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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN E.P. INGENIERÍA CIVIL TRABAJO ESCALONADO SEMANA 15

CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I ALUMNO: TORRES HUAYNATE, JHORDY JULIAN CÓDIGO: 2017460008 CORREO: [email protected] PREGUNTA Nº 1. Algunos estudiantes quieren visualizar el flujo sobre una pelota de béisbol que gira. Su laboratorio de fluidos tiene un bonito túnel de agua en el que pueden inyectar líneas de corrientes con tintes multicolores de modo que deciden probar una pelota de béisbol que gira en el túnel de agua .(Se muestra en la figura, la sección de pruebas del túnel de pruebas). La similitud exige que igualen tanto el número de Reynolds como el número de Strouhal entre su modelo de prueba y la pelota verdadera que se desplaza por el aire a 80 Km/h y gira a 300 rpm Tanto el aire como el agua están a 20°C ¿A qué velocidad deben correr el agua en el túnel de agua y a qué rpm deben girar su pelota de béisbol?

Solución: Para resolver este problema debemos calcular la rapidez y velocidad angular de una pelota de béisbol que gira en un canal de agua de manera que las condiciones de flujo son dinámicamente similares a las de la pelota de béisbol real que se mueve y gira en el aire. Hipótesis: Es un flujo permanente e incompresible y también es un flujo laminar. Análisis: El modelo (en el agua) y el prototipo (en el aire) son en realidad la misma pelota de béisbol, por lo que sus características de longitudes son iguales L m = Lp .Coincidimos con el número de Reynolds

𝑅𝑒𝑚 = Condiciones: AIRE (p) T= 𝜌= 𝜇= AGUA (m) T= 𝜌= 𝜇=

𝜌𝑝 ∗ 𝑉𝑝 ∗ 𝐿𝑝 𝜌𝑚 ∗ 𝑉𝑚 ∗ 𝐿𝑚 = 𝑅𝑒𝑝 = 𝜇𝑚 𝜇𝑝

UNIDAD 20 °C 1.204 Kg/m3 0.00001825 Kg/m.s

Donde: 𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝜇 = 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑

UNIDAD 20 °C 998 Kg/m3 0.001002 Kg/m.s

Ahora calculamos la velocidad del túnel de agua requerida para las pruebas del modelo V m .

𝑉𝑚 = 𝑉𝑝

𝜇𝑚 𝜇𝑝

𝜌𝑝 𝜌𝑚

𝐿𝑝 𝐿𝑚

Entonces la velocidad del agua en el túnel será:

𝑉𝑚 = 80𝐾𝑚/ℎ

Vm=

1.002 ∗ 10−3 1.825 ∗ 10−5

𝑘𝑔 𝑚. 𝑠 𝑘𝑔 𝑚. 𝑠

1.204 𝑘𝑔/𝑚 3 998 𝑘𝑔/𝑚 3

1

5.30 Km/h

Ahora támbien igualamos los números de Strouhal, reconociendo que n es proporcional a f. 𝑆𝑡𝑚 =

𝑛𝑚 ∗ 𝐿𝑚 𝑛𝑝 ∗ 𝐿𝑝 = 𝑉𝑚 𝑉𝑝

𝑓𝑝 ∗ 𝐿𝑝 𝑓𝑚 ∗ 𝐿𝑚 = 𝑆𝑡𝑝 = 𝑉𝑚 𝑉𝑝

A partir del cual resolvemos la velocidad de giro requerida en el túnel de agua 𝑛𝑚 = 𝑛𝑝 =

𝐿𝑝 𝐿𝑚

𝑉𝑚 𝑉𝑝

Entonces la velocida de giro en el túnel será: 𝑛𝑚 = (300 rpm)(1)

nm=

5.30 𝑘𝑚/ℎ 80 𝑘𝑚/ℎ

20 rpm

Discusión: Debido a la diferencia en las propiedades de los fluidos entre el aire y el agua, la velocidad requerida del túnel de agua es más bajo que en el aire. Además la velocidad de centrifugado es mucho menor, lo que facilita la visualización del flujo.

Conclusiones: C1. Se concluye que la velocidad necesario que debe correr el agua en el túnel es de 5 km/h y con 20 rpm debe girar la pelota de béisbol. C2. También se concluye que en los factores de viscosidad son distintos en el agua y aire lo cual provoca variación de velocidad del cuerpo si son sometidos a una misma temperatura. Recomendaciones: R1. Se recomienda tener conocimientos sobre el tema para poder aplicar correspondientemente la ecuación a utilizar y desarrollarlo correctamente. R2. Se recomienda tener en cuenta las unidades en que se presentan la temperatura, densidad y viscosidad para poder reemplazar lo valores en la ecuación respectiva. Bibliografía: _ Yunus A. Çengel, John M. Cimbala. (2006). Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones. México: McGraw- Hill Interamericana. _FRANK M.WHITE. (2004). Mecánica de fluidos. España - Madrid: Mc Graw Hill. _ Emilio Rivera Chávez. (2001). ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD FISICA. Bolivia: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO - Facultad Nacional de Ingeniería

PREGUNTA Nº 2. Cuando un flujo uniforme fluye sobre un cilindro circular según la figura mostrada, se forma una huella del vórtice de Kárman que es un patrón regular de vórtices derramados por el cuerpo. Use el método de repetición de variables para generar una relación adimensional para la frecuencia de derrame del vórtice de Kárman f k como función de la velocidad de la corriente libre V la densidad del fluido ρ la viscosidad del fluido μ y el diámetro del cilindro D. Muestre todo el procedimiento.

