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• Cristian

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1. OBJETIVOS.  Introducir conceptos básicos sobre modelado de sistemas lineales.  Empezar la transformada de LaPlace y sus propiedades para resolver ecuaciones diferenciales.  Encontrar las funciones de transferencia de distintos tipos de sistemas.  Estudiar la representación en espacio de estados.

2. FUNDAMENTO TEORICO.  Introducción. Para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema. Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra. Ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular. Dentro de este contexto, por lo general se emplea la representación en "variables de estado" aunque no por ello el método de "relación entrada-salida" deja de ser interesante a pesar de proporcionar menor información de la planta. Para uniformizar criterios respecto a las denominaciones que reciben los elementos que conforman un sistema de control es necesario tener en mente las siguientes definiciones: Planta Cualquier objeto físico que ha de ser controlado. Proceso Operación o secuencia de operaciones, caracterizada por un conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final a partir de un estado inicial. Sistema Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado. Perturbación Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema. Servomecanismo Sistema de control realimentado cuya salida es una posición mecánica.

Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado. Sistema de lazo abierto. Un sistema de lazo abierto es aquél donde la salida no tiene efecto sobre la acción de control. La exactitud de un sistema de lazo abierto depende de dos factores: a) La calibración del elemento de control. b) La repetitividad de eventos de entrada sobre un extenso período de tiempo en ausencia de perturbaciones externas. Un esquema típico de un control de lazo abierto se puede apreciar en la figura 1.1. En estase muestra que para que la temperatura del agua en el tanque permanezca constante es necesario que las temperaturas en las tomas de agua fria y caliente no sufran cambios. Otro factor que incide sobre el estado final de la salida es la temperatura de operación del proceso. Si por cualquier motivo esta cambia, entonces la salida cambia en casi la misma proporción.

Sistema de lazo cerrado. Un sistema de control de lazo cerrado es aquél donde la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control. La figura 1.2 dá un panorama general de un sistema de lazo cerrado donde se puede apreciar que la salida es medida y retroalimentada para establecer la diferencia entre en valor deseado y el valor obtenido a la salida, y en base a esta diferencia, adoptar acciones de control adecuadas. En las figuras de la 1.3 y 1.5 se dan dos ejemplos para sistemas de control de lazo cerrado. En cada una de estas figuras se puede apreciar que la parte fundamental para el control de la planta en cuestión es la red de retroalimentación que sensa el estado de la salida. En estos ejemplos se ha pretendido establecer que la naturaleza de las señales en un lazo de control no necesariamente en la misma, esto es, pueden estar involucradas diferentes tipos de señales por ejemplo, mecánicas, eléctricas, térmicas, hidraulicas,etc., dentro del mismo lazo. Funciones de transferencia. Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por ello que la ingeniería de control se considera un campo interdisciplinario. Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Donde: ai's y bi's son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida. Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuación integro-diferencial (1.1) en una ecuación algebraica considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresión: Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) tenemos: Esta última expresión es denominada la Funcion de transferencia de sistema. La función de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo está definida como: "La relación de la transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero". El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemático de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y la operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(s) Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de un sistema es la siguiente: 1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema. 2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro-diferenciales correspondientes a cada variable de interés. 3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iniciales cero. 4) Relacionar la variable de salida con las variables de entrada. Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estar conformado por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniería. Es por esta razón que a continuación se estudiarán los elementos así como las leyes de equilibrio de los sistemas más comunes como son: - Sistemas mecánicos. - Sistemas eléctricos. - Sistemas de nivel de líquidos. - Sistemas térmicos. 

Sistemas mecánicos.

Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de la vida común, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos de traslación que "la suma de fuerzas en un sistema, sean estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la aceleración a que esta sometida dicha masa".

3. DESAROLLO DEL LABORATORIO. 

Realizar en Matlab los ejercicios propuestos por el docente en laboratorio.

a) Sistema mecanico Masa-Resorte-Amortiguador. 

