• Author / Uploaded
• Cristhian Paul

Citation preview

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Habilidad Lógico Matemática EJERCICIOS DE CLASE Nº 15 1.

En la figura se muestra una lámina que tiene la forma de un hexágono regular de 12 cm de lado y MN = 12 cm. Si al hexágono se le hace rotar 120º en sentido horario con respecto al punto N, ¿cuál será la longitud recorrida por el vértice P? A) 8 7 cm

B) 16 7 cm

C) 10 7 cm D) 12 7 cm

P

E) 14 7 cm

M

N

Resolución: P´

1) Obtenemos el recorrido del vértice P: P 120º

2) Por teorema de Pitágoras, resulta NP = 12 7 cm.

 

M

2 3) Por tanto long PP´  12 7  8 7 cm. 3





N

Clave: A 2.

En la figura se muestra un aro de radio 6 cm, AB = CD = 18 cm y BC es una semicircunferencia de radio 12 cm. Si el aro rueda sobre ABCD, en el sentido indicado desde el punto A hasta el punto D, sin deslizarse en ningún momento, ¿cuál es la mínima longitud que recorre el centro del aro? A) 12  3    cm B) 12  3  2  cm C) 9  4  3  cm D) 4  9  2  cm

A

C

B

D

E) 4  9  5  cm

Resolución:

1) Tenemos la trayectoria del centro:

A

SOLUCIONARIO Nº 15

B

C

(Prohibida su reproducción y venta)

D

Pág. 1

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

2) Obtenemos    Long. recorrido por Centro  2  18   6      6  2    12  3   

3) Por tanto: Long. recorrido por Centro  12  3    . Clave: A 3.

La figura muestra una lámina cuadrada con ocho triángulos rectángulos congruentes. Si esta lámina gira 1125º en el sentido horario y luego 90º en sentido antihorario, en ambos casos con respecto a su centro, ¿qué figura se obtiene?

A)

B)

C)

D)

E)

Resolución: 1) Gira en sentido horario1125º = 3 x360º + 45º, resulta

2) Luego gira 90º en sentido antihorario, resulta

Clave: B 4.

En la figura se tiene una cruz de cartón formada por cinco cuadrados congruentes. Si un giro consiste en que la figura rote, en la dirección que se indica, apoyado en un vértice hasta que el siguiente vértice o lado esté en contacto con la recta, ¿cuál será la posición de la figura luego de 100 giros consecutivos?

A)

B)

SOLUCIONARIO Nº 15

C)

D)

(Prohibida su reproducción y venta)

E)

Pág. 2

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: 1) Observar que luego de 8 giros consecutivos, la figura vuelve a su posición inicial. 0

2) Como 100  8 4 , entonces la figura quedará en la posición:

Clave: D 5.

En la siguiente sucesión de figuras formadas por láminas transparentes y congruentes, al trasladar la figura 4007 sobre la figura 301, ¿qué figura se obtiene? ,

,

figura 1

A)

figura 2

B)

,

,

,

figura 5

figura 4

figura 3

C)

, ... figura 6

D)

E)

Resolución: o

1) La parte sombreada regresa a la figura 1 cada 4, luego es 4 :

2

1 4

o

2) El punto regresa cada 8, luego es 8 : 3) Se tiene 0

8 3

52 61

3

7 4

0

4007  4 3  8 7 0

0

301  4 1  8 5

4) Al Trasladar la 4007 sobre la 301 se obtiene la figura Clave: A 6.

Daniel ha dispuesto sobre una mesa 11 discos pintados idénticas, como se indica en la figura. Si se hace rodar el disco que está ubicado en la cúspide del triángulo en el sentido que se indica, sin deslizarse en ningún momento, cuando regrese al punto de partida, ¿cuál será su disposición?

A)

B)

C)

D)

E)

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 3

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: 1)

Primero veamos el numero de vueltas que da el disco superior sobre uno de ellos:

# vueltas  2)

2 π  2r  2 πr

 2  Ángulo de giro  2  2 π  .

Contacto del disco superior con los demás hasta regresar al punto de partida:

3) Suma de la medida de los arcos resaltados: 5 π . 4) Para el disco superior, tenemos:

Ángulo de giro  2  5 π  . 5) Por tanto la disposición del disco superior es idéntica a la inicial. Clave: D

7.

En la siguiente secuencia de figuras, determine la figura 23.

, figura 1

A)

B)

SOLUCIONARIO Nº 15

, figura 2

C)

, figura 3

, figura 4

,... figura 5

D)

(Prohibida su reproducción y venta)

E) Pág. 4

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: 0

1) La parte sombreada y el punto = 4 0

2) 23  4 3 3) Por tanto la figura 23 = figura 3. Clave: E 8.

Se reparte S/. 62 000 en tres partes que son directamente proporcionales a los números 1024, 243 y 125 e inversamente proporcionales a los números 2048, 729 y 625 respectivamente. Halle la menor parte. A) S/. 15 000 D) S/. 12 000

B) S/. 20 000 E) S/. 10 000

C) S/. 6 000

Resolución: 1) Resulta 2048 729 625 A B C A= B= C  2A = 3B = 5C  = = k 1024 243 125 15 10 6 A = 15k B = 10k C = 6k

2) 31k  62 000  k  2 000 3) Menor parte: 12 000 Clave: D 9.

El valor de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si el valor de un diamante es de S/. 16 000, y este se corta en dos pedazos; tal que uno es el triple del otro, ¿cuánto dinero se pierde al hacer el corte? A) S/. 2 500

B) S/. 2 900

C) S/. 5 000

D) S/. 6 000

E) S/. 6 500

Resolución: 1)

Peso 1er pedazo: x Peso 2do pedazo: 3x Peso diamante entero: 4x Valor del diamante entero: S/. 16 000

2)

Se tiene

Valor

peso  3)

2

 k 

16000

 4x 

2



V1 V2  k 2 2 x 3x 

Resulta V1 = 1000 V2 = 9000

4)

V1 + V2 = 10 000, por tanto se perdió S/. 6 000. Clave: D

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 5

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 10. Se define el operador

Ciclo 2011-I

en el conjunto de los números reales como sigue: 1 a  a  4b  b   , b  ab 

1 donde ab 0 y a  4 b y , halle el valor de M   3 A) 1/5

B) 2/5

C) 3/7

2  3

6 . 5

D) 5/2

E) 2/3

Resolución:

a 1) Cambiando en 4

1

se obtiene:

 4a  4b   b   4 ab  

a

2) Entonces

 a  4b  b    ab 

1 M 3

2  3

1

1

ab  1 1       ab  b a

6 3 3    5  2 1

1

6 2  5 3

1

6 5 3    5 6 2

1



3 7 Clave: C

11. Se define el operador



en el conjunto de los números reales como sigue: b b r 1  a r 1 r a x d x  r  1 , 1

donde a, b y r son reales no negativos, halle el valor de S  

0

A) 27/20

B) 22/21

C) 23/20

D) 23/21

3

xdx 

1



0

x3 d x

E) 21/20

Resolución: 1

1

1) Se tiene S   x d x  3

0

1



0

1

2) Por la definición

S

1

3

1

3

x2 dx . 1

 (0 ) 1 1 3

3

3

1



2

1

1

3

 (0 ) 2 3 1 2

1



3 2 23   4 5 20

Clave: C

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 6

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 12. Se define el operador

Ciclo 2011-I

en el conjunto de los números enteros como sigue:

 n  1, si n es impar  n  2, si n es par,

n

halle la suma de las cifras del valor de E = A) 12

B) 5

C) 7

1 +

2 +

3 +

D) 9

4 + ... + 100 .

E) 10

Resolución: 1) De acuerdo a la definición se obtiene:

E=

1 + +

2 +

3 + 4 +

5 + 6 +

7 + ... + 99 8 + ... + 100

= 2 [1+ 2 + 3 + 4 + ... + 50 ]+ 2 [2 + 3 + 4 + 5 + ... + 51] = 50 ´ 51+ 51´ 52 - 2 = 5 200 2) Por tanto E = 5200 . 3) Suma de cifras de E es 7. Clave: C 13. En la figura, M-ABCD es una pirámide regular y AD = 24 m. Si AM toma su mínimo valor entero, calcule el área de la superficie lateral de dicha pirámide. A) 240 m2

M

B) 230 m2 C) 36 145 m2 B

D) 24 145 m2

C

E) 48 145 m2 D

A

Resolución: 1) Del triángulo rectángulo MOC:

x  12 2  xmin = 17 . 2) Del triángulo rectángulo MHC: h  145 . 3) ASL  Pbase. h  A SL = 4(

24  145 )  48 145 m2 2

Clave: E SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 7

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

14. Un aposento tiene la forma de un prisma triangular regular cuya altura mide 6 3 m. Si el desarrollo de su superficie lateral tiene por diagonal 12 m, halle el área lateral del aposento. A) 24 3 m2

B) 30 3 m2

C) 32 3 m2

D) 39 3 m2

E) 36 3 m2

Resolución: 1) Se tiene

6 3

1

 

2) Por tanto AL = 6 6 3 m2. Clave: E EJERCICIOS DE EVALUACION Nº 15 1.

La figura muestra un aro de radio 2 cm, BC = CD = EF, AB = 3 BC y DE = 2 EF. Si EF = 4 cm y dicho aro rueda en sentido horario sobre la superficie ABCDEF, ¿cuál es la mínima longitud que recorre el centro del aro? C

A) 2 12    cm

D

B) 2  6    cm C) 2 12  3  cm

A

B

D) 2 14    cm E) 2 13    cm

E

F

Resolución: 1) Veamos: 2) Longitud mínima que recorre el centro del aro:

  10+2+4+6+2+ 2   2  = 2 12    . 2 

Clave: A SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 8

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.

Ciclo 2011-I

La figura muestra, una lámina triangular equilátera, ABC, de 6 cm de lado. Si a la lámina se le hace rotar 120º en sentido horario con respecto al vértice C, halle el perímetro de la región generada por el lado AB .





A) 2    3  3 cm









B

B) 2 3   3  3 cm C) 2 4   3  3 cm





D) 2 3  2 3  3 cm



C

A



E) 2 2   3  6 cm Resolución:

1) Obtenemos la región generada por AB : A´

B

N

N´

A

B´

C

2) Perímetro de la región generada por AB :

  6 

2 3 3  2  3   2 3   3  3 cm. 3









Clave: B 3.

Se muestra dos figuras congruentes con excepción de las regiones sombreadas. Si trasladamos una de las figuras sobre la otra y luego la figura que resulte se rota 1260° en sentido antihorario con respecto a su centro, ¿cuál es la figura resultante?

A)

B)

C)

D)

E)

Resolución: 1) Trasladando una de las figuras sobre la otra, se tiene

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 9

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

2) Luego rotando en sentido antihorario 1260°=360°(3)+180°, resulta

Clave: A 4.

En la siguiente secuencia de figuras, ¿cuál es la figura 32?

,

,

figura 3

A)

,

,

figura 4

figura 5

B)

figura 6

C)

,

, figura 7

figura 8

D)

,... figura 9

E)

Resolución: 1)

El cuadrado sombreado inferior izquierdo de las figuras, permanece fijo.

2)

El cuadrado sombreado superior izquierdo de la figura 3, es el que se va trasladando, en sentido antihorario.

3)

Como 32 = (2 + 4x7) + 2

4)

Por tanto figura 32 = 2º figura = figura 4. Clave: D

5.

