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I

II

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA II MÓDULO II

DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CONTENIDOS Unidad IV: José Luis Flores, UNA Unidad V : Ramón Chacón, UNA José Luis Flores, UNA Alejandra Lameda, UNA

REVISIÓN DE CONTENIDO Unidad IV: Walter Beyer, UNA Alejandra Lameda, UNA Mauricio Orellana, UCV Unidad V : Ramón Chacón, UNA Alejandra Lameda, UNA José Luis Flores, UNA

DISEÑO INSTRUCCIONAL Mauricio Orellana, UCV

REVISIÓN GENERAL José Luis Flores, UNA Alejandra Lameda, UNA

MATERIAL EN EXPERIMENTACIÓN III

IV

PRESENTACIÓN DEL CURSO DE MATEMÁTICA II Este texto corresponde al segundo curso de Matemática del CICLO DE LOS ESTUDIOS GENERALES DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA y el mismo es una continuación de Matemática Ι (175−176−177). El primer curso de Matemática II se ofreció en el año 1980 y el mismo lo conformaban cinco módulos, siendo el último un módulo diferenciado, dependiendo de la carrera escogida por el estudiante. Este curso fue modificado en 1984 y en esa oportunidad se decidió la unificación en un solo grupo de contenidos para las distintas carreras. Es así que se elaboró un solo texto donde se trataban los temas de : funciones, álgebra lineal en IR2 y IR3, cónicas, límites, continuidad y cálculo diferencial. Después del paso de los años gran parte de la comunidad universitaria ( personal académico del Área de Matemática, asesores de los Centros Locales, autoridades, personal docente de otras áreas académicas y estudiantes) plantean un conjunto de inquietudes que llevan a una revisión de los contenidos de los cursos de Matemática de la Universidad y en particular de los cursos de Matemática de los Estudios Generales: Matemática Ι y Matemática ΙΙ. Como consecuencia de estas inquietudes, a mediados del año 1993, las autoridades de la Universidad deciden realizar un cambio en estos cursos y se lleva a cabo un proyecto, liderizado por el profesor Mauricio Orellana, para la elaboración de los nuevos materiales instruccionales de los cursos de Matemática I y Matemática II de Estudios Generales. Para cumplir esta tarea se realizó un estudio con el fin de detectar las necesidades inherentes con los cambios, fundamentándose en particular, en entrevistas, encuestas, informes de congresos, programas de cursos similares en otras instituciones y diversas discusiones con los actores del escenario circundante a esta temática, dentro y fuera de la Universidad, detectándose ciertas deficiencias que hemos tratado de corregir en estos nuevos cursos, como son entre otras: los contenidos, el diseño y la manera de abordar y explicar los tópicos estudiados. Es así que se consideró que los nuevos textos deben tener ciertas características que rompan con el modelo tradicional de enseñar matemática siguiendo un esquema rígido. Además de tener un diseño que combine aspectos para fomentar el desarrollo de procesos importantes para la comprensión de la matemática como son: observar, comparar, relacionar, clasificar, analizar, discutir, sintetizar y generalizar. Para lograr este objetivo hemos incorporado en el texto los siguientes elementos: 〈

Cuadros resúmenes de repaso.

〈

El diseño de las páginas en forma de L de tal manera de desarrollar el contenido en la parte interna de la L y colocar pie de páginas o notas al margen en la parte exterior de la L, sobre aspectos importantes del tema tratado o pequeñas reseñas históricas, evitando distraer al estudiante de lo esencial.

〈

Iconos colocados al margen del texto que alerten sobre la importancia o característica del punto tratado o de la realización de una actividad.

〈

Resaltar lo esencial.

〈

Repetir cuando sea necesario contenidos desarrollados en temas anteriores con el fin de no distraer al estudiante retrocediendo constantemente a unidades o páginas anteriores.

〈

Resolver y proponer ejercicios que tengan connotación histórica o del tipo “matemática recreativa” o que pudieran tener relación con el contorno que nos rodea.

〈

Graduación de los ejercicios por dificultades en cuanto a habilidades y niveles de razonamiento. V

〈

Diagramación bifurcada, cuando sea necesario escribiendo en varias columnas con el objeto de comparar y relacionar.

