̅ (3 puntos)

4. Encuentre ( ( )) el polinomio imagen de ( ) en una transformación lineal de en (espacio de polinomios de grado ) si se sabe que la matriz relativa a la * + es: base [ Nota: , ( ( ))-

]

, ( )(4 puntos) Continúa en la siguiente página 11

5. Dada

[

]

c. Encontrar la solución de ̅ ̅ más cercana a ( ). d. Encontrar una base ortonormal para el espacio nulo de . (3 puntos) 6. Dada la hipérbola se pide encontrar una base de de tal forma que en el nuevo sistema de coordenadas dado por dicha base, la ecuación de la hipérbola esté en su forma estándar (sin términos de producto cruzado). Dar dicha ecuación estándar y hacer un gráfico aproximado indicando claramente la posición de los ejes coordenados girados. (4 puntos)

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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO: ALGEBRA LINEAL EXAMEN SUSTITUTORIO Viernes, 09 de diciembre de 2011 Duración: 3h. SIN LIBROS, NI APUNTES, NI CALCULADORA

1. Una fila: (1) (2) (3) (4)

matriz

Hora: 1:20 p.m. Nombre: _________________________

de tamaño 3x3 es reducida a la Identidad por las siguientes operaciones de

Restando -2 veces la fila 1 de la fila 2. Restando 3 veces la fila 1 de la fila 3. Restando la fila 3 de la fila 2. Restando 3 veces la fila 2 de la fila 1.

Se pide hallar

. (4 puntos)

2. Suponga que la solución general a

̅

[

] es ̅

a. Cuál es la dimensión del espacio de columnas de

[

]

[ ].

y cuál la del espacio nulo de . ̅

b. Decir si es verdadero, falso o indecidible (faltan datos):

[ ] es compatible.

Justifique su respuesta. (2 punto c/u)

3. La figura de la derecha es la imagen de la de la izquierda en una transformación Encontrar la matriz canónica de dicha transformación.

.

(2 puntos) 4. ¿Cuál punto del plano

es más cercano a ̅

(

)? (3 puntos)

Continúa en la siguiente página 13

( ( )) el polinomio imagen de ( ) en (espacio de polinomios de grado * + es:

5. Encuentre lineal de a la base

[ Nota: , ( ( ))-

en una transformación ) si se sabe que la matriz relativa

]

, ( )(3 puntos) ]. Si

es invertible,

a. Para qué valor de b. Para qué valor de

es imposible es imposible

6. Dada B

[

es ortogonal y

es diagonal.

(2 puntos c/u)

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