Una cantidad es repartida en tres partes que son directamente proporcionales a 34n+2, 52n+3 y 16n+1 e inversamente proporcionales a 92n, 25n+1 y 24n+3 respectivamente. Si la parte mayor excede en 490 a la menor, ¿cuál es la cantidad repartida? A) 1 120

B) 1 750

C) 1 190

D) 1 150

E) 1 260

Resolución: 1) Las partes: A, B, C El todo: A+B+C 2) Resulta A = 9K 9

2n

34n2

A

n1

25

52n3

B

4n3

2

16n1

C



A 32



B C  = K 5 2

B = 5K C = 2K

3) Por el exceso, se tiene 9K - 2K = 490  K = 70 4) Por tanto A+B+C = 16K = 1 120. Clave: A

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 10

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Ciclo 2011-I

El dinero que gasta mensualmente Erick, es directamente proporcional a su sueldo mensual. Cuando Erick, en un determinado mes tuvo un sueldo de S/. 6 480, el dinero que le quedó luego del gasto mensual que tuvo, fue de S/. 720. ¿Cuánto será su sueldo mensual, cuando su gasto mensual sea de S/. 7 200? A) S/. 8 100

B) S/. 7 200

C) S/. 8 000

D) S/. 6 800

E) S/. 3 600

Resolución: 1) Por la proporción directa, se tiene

Gasto k. Sueldo

2) Sea S el sueldo de Erick cuando su gasto sea de S/. 7 200. 3) Por (1) y (2), resulta

6480 S  6480-720 7200

4) Por tanto S = 8 100. Clave: A 7.

Se define el operador

en el conjunto de los números reales como sigue:

x2 - 2  donde x2  1 . Halle A) 9/2

2

x2 - 2 x2 - 1

.

B) 2/9

C) 2/7

D) 7/2

E) 2/5

Resolución:

1) Haciendo y = x2 - 2 , tenemos

y



y y+1

2) Hacemos los cálculos: 2





3) Por tanto

2 2   2+1 3



2

2

2



2/3 2   2 / 3 1 5

2



2/5 2  2 / 5 1 7

2/7 2  2 / 7 1 9 

2 . 9 Clave: B

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 11

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.

Ciclo 2011-I

Se define el operador # en el conjunto de los números reales como sigue: a  a  b #  a  b  , b 2 2 donde b  0 y a  b . Indique cual o cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I)  a # b    b # a   0 . II)

 a # b  . a #(b)   1 .

III) Si a # b  2 , entonces a  2b . A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) II y III

Resolución: 1) Haciendo x  a  b , y  a  b , se tiene

x# y 

x y x y

2) Analizamos las afirmaciones: I) (a # b)  (b # a) 

ab ba ab ab    0 a b b a a b a b

II) (a # b).(a #(b))  ( III) a # b  2 

(V)

a  b a  (b) a b a b ).( )( ).( ) 1 a  b a  (b) a b a b

ab  2  a  b  2a  2b  3b  a a b

(V) (F)

3) Por tanto son verdaderas I y II. Clave: D 9.

En la figura, V-ABC es un tetraedro regular y CT  2 TB . Si AT  2 7 cm , calcule el área de la superficie lateral de dicho tetraedro. V A) 27 3 cm2 B) 20 3 cm2 C) 10 7 cm2 D) 17 3 cm2

B

A T

E) 11 3 cm2 C

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 12

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: 1) Del



AHT :  2k   k 3 2

  2 7  2

2

B

 k 2 =4

2) Se tiene

T

AreaLATERAL  3  Area  equilatero 

 3k   3

2

2 7

3

4

30o k 3

 27 3 A

3) Por tanto AreaLATERAL  27 3 cm2 .

2k

H

2k 60o k

C

Clave: A 10. La altura de un prisma oblicuo mide 8 3 m y sus aristas laterales forman ángulos de 60° con su base. Si la sección recta de este prisma es un hexágono regular de 2 24 3 m de área, calcule su área lateral. A) 300 m2

B) 384 m2

C) 328 m2

D) 382 m2

E) 381 m2

Resolución: 1) Tenemos el prima oblicuo con sus elementos:

a (S.R.)

8 3

60º

2) Las caras laterales del prisma son paralelogramos. Consideremos para una de estas caras: a = base y b = altura. 3) Observar que b es el lado de la sección recta del prisma. Tenemos b2 3 A ( S.R.)  24 3  6 x  b4 4 4) De la figura en (1), se obtiene a = 16. 5) Por tanto se tiene A L  6x 16 x 4  384  A L  384 m2 Clave: B

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 13

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Habilidad Verbal SEMANA 15 A EL TEXTO FILOSÓFICO El texto filosófico aborda problemas de relevancia ecuménica, como el sentido de la existencia, la naturaleza de la realidad, el valor de la libertad, el fundamento de la ciencia, etc. Tradicionalmente, incide en temas ontológicos, axiológicos, gnoseológicos, éticos, epistemológicos, y en las construcciones de grandes pensadores (Platón, Kant, Nietzsche, entre otras figuras notables). El texto filosófico se erige con la intención deliberada de reflexionar y de comprometernos en una investigación profunda y radical. Las características esenciales del texto filosófico son la densidad conceptual, la pulcritud de sus distinciones y el talante crítico. Debido a la radicalidad del filosofar, el pensador puede propender al aislamiento, a la soledad, con el fin de que afloren sus meditaciones más hondas: ¿Qué es un filósofo? Es un hombre que constantemente vive, ve, oye, sospecha, espera, sueña cosas extraordinarias; alguien al que sus propios pensamientos le golpean como desde fuera, como desde arriba y desde abajo, constituyendo su especie peculiar de acontecimientos y rayos; acaso él mismo sea una tormenta que camina grávida de nuevos rayos; un hombre fatal, rodeado siempre de truenos y gruñidos y aullidos y acontecimientos inquietantes. Un filósofo: ay, un ser que con frecuencia huye de sí mismo, que con frecuencia tiene miedo de sí, pero que es demasiado curioso para no «volver a sí» una y otra vez… Friedrich Nietzsche PREGUNTA: Según la perspectiva nietzscheana, el filósofo A) se caracteriza solo por un análisis racional. B) se caracteriza por una búsqueda incesante.* C) siempre ostenta gran erudición filosófica. D) trata de alejarse de todo espíritu poético. E) se define por una reflexión muy sosegada. TEXTO DE EJEMPLO A Un nuevo género de filósofos está apareciendo en el horizonte. Yo me atrevo a bautizarlos con un nombre no exento de peligros. Tal como yo los adivino, tal como ellos se dejan adivinar –pues forma parte de su naturaleza el querer seguir siendo enigmas en algún punto– esos filósofos del futuro podrían ser llamados con razón, acaso también sin razón, tentadores. Este nombre mismo es, en última instancia, solo una tentativa y, si se quiere, una tentación. ¿Son, esos filósofos venideros, nuevos amigos de la «verdad»? Es bastante probable, pues todos los filósofos han amado hasta ahora sus verdades. Mas con toda seguridad, no serán dogmáticos. A su orgullo, también a su gusto, tiene que repugnarles el que su verdad deba seguir siendo una verdad para cualquiera; cosa que ha constituido hasta ahora el oculto deseo y el sentido recóndito de todas las aspiraciones dogmáticas. «Mi juicio es mi juicio: no es fácil que también otro tenga derecho a él» –dice tal vez ese filósofo del futuro. Hay que apartar de nosotros el mal gusto de querer coincidir con muchos. «Bueno» no es ya bueno cuando el vecino toma esa palabra en su boca. ¡Y cómo podría existir un «bien común»! La expresión se contradice a sí misma: lo que puede ser común tiene siempre poco valor. En última instancia, las cosas tienen que ser tal como son y tal como han sido SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 14

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

siempre: las grandes cosas están reservadas para los grandes; los abismos, para los profundos; las delicadezas y estremecimientos, para los sutiles; en general, y dicho escuetamente, todo lo extraordinario, para los extraordinarios. 1.

El sentido de la palabra RECÓNDITO es A) sutil.

B) profundo.*

C) patente.

D) místico.

E) furtivo.

Se trata de un sentido profundo, subyacente, de las aspiraciones dogmáticas. 2.

¿Cuál es la idea medular del texto? A) El filósofo verdadero propende a evitar todo mal gusto. B) La noción de bien común es una entelequia baladí. C) Las ideas abismales corresponden a los profundos. D) La verdad filosófica debe tener un sello idiosincrásico.* E) La tentación de la verdad define a todos los filósofos. El filósofo del futuro debe saber que su valoración es algo muy singular: mi juicio.

3.

En tanto que filósofo, el autor se presenta como un A) divulgador. D) metafísico.

B) epígono. E) precursor.*

C) dogmático.

El filósofo habla de los filósofos del futuro. 4.

Resulta compatible con el pensamiento del autor decir que la verdad A) tiene una naturaleza abstracta e intemporal. B) se sustenta en una perspectiva personal.* C) puede aspirar a una idea fija y absoluta. D) carece de existencia en la filosofía. E) se identifica con el más puro dogmatismo. El autor defiende un perspectivismo en la concepción de la verdad.

5.

Se deduce del texto que el autor aboga por A) los axiomas morales. B) las conjeturas filosóficas.* C) el bienestar general.

D) las aporías filosóficas. E) los sistemas totales.

Llama a los filósofos del futuro ―tentadores‖, esto es, propugnadores de un pensamiento tentativo, opuesto al dogma.

6.

Si el autor tuviera que ponderar a un filósofo, se referiría a un A) idealista.

B) holista.

C) logicista.

D) escéptico.* E) pesimista.

Dado que está contra el dogmatismo, se puede extrapolar que estaría a favor de los escépticos.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 15

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

TEXTO DE EJEMPLO B La filosofía, como todos los demás estudios, aspira primordialmente al conocimiento. El conocimiento a que aspira es aquella clase de conocimiento que nos da la unidad y el sistema del cuerpo de las ciencias y el que resulta del examen crítico del fundamento de nuestras convicciones, prejuicios y creencias. Pero no se puede sostener que la filosofía haya obtenido un éxito realmente grande en su intento de proporcionar una respuesta concreta a estas cuestiones. Si preguntamos a un matemático, a un mineralogista, a un historiador, o a cualquier otro hombre de ciencia, qué conjunto de verdades concretas ha sido establecido por su ciencia, su respuesta durará tanto tiempo como uno está dispuesto a escuchar. Pero si hacemos la misma pregunta a un filósofo, y éste es sincero, tendrá que confesar que su estudio no ha llegado a resultados positivos comparables a los de las otras ciencias. Esto se explica por el hecho de que desde el momento en que se hace posible el conocimiento preciso sobre una materia cualquiera, esta materia deja de ser denominada filosofía y se convierte en una ciencia separada. Todo el estudio del espacio, que pertenece hoy a la astronomía, antiguamente era incluido en la filosofía; la gran obra de Newton se denominaba: Principios matemáticos de filosofía natural. De un modo análogo, el estudio del espíritu humano que era todavía, recientemente, una parte de la filosofía, se ha separado actualmente de ella y se ha convertido en la ciencia psicológica. 1.

El texto aborda, fundamentalmente, A) las limitaciones de todo conocimiento científico. B) la aparente incertidumbre del quehacer filosófico. C) el desarrollo pasado y actual del conocimiento filosófico. D) la decadencia reciente del conocimiento científico. E) la naturaleza y limitaciones del conocimiento filosófico. *

El texto hace referencia, inicialmente, al tipo de conocimiento a que aspira la filosofía y, seguidamente, nos dice que ella no ha tenido éxito en su intento de llegar a verdades concretas. 2.

Si ciertos problemas admiten una respuesta precisa, podemos inferir que dichos problemas A) la filosofía los ha considerado por su importancia. B) han pasado a formar parte de las disciplinas científicas. * C) se han convertido en el valor agregado de la filosofía. D) resolvieron plenamente la incertidumbre filosófica del ser. E) han experimentado el rechazo de la filosofía social.