MEDIANTE LAPLACE. Ecuaciones del sistema:

∑ 𝐹 = 𝑚𝑥𝑎 𝑢(𝑡) − 𝑏 ∗ 𝑦(𝑡) − 𝑘 ∗ 𝑦(𝑡) = 𝑚 ∗ 𝑦 .. (𝑡)

Aplicando Laplace en la ecuacion: 𝑈(𝑠) − 𝑠 ∗ 𝑏𝑌(𝑠) − 𝑘𝑌(𝑠) = 𝑚 ∗ 𝑠 2 𝑌(𝑠) La funcion de transferencia sera: 𝑌(𝑠) 1 = 𝐺(𝑠) = 2 𝑈(𝑠) 𝑚𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘

𝐺(𝑠) =



𝑚𝑠 2

1 + 𝑏𝑠 + 𝑘

MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO. 𝑥1 (𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝑦 . (𝑡) 𝑥2 . (𝑡) = 𝑦 .. (𝑡) Derivando e igualando tendriamos: 𝑥 .1 = 𝑥2

𝑥.2 = −

𝑘 𝑏 1 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑢 𝑚 𝑚 𝑚

Representando mediante matrices: 0 𝑥1. [𝑥 . ] = [ 𝑘 − 2 𝑚

1 0 𝑥 𝑏 ] [ 1] + [ 1 ] 𝑢 𝑥2 − 𝑚 𝑚 𝑥1 𝑦 = [1 0] [𝑥 ] 2

Sabemos: 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷



MEDIANTE MATLAB. En command window: syms k b m s >> %definicion de matrices

>> A=[0 1;-k/m -b/m]; >> B=[0;1/m]; >> >> C=[1 0]; >> D=0; >> I=[s 0;0 s]; >> G1=C*(I-A)^(-1)*B+D;pretty(G1)

1 -------------2 ms +bs+k >> %determinando la posicion de M con una F=3n;m=1;b=1;k=2 >> n=1;d=[1 2 1]; >> G2=tf(n,d); >> figure(1) >> step(3*G2)%debido ala fuerza de 3N. >> n=1;d=[1 1 2]; >> G3=tf(n,d); >> figure(2) >> step(3*G3)%debido ala fuerza de 3N. Grafica que obtenemos:

Otro metodo: (creando un labo2dug) Sabiendo: 𝐺(𝑠) = %Determinar la posicion de M con un F=3N n=1;d=[1 1 2]; G2=tf(n,d); figure(1) step(3*G2)%fuerza de 3N A=[0 1;-2 -1]; B=[0;1]; C=[1 0]; D=0;

𝑠2

3 +𝑠+2

G1=ss(A,B,C,D) figure(2) step(3*G1),grid %fuerza de 3N

a= x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -1

b= u1 x1 0 x2 1

c= x1 x2 y1 1 0

d= u1 y1 0 Continuous-time model.

%segundo metodo de matlab. num=[3];den=[1 1 2 0]; [r,p,k]=residue(num,den) [num,den]=residue(r,p,k) %tenemos las siguientes fracciones parciales r = -0.7500 + 0.2835i -0.7500 - 0.2835i 1.5000 p = -0.5000 + 1.3229i -0.5000 - 1.3229i 0 k = []

No podemos realizar la descomposicion por este otro metodo debido alos imaginarios.

𝑋(𝑠) =

𝑠3

3 + 𝑠 2 + 2𝑠

4. INFORME FINAL. 1. Explicar cada una de los comandos utilizados en laboratorio y su aplicación a sistemas de control. Como ya se ha comentado al hablar de las referencias de función, en MATLAB existen funciones a las que hay que pasar como argumento el nombre de otras funciones, para que puedan ser llamadas desde dicha función. Así sucede por ejemplo si se desea calcular la integral definida de una función, resolver una ecuación no lineal, o integrar numéricamente una ecuación diferencial ordinaria (problema de valor inicial). Estos serán los tres casos –de gran importancia práctica– que se van a ver a continuación. Se comenzará por medio de un ejemplo, utilizando una función llamada prueba que se va a definir en un fichero llamado prueba.m. Para definir esta función, se debe elegir FILE/New/M-File en el menú de MATLAB. Si las cosas están "en orden" se abrirá el Editor&Debugger para que se pueda editar ese fichero. Una vez abierto el Editor, se deben teclear las 2 líneas siguientes: function y=prueba(x) y = 1./((x-.3).^2+.01)+1./... ((x-.9).^2+.04)-6; guardándolo después con el nombre de prueba.m. La definición de funciones se ha visto con detalle en el apartado 6.3.2, a partir de la página 68. El fichero anterior ha definido una nueva función que puede ser utilizada como cualquier otra de las funciones de MATLAB. Antes de seguir adelante, conviene ver el aspecto que tiene esta función que se acaba de crear. Para dibujar la función prueba, tecléense los siguientes comandos: >> x=-1:0.1:2; >> plot(x,prueba(x)) El resultado aparece en la Figura 1. Ya se está en condiciones de intentar hacer cálculos y pruebas con esta función.