Además hemos incorporado como material de apoyo al curso: videos donde se desarrollan teleclases y audios con guías de actividades que permitan reforzar contenidos abordados en el texto (este material no se encuentra disponible con esta Primera Edición Experimental del texto, pero se incorporará en ediciones futuras). El texto de Matemática ΙΙ está conformado por cuatro módulos de aprendizaje, tres comunes y uno diferenciado ( uno para las carreras de: Administración y Contaduría; y otro para las carreras de: Matemática, Ingeniería y Educación mención Matemática ). Módulos comunes Módulo I:

Límites y Continuidad de Funciones Reales de Variable Real

Módulo II: Derivadas de Funciones Reales de Variable Real Módulo III: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales Módulos diferenciados Módulo IV: Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática ( Parte II ) (Ingeniería, Matemática y Educación, mención Matemática) Módulo IV: Aplicaciones de las Funciones a las Ciencias Administrativas. El Análisis Marginal y el Modelo Input−Output (Administración y Contaduría ) En el módulo Ι retomamos los conceptos de límite y continuidad introducidos en Matemática Ι (175− 176−177), tratando estos temas con mayor profundidad en cuanto al nivel de los contenidos e incorporando nuevas técnicas para el cálculo de límites. En el módulo ΙΙ tratamos el concepto de derivada y los tópicos relacionados con el mismo hasta concluir con la graficación de funciones de una variable. El tercer módulo lo dedicamos al estudio de las matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. El módulo Pensamiento Matemático y Modelando con Matemática es una continuación del módulo identificado con el mismo nombre en el curso de Matemática Ι (175−176−177). Se estudian procedimientos para demostrar y se retoman los modelos matemáticos, utilizando los conceptos estudiados en los módulos anteriores como es el caso de las matrices y el concepto de derivada. El módulo dirigido a los estudiantes de Administración y Contaduría desarrolla distintas aplicaciones de las funciones para modelar diversos aspectos de las Ciencias administrativas usando herramientas del cálculo diferencial. Es propicio hacer mención especial a los profesores de la Universidad Nacional Abierta: Brunequilde Gil, Pedro Torres, María Ramírez y Esvan Nuñez, por su destacada colaboración en la revisión de una versión preliminar de este texto. ! Gracias por sus observaciones ! Para concluir esperamos que este material sea del agrado de todos y que pueda servir para mejorar la calidad de educación del estudiante y en particular del estudiante UNA. Agradecemos nos hagan llegar a través del Área de Matemática (e-mail [email protected],ve) o de los Asesores de Matemática de los distintos Centros Locales, cualquier sugerencia y comentario que nos permita mejorar este material en futuras ediciones.

VI

RELACIÓN ENTRE MÓDULOS Y UNIDADES DEL CURSO DE MATEMÁTICA II

Unidad I Módulo I

Unidad II

Unidad III

Unidad IV Módulo II Unidad V

Unidad VI Módulo III Unidad VII

Módulo IV

Unidad I

Ingeniería, Matemática y Educación Matemática

Unidad II

Módulo IV

Unidad I

Administración y Contaduría

Unidad II

Nota: Las flechas que no tienen trazo continuo indican que solamente se utilizan algunos conceptos y resultados de la unidad ubicada al inicio de la flecha. VII

ORIENTACIONES GENERALES Para facilitarte el logro de los objetivos previstos en este Módulo, que forma parte del curso de MATEMÁTICA II te indicaremos algunas orientaciones de utilidad en el desarrollo de las actividades previstas en el mismo. 〈 En primer lugar, lee la presentación o introducción del módulo y su objetivo, que te proporcionan un panorama global de lo que se intenta lograr. El módulo se divide en Unidades de Aprendizaje y cada una comprende, a su vez, diversos temas. 〈 En segundo lugar, en el momento que inicies el estudio de cada unidad de aprendizaje, lee los objetivos y la presentación o introducción de la Unidad en cuestión, la cual te suministra información acerca de lo que se pretende que alcances cuando finalices el estudio de dicha unidad. Las Unidades de Aprendizaje se dividen en temas enumerados con dos dígitos. El primer dígito indica la unidad y el segundo la sección. A la presentación también le asignamos un par de dígitos. Cuando algunos temas están subdivididos en subtemas en éstos la numeración tiene tres dígitos. En el desarrollo del módulo encuentras lo siguiente: 1. Objetivo del Módulo. 2. Objetivos de las unidades de aprendizaje. 3. Presentación del Módulo y de las distintas unidades de aprendizaje. 4. Ejemplos, ejercicios, problemas y ejercicios propuestos que te sirven para adquirir familiaridad con los conceptos y proposiciones que se dan. Los ejemplos, ejercicios y problemas, corresponden a tres categorías según sus dificultades y niveles de razonamiento como se especifica: Ejemplos: Son ejercicios para adquirir habilidades de cálculo y en general son de tipo operatorio. Con los ejemplos se intenta aclarar o ilustrar los conceptos y se trata de aplicar directamente fórmulas, proposiciones y teoremas. Ejercicios: Incluyen desde cálculos no inmediatos, pasando por la interpretación de un hecho, hasta demostraciones breves. En muchos de estos ejercicios se requiere realizar algún razonamiento que combine varios pasos, es decir, donde hay una integración de conocimientos. Para la resolución de estos ejercicios se requiere, frecuentemente, el haber desarrollado las habilidades de cálculo suministradas por los ejemplos. Problemas: Corresponden al nivel mayor de exigencia matemática, pues hay más integración de conocimientos, con pasos y razonamientos más profundos. De éstos hemos colocado sólo unos pocos. Además hemos incluido secciones de Ejercicios Propuestos los cuales te servirán para poner en práctica los conocimientos adquiridos. Las soluciones de los ejercicios propuestos se encuentran al final del módulo. Debes hacer todo el esfuerzo necesario para resolver los ejercicios propuestos aun cuando no llegues a la solución final en algunos de ellos. En las dificultades que encuentres al abordar estos ejercicios, con el fin de resolverlos, descubrirás una forma de aprendizaje de gran importancia para tí. VIII