Si cada materia se separó de la filosofía por el hecho de haber hallado el conocimiento preciso, entonces cada una poseía una explicación de acuerdo a su campo. 3.

En el texto, la expresión RESPUESTA CONCRETA alude a A) evolución en el contenido. C) exactitud filosófica. E) desarrollo sostenido.

B) rigurosidad y exactitud. * D) impugnación específica.

La expresión ―respuesta concreta‖ alude a rigurosidad y exactitud, pues se refiere a los elementos de los que carece la filosofía. SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 16

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.

Ciclo 2011-I

Si se encontrara una cuestión que no admite una solución determinada, entonces se podría concluir que esta A) es un ejemplo de incertidumbre filosófica. * B) pertenece al estadio transitorio de la ciencia. C) sería parte del universo indefinido de lo mítico. D) es el residuo de las demostraciones filosóficas. E) se convierte en algo deleznable para la filosofía social. Todo aquello que constituye perplejidad e irresolución es menester para la filosofía.

5.

Es incompatible con el texto afirmar que A) el filósofo desea lograr un conocimiento integral de la realidad. B) en la filosofía se generaron las mayores interrogantes sobre lo que nos rodea. C) la filosofía tiene como objetivo la demostración de la verdad universal. * D) el filósofo sistematiza y examina tanto las ciencias como los ámbitos sociales. E) en su estudio, la filosofía recurre a un enfoque crítico radical. En el texto se sostiene que la filosofía pretende dar la unidad y el sistema al cuerpo de las ciencias y del espacio social. COMPRENSIÓN DE TEXTO

El mito del marco común puede enunciarse brevemente en los siguientes términos: Es imposible toda discusión racional o fructífera, si los participantes no comparten un marco común de supuestos básicos o que, como mínimo, se hayan puesto de acuerdo sobre dicho marco en vistas de la discusión. Este es el mito que me dispongo a criticar. Tal como lo he enunciado, el mito tiene el aspecto de un juicio sobrio, de una advertencia sensible a la que deberíamos prestar atención a la hora de mantener una discusión racional. Incluso hay gente que piensa que lo que describo como mito es un principio lógico, o se basa en un principio lógico. Por el contrario, no solo pienso que se trata de un enunciado falso, sino también de un enunciado perverso que, si fueran muchos los que creyeran en él, socavaría la unidad de la humanidad y, por tanto, incrementaría enormemente la probabilidad de la violencia y de la guerra. Esta es la razón principal por la que quiero combatirlo y refutarlo. Como he indicado, entiendo por ―marco‖ un conjunto de supuestos básicos o principios fundamentales; esto es, un marco intelectual. Es importante distinguir ese marco de ciertas actitudes que en verdad pueden ser precondiciones de una discusión, como el deseo de lograr la verdad o de acercarse a ella, la voluntad de compartir problemas o de emprender los objetivos y afrontar en conjunto los problemas de otra persona. De entrada diré que el mito contiene un núcleo de verdad. Aunque considero muy peligroso decir que es imposible toda discusión fructífera si los participantes no comparten un marco común, estoy completamente dispuesto a admitir que una discusión entre participantes que no comparten un marco común puede ser difícil. También será difícil una discusión si los marcos tienen poco en común. En verdad, si los participantes están de acuerdo en todo, la discusión puede resultar más cómoda, fácil y racional aunque tal vez un poco aburrida. ¿Y en cuanto a la utilidad? En la formulación del mito que he presentado, lo que se declara imposible es una discusión fructífera. Contra esto defenderé la tesis directamente opuesta: que no es probable que sea fructífera una discusión entre personas que comparten muchos puntos de vista, aun cuando pueda ser agradable; mientras que una discusión entre marcos muy diferentes puede ser extremadamente fructífera, aun cuando a veces puede ser extremadamente difícil y, tal vez, en absoluto tan agradable (si bien podemos aprender a disfrutar de ella). SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 17

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

A mi juicio, se puede decir que una discusión es tanto más fructífera cuanto más aprendan en ella sus participantes. Y esto quiere decir que cuanto más interesantes y difíciles sean las cuestiones a las que se enfrenten, tanto más novedosas serán las respuestas que se verán inducidos a pensar, tanto más sacudidos se sentirán en sus opiniones y tanto más podrán considerar las cosas de diferente manera después de la discusión; en resumen, tanto más se ensancharán sus horizontes intelectuales. En este sentido, la utilidad dependerá siempre de la distancia originaria entre las opiniones de los participantes en la discusión. Cuanto más grande sea esa distancia, más fructífera puede ser la discusión, siempre suponiendo, claro está, que tal discusión no es en absoluto imposible como afirma el mito del marco común. 1.

¿Cuál es la idea medular del autor? A) El marco común es la base de toda discusión provechosa. B) El mito del marco común es un enunciado falso y pernicioso.* C) La búsqueda de la verdad solo se da a través de un marco común. D) La discusión entre marcos distintos puede ser algo agradable. E) La discusión racional entre marcos distintos es imposible. Centralmente, el autor presenta el mito del marco común como una idea falsa y perversa.

2.

¿Cuál es el enunciado incompatible con la tesis del autor? A) El mito del marco coadyuva a la violencia y la guerra. B) El diálogo es fértil cuando los marcos son diferentes. C) La discusión basada en un marco común es tediosa. D) Buscar la verdad es una empresa muy gratificante. E) Sin marco común, la discusión será del todo inane.* Al contrario, sin marco común, la discusión será muy productiva.

3.

Si la tesis del marco común fuera una verdad completa, A) desaparecerían todos los conflictos bélicos mundiales. B) las discusiones serían más fructíferas, pero pugnaces. C) sin acuerdo previo, la discusión racional sería imposible.* D) las precondiciones serían necesarias para la verdad. E) las contradicciones serían la fuente de todo el progreso. Se afirmaría el mito del marco, según el cual es imposible el diálogo racional entre tesis inconmensurables.

4.

Se deduce que, para el autor, el mito del marco intelectual A) es un grave óbice para el progreso científico.* B) es la base de cualquier discusión racional. C) permite llegar a una discusión productiva. D) fomenta la discusión con marcos opuestos. E) nos acerca al conocimiento de la verdad. El mito del marco es un escollo para la ciencia en la medida en que no ensancha los límites del conocimiento.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 18

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.

Ciclo 2011-I

Desde la perspectiva del autor, una discusión entre personas con marcos muy disímiles A) impide llegar a un acuerdo. C) incrementará el conocimiento.* E) es una acción perversa.

B) propicia un diálogo vacuo. D) no se concretará nunca.

Dado que incrementa la perspectiva, también incrementará el conocimiento. ACTIVIDADES SOBRE RAÍCES GRIEGAS Y LATINAS Sobre la base del conocimiento de las siguientes raíces, infiera el significado de las palabras de la actividad. Analice el ejemplo. Gamo 'unión‘ Céfalo 'cabeza‘ Filia 'amor‘ Gine 'mujer

Raíces Hipo 'inferior, debajo‘ Logos 'teoría o lenguaje‘ Gnosis 'conocimiento‘ ‘Axios 'valor'

Paideia 'educación' Piro 'fuego' Astenia 'debilidad' Cripto 'oculto'

Episteme ‗ciencia‘ Algia ‗dolor‘ Biblio ‗libro‘ Quiro ‗mano‘

Psico ‗alma o mente Mancia ‗adivinación Para ‗contra, al lado Iso ‗igual

‘Tropo ‗dirección‘ ‘Poli ‗varios‘ ‘ Manía ‗delirio‘ ‘Nomo ‗ley‘

Ejemplo: Epistemología significa estudio de la ciencia 1. Psicastenia: Debilidad de la mente. 2. Cefalalgia: Dolor de cabeza. 3. Endogamia: Matrimonio entre personas de un mismo clan. 4. Poliginia: Matrimonio en el que un hombre desposa a varias mujeres. 5. Quiromancia: Adivinación por medio del examen de las manos. 6. Gnoseología: Teoría del conocimiento. 7. Paradoja: Aserción que conlleva contradicción. 8. Logopedia: Procedimientos para enseñar a hablar a quienes muestran dificultades especiales. 9. Hipótesis: Suposición para llegar a una conclusión. 10. Axiología: Teoría de los valores. 11. Anisotropía: Propiedad de un objeto que depende de la dirección. 12. Pirómano: Con propensión patológica a provocar incendios. 13. Criptografía: Escritura con clave secreta u oculta. 14. Nomológico: Relativo a los enunciados en forma de leyes. 15. Bibliófilo: Que tiene amor por los libros. SEMANA 15 B COMPRENSIÓN DE LECTURA TEXTO 1 El sistema filosófico de Immanuel Kant recibe el nombre general de «criticismo» o «filosofía crítica» y se halla expuesto en tres obras fundamentales: Crítica de la razón pura, Crítica de la razón práctica y Crítica del juicio. Los elementos introductorios de este sistema se denominan propiamente filosofía trascendental y los expone Kant, principalmente, en los Prolegómenos y en la primera de las tres críticas mencionadas. Por «filosofía trascendental», el pensador alemán entiende el examen a que hay que someter a la razón SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 19

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

humana para indagar las condiciones que hacen posible el conocimiento a priori: «¿cómo son posibles los juicios sintéticos a priori?», «¿cómo es posible la experiencia?». A fin de entender cualquiera de estas preguntas, expongamos las cosas como hace Kant en la introducción a sus Prolegómenos y en las primeras páginas de la Crítica de la razón pura. Hume sostuvo que, en lo tocante al conocimiento de las cosas, no era posible ir más allá de lo que nos dan a conocer los sentidos y la memoria. Kant supuso que esta manera de argumentar desproveía de todo fundamento no solo a las teorías físicas de Newton, sino a cualquier conocimiento de la experiencia. Hume centró su crítica en torno a la cuestión de si podemos pensar alguna relación necesaria y universal entre los sucesos de la naturaleza, esto es, en torno a la noción de «causa». No podemos fundamentar esta noción -argumenta- ni en la sola razón ni tampoco en la experiencia; se debe solo a una especie de fe irracional basada en la costumbre. No es posible, en consecuencia, la metafísica. Sin embargo, según Kant, tampoco habría verdadera física, es decir, no podría haber ninguna ciencia de la naturaleza o de la experiencia en general, si no fuese posible fundarla en un conocimiento causal. A la afirmación de Hume de que no es posible un conocimiento universal y necesario de las cosas, porque tal necesidad y universalidad no se hallan en la experiencia, Kant opone el planteamiento de que si no se fundan en la experiencia, esta necesidad y universalidad deben ser condiciones necesarias de un verdadero conocimiento, esto es, deben ser elementos a priori. Hume tiene razón al sostener que la idea de causalidad no proviene de la experiencia, pero se equivoca al decir que es un mero hábito psicológico. La idea de la causalidad es a priori, proviene del entendimiento sin más, de la misma estructura del conocer. 1.

En el texto, el término AFIRMACIÓN se entiende como A) especulación. D) comentario.

B) crítica. E) problema.

C) tesis.*

Hume postula la tesis escéptica de que no es posible un conocimiento universal y necesario de las cosas. 2.

Medularmente, el texto se puede describir como una exposición A) de la posibilidad real de la experiencia, según Kant. B) del criticismo kantiano frente a las ideas humeanas.* C) de la concepción de la causalidad en Immanuel Kant. D) del concepto del a priori en Hume y la filosofía de Kant. E) de Kant y la posibilidad de la ciencia física newtoniana. El texto se centra en el agudo contraste entre Hume y Kant.

3.