. Plot: Grafico lineal en el plano XY 2. Obtener graficas tanto desde el Command Window de Matlab como de Simulink y compararlas. Comentar. Como se vio en este laboratorio se realizo dos graficas una con simulink y otra con el command window.

Como se observa la primera es con el command Windows y la segunda es directamente con el “SCOPE” del Simulink , la primera diferencia seria el tiempo también la practica pero para mi es mas rápido realizarla mediante el “SCOPE” diagrama de bloques aunque Con el Command Windows se los puede modificar y mejora mas la grafica y poner su respectiva información a nuestro criterio. 3. Crear distintos archivos.m y explicar su función. Qué es un Archivo.m? Un archivo.m, o script file, es un simple archivo de texto donde se introducen comandos o instrucciones de Matlab. Cuando se corre el archivo, Matlab lee los comandos y los ejecuta secuencialmente exactamente como si se los estuviera tipeando en ese momento en el prompt. Todo

archivo-m debe tener extensión '.m' (ej. plot.m). Si crea un nuevo archivo-m con el nombre de uno que ya existe, Matlab elegirá aquel que aparezca primero en el listado de paths (help path para más información). Para facilitarse la vida, siempre cree sus archivos-m con nombre distinto que los existentes. Para ver si un archivo-m existe, tipee help nombre_archivo.m en el prompt del Matlab . Para qué usar los archivos.m? Ingresar los comandos en el prompt (>> ) del Matlab es rápido y eficiente si el problema es simple. Sin embargo, a medida que aumenta la cantidad de comandos, o si se requiere cambiar los valores de las variables cuando se trabaja con prueba-error; tipear los comandos una y otra vez se torna tedioso. De manera que los archivos-m resultan de gran ayuda y muy necesarios en estos casos. Cómo crear, salvar o abrir un archivo.m? Si está usando PC o Mac:   

Para crear un archivo-m, elija New en el menu File y seleccione archivo-m. Este procedimiento levanta el editor de texto en el cual se pueden escribir los comandos. Para salvarlo , simplemente pinche en el menú File y elija Save (recuerde salvar con extensión '.m' ). Para abrir un archivo-m existente vaya al menú File y elija Open .

Cómo correr un archivo.m? Después que un archivo-m fué salvado con el nombre filename.m en la carpeta del Matlab, puede ejecutar los comandos del archivo.m simplemente tipeando filename en el prompt del Matlab. Si no quiere correr todos los comandos del archivo.m , puede copiar los que sí quiera del archivo.m y pegarlos en el prompt del Matlab.

5. CUESTIONARIO. a) ¿En qué unidades se definen los ángulos de Matlab?  Se definen en radianes. b) Explicar el uso de las herramientas: Ident, Sisootol, Simulink.

 SISOTOOL. Sisotool es una herramienta gráfica que permite el análisis de sistemas lineales. En el presente manual se explica el manejo de esta herramienta para obtener y analizar el lugar de las raíces de un sistema. Lo haremos con un ejemplo sencillo:

Para un sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es

queremos dibujar el lugar de las raíces, es decir, el lugar geométrico que describen los polos del sistema en lazo cerrado para distintos valores de K. Esto equivale a determinar el lugar geométrico de las soluciones de la ecuación característica cuando varía K:

Llamada a la herramienta sisotool En primer lugar, definimos la función de transferencia del sistema: >> s = tf('s'); G = 1/(s+2), Transfer function: 1 ----s+2 >>

Para llamar a la herramienta sisotool utilizamos el comando del mismo nombre >> sisotool(G) >>

Elementos de la ventana principal de sisotool La ventana del sisotool nos muestra a la izquierda el lugar de las raíces del sistema G(s) cuando lo realimentamos. A la derecha nos muestra el diagrama de Bode en cadena abierta, tanto de amplitud como de fase, correspondiente a la ganancia indicada en la ventana 'Current compensator' ('controlador actual'). Los polos y ceros del sistema en cadena abierta se muestran como y respectivamente. Los polos en cadena cerrada se muestran como cuadrados . En el ejemplo de la figura, realimentando el sistema G(s), con un regulador proporcional de ganancia uno ('Current compensator'), nos daría un polo en cadena cerrada en -3. El lugar de las raíces es una línea que parte del polo en cadena abierta y termina en .