Las soluciones de los ejercicios propuestos se presentarán en general con todos los detalles posibles, en algunos casos en forma parcial, en otros con sugerencias y en última instancia con la simple respuesta, todo dependerá de las dificultades de cada uno de ellos. En los Ejercicios Propuestos se distinguen los tres niveles de razonamiento indicados anteriormente, respectivamente, sin colocar asteriscos o con un asterisco o dos asteriscos, al margen de la página donde figura el enunciado respectivo. Además de los ejercicios propuestos, y a medida que desarrollamos los contenidos programáticos, formulamos preguntas o se propone alguna actividad, con respuestas breves, cuyo objetivo es aclarar algún aspecto puntual del tópico que se está explicando. Estas preguntas y actividades se manifiestan mediante expresiones como las siguientes: ¿por qué?. Efectúa el cálculo, u otras análogas. Si todavía te surgen dudas o no sabes responderlas, te recomendamos acudir al Asesor de Matemática del Centro Local más cercano al lugar donde te encuentres. 5. En el módulo encontrarás autoevaluaciones que te servirán para verificar el logro de los objetivos. Si las resuelves con seriedad y responsabilidad, te prepararán para responder con cierta versatilidad las evaluaciones del curso. Además te darán insumos suficientes sobre el avance alcanzado por ti a esa altura del curso. Las soluciones de las autoevaluaciones las hallarás inmediatamente después que concluyan las mismas. Se te recomienda que hagas todo el esfuerzo necesario para resolver responsable y seriamente estas autoevaluaciones. Recuerda que la responsabilidad es contigo mismo, no trates de engañarte. A medida que vayas adquiriendo práctica, te darás cuenta que no es necesario detallar tanto las respuestas. Notarás también que hay muchos ejercicios y ejemplos que requieren de muchas cuentas, es importante que las hagas todas, debido a la diversidad de casos presentados en cada solución, de esa manera obtendrás la experiencia necesaria para abordar cualquier problema de este nivel. El objetivo de estos detalles analíticos en cada respuesta es que detectes todas las estrategias usadas y te des cuenta de que no hay una respuesta modelo para resolver los problemas, notarás la diferencia en la resolución de cada ejercicio. Si combinas las técnicas adquiridas en las soluciones con un razonamiento geométrico, te estarás preparando para ser una persona crítica y consciente de lo que aprende.

6. Al finalizar el Módulo encontrarás: Resumen del Módulo, ahí se destacan los aspectos más importantes desarrollados en el mismo. Glosario de términos, donde se dan los conceptos y enunciados importantes del Módulo. Notas históricas (al finalizar algunas unidades) Bibliografía Comentada. La misma te servirá para obtener información adicional, estudiar ejercicios resueltos, resolver ejercicios propuestos ( con la terminología utilizada por los libros recomendados) y estudiar otros enfoques sobre algunos temas que aquí se desarrollan. Indice analítico, el cual te indicará la página donde encontrarás los conceptos tratados en el curso. 7. El diseño de las páginas donde se desarrollan los contenidos programáticos comprende, además de los contenidos, lo siguiente: IX