En el texto, el autor sostiene fundamentalmente que A) para Hume la metafísica se puede fundar en la experiencia. B) la causalidad solo puede fundarse en la experiencia sensorial. C) Hume considera que es posible derivar la causalidad de la razón. D) para Kant la universalidad y la necesidad provienen de la razón.* E) la física de Newton solo se puede fundar en la experiencia sensorial. En contra de Hume, Kant sostiene que el entendimiento puede captar las relaciones universales y necesarias.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 20

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 4.

Ciclo 2011-I

Es incompatible con lo planteado por Hume sostener que A) es imposible conocer lo que cae fuera de la experiencia. B) el concepto de causalidad se apoya en una mera costumbre. C) la noción de causalidad se sustenta en un soporte racional.* D) la ligazón entre sucesos naturales se establece por hábito. E) es imposible el conocimiento universal y necesario de la causa. Hume es un crítico del fundamento lógico de la causalidad.

5.

En franca oposición a Hume, Kant sostiene que el conocimiento físico se basa en A) la experiencia. D) el hábito.

B) el a priori.* E) la memoria.

C) la metafísica.

Kant habla de los juicios sintéticos a priori.

TEXTO 2 Muchos hombres se dedican a la ciencia, pero no todos lo hacen por amor a la ciencia misma. Hay algunos que entran en su templo porque se les ofrece la oportunidad de desplegar sus talentos particulares. Para esta clase de hombres, la ciencia es una especie de deporte en cuya práctica hallan un deleite, lo mismo que el atleta se regocija con la ejecución de sus proezas musculares. Hay otro tipo de individuos que penetran en el templo para ofrendar su masa cerebral con la esperanza de asegurarse un buen pago. Estos hombres son científicos sólo por la circunstancia fortuita que se presentó cuando elegían su carrera. Si las circunstancias hubieran sido diferentes, podrían haber sido políticos exitosos o magníficos hombres de negocios. Si descendiera de los cielos un ángel del Señor y expulsara del templo de la ciencia a todos aquellos que hemos mencionado, temo que el templo se quedaría casi vacío. En verdad, muy pocos quedarían; entre ellos, Max Planck, por eso lo queremos. Dirijamos nuestra mirada a aquellos pocos que merecieron el favor del ángel. En su mayor parte, son gentes extrañas, taciturnas, solitarias. ¿Qué es lo que les ha conducido a dedicar sus vidas a la persecución de la ciencia? Aunque se trata de una cuestión muy difícil, me inclino a pensar con Schopenhauer que uno de los más fuertes motivos que induce a entregar la existencia al arte o a la ciencia es la necesidad de huir de la vida cotidiana con su gris y fatal pesadez. Pero a este motivo negativo debe añadirse otro positivo. La naturaleza humana ha intentado siempre formar por sí misma una simple y sinóptica imagen del mundo circundante. En consecuencia, ensaya la construcción de una imagen que proporcione cierta expresión tangible de lo que la mente humana ve en la naturaleza. Esto es lo que hacen, cada uno en su propia esfera, el poeta, el pintor y el filósofo especulativo. Entre las diversas imágenes del mundo formadas por el artista, el filósofo y el poeta, ¿qué lugar ocupa la imagen del físico teórico? Su principal cualidad debe ser una exactitud escrupulosa y una coherencia lógica que sólo el lenguaje de las matemáticas puede expresar. La labor suprema del físico es el descubrimiento de las leyes elementales más generales a partir de las cuales puede ser deducida lógicamente la imagen del mundo. Pero no existe un camino lógico para el descubrimiento de esas leyes elementales. Existe únicamente la vía de la intuición, ayudada por un sentido para el orden que subyace tras las apariencias.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 21

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 1.

Ciclo 2011-I

¿Cuál es el tema medular del texto? A) El valor de Planck en la historia de la ciencia. B) La intuición y el desarrollo del conocimiento. C) Los verdaderos motivos de los científicos. D) La finalidad esencial del físico teórico.* E) La completa imagen de la ciencia. A partir del hermoso ejemplo de Planck, el autor intenta esclarecer la razón de ser del físico teórico: el descubrimiento de leyes elementales para construir la imagen del mundo.

2.

Se infiere que, para Schopenhauer, la ciencia es una actividad A) lúdica.

B) liberadora.* C) simple.

D) enigmática. E) coercitiva.

La pulsión de la ciencia, según el filósofo de la voluntad, es la necesidad de huir de la vida cotidiana con su gris y fatal pesadez. En consecuencia, se puede colegir que para él la ciencia es liberadora. 3.

Resulta incompatible con el texto aseverar que A) una rigurosa teoría física se puede expresar en lenguaje natural.* B) el físico teórico debe trabajar con la deducción y la intuición. C) entre la ciencia y el arte se puede establecer una analogía. D) algunos sujetos se dedican a la ciencia por un interés crematístico. E) la búsqueda de una imagen simple del mundo es inveterada. Se dice en el texto de manera tajante que la coherencia lógica de la teoría física sólo se puede lograr en un lenguaje matemático.

4.

En el texto, la palabra ESCRUPULOSA significa A) melindrosa. B) moral.

C) preventiva. D) cuidadosa.* E) aprensiva.

La principal cualidad de la imagen del físico teórico es una «exactitud escrupulosa». Este pleonasmo nos da la idea del sumo cuidado que debe tener el físico teórico. 5.

Si el ángel del Señor hubiese dejado completamente vacío el santuario de la ciencia, se podría decir que A) todos los científicos son como el físico Max Planck. B) a ningún científico le interesa, en realidad, el dinero. C) todos los científicos tienen intereses subalternos.* D) los científicos son personas sin ningún talento. E) la ciencia es una empresa como la bella poesía. Si fuese cierta la condición del enunciado, en el templo de la ciencia sólo habría individuos que no aman a la ciencia por la ciencia misma.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 22

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Ciclo 2011-I

Se infiere del texto que tanto el físico teórico como el filósofo especulativo quieren construir A) una teoría científica de gran potencia analítica. B) un método infalible de pensamiento formal. C) un sistema matemático de buenas predicciones. D) una visión del universo racional y elegante.* E) un lenguaje deductivo con símbolos universales. El físico y el filósofo se parecen en que quieren construir una imagen del mundo con ciertas características. A partir de lo planteado en la lectura, se puede colegir que se trata, en ambos casos, de una cosmovisión racional y elegante.

7.

Se colige del texto que un físico teórico recusaría un sistema A) demasiado general. D) apoyado en deducciones.

B) basado en intuiciones. E) con débil consistencia.*

C) muy formalizado.

La coherencia es uno de los pilares de la ciencia. Ergo, un físico recusaría un sistema con débil consistencia o coherencia.

SERIES VERBALES 1.

Compungido, contrito; enhiesto, caído; insurgente, sedicioso; A) melindroso, fofo. D) rival, aliado. *

B) meditabundo, caviloso. E) vidente, augur.

C) roñoso, rufián.

Solución D: Serie verbal mixta conformada por pares de sinónimos, antónimos, sinónimos, corresponde terminar con antónimos. 2.

¿Qué vocablo no corresponde a la serie verbal? A) Cúpula.

B) Azotea.

C) Copa.

D) Sótano.*

E) Techo.

Solución D: La serie está en el campo semántico de la parte superior de algo. 3.

¿Qué vocablo no corresponde a la serie verbal? A) Plomo.

B) Estaño.

C) Bronce.*

D) Cobre.

E) Plata.

Solución C: La serie está formada por los elementos químicos pertenecientes a los metales, el bronce es una aleación y no un elemento químico. 4.

Proemio, exordio, prólogo, A) enciclopedia. D) interludio.

B) epílogo. E) preámbulo.*

C) prospecto.

Solución E: La serie está formada por sinónimos de prólogo, que se completa con preámbulo que es exordio.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 23

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.

Ciclo 2011-I

Infausto, malhadado, infeliz, A) prelado.

B) malvado.

C) aciago.*

D) próvido.

E) menesteroso.

Solución C: La serie está formada por sinónimos de infeliz, que se completa con aciago que es infausto, infeliz, de mal agüero. 6.

Cabriola, voltereta, acrobacia, A) vehemencia. D) palabreja.

B) intrusión. E) pirueta.*

C) astucia.

Solución E: Campo semántico del brinco o salto acrobático.

ELIMINACIÓN DE ORACIONES 1.

I) Para su funcionamiento, los músculos necesitan energía, y esta procede de los alimentos. II) El músculo deltoides se inserta en el borde anterior de la clavícula. III) El músculo subescapular se inserta en el omóplato y el húmero. IV) El músculo supraespinoso se origina en la fosa supraespinosa y actúa como abductor del brazo. V) El músculo infraespinoso se origina en la fosa infraespinosa y actúa como rotador externo del húmero. A) III

B) II

C) IV

D) V

E) I*

Solución E: Se elimina la oración I por el criterio de impertinencia. El tema del conjunto oracional es el funcionamiento de algunos músculos, mientras que la oración I se refiere a la energía necesaria para el funcionamiento de estos. 2.

I) El tipo más común de aeronave es el aeroplano. II) Es una máquina voladora que se mantiene en el aire gracias a sus superficies de control o perfiles alares. III) Los aeroplanos más comunes son los aviones terrestres, que operan desde una pista en tierra o aeropuerto. IV) Los aeropuertos son lugares especiales destinados para el despegue o aterrizaje de aviones. V) Otro tipo de aeroplanos, los hidroplanos, operan desde el agua. A) II

B) IV*

C) III

D) I

E) V

Solución B: Se elimina la oración IV por el criterio de impertinencia. El tema del conjunto oracional son los aeroplanos, mientras que la oración IV se refiere a los aeropuertos. 3.

I) En 40 años, nuestro corazón ha latido más de 150 millones de veces. II) El corazón se contrae unas 70 veces por minuto. III) En ese lapso envía entre 65 y 100 centímetros cúbicos de sangre, es decir, de 5 a 7 litros por minuto. IV) En 75 años, un corazón humano ha latido unos 300 millones de veces y ha bombeado 200 millones de litros de sangre. V) Para poder vivir muchos años resulta necesario alimentarnos bien y nutrirnos con suficiencia. A) V*

B) III

SOLUCIONARIO Nº 15

C) IV

D) I

(Prohibida su reproducción y venta)

E) II

Pág. 24

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución A: Se elimina la oración V por el criterio de impertinencia. El tema del conjunto oracional es el funcionamiento del corazón, mientras que la oración V se refiere a lo necesario para vivir muchos años. 4.

I) De origen asiático, el yogurt se introdujo en Europa a través de Turquía y Bulgaria. II) Es leche cuajada que se obtiene mediante fermentación láctica ácida. III) En la transformación de la leche en yogurt intervienen dos microorganismos: el Lactobacillus bulgaricus y el Streptococcus thermophilus. IV) El primero es responsable del aroma y el segundo posee propiedades acidificantes. V) El yogurt procede de la leche y no es un producto originario de Europa. A) I

B) III

C) IV

D) V*

E) II

Solución D: Se elimina la oración V por el criterio de redundancia. 5.

I) El dinosaurio fue un reptil que habitó en muchas zonas de nuestro planeta. II) Solía habitar incluso en lugares pantanosos, con muchas fuentes alimenticias. III) Su tamaño alcanzaba, en algunas especies, los cuarenta metros de longitud y ocho metros de altura. IV) El dinosaurio tenía, generalmente, la cabeza pequeña y el cuello largo. V) El dinosaurio, de grandes dimensiones, pobló varias áreas de la Tierra. A) II

B) IV

C) I

D) III

E) V*

Solución E: Se elimina la oración V por el criterio de redundancia. El contenido de la oración V está incluido en las oraciones I y III. 6.