Solución: Para este problema vamos utilizar el análisis dimensional para encontrar la relación funcional entre los parámetros dados. Hipótesis: Es un fluido uniforme y los parámetros dados son los únicos relevantes del problema. Análisis: El método paso a paso de repartición de variables se emplea para obtener los parámetros adimensionales. PASO 1: Hay cinco parámetros en este problema; n=5 Lista de parámetros relevantes. 𝑓𝑘 = 𝑓 𝑉, 𝜌, 𝜇, 𝐷 PASO 2. Se enumeran las dimensiones principales de cada parámetro. 𝑓𝑘

𝑉

𝑡 −1

𝐿−1 𝑡 −1

𝜌

𝑚1 𝐿−3

𝜇

𝐷

𝑚1𝐿−1𝑡 −1

𝐿1

PASO 3. Como primera aproximación, j se establece igual a 3, el número de dimensiones primarias representadas en el problema(m, L, t): Reducción: j=3 ⬚ Si este valor es correcto, el número esperado de es: k=n-j=5-3=2 PASO 4. Debemos elegir tres parámetros repetidos ya que j=3. No se eligirá la viscosidad.Solo se eligirán: 𝑉, 𝜌, , 𝐷 PASO 5. Se genera el

dependiente.

⬚

1 = 𝑓𝑘 𝑉 𝑎1 𝜌𝑏1 𝐷𝑐1

1 =

𝑡 −1 𝐿1 𝑡 −1

𝑎1

𝑚1𝐿−3

𝑏1

𝐿1

𝑐1

masa: 0 = 𝑏1

𝑚 0 = 𝑚 𝑏1

𝑏1 = 0

tiempo: 𝑡 0 = 𝑡 −1𝑡 −𝑎1

0 = −1 − 𝑎1

𝐿0 = 𝐿𝑎1 𝐿−3𝑏1 𝐿𝑐1

0 = 𝑎1 − 3𝑏1 + 𝑐1

𝑎1 = −1

longitud:

El dependiente de

⬚

𝑐1 = 1

es entonces: 1=

𝑓𝑘 𝐷 = 𝑆𝑡 𝑉

⬚como el número de Strouhal. Se genera el segungo Donde hemos identificado este ⬚ único independiente de este problema.

2 = 𝜇𝑉 𝑎2 𝜌𝑏2 𝐷𝑐2

2 =

𝑚1 𝐿−1𝑡 −1 𝐿1 𝑡 −1

𝑎2

𝑚1 𝐿−3

𝑏2

⬚ (el

𝐿1

𝑐2

masa: 𝑚 0 = 𝑚𝑚 𝑏2

0 = 1 + 𝑏2

𝑏2 = −1

tiempo: 0 = −1 − 𝑎2

𝑡 0 = 𝑡 −1𝑡 −𝑎2

𝑎2 = −1

longitud: 0 = −1 + 𝑎2 − 3𝑏2 + 𝑐2

𝐿0 = 𝐿−1𝐿𝑎2 𝐿−3𝑏2 𝐿𝑐2

𝑐2 = −1

Cuyos rendimientos: 2= Reconocemos el

𝜇 𝜌𝑉𝐷

como el inverso del número de Reynolds, entonces después de invertir:

⬚

2=

𝜌𝑉𝐷 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 = 𝑅𝑒 𝜇

PASO 6. Escribimos la relación funcional como: Relación entre Πs: 𝑆𝑡 = 𝑓(𝑅𝑒) Discusión: No podemos decir a partir del análisis dimensional la forma exacta de la relación funcional, sin embargo los experimentos verifican que el número de Strouhal es de hecho una función del número de Reynolds.