Modificación de la ganancia del controlador Si queremos ver qué posición toman los polos en cadena cerrada cuando variamos la ganancia lo podemos hacer cambiando el valor de la ganancia del controlador. En este caso, al variar la ganancia a 3.49, cambia automáticamente la posición del polo en cadena cerrada. Otra opción es arrastrar el polo en cadena cerrada hasta la posición deseada, y que sisotool calcule el valor de la ganancia para que en cadena cerrada el polo tome esa posición.

 SIMULINK. SIMULINK es un paquete de software para modelar, simular y analizar sistemas dinámicos. Soporta sistemas lineales y no lineales, modelados en tiempo continuo, muestreados o un híbrido de los dos. Los sistemas pueden ser también multifrecuencia, es decir, tienen diferentes partes que se muestrean o actualizan con diferentes velocidades. Para modelar, SIMULINK proporciona una interfaz de usuario gráfica (GUI) para construir los modelos como diagramas de bloques, utilizando operaciones con el ratón del tipo pulsar y arrastrar. Con esta interfaz, puede dibujar los modelos de la misma forma que lo haría con lápiz y papel (o como lo representan la mayoría de los libros de texto). Esto es un cambio radical respecto a los paquetes de simulación previos que requieren que formule las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencia en un lenguaje o programa. SIMULINK incluye una amplia biblioteca de bloques de sumideros, fuentes, componentes lineales y no lineales y conectores. Puede también personalizar y crear sus propios bloques. Los modelos son jerárquicos, es decir, puede construir modelos utilizando una metodología descendente y ascendente. Puede visualizar el sistema en un nivel superior, desde donde mediante un doble clic sobre los bloques puede ir descendiendo a través de los niveles para ver con más detalle el modelo. Esto le proporciona una comprensión de cómo se organiza un modelo y cómo interactúan sus partes. Después de definir un modelo, puede simularlo utilizando cualquiera de los métodos de integración que tiene a su disposición o bien desde el menú de SIMULINK o introduciendo órdenes desde la ventana de órdenes de MATLAB. Los menús son apropiados para un trabajo interactivo; mientras que el enfoque de línea de orden es muy útil para ejecutar un lote de simulación (por ejemplo, si está haciendo simulaciones de Monte Carlo o necesita barrer un parámetro a través de un rango de valores). Utilizando bloques Scopes y otros bloques de visualización, puede ver los resultados de la simulación mientras se está ejecutando. Además, puede cambiar los parámetros y ver de forma inmediata lo que sucede en exploraciones del tipo "que sucede si". Los resultados de la simulación se pueden transferir al espacio de trabajo de MATLAB para su posterior postprocesamiento y visualización. Las herramientas de análisis de modelo que incluyen linealización y determinación de estados estacionarios pueden ser accedidas desde la línea de orden de MATLAB, así como las muchas utilidades que MA TLAB y sus toolboxes de aplicación poseen. y como MATLAB y SIMULINK están integrados, pueden simular, analizar y revisar sus modelos en uno u otro entorno en cualquier momento. c) ¿Cuáles son las funciones del ODE 23, SYMS?  MATLAB contiene dos funciones para calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias; "ode23" y "ode45". A continuación se describen los argumentos de los comandos MATLAB ODE. [x,y] = ode23('función',a,b,inicial) Esta instrucción regresa un conjunto de coordenadas "x" y "y" que representan a la función y=f(x), los valores se calculan a través de métodos Runge-Kuta de segundo y tercer orden. El nombre "función", define una función que representa a una ecuación diferencial ordinaria, ODE23 proporciona los valores de la ecuación diferencial y'=g(x,y). Los valores "a" y "b" especifican los extremos del intervalo en el cual se desea evaluar a la función y=f(x).