I) Zenón de Citio (340–260 a. C.) —a veces llamado Zenón el estoico para distinguirlo de Zenón de Elea— era de origen chipriota y posiblemente de ascendencia mixta, griega y oriental. II) Se trasladó a Atenas en el 311 a. C. después de una vida agitada y, durante su estancia ateniense, tomó contacto con la filosofía socrática, en especial la de la escuela cínica, y la megárica. III) Por aquel entonces, Atenas era el centro cultural del mundo griego, donde se congregaban las principales escuelas de filosofía, y donde también descollaban eximias formas de arte. IV) Según Diógenes Laercio, Zenón de Citio se inclinó, inicialmente, por el cinismo, siendo alguien especialmente cercano a Crates, pero pronto abandonó esta escuela al rechazar las numerosas «exageraciones» en que los cínicos incurrían. V) Tras el abandono del cinismo, estudió con otros filósofos de las escuelas académica, aristotélica y megárica, pero, insatisfecho con ellas, acabó creando su propia escuela, en la que combinaba múltiples aspectos cínicos con los de otros filósofos como Heráclito. A) III*

B) V

C) II

D) IV

E) I

Solución: El tema es la vida de Zenón de Citio, no el esplendor ateniense. SEMANA 15 C TEXTO 1 Cual hombre que camina solo y en las tinieblas, resolví andar tan lentamente y usar tanta circunspección en todas las cosas que, aunque avanzara muy poco, me guardaría bien por lo menos de caer. Ni siquiera quise comenzar desechando totalmente ninguna de SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 25

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

las opiniones que hubieran podido deslizarse otro tiempo en mi creencia sin haber sido introducidas por la razón, hasta después de haber pasado bastante tiempo haciendo el proyecto de la obra que emprendía y buscando el verdadero método para llegar al conocimiento de todas las cosas de que mi espíritu fuera capaz. Siendo más joven había estudiado, dentro de la filosofía, un poco de lógica y un poco el análisis de los geómetras y el álgebra, tres ciencias que parecían poder contribuir a mi búsqueda de la verdad. Sin embargo, al examinarlas, advertí que, respecto de la lógica, sus silogismos y la mayor parte de sus instrucciones sirven para explicar a otro las cosas que uno ya sabe (o aun, como el arte de Raimundo Lulio, para hablar sin juicio de aquellas que uno ignora) que para aprenderlas. Y aunque realmente contenga preceptos muy buenos, están mezclados con tantos otros que son nocivos y superfluos; de modo que separarlos es casi tan difícil como sacar una Diana o una Minerva de un bloque de mármol todavía sin esbozar. Luego, respecto del análisis de los antiguos y del álgebra de los modernos (aparte de que se aplican a materias muy abstractas y que no parecen de utilidad alguna), el primero está siempre supeditado a la consideración de las figuras que no puede ejercitar el entendimiento sin cansar mucho la imaginación; y, en la última, uno está sometido a tantas reglas y a tantas cifras, que se ha hecho de ellas un arte confuso y oscuro que entorpece el espíritu en lugar de ser una ciencia que lo cultive. Todo lo anterior fue la causa de que yo pensara que era preciso buscar otro método que, abarcando las ventajas de esos tres, estuviera exento de sus defectos. Y como la multitud de leyes sirve a menudo de excusa para los vicios, de suerte que un Estado está mejor regido cuando, teniendo pocas, se observan estrictamente; así, en lugar de ese gran número de preceptos de que se compone la lógica, creí que me bastarían los cuatro siguientes, a condición de que tomara una firme y constante resolución de no dejar de cumplirlos ni una sola vez. El primero consistía en no admitir jamás nada por verdadero que yo no conociera que evidentemente era tal; es decir, evitar minuciosamente la precipitación y la prevención, y no abarcar en mis juicios nada más que lo que se presentara tan clara y distintamente en mi espíritu que no tuviera ocasión de ponerlo en duda. El segundo, en dividir cada una de las dificultades que examinara en tantas partes como fuera posible y necesario para mejor resolverlas. El tercero, en conducir por orden mis pensamientos comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para subir poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos, y suponiendo un orden aun entre aquellos que no se preceden naturalmente unos a otros. Y el último, en hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan generales que tuviese la seguridad de no omitir nada. No sé si deba relatar las primeras meditaciones que hice, pues son tan metafísicas y tan poco conocidas que tal vez no serían del agrado de todo el mundo. Y, sin embargo, para que pueda juzgarse si los cimientos que tomé son bastantes firmes, de algún modo me veo obligado a hablar de ellas. Hacía mucho tiempo que, respecto de las costumbres, había advertido que a veces es bueno seguir opiniones que sabemos muy inciertas, como si fueran indudables, como ya hemos dicho antes; pero, como ahora sólo deseaba dedicarme a la investigación de la verdad, pensé que era preciso que hiciera todo lo contrario y que rechazara como absolutamente falso todo aquello en que pudiera concebir la menor duda, a fin de ver si después de eso no quedaría algo en mi espíritu que fuera completamente indudable. Así, a causa de que nuestros sentidos nos engañan a veces, quise suponer que no hay nada que sea como ellos nos lo hacen imaginar. Y puesto que hay hombres que se equivocan razonando, aun respecto de las más simples materias de la geometría, y cometen en ellas paralogismos, juzgando que yo estaba expuesto a errar como cualquier otro, rechacé como falsas todas las razones que antes había tomado por demostraciones. Y, por último, considerando que todos los mismos pensamientos que tenemos estando despiertos, nos pueden venir también cuando dormimos, sin que haya entonces ninguno que sea verdadero, me resolví a fingir que todo lo que alguna vez me había penetrado en el espíritu, SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 26

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

no era más verdadero que las ilusiones de mis sueños. Mas, inmediatamente después, me fijé en que, mientras yo quería pensar así que todo era falso, era preciso que yo, que lo pensaba, fuera algo. Y advirtiendo que esta verdad Pienso, luego existo, era tan firme y segura que no podían conmoverla todas las más extravagantes suposiciones de los escépticos, juzgué que podía admitirla sin escrúpulo como el primer principio de la filosofía que yo buscaba. René Descartes Discurso del método 1.

En la formulación de su primer precepto, Descartes habla de la prevención. Un sinónimo de ésta es A) precipitación. D) previsión.

B) malevolencia. E) prejuicio.*

C) desatino.

Solución: Dada la naturaleza de su primer precepto, se entiende que la prevención es una fuente de error, tanto como la precipitación. En la medida en que Descartes recomienda «no abarcar en mis juicios nada más que lo que se presentara» de manera indubitable, podemos establecer que un sinónimo de prevención es prejuicio. 2.

En el último párrafo, aparece el vocablo preciso. Un buen sinónimo es A) exacto. D) necesario.*

B) fundamental. E) posible.

C) axiomático.

Solución: En la búsqueda de la verdad, dice Descartes, era preciso rechazar lo que era pasible de duda, conforme al criterio de evidencia que preconizaba. En ese contexto, se refiere a algo que se debe hacer de manera ineludible o necesaria. Por tanto, un buen sinónimo es necesario. 3.

Para Descartes, las ideas escépticas son A) evidentes. D) realistas.

B) superficiales. E) adecuadas.

C) extravagantes.*

Solución: Al final, habla Descartes habla de las ideas escépticas como extravagantes. 4.

El término PARALOGISMO alude a A) verdad. D) descubrimiento.

B) razón. E) error.*

C) lógica.

Solución: El término ‗paralogismo‘ alude a un error en el razonamiento. 5.

Con respecto al arte de Lulio, se desprende que Descartes tiene una actitud A) condescendiente. D) ambivalente.

B) laudatoria. E) lapidaria.*

C) amable.

Solución: Dice Descartes que el arte de Lulio sirve para hablar sin juicio de los asuntos que uno ignora. Es un juicio duro, lapidario. 6.

La verdad «Pienso, luego existo» es considerada por Descartes como A) la esencia del método científico. C) la regla de la moral provisional. E) la negación de la metafísica.

SOLUCIONARIO Nº 15

B) la prueba de la existencia de Dios. D) el primer principio del conocimiento.*

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 27

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución: Descartes nos expone sus primeras meditaciones metafísicas. En busca de una proposición evidente, de acuerdo con la naturaleza del método, llega a formular su célebre proposición: Pienso, luego existo. Dado que era una proposición incontrovertible, la admitió como el primer principio de la filosofía cartesiana. 7.

De la lectura de las primeras líneas se puede inferir que, para Descartes, el método filosófico A) parte de una certeza. C) tiene un sello personal.* E) no conduce a ningún progreso.

B) critica el buen sentido. D) es común a todos los hombres.

Solución:: Habla en primera persona y se refiere a su situación peculiar como filósofo. En consecuencia, se puede establecer que el método cartesiano tiene un indeleble sello personal. 8.

Se puede deducir que el segundo precepto del método indagatorio cartesiano es de índole A) analítica.*

B) sintética.

C) algebraica. D) empírica.

E) enumerativa.

Solución: Al exponer los preceptos de su método, describe el segundo precepto con la fórmula de escindir una dificultad en partes para resolverla mejor. El procedimiento de la escisión o división nos lleva a la vía del análisis. En consecuencia, el segundo precepto es de índole analítica. 9.

De la exposición de las normas cartesianas, se desprende que A) el paso de las enumeraciones completas es anterior a ir de lo simple a lo complejo. B) el criterio de verdad se basa en la aceptación de las leyes formuladas por los científicos. C) la carencia absoluta de hesitación es una de las propiedades fundamentales de la evidencia.* D) el criterio de las enumeraciones es una fase prescindible en la aplicación metódica. E) el orden puede variar a voluntad y se puede ir de lo más complejo hasta lo más simple. Solución: Con los criterios de claridad y distinción se llega a la evidencia que cancela cualquier resquicio de duda. Por lo tanto, la carencia absoluta de duda o incertidumbre es una de los rasgos esenciales de la evidencia.

10. El filósofo empirista británico Francis Bacon decía que se llega más fácilmente a la verdad por medio del error que de la confusión. Con respecto a este aserto, podemos establecer que A) es idéntico a la esencia del método cartesiano. B) es como el arte de Lulio, o sea, estéril para la ciencia. C) Descartes lo censuraría totalmente y sin reservas. D) la verdad y el error tendrían el mismo estatus. E) Descartes estaría básicamente de acuerdo.* Justificación: A lo largo del Discurso hay varios pasajes que condenan la confusión como la fuente de perdición intelectual. Por ello, Descartes estaría de acuerdo con la cita de Bacon.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 28

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

TEXTO 2 Es un día cualquiera del año 1865. Un ilustre químico alemán de 36 años, Augusto Kekulé, da cabezadas en un sillón ubicado en el jardín de su casa. Sin embargo, ni siquiera entonces su cerebro se permite descansar. Hace ya varios años que ha tenido una idea que ha revolucionado la química en general y la orgánica en particular. Los químicos anteriores sabían que cada molécula estaba formada por un número determinado de átomos de cada elemento. Así, por ejemplo, el agua era H2O y el metano, CH4. Pero en 1852, el inglés Edward Frankland formula su teoría de las valencias, gracias a la cual averigua que cada átomo tiene una capacidad fija para combinarse con otros átomos, compartiendo electrones. Kekulé deduce inmediatamente que, si ello es así, las fórmulas compactas que hasta ahora identifican a las moléculas compuestas pueden ser representadas en dos dimensiones. Kekulé imagina también que el carbono es tetravalente, razón por la cual puede enlazarse con otros cuatro elementos para aglutinar complejas y grandes moléculas. Esto marca el nacimiento de la química orgánica. Lamentablemente, Kekulé no atina con la forma que puede tener un compuesto orgánico esencial: el benceno (C6H6). Y ese es justamente el enigma que está dando vueltas y vueltas en su agitado duermevela. Pero, no en vano el químico alemán había querido ser arquitecto en su juventud. Eso significa que tiene una gran facilidad para representarse mentalmente estructuras espaciales. ¡De pronto, la solución estalla en su cabeza con total lucidez! En su sueño, como él mismo cuenta, los átomos que están formando cadenas lineales intempestivamente se ponen a girar. Como una serpiente arquetípica, la cabeza de la cadena muerde su cola y se enrosca formando un círculo perfecto. El benceno aparece, entonces, como un anillo de átomos de carbono; o, mejor dicho, como un hexágono. Evidentemente, poco después, otros químicos comprenden que la excelente idea de Kekulé puede también dar lugar a estructuras tridimensionales. 1.