Notas de pie de página que complementan algún aspecto del tópico desarrollado, dan alguna información de tipo histórico o alguna reseña bibliográfica. Notas al margen para llamar la atención sobre el tópico desarrollado, recordar una fórmula, proposición o concepto de los estudiados en unidades de aprendizaje anteriores o en estudios previos al curso. Cuadros resúmenes de repaso acerca de contenidos que se necesitan para el desarrollo de la unidad y que debes conocer por tus estudios previos. En algunos casos se presentan formatos en varias columnas con el fin de que compares las distintas formas de presentar el tema o la respuesta a un determinado ejercicio. Además hemos usado un conjunto de íconos al margen del texto indicando lo siguiente: hincapié en la importancia de lo tratado en ese lugar, como es el caso de definiciones, teore☞ó☞ Hace mas, etc.

?

Indica que se hacen preguntas importantes que serán respondidas a continuación.

Se refiere a que hay ejercicios propuestos.

9

Se recomienda ver un videocasete como apoyo al tema desarrollado. Se recomienda oír un audiocasete y trabajar con la guía de actividades como apoyo al tema desarrollado. Se recomienda el uso de calculadoras científicas.

’

Indica que se está dando el tiempo requerido para resolver las autoevaluaciones. También usamos algunos símbolos que significan lo siguiente:

ˇ Indica que se está comenzando a resolver un ejemplo, ejercicio, problema o demostración de una proposición o teorema.

n Indica que se llegó al final de la resolución del ejemplo, ejercicio, problema o demostración de una proposición o teorema

® Indica el final del enunciado de una definición, teorema o proposición. 〈♥≈⁄ Se usan como separadores de items. Algunos símbolos matemáticos utilizados son:

∪   X

Aproximadamente Pertenece No pertenece



Contenido o incluido en ( también se usa  )

→ ÷ ⌠ ≤

Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Conjunto Vacío Implica Si y sólo si o si y solamente si ( doble implicación) Ángulo



Algunas notaciones usadas N, Z, Q, R o IR

N*, Z*, Q*, R* o IR* IR2 , IR3, y IRn

AB A −B

Denotan, respectivamente, los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales y reales Denotan, respectivamente N−{0} , Z−{0}, Q−{0} y R−{0} Denotan el espacio bidimensional, tridimensional y n-dimensional, respectivamente Longitud del segmento de extremos A y B Diferencia de los conjuntos A y B ( { x: xA y xB} )

log

logaritmo decimal (en base 10)

Ln

logaritmo neperiano (en base e)

lim f(x)

x →x 0

f ′ , f ′′

Denota el límite de f(x) cuando x tiende a x0 Primera y segunda derivada de la función f, respectivamente.

f (n)

Derivada de orden n de la función f

df dx

Derivada de la función f respecto a la variable x

( aij )mxn At det A In -1

A

Matriz de orden mxn Traspuesta de la matriz A Determinante de la matriz A Matriz identidad de orden n Matriz inversa de la matriz A

x.y

Producto escalar de los vectores x e y

+T

Mas infinito

-T

Menos infinito

resp.

Respectivamente

XI

Así, la velocidad media no es constante y no obtenemos información sobre el movimiento de la partícula en cualquier instante particular, como deberíamos esperar. Por ejemplo, si un móvil recorre 300 kilómetros en 2 horas su velocidad media será:

vm =

300 km km = 150 2 h h

En este caso hablamos de su velocidad media, pero no podemos decir nada acerca de su velocidad en un tiempo particular t0 durante el transcurso de las 2 horas de su movimiento; es decir, no tenemos información sobre su velocidad instantánea en el tiempo t0  [0,2].

 e(t) − e(t 0 )   e(t + ∆t) − e(t 0 )   = lím  0 v(t 0 ) = lím  . − ∆t t t  t → t0  0  t → t0 

El signo de la velocidad instantánea se le asigna según la dirección del movimiento de la partícula, si se mueve a la derecha será positiva y si se mueve a la izquierda será negativa. Si la velocidad instantánea es cero, se dice que el móvil esta en reposo. La rapidez de una partícula es el valor absoluto de la velocidad instantánea |v(t)| en un tiempo particular t, por lo que la rapidez es siempre positiva. La rapidez nos indica lo veloz del movimiento de una partícula, a diferencia de la velocidad instantánea, la cual da información sobre la dirección de su movimiento, además de lo rápido que puede moverse la partícula. Ejemplo 4.5.1 Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación del movimiento dado por e(t)=2t 3-4t 2+2t-1. Determina los intervalos de tiempo para los cuales la partícula se mueve a la derecha o a la izquierda, y el instante en que la partícula cambia de dirección. p Calculamos en primer lugar, la velocidad instantánea en un tiempo t=t0 cualquiera, luego  e(t) - e( t )   2 t3 - 4 t2 + 2t - 1 - (2 t30 - 4 t20 + 2 t0 - 1)  0 =   v(t0 ) = lím   lím t →t 0  t - t0 t - t 0  t →t 0  