Conclusiones: C1. Se concluye que el método de repetición de variables es adecuado para hacer relaciones adimensionales ubicando los parámetros respectivos. C2. También se concluye que la relación adimensional de la frecuencia de derrame del vórtice que expresado en función del número de Reynolds. Recomendaciones: R1. Se recomienda tener conocimientos sobre el tema para poder aplicar correspondientemente la ecuación a utilizar y desarrollarlo correctamente. R2. Se recomienda tener en cuenta las variables a expresar y adimensionar, relacionando también sus exponentes para encontrar sus valores . Bibliografía: _ Yunus A. Çengel, John M. Cimbala. (2006). Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones. México: McGraw- Hill Interamericana. _FRANK M.WHITE. (2004). Mecánica de fluidos. España - Madrid: Mc Graw Hill. _ Emilio Rivera Chávez. (2001). ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD FISICA. Bolivia: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO - Facultad Nacional de Ingeniería

PREGUNTA Nº 3. Un sistema de entrega de líquido se diseña de tal modo que etilenglicol fluye por un agujero en el fondo de un gran tanque como en la figura mostrada. Los diseñadores necesitan predecir cuánto tardará en drenarse por completo el etilenglicol. Dado que sería muy costoso correr pruebas con un prototipo de tamaño real con el uso de etilenglicol, deciden construir un modelo a un cuarto de escala para las pruebas experimentales y planean usar agua como su líquido de prueba. El modelo es geométricamente similar al prototipo (según figuras esquemáticas mostradas). a) La temperatura del etilenglicol en el tanque prototipo es de 60°C a la que v=4.75 x 10^-6 m/s. ¿ A qué temperatura debe estar el agua en el experimento modelo con la finalidad de garantizar similitud entre el modelo y el prototipo? b) El experimento se corre con agua a la temperatura apropiada, según se calculó en la parte a) Toma 4.53 min drenar el tanque modelo. Prediga cuánto tardará drenar el etilenglicol del tanque prototipo.

Solución: Para este problema debemos calcular la temperatura del agua en una prueba de modelo para asegurar la similitud con el prototipo, y son para predecir el tiempo necesario para vaciar el tanque prototipo. Hipótesis: El modelo y prototipo son simétricamente similares. Análisis: Usaremos la relación funcional adimensional del tiempo de vacío. 𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜

𝑔 𝑑 𝐷 𝜌ℎ 𝑔ℎ =𝑓 , , … … (1) ℎ ℎ ℎ 𝜇

Dado que el modelo y el prototipo son simétricamente simmilares 𝑑 ℎ 𝐷 ℎ

= 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜

= 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜

𝑑 ℎ 𝐷 ℎ

𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜

𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑖𝑝𝑜

Entonces nos quedamos son uno solo para que coincida con la similitud. Es decir el parámetro numérico de Reynolds en la ecuación uno debe coincidir entre modelo y prototipo. Dado que la gravedad "g" permanece igual en cualquier caso y usando las variables "m" para el modelo y "p" para el prototipo. Similitud: 𝜌𝑔 𝑔ℎ 𝜇

𝜌𝑔 𝑔ℎ 𝜇

= 𝑚

𝑝

Esto lo podemos expresar como: 𝜌𝑚 𝜌𝑝 ℎ𝑝 = 𝜇𝑚 𝜇𝑝 ℎ𝑚 Luego reconocemos que :

3 2

… … (2)

𝑣=

Y sabemos que:

𝜇 𝜌

ℎ𝑝 =4 ℎ𝑚

Por tanto la ecuación (2) se reduce a: Similitud: 𝑣𝑚 = 𝑣𝑝

ℎ𝑝 ℎ𝑚

−

3 2

… … (3)

UNIDAD 0.00000475 m/s

vp(velocidad) vp=

5.9375E-07

Por similitud necesitamos encontrar la temperatura del agua donde la viscosidad cinemática es 5.94*10^-7 m/s. Por interpolación los diseñadores deben ejecutar la pruebas del modelo a una temperatura de agua de 45.8°C. Ahora la en condiciones dinámicamente similares la ecuación (1) será: 𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜

𝑔 ℎ

= 𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜 𝑝

𝑔 ℎ

𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜.𝑝 = 𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜.𝑚 𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜.𝑚 =

4.53 min

𝑡𝑣𝑎𝑐í𝑜.𝑝

9.06 min

… … (4) 𝑚

ℎ𝑝 … … (5) ℎ𝑚

Discusión: Configuramos la ecuaciones (3) y (5) en términos de relaciones de h p a hm para que no se necesiten las dimensiones reales, solo una proporción es necesario. Conclusiones: C1. Se concluye que el la temperatura del experimento modelo debe estar a 45.8°C para que garantice la similitus entre el modelo y prototipo C2. También se concluye que el tiempo en que se drene o vacíe en etilenglicol del tanque es de 9.06 minutos. Recomendaciones: R1. Se recomienda tener conocimientos sobre el tema para poder aplicar correspondientemente la ecuación a utilizar y desarrollarlo correctamente. R2. Se recomienda tener en cuenta la similitud entre los modelos experimentales y el prototipo para poder relacionar sus ecuaciones respectivas. Bibliografía: _ Yunus A. Çengel, John M. Cimbala. (2006). Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones. México: McGraw- Hill Interamericana. _FRANK M.WHITE. (2004). Mecánica de fluidos. España - Madrid: Mc Graw Hill. _ Emilio Rivera Chávez. (2001). ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD FISICA. Bolivia: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO - Facultad Nacional de Ingeniería