Medularmente, el texto se refiere al descubrimiento de A) la teoría química de las valencias. B) la síntesis de la química orgánica. C) la estructura lineal de los compuestos. D) la estructura hexagonal del benceno.* E) las estructuras químicas tridimensionales. Se narra el sueño con el que Kekulé descubre la estructura en hexágono de un compuesto orgánico esencial: el benceno.

2.

A partir de la historia de Kekulé, se puede colegir plausiblemente que el descubrimiento científico A) siempre es un proceso metódico y controlado. B) sólo es posible si se realiza entre sueños. C) implica a veces una actividad inconsciente.* D) sólo se lleva a cabo en los laboratorios. E) no tiene nada que ver con la imaginación. Hay una dimensión onírica evidente en el caso del gran descubrimiento de Kekulé.

3.

La imagen onírica de una serpiente que muerde su cola representa A) la estructura lineal de los compuestos. B) el enlace de los elementos en las moléculas.* C) el número determinado de átomos de un elemento. D) la cantidad ilimitada de valencias del carbono. E) la fórmula y estructura química del metano.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 29

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

El acto de mordedura, en el sueño, revela los enlaces de las moléculas del benceno. 4.

DAR VUELTAS Y VUELTAS connota A) método científico. C) caminata fatigante. E) extrema curiosidad.*

B) obsesión insana. D) pesadilla infernal.

Es un enigma que tiene la máxima atención, tanto que se piensa entre sueños. 5.

La teoría de las valencias torna implausible la idea A) del benceno como un hexágono. B) de la cadena lineal de átomos.* C) de la estructura tridimensional. D) de la tetravalencia del carbono. E) del enlace de los átomos. TEXTO 3

Se llama teoría a una serie sencilla de proposiciones que suministra un gran número de explicaciones. Einstein opinaba que una teoría es más impresionante cuanto mayor es la simplicidad de sus premisas, cuantas más clases distintas de cosas explica y cuanto más extenso es su ámbito de aplicación. Aunque no se estaba refiriendo a la teoría de la evolución, su afirmación no podía haberse aplicado a esta con mayor propiedad. Para todo lo que pretende explicar, la teoría de la evolución se sustenta en la interacción de cinco fenómenos que constituyen su base fáctica: herencia, mutación, selección, aislamiento y deriva. Por herencia, todos los organismos vivos son producto de la interacción de su material genético con el medio ambiente en que se desarrollan; este material génico suele permanecer inalterable de generación en generación. Sin herencia no puede haber cambios acumulativos. Por mutación, el material génico sufre cambios ocasionales que son heredables: sin mutaciones, no existiría una fuente continua de cambio. Por selección, la principal fuerza de la evolución, entendemos que todas las líneas génicas no se reproducen por igual, y las causas de estas diferencias pueden ser constantes por largos periodos. Sin selección, no habría direccionalidad en los cambios acumulativos. El factor del aislamiento explica que, por diversas razones extrínsecas e intrínsecas, no todas las líneas génicas tienen libertad de cruzarse. Por ejemplo, algunas poblaciones no se cruzan porque están separadas en el espacio (razones extrínsecas); y otras son tan diferentes génicamente como para impedir su hibridación (razones intrínsecas). Sin aislamiento, no habría más que una sola especie. De acuerdo con el factor de la deriva, el material génico se pierde a veces por accidentes que, por definición, son aleatorios, esto es, no son repetitivos. El principal efecto de la deriva génica es la reducción de la influencia de la selección, en particular en poblaciones muy pequeñas. Así, la teoría de la evolución es la proposición según la cual los efectos e interacciones de estos cinco fenómenos en la sucesión de ambientes en los que los organismos han vivido dan cuenta de las características e historia de todas las formas de vida. 1.

¿Cuál de los siguientes enunciados es el mejor resumen de la lectura? A) La teoría de la evolución da cuenta de los rasgos y el desarrollo de todas las formas de vida sobre la base de cinco factores fundamentales.* B) El factor de la selección, la direccionalidad en los cambios evolutivos, constituye la verdadera fuerza directriz del proceso evolutivo.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 30

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

C) La teoría de la evolución es un esquema de gran potencia explicativa, razón por la cual se erige en un modelo de teoría científica simplificada. D) Los fenómenos básicos de la teoría de la evolución son cinco factores de naturaleza fáctica: herencia, mutación, selección, aislamiento y deriva. E) La teoría de la evolución no es una simple teoría explicativa, sino que tiene una base empírica objetiva apoyada en cinco pilares fundamentales. El texto desarrolla los cinco factores de la evolución anunciados al final del primer párrafo. 2.

¿Cuál es el tema central del texto? A) La simplicidad en la teoría de la evolución. B) Génesis y desarrollo de la teoría de la evolución. C) La estructura lógica de la teoría de la evolución.* D) El papel de la selección y la deriva en la evolución. E) La herencia y la mutación en la evolución. Se da cuenta de la estructura lógica de la teoría de la evolución: la interacción de cinco fenómenos en un cuadro coherente y de gran simplicidad explicativa.

3.

En el texto, la palabra FÁCTICA significa A) física.

B) lógica.

C) empírica.*

D) formal.

E) axiomática.

En el texto, base fáctica se refiere al apoyo empírico de la teoría de la evolución. 4.

Dos individuos viven en el mismo hábitat, pero no se pueden reproducir fértilmente. Este caso se subsume en el factor de A) selección natural. D) mutación ocasional.

B) aislamiento extrínseco. E) aislamiento intrínseco.*

C)

deriva

genética.

Es un caso en el que el aislamiento reproductivo se da en el mismo territorio, por lo cual se debe explicar por criterios intrínsecos. 5.

Si la teoría de la evolución explicara cada factor por medio de una hipótesis diferente, A) tendría una mayor potencia explicativa. B) no podría ser empíricamente verdadera. C) podría objetarse su valor de simplicidad.* D) recusaría la noción de deriva génica. E) Einstein se habría desdicho de su idea. La teoría de la evolución es simple porque todos los factores se pueden explicar por un mismo mecanismo. Si se necesitara más mecanismos, se perdería la simplicidad.

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 31

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Aritmética EJERCICIOS DE CLASE N° 15

1.

En la sucesión: 6 ; 23 ; 64 ; 141; 266 ; 451 ; 708 ; 1049; 1486 ; x ; . . . halle la suma de cifras del valor de x. A) 6

B) 7

C) 8

D) 15

E) 18

Resolución: 6

23

17

64

41

24

141 266 451 . . .

77 125

36 48

12

185. . .

60. . .

12

12

. . .

entonces

a1 = 6

entonces

b1 = 17

entonces

c1 = 24

entonces

d = 12

Por propiedad tenemos que:

 9  9 9 9 x = a10 = 6   + 17   + 24   + 12   = 2031   cifras(a10 )  6  0 1   2  3 Clave: A 2.

En la siguiente sucesión: 6; 11; 21; 38; 64; 101; . . .; 298; abb ; ... halle el valor de a  b . A) 10

B) 12

C) 11

D) 9

E) 13

Resolución: Tenemos que: a1 = 6 ; b1 = 5 ; c1 = 5 ; d = 2 y an = 298.

 n -1   n -1   n -1   n -1  an = 6   + 5  + 5  + 2  = 298 entonces n = 9  0  1   2   3   9  9  9  9 luego a10 = abb = 6   + 5   + 5   + 2   = 399 entonces a + b = 3 + 9 = 12  0 1   2  3 Clave: B 3.

Dada la sucesión: 4; 5; 8; 18; 43; 94; . . . calcule la suma de cifras de la suma de los 20 primeros términos de la sucesión.

A) 29

B) 30

SOLUCIONARIO Nº 15

C) 27

D) 25

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 26 Pág. 32

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: Tenemos que: a1 = 4 ; b1 = 1 ; c1 = 2 ; d1 = 5; e = 3

 20   20   20   20   20  S 20 = 4   +   + 2   + 5   + 3   = 73287 entonces 1   2   3   4   5 

 cifras(S

20

) = 27 Clave: C

4.

En la siguiente progresión aritmética:

ab; cd; 25; . . . ; dc; 97; a0b ;. . . halle el ab+3 - términos

valor de a.b . A) 9

B) 8

C) 6

D) 3

E) 2

Resolución: Tenemos que : 25 + dc = 97 + cd entonces d - c = 8 así c = 1  d = 9 luego a0b = 103 a = 1  b = 3  a.b = 3 Clave: D 5.

Halle el segundo término negativo de la PA: 671; 665; 659; 653; 647;. . . A) - 20

B) - 5

C) - 1

D) - 13

E) - 7

Resolución: •

Tenemos r = -6 y 671 = 6+ 5 luego 671;665;...; 5;-1;-7;... Clave: E 6.

Determine la cantidad de términos comunes a las siguientes sucesiones: S1: 13; 22; 31; … A) 13

B) 14

y

S2: 844; …; 25; 18; 11; . . . C) 15

D) 12

E) 11

Resolución: S1: an = 9n + 4; S2: bm = 7m + 4 con m  120 luego los términos comunes son : Ck = 63k + 4 entonces 63k + 4  844 entonces k  13, 333... por lotanto k = 13 Clave: A 7.

Dada la sucesión:

100(b) ;...; f0(b) ; c(c + 2)(b) ;c(c + 1)(b) ; cc(b) ; . . . con b > 10

halle

28- términos

el valor de ( b + f + c)

A) 29

B) 31

SOLUCIONARIO Nº 15

C) 32

D) 34

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 30

Pág. 33

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: Tenemos . . .; cc(b) ;c(c +1)(b) ; c(c + 2)(b) ;f0(b) ;...;100(b) cuya razón es 1, luego 100(b) = cc(b) + 27entonces b2 = c(b +1) + 27; b > 10; c < b por lo tanto c = 9;b = 12 y f = 10 Clave: B

8.

Determine el lugar que ocupa el término aritmética:

aaa7 en la siguiente progresión

a8b; a93; b04; ba5; . . . ; aaa7; . . .

A) 84

B) 85

C) 86

D) 87

E) 88

Resolución: Tenemos que la razón es 11; luego 10a + b = 12 entonces a = 1;b = 2 por lo tanto 1117 = 182 +11(n -1)  n = 86 Clave: C 9.

En una sociedad constituida por cuatro amigos, los socios tienen edades que están en progresión geométrica creciente. Si el menor tiene 32 años de edad y la suma de edades de los siguientes dos socios es 90, calcule la edad del cuarto socio.