El valor inicial y = f(a) especifica el valor de la función en el extremo izquierdo del intervalo [a,b]. [x,y] = ode45('función',a,b,inicial) Esta instrucción regresa un conjunto de coordenadas "x" y "y" que representan a la función y=f(x), los valores se calculan a través de métodos Runge-Kuta de cuarto y quinto orden. El nombre "función", define una función que representa a una ecuación diferencial ordinaria, ODE45 proporciona los valores de la ecuación diferencial y'=g(x,y). Los valores "a" y "b" especifican los extremos del intervalo en el cual se desea evaluar a la función y=f(x). El valor inicial y = f(a) especifica el valor de la función en el extremo izquierdo del intervalo [a,b]. Las instrucciones "ODE23" y "ODE45" contienen dos parámetros adicionales. Se usa un quinto parámetro para especificar una tolerancia relacionada con el tamaño del paso; las tolerancias por omisión son 0.001 para ODE23 y 0.000001 para ODE45. Existe un sexto parámetro que sirve para solicitar que la función exhiba resultados intermedios, es decir, que realice rastreo; el valor por omisión "0" indica que no se desean rastrear los resultados. Como ilustración de la función ODE de MATLAB, se presentan los pasos para calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, las siguientes instrucciones MATLAB definen las funciones requeridas para evaluar la ecuación diferencial deseada. function dy = g1(x,y) % % g1 % esta función evalúa una ODE % ecuación diferencial de primer grado % dy = 3*x.^2; El siguiente paso consiste en grabar este archivo como "g1.m", sobre algún subdirectorio de trabajo valido para el MATLAB, las siguientes instrucciones resuelven g(x,y) dentro del intervalo [2,4] con condición inicial 0.5 para y=f(2). % Determinar la Solución de la EDO % % dy = 3*x.^2; % [t,y] = ode23('g1',[2,4],0.5); plot(t,y,'o'),... title('Solución de la Ecuación dy = 3*x.^2'),... xlabel('Tiempo'),ylabel('y = f(t)'),grid Sobre el subdirectorio de trabajo valido se graba este archivo como "mat1.m" y se escribe mat1, generándose la siguiente solución gráfica.

 SYMS. Crea variables simbólicas tipo x,y MATLAB incluye Matlab simbolic Toolbx, que es una herramienta que nos permite hacer cálculos simbólicos, que van desde el algebra básica, solución de ecuaciones resolución de derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales. Esto lo hace trabajando con una nueva variable, que es la variable simbólica que se representa como: X=syms(X)

d) ¿Qué es un sistema lineal y no lineal?

 SITEMAS LINEALES Y NO LINEALES. Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado (homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades. Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de de escalado se debe mostrar que H (kf(t))=kH(f(t))(1)

Figure 1: Un diagrama de bloque demostrando la propiedad de escalado de linealidad Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposición de linealidad se debe mostrar que: H(f1(t)+f2(t))=H(f1(t))+H(f2(t))(2)

Figure 2: Un diagrama de bloque demostrando la propiedad de superposición de linealidad Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hace esto, simplemente combinamos los dos primero pasos para obtener H(k1f1(t)+k2f2(t))=k2H(f1(t))+k2H(f2(t)) Ejemplos: Sistema de lazo abierto. Un sistema de lazo abierto es aquél donde la salida no tiene efecto sobre la acción de control. La exactitud de un sistema de lazo abierto depende de dos factores: a) La calibración del elemento de control. b) La repetitividad de eventos de entrada sobre un extenso período de tiempo en ausencia de perturbaciones externas. Un esquema típico de un control de lazo abierto se puede apreciar en la figura 1.1. En estase muestra que para que la temperatura del agua en el tanque permanezca constante es necesario que las temperaturas en las tomas de agua fria y caliente no sufran cambios. Otro factor que incide sobre el estado final de la salida es la temperatura de operación del proceso. Si por cualquier motivo esta cambia, entonces la salida cambia en casi la misma proporción.

Sistema de lazo cerrado. Un sistema de control de lazo cerrado es aquél donde la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control. La figura 1.2 dá un panorama general de un sistema de lazo cerrado donde se puede apreciar que la salida es medida y retroalimentada para establecer la diferencia entre en valor deseado y el valor obtenido a la salida, y en base a esta diferencia, adoptar acciones de control adecuadas. En las figuras de la 1.3 y 1.5 se dan dos ejemplos para sistemas de control de lazo cerrado. En cada una de estas figuras se puede apreciar que la parte fundamental para el control de la planta en cuestión es la red de retroalimentación que sensa el estado de la salida. En estos ejemplos se ha pretendido establecer que la naturaleza de las señales en un lazo de control no necesariamente en la misma, esto es, pueden estar involucradas diferentes tipos de señales por ejemplo, mecánicas, eléctricas, térmicas, hidraulicas,etc., dentro del mismo lazo.

6. BIBLIOGRAFIA.      

Matlab, curso Introductorio.centro Brasileño de Pesquisas Físicas. Manual básico de Matlab, apoyo a la Investigacion CPD. Aprenda Matlab 7.0 Gracia de Jalon, Javier; Rodríguez José I.; Vidal Jesús. Simulink . The Math Works Inc. Solucion de problemas de Ingenieria con Matlab.Etter, Delores. Problemas de ingeniería de Control Utilizando Matlab .Ogata, Katsuhiko.