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COLEGIO SAN IGNACIO DE LOYOLA PERIODO 2 GUIA #2 Estudiante Área: Asignatura Docente:

______________________________________ Matemáticas. Álgebra. Yeisson Alexis Acevedo Agudelo.

Grado: 8 ° ___ Fecha: / 04 / 2017 Tipo de Guía: Concept. y ejercitación Tiempo de Duración: 2 unidades.

ESTANDARES DE DESEMPEÑO: 

1. Expresa relaciones en forma algebraica involucrando las propiedades de los números reales y el álgebra de polinomios en la solución de problemas matemáticos y de contexto estadístico.



2. Argumenta los procedimientos utilizados en la escritura y simplificación de expresiones algebraicas mediante el uso de productos notables en contextos matemáticos y estadísticos.

CONTEXTUALIZACIÓN: Se llaman productos notables a ciertos resultados que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección o memorización, es decir, sin realizar la multiplicación. El resultado de una multiplicación recibe el nombre de producto y cada una de las cantidades que se multiplican recibe el nombre de factor. Es así como en 2 x 3 x 5 = 30 se tiene que 2,3 y 5 son los factores y el 30 es el producto. El producto de dos o más cantidades puede dejarse expresado para luego simplificar o reducir dicho producto. Por ejemplo: a a + 3b +1 = a a  + a 3b  + a1 = a 2 + 3ab + a PRODUCTO EXPRESADO

PRODUCTO SIMPLIFICADO

Es de gran importancia que, como estudiante, aprendas a identificar y escribir rápidamente por inspección, o a simple vista, el producto de multiplicaciones que se acomodan a ciertas fórmulas. Nota: El estudio a conciencia de los productos y cocientes notables permite la adquisición de bases sólidas para luego poder factorizar expresiones algebraicas aplicando la reversibilidad. Entre los productos que se pueden resolver por simple inspección tenemos: 

El trinomio cuadrado perfecto, que resulta de elevar un binomio al cuadrado. (a  b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

1



El desarrollo del cubo de un binomio. (a  b) 3 = a 3 + 3a 2 b  3ab 2 + b 3



La diferencia de cuadrados, que resulta de multiplicar la suma por la diferencia de (a  b)(a  b)  a 2  b 2 dos cantidades.



El trinomio de la forma x 2  bx  c , que resulta de multiplicar dos binomios de la (a  3)(a  5)  a 2  2a  15 forma:  x  a  y  x  b  . Ejemplo:



El trinomio de la forma ax 2  bx  c , que resulta de multiplicar dos binomios de la (2a  7)(a  5)  2a 2  17 a  35 forma:  ax  b  y  cx  d  . Ejemplo:



El desarrollo de un binomio de Newton, que resulta de elevar un binomio a la potencia n, siendo n un número entero positivo.

Actividades: 1. Observe muy bien las siguientes multiplicaciones:

 a + b  2 =  a + b  a + b  a  a  + a  b  + b a  + b b  a 2 + ab + ab + b 2 2

a + 2ab + b

2

 x  3 2   x  3 x  3  x x   x 3  3 x   3 3  x 2  3 x  3 x  32  x2  6x  9

 a  b  2   a  b  a  b   a  a   a  b   b a   b b 

 x  3 2   x  3 x  3  x x   x 3  3 x   3 3

 a 2  ab  ab  b 2

 x 2  3 x  3 x  32

 a 2  2ab  b 2

 x2  6x  9

2. Luego de deducir los términos semejantes, ¿cuántos términos tiene el resultado de:

 a  b  2 ;  x  3 2 ;  a  b  2 ;  x  3 2 , ¿Es un monomio, binomio o trinomio?

3. ¿Qué signo tiene el primer y último término de cada resultado? 4. ¿Con relación al signo del segundo término de cada resultado que pudiste observar? 2 5. ¿Por qué  a  b  =  a  b  a  b  ? Justifique su respuesta de 2 ejemplos. 2 6. ¿Por qué  a  b   a 2  b 2 ? Justifique su respuesta y de 12 contraejemplos.

2

2 7. ¿Por qué  a  b    a  b  a  b  ? Justifique su respuesta de dos formas diferentes.

Actividades en el laboratorio de matemáticas: A) Exprese con palabras una fórmula que sintetice las expresiones que a continuación se presentan y elabore una demostración algebraica y geométrica de cada una. (Nota: Las demostraciones geométricas serán expuestas por equipos utilizando material concreto de las regletas Cusenaire o el Pentominó).

= x  2 xy  y  x  y  = x  2 xy  y  x  y  = x  3 x y  3 xy  y  x  y  = x  3 x y  3xy  y  x + y  x  y  = x  y  x  y  ( x  xy  y )= x  y  x  y 2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

3

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

3

B) Consulte en su dispositivo electrónico el desarrollo del binomio de Newton para n mayor que 4 e investigue la relación con el Triángulo de Pascal, construya una expresión para n=7. ¿Busque la manera de expresar estos resultados con el uso de las regletas o el Pentominó? En el equipo de trabajo enuncien una conclusión apoyada con el material concreto para poner en común con todo el grupo al salir al tablero. 8. Realice las siguientes operaciones:

a. e. i.

 6a  2

b  2 3a   5b  x 1 2

3 2

2

b.

9 4 m 

f.

2 x ha 1 3 x a  2

j.

2 3a 



2

2



 5b 







c.

2 4m 3 5n 6

g.

5 4a  2b 

k.

2 3a  5b 



d. h. l.

 7a

2

 7a

x

b3

  5a  2

x 2

 5b  5b  by

  5a  2

x 2

9. Traduzca cada enunciado a una expresión simbólica. “Pasar de un lenguaje ordinario al

simbólico”. a. c. e. g. i. k. m. o. q. s.

El cuadrado de a . b. El cuadrado de la suma entre a y b . b al cuadrado. d. El cuadrado de  a  b  .  m  n  al cuadrado. f. El producto de a y b .  a  b  multiplicado por sí mismo. a por a . h. m n El duplo de por . j. El doble de la suma de a y b . Elevar al cuadrado b . l. Elevar al cuadrado  m  n  . a más o menos b . m más o menos n . n. a menos b . b menos a . p. a b Menos el doble producto entre y . r. Más el duplo de a por b . El cuadrado de la suma de dos cantidades, siendo a la primera y b la segunda. 3

t. u.

v.

La primera cantidad al cuadrado menos la segunda al cubo, siendo a la primera y b la segunda. El cuadrado de la suma de dos cantidades, siendo a la primera y b la segunda, es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Menos dos veces a por b .

Dos problemas básicos: 1. Si el área de una baldosa cuadrada es x 2  8 x  16 , ¿qué medida tiene el lado de la baldosa?. 2. Una ficha cuadrada cuyo lado mide 4 cm, se coloca sobre un tablero cuadrado de lado x cm. El área del tablero libre corresponde a la expresión: 2 A)  x  4  cm 2 B) 16 cm 2

2 2 C) (x  16 ) cm D) x 2 cm 2

Nota: Para completar y afianzar los conceptos con productos notables debes continuar tu ejercitación con el libro de Baldor realizando los ejercicios 62, 63, 64, 65.

“El día que creí más oscuro, amaneció más rápido”.

4