A) 36

B) 48

C) 56

D) 62,5

E) 64

Resolución: Sean las edades: 32; 32q; 32q2 y 32q3 entonces 32(q2+q) = 0 5 q = entonces el mayor tiene 62, 5 = 32q 3 años 4 Clave: D

 2 +5   7n  n=0  +

10. Determine el valor de A) 27/2



B) 47/10

n

n

C) 49/20

D) 7/40

E) 49/10

Resolución:

 2n + 5n    2n    5n  7 7 49    =   +   = + = 7n  n=0  7n  n=0  7n  5 2 10 n=0  

Clave: E n+4

11. Si:

k k =5

A) 1

1

k 4 - 1 4 

2011 = ; n  2, n  Z + , encuentre la última cifra de n. 2015

B) 0

SOLUCIONARIO Nº 15

C) 2

D) 3

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 4 Pág. 34

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Resolución: n+4 2011 n+4 1 n  1 1 = = 4  - = entonces n = 2011 2015 k =5 k k - 1 n+4 k =5  k -1 k  4 4





Clave: A

 1  3n 2 + 12n + 11  a  n 1 =  12. Si:  ; a, b PESI, halle el valor de a + b . +  b  k =1 k(k + 3)  3  n 3 + 6n 2 + 11n + 6  A) 28

B) 29

C) 27

D) 26

E) 30

Resolución:  1  3n 2 + 12n + 11  11 1  3n 2 + 12n + 11  1  3n 2 + 12n + 11  a  n 1 =        +  b  k =1 k(k + 3)  3  n 3 + 6n 2 + 11n + 6  18 3  n 3 + 6n 2 + 11n + 6  3  n 3 + 6n 2 + 11n + 6 

a 11 = b 18

luego a + b = 29. Clave: B EVALUACION DE CLASE N° 15

1.

En la sucesión polinomial: a; 11 ; 1b ; 2b ; 41 ;

55 ; . . . ; 131 ;... halle a + b.

10 términos

A) 14

B) 15

Resolución: a 11 1b 2b

11-a b-1 10

41

21-b

C) 17 55 . . .

D) 9

entonces

a1 = 6

entonces

b1 = 11-a

entonces

c = 11-b

14. . .

a+b-12 11-b 11-b b-7. . .

E) 10

luego b = 9 y a = 5 Clave: A

2.

En la progresión aritmética:

mn; 34; n(m + 2); ... ; (2n)(m + 2) ; . . . con

mn

k - términos

halle el valor de k. A) 5

B) 7

C) 8

D) 10

E) 15

Resolución: 34 - mn = nm - 32 entonces m + n = 6; n  4 luego mn = 24 así k = 7

Clave: B

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 35

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.

Ciclo 2011-I

Halle el valor de (a + b + c) , en la progresión aritmética:

cb(4) ; cb(5) ; (b  1)(c  1)(5) ; . . . ; (2c)(a  1)(6) ; . . . 11 términos

A) 5

B) 4

C) 7

D) 9

E) 6

Resolución:

cb(5) - cb(4) = (b +1)(c +1)(5) - cb(5) entonces 5c - 4b = 6; b,c < 4  c = 2; b = 1 luego 25 + a = 9 +10(2)  a = 4  a + b + c = 7 Clave: C 4.

En una progresión aritmética de 23 términos, el cuarto y el vigésimo término suman 30. Halle la suma de los 23 primeros términos de dicha progresión. A) 245

B) 260

C) 310

D) 345

E) 380

Resolución:

a4 + a20 = 30 entonces a1 + a23 = 30 luego S 23 = 23(15) = 345 Clave: D 5.

 a  21 1 =  Si:  ; a, b PESI, halle a + b . b  k =1 (k + 1)(k + 2)  A) 51

B) 52

C) 70

D) 68

E) 67

Resolución:

  1 a  21 1 1  1 1 21 =  = por lo tanto a + b = 67 = = b  k =1 (k + 1)(k + 2)   k + 1 k + 2  2 23 46 Clave: E 6.

Determine el lugar que ocupa el término bb en la progresión aritmética. ab ; 54 ; (2b)a ; . . . ; bb; . . .

A) 6

B) 7

C) 10

D) 9

E) 8

Resolución:

54 - ab = (2b)a - 54 luego ab = 62 por lo tanto bb = 22 es el sexto término. Clave: A

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 36

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.

Ciclo 2011-I

Calcule la suma de cifras del mayor término de tres cifras que termina en tres, en la siguiente sucesión: 57; 64; 71; 78; . . . A) 11

B) 17

C) 8

D) 13

E) 15

Resolución: Tenemos que la razón es r = 7 ; que ab3 = 953 por lo tanto

ab3 = 7n + 50 luego para

nmáx = 129

tenemos

 cifras(953) = 17 Clave: B

8.

Si la suma de los

m

primeros términos de una progresión geométrica es

 3m - 2 m  2  m-2  ; halle 319 veces el vigésimo primer término de la progresión.  3  A) 3

2 20 B) 2 3

21

C) 2

21

D) 3

2 21 E) 3

20

Resolución:

 3m - 2m   1- (2 / 3)m  2  m-2  = 6    3   1- (2 / 3) 

Tenemos que

luego

a1 = 6, q =

2 3

por lo tanto

319.a21 = 221

Clave: C

 2 +3   5n  n=0  +

9.



Determine el valor de: A) 12/25

B) 6/25

n

n

C) 3/25

D) 25/6

E) 19/5

Resolución:

 2n + 3n  +   2n  +   3n  5 5 25          = + = 5n  n=0  5n  n=0  5n  3 2 6 n=0  +

Clave: D

  2012k n

10. Si:

3

- 2011k 2 + 2010k - 2009  = an 4 + bn 3 + cn 2 + dn + e. calcule el valor de

k =1

a + b + c + d.

A) 13

B) 12

C) 15

D) 9

E) 2

Resolución: an4 + bn 3 + cn 2 + dn + e  2012  k 3   2011  k 2   2010  k   2009 1

SOLUCIONARIO Nº 15

n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 37

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I 2

 n(n + 1)   n(n + 1)(2n + 1)   n(n + 1)  an4 + bn 3 + cn 2 + dn + e  2012   2011   2010   2009n   6  2     2  2011 2011 2011 Luego tenemos que: a = 503; b = 1006 ;c = 1508 ;d = -1004 y e=0 3 2 6 Por lo tanto a + b + c + d. = 2 Clave: E

Álgebra EJERCICIOS DE CLASE 1.

Se sabe que el cuádruplo del número de manzanas que hay en una bolsa es tal que al extraer 8 manzanas resulta menor que 30, y que el quíntuplo del mismo número de manzanas aumentado en 7 manzanas es mayor que 50. Hallar el número total de manzanas que se encuentran en la bolsa. A) 10

B) 9

C) 11

D) 8

E) 13

Solución: x: número de manzanas que se encuentran en la bolsa i) 4 x  8  30  4 x  38  x  9,5

ii) 5 x  7  50  5x  43  x  8,6  8,6  x  9,6  x  9 Clave: B 2.

 6  x  2y  Al resolver el sistema  x  2  y ;  x , y   Z, hallar el valor de y – x.  6y  A) 2

B) 0

C) 1

D) 3

E) 4

Solución:

i) 6  x  2 y  x  2 y  6 ii) x  2  y  x  y  2 iii ) y  2  x  2 y  6  y  2  2 y  6  y  4 iv ) 4  y  6  y  5 v) 5  2  x  2  5   6  3  x  4  x  3 y x  53  2 Clave: A

3.

Al resolver el sistema en Z+

A) 11

B) 10

SOLUCIONARIO Nº 15

2x  3 y  6z  30  2x  y  6z  12 , hallar el menor valor de x  y  z .  y  2  z   y6  C) 8

D) 9

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 12 Pág. 38

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución:

2x  3 y  6z  30 i)    2x  y  6z  12 4 y  18 y  4 .5  y  6  y  5 ii) y  2  z  0  z  3  z  1  z  2 iii ) 15  2x  6z  17 Si z  1  4,5  x  5,5  x  5  x  y  z  5  5  1  11 Si z  2  1,5  x  2,5  x  2

 x  y  z  2  5  2  9  menor valor

 Clave: D

4.

 3x  4 y  12  Si T es la región determinada por   3x  4 y  12 . Indique el valor de verdad de  y0  las siguientes proposiciones: I. El perímetro de T es 18u II. El área de T es 12 u2. III. P1    2 , 3   T A) VVV

B) VFF

C) FVF

D) FVV

E) VVF

Solución:

Sean las rectas L 1 : 3x  4 y  12

L2

L 2 : 3x  4 y  12

P1

Si P   x 0 , y0   L 1  L 2 3x 0  4 y0  12    3x 0  4 y0  12  y0  3 , x 0  0

–4

83   12u2 2 III ) P1    2 , 3   T

P  x0 , y0

0



4

L1

I) El perímetro PT  5  5  8  18u II) A T 

3

 V  V  F Clave: E

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 39

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

5.

Ciclo 2011-I

x  y  3   y  3x Hallar el área de la región determinada por  . y  1 x  0 , y  0  A)

7 2 u 2

B) 7 u2

C) 5 u2

D)

5 2 u 2

E)

7 2 u 3

Y

Solución: i) Sean las rectas L1 : x  y  3

L 2 : y  3x L3 : y  1 ii) Si P0  x 0 , y0  L 2  L 3



L2

3 2



P1

1 P0

y0  3x 0  y0  1 1 3 iii ) Si P1   x1 , y1   L 1  L 3  x0 

0

L3 X

1 3

2

3

L1

 x1  y1  3  y1  1  x1  2   1   3   2    3  7   iv ) AR   1   AR  u2   2 3     Clave: E 6.

Hallar el máximo valor de F  x , y   x  y , sujeta a las restricciones 2 x  y  4 3   xy3 . 4  x  0 , y  0 A)

16 5

B) 3

C) 4

D)

7 2

E)

69 10

Solución: i) Sean las rectas L 1 : 2x  y  4 L2 :

3 4

x  y  3  3x  4 y  12

P0   x 0 , y0   L 1  L 2 2 x 0  y 0  4 4 12  x0  , y0   5 5 3x 0  4 y0  12

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 40

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

ii)

 x,y   0 ,0   2 ,0 

F x,y   x  y 0 2

 4 12  16  ,   máximo valor  5 5  5  0 ,3  3

7.

Ciclo 2011-I



Hallar el mínimo valor de G  x , y   9x  15y sujeto a las restricciones  4 x  3 y  30  8x  y  30 . x  0 ; y  0  A) 60

B) 100

C) 117

D) 90

Clave: A

E) 80

Y Solución:

i) Sean las rectas

30

L 1 : 4 x  3 y  30 L 2 : 8x  y  30

P0   x 0 , y0   L 1  L 2  4 x 0  3 y0  30  8x 0  y0  30  x 0  3 , y0  6 ii)  x , y  G  x , y   9x  15 y

 0 ,10   3 ,6   0 , 30 

150 117  mínimo valor



20

10 0

P0 X L2

L1

450 Clave: C

8.

Las restricciones pesqueras obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2 mil toneladas de atún y 2 mil toneladas de anchovetas, además, en total las captura de éstas dos especies no pueden pasar de las 3 mil toneladas. Si el precio del atún es de $ 10 / kg y el precio de la anchoveta es de $ 15 / kg, hallar las cantidades, en toneladas, de atún y anchoveta respectivamente, que se deben pescar para obtener el máximo beneficio. A) 1000 y 1500 D) 2000 y 1 000

SOLUCIONARIO Nº 15

B) 1000 y 2000 E) 1500 y 1500

(Prohibida su reproducción y venta)

C) 1500 y 1000

Pág. 41

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución:

i) x : Nº de toneladas de atún que pescan y : Nº de toneladas de anchoveta que pescan  x  2000   y  2000   x  y  3000 x  0 , y  0  G  x , y   10000x  15000y ii) L 1 : x  2000 , L 2 : y  2000 , L 3 : x  y  3000 iii ) P0   x 0 , y 0   L 1  L 3

Y (miles)

x 0  2000  x 0  y 0  3000  y 0  1000

L1 3

iv ) P1   x 1 , y1   L 2  L 3

P1

x 1  1000 , x 1  y1  3000  y1  2000 2

v)  x , y 

 0 ,0   2000, 0   2000,1000   1000, 2000   0 , 2000 

L2 P0

G  x , y   10000x  15000y 1 0 20000000 0

35000000 40000000 30000000

1

2

3

X (miles) L3

Beneficio máximo Clave: B

EVALUACIÓN DE CLASE

1.