 2(t3 - t3 ) - 4(t 2 - t2 ) + 2(t - t )  0 0  0 v( t0) = lím   t→ t0  t - t0   2(t - t ) ( t2 + tt + t 2) - 4(t - t 0) (t + t ) + 2(t - t )  0 0 0 0 0  v( t0) = lím   t →t   t t0 0

34

INICIO

CALCULAR f(x0)

CALCULAR ∆f = f(x) - f(x0)

CALCULAR ∆f ∆x

CALCULAR ƒf lím x → x0 ƒ x

FIN Después de haber calculado algunas derivadas aplicando la definición de derivada podemos aceptar los resultados obtenidos para construir la siguiente tabla: TABLA DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

(a)′ = 0

(a constante)

(ax + b)′ = a (a constante, b constante) ((ax ) )′ = anx n

( x )′ =

n -1

(a constante, n ∈ IR)

Lg 1 = a (Lga x )′ = xLna x (Lnx) ′ =

1 x

e

(a > 0 constante)

x>0

(cosx) ′ = - senx

1 2 x

(senx) ′ = cosx

1  1   = x +a  ( x + a)2 x

(a constante) (x ≠ -a)

(ax)′ = ax Lna = a (a > 0 constante) Lga e

(tgx) ′ = sec 2 x

(sec x )′ = sec x tg x (cos ec x )′ = − cos ecx cot gx (cot g x )′ = − cos ec 2 x.

(ex)′ = ex .

Esta tabla nos da un resumen de las derivadas de las funciones mas conocidas, por lo tanto de ahora en adelante, salvo indicación contraria, las usaremos en los problemas donde se nos presente el cálculo de la derivada de alguna de esas funciones. Así evitamos el tener que aplicar a cada momento la definición de derivada aplicando el límite. 53

4.9.5 Otra aplicación de la Regla de la Cadena: Razones de Cambio Relacionadas

Ver en la página 62 diagrama de la Sección 4.8. Teorema 4.2.

Las razones de cambio relacionadas son razones de cambio que se presentan en los casos en que se tiene una función compuesta en un problema dado, para la cual no solo varia ésta con respecto a la variable mas externa de la cual depende, sino que varia también la función interna con respecto a la variable mas interna sobre el dominio donde esta definida la función original. Por ejemplo la velocidad se puede interpretar como la variación de la distancia con respecto al tiempo y la aceleración como la variación de la velocidad con respecto al tiempo. Así tenemos: la velocidad varia con la distancia y la distancia varia con el tiempo. Luego la aceleración es una función compuesta determinada por dos variaciones de cambios relacionadas. Es decir, si a representa la aceleración, entonces da = dv . d( s) , donde s redt d s dt presenta la distancia, v la velocidad y t el tiempo, luego la variación de cambio de la aceleración con respecto al tiempo, esta dada por la variación de la velocidad con respecto a la distancia multiplicada por la variación de la distancia con respecto al tiempo, este resultado se obtiene de la aplicación de la regla de la cadena al derivar la función a con respecto a t. Razones de cambio de este tipo se presentan en una gran variedad de problemas donde interviene el tiempo por ejemplo, la razón con la que el agua fluye en un recipiente, la razón con la que crece un derrame de petróleo, el índice de aumento del valor de una propiedad, la razón con que aumenta el radio de un globo al inflarse, entre otras. Puede suceder que dada una función compuesta f no se conozca, en términos explícitos, la variable mas interna sobre la cual está definida, llamémosla t, pero si se tiene conocimiento de una relación que conecte a la variable f con la variable menos interna x, y también se sepa algo sobre dx , entonces es posible hallar df ya que df y dx están relacionadas dt dt dt dt mediante la expresión df = df . dx , por lo tanto el procedimiento a seguir para calcular dt dx dt df , es derivar implícitamente aplicando la regla de la cadena. dt Los siguientes ejemplos ilustran las razones de cambio relacionadas:

Ejemplos 4.9.5.1 1.

Una escalera de 25 metros de largo se apoya contra una pared vertical. Si la base de la escalera se desliza horizontalmente alejándose de la pared a razón de 3 metros por segundo ¿Con qué rapidez resbala