Hallar el número entero positivo, si se sabe que un tercio del número entero que le precede, disminuido en 8 es mayor que 12 y que un cuarto del número entero que le sigue, aumentado en 9 es menor que 27. A) 61

B) 67

C) 71

D) 60

E) 72

Solución:

x : número entero positivo x 1  8  12  x  61 3 x1  9  27  x  71 4  61  x  71  x  67 Clave: B

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 42

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

2.

Ciclo 2011-I

 y  2 x  3 Si  x , y   Z  , hallar el número de soluciones del sistema  .   3x  y  12 A) 13

B) 8

C) 12

D) 10

E) 15

Solución:

  2 x  y  3 i)    3x  y  12   5 x  15  0  x  3  x  1  x  2 ii) De i  2x  3  y  12  3x

Si x  1  1  y  9  y  1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6, 7 , 8 

 8 soluciones iii ) Si x  2  1  y  6  y   2 , 3 , 4 , 5   4 soluciones Total: 12 soluciones Clave: C

3.

Al resolver el sistema

 x  y  z  x  y  z . A) – 1025

B) 1025

 x  y  z  42   x  y  z  24 ,  x7 

C) 925

x , y, z   Z  ,

D) – 925

hallar el valor de

E) – 1035

Solución:

 x  y  z  42 i)   x  y  z  24 2x  18  x  9 7x9x8 ii) 32  y  z  34  y  z  33 iii )  x  y  z  x  y  z    41   25   1025 Clave: A

4.

x  2y  5  Hallar el área de la región limitada por  x  y  2 . x  0 , y  0  A)

17 2 u 4

B)

SOLUCIONARIO Nº 15

17 2 u 2

C)

15 2 u 4

D)

25 2 u 4

(Prohibida su reproducción y venta)

E)

1 2 u 4

Pág. 43

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO Solución:

Ciclo 2011-I

3 5

i) Sean las rectas L 1 : x  2y  5

2

L2 : x  y  2

2

5 5    2  2x2 ii) AR   2 2 25 17 2 AR  2  u 4 4

2

L2

5 5

L1

Clave: A

5.

x  y  1  x  y  4 Si S es la región determinada por el sistema  . Indique el valor de y  1  x  0 ; y  0  verdad de las siguientes proposiciones: I) El área de S es 3u2. II) El perímetro de S es 7  2 2 u .





   1   7   III)  , 1 ,  , 1   S   2   2    A) VVV

B) VFV

C) VFF

D) VVF Y

E) FVV

4

Solución:

L2

Sean las rectas L1 : x  y  1 L2 : x  y  4 L3 : y  1

P0   x 0 , y0   L 2  L 3 y0  1  x 0  y0  4  x 0  3 I) A S  3  1   3u2



1

 



II) p S  3  2  3  2  6  2 2 u  7  2 2 u  1   7   III )  , 1 ,  , 1   S  2   2  

P0

1

V  F 

3

L1

X

4

L2

F  Clave: C

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 44

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.

Ciclo 2011-I

Hallar el máximo valor de F x , y   10x  20y sujeta a las restricciones

2 x  3 y  6  x  y  6 .  x  y x  0 , y  0  A) 120

B) 36

C) 40

D) 90

E) 60

Solución:

i) Sean las rectas L 1 : 2x  3 y  6 L2 : x  y  6 L3 : x  y

ii) P0   x 0 , y0   L 1  L 3 x 0  y0  2 x 0  3 y 0  6  x 0  y 0  P1   x1 , y1   L 2  L 3

6 5

x1  y1  x1  y1  6  x1  y1  3 iii) ( x , y ) (3,0) (6,0) ( 3, 3 )  6 6  ,   5 5

F ( x, y ) =10x + 20y 30 60 90 máximo valor

36 Clave: D

7.

x  y  Hallar el máximo valor de F x, y   2x  y  5 sujeta a las restricciones 3  y  6 . 3  x  6  A) 12

B) 9

C) 11

D) 15

E) 16

Y

Solución:

i) Del gráfico: P0   3 , 3  , P1   6 , 6 

P2   3 , 6 

ii) ( x, y ) (3,3) (6,6) (3,6)

F( x, y ) = 2x – y + 5 8 11 máximo valor 5 Clave: C

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 45

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.

Ciclo 2011-I

Una compañía naviera dispone de dos barcos M y R para realizar un determinado crucero. El barco M debe hacer tantos viajes o más que el barco R, pero no puede sobrepasar 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más de 20. La naviera obtiene una ganancia de 18 mil euros por cada viaje del barco M y 12 mil euros por cada viaje de R. Halle el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener la máxima ganancia. A) 12 y 12

B) 4 y 4

C) 12 y 0

D) 6 y 0

E) 12 y 8

Solución: i) x: Número de viajes que debe efectuar el barco M y: Número de viajes que debe efectuar el barco R

 y  x  12  6  x  y  20 x  0 , y  0  G  x , y   18x  12y ii) Del gráfico se obtiene los puntos: P1   3 , 3  , P2   6 , 0 

P3   12, 0  , P4   12 , 8  P5   10 ,10  iii)

 x,y   3 ,3   6 ,0   12 , 0   12 , 8   10 ,10 

G  x , y   18000x  12000y 90000 108000 216000 312000 máxima ganancia 300000

Trigonometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15 1.

Sea f una función real dada por

   1        f   1, 2  ,  3 , a  b  ,  a 2 , a  2  ,  3 , a  b 2   . Si el dominio de f es 0,   b           1, 3, determine el rango de la función. A) 1, 2

B) 0, 1, 2

SOLUCIONARIO Nº 15

C) 0, 1, 3

D) –1, 1, 0

(Prohibida su reproducción y venta)

E) 1, 3, 2

Pág. 46

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución:

 1   f =  1, 2  ,  b     Domf = 1,3,a2.

    2   , a , a  2  , 3, a  b2       entonces         2 Pero Domf = 0,1,3, luego a = 0  a = 0. Por otro lado,

 3, a  b  

a  b  a  b 2 . Entonces b  b

2

Ranf = 1, 3, 2.

 b =1. Así

Clave: E

2.

Dada la función real f definida por f ( x ) 

10  x  2 x 3 3

y Dom f = a, b – c.

Calcule el valor de a + b + c. A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Solución:

x  Domf

 10 – x  2  0  x + 3  0

x3– 3 0



 – 10  x – 2  10  x  – 3  x  6  – 8  x  12

 x–3  x6

Luego Domf = – 3,12 – 6 = a,b – c  a + b + c = 15 Clave: D 3.

Sea la función real f definida por f ( x )  3  x 2  1 , halle el dominio de f. A)

  ,  2

B)  0 , 4

C)   2 , 2 



D) 2 ,  

E)

2 , 2

Solución: x  Domf

 3 – x2  1  0 

x2  1  3 

– 3  x2 – 1  – 2  x2  4  – 2  x2  x2  4  x2  4  – 2  x  2  Domf = – 2,2 Clave: C

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 47

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

4.

Ciclo 2011-I

Sea f una función real periódica de periodo 6. Si Domf = R

y

  x2 , 0  x  4 f ( x)   .  2 , 4  x  6  Calcule f(2) + f(5) + f(9). A) 4

B) 2

C) 5

D)6

E) 3

Solución:

El periodo de f es 6  f(x + 6) = f(x)  x  Domf = R. Entonces, f(2) + f(5) + f(9) = f(2) + f(5) + f(3 + 6) = f(2) + f(5) + f(3) = 0 + 2 + 1 = 3 Clave: E 5.

Sea f la función real definida por f ( x ) 

2x 3  11x 2  17x  6 . Halle el rango de f. x 2  5x  6

A) R – 2, 3

B) R – 3, 5

D) R – 0

E) R – 0, 3

C) R – 0, 3, 5

Solución:

Factorizamos numerador y denominador. Entonces f(x) =

2x 3  11x 2  17x  6 x  5x  6 2

=

(2x  1)( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3)

 f(x) = 2x – 1,  x  R – 2,3 Así, Ranf = R – 3,5 Clave: D 6.

x 2  16 y G( x)  2x  3 . El 8 dominio de F es el intervalo – 2, 2 y los rangos de F y G son iguales. Si el dominio de Las funciones reales F y G están definidas por F( x ) 

G es a, b, calcule a  b. A)

1 8

B)

SOLUCIONARIO Nº 15

1 4

C)

3 8

D)

1 6

(Prohibida su reproducción y venta)

E)

1 10

Pág. 48

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I

Solución: x  Domf

 – 2  x  2  0  x2  4  16  x2 + 16  20

x 2  16 5 5  2   2  F(x)  . 8 2 2   RanG = 2,   –

5 5 1 . Así, 2  2x + 3   – 1  2x  –  2 2 2

1 1 1  1  1  1  1  x  – . Luego DomG =  ,   . Por consiguiente, ab =      = 4 2 4  2  4  8  2 Clave: A

7.

Halle el rango de la función real f definida por f ( x)  x 2  4x  9 , 1  x  4 . A) 1, 6

B) 1, 9

C) 1, 5

D) 5, 9

E) 6, 9

Solución: f(x) = x2 – 4x + 9 = (x – 2)2 + 5 Como 1  x  4  – 1  x – 2  2  0  (x – 2)2  4  5  (x – 2)2 + 5  9. Luego Ranf = 5,9 Clave: D 8.

1 , g(x) = x2 + 1, 1 x 0 ,   , determine la

Sean f, g y h funciones reales definidas por las fórmulas f ( x )  h(x) =

x . Si los dominios de f, g y h son iguales a



alternativa correcta. A) B) C) D) E)

f f f f f

es decreciente, es creciente, g es decreciente, es creciente, g es decreciente,

g es creciente y h es decreciente es creciente y h es creciente g es creciente y h es creciente es decreciente y h es decreciente g no es decreciente ni creciente y h es creciente

Solución: 

Si x, y  Domf  x < y  1 + x < 1 + y 1 1  <  f(y) < f(x). Así f es decreciente. 1 y 1 x

SOLUCIONARIO Nº 15

(Prohibida su reproducción y venta)

Pág. 49

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO

Ciclo 2011-I



Si x, y  Domf  x < y  0  x < y  x2 < y2



 1 + x2 < 1 + y2  g(x) < g(y). Luego g es creciente. Si x, y  Domf  x < y  0  x < y  x < y  h(x) < h(y). Luego h es creciente.

Por tanto: f es decreciente, g es creciente y h es creciente. Clave: C

9.

Si el dominio de la función real f definida por f ( x ) 

2x 3  11x 2  17x  6 5x 2  x 3  7x  3

es

a,

b – c, halle 2a + b2 – c.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Solución: Luego de factorizar el numerador y denominador obtenemos f(x) =

(2x  1)( x  2)( x  3)  ( x  3)( x  1) 2  (2x  1)( x  2) , x  3, x  1

 f(x) =

x  Domf  – (2x – 1)(x – 2)  0  x  3  x  1

1 x2  x3  x1 2 1 1  Luego, Domf =  , 2 – 1 = a,b – c  a = , b = 2, c = 1 2 2  

 1  2   + 22 – 1 = 4 2 Clave: C 10. Halle el complemento del dominio de la función real f definida por

f ( x) 

1 2 x 1 3

x2 

A) 3 ,  

 x  5.



B) 3 ,  



C) 2 ,  

D) 5 ,  

E)

2,  

Solución:

1 2 0  1– x >0  x  Domf  x 3 1 3 x2 

SOLUCIONARIO Nº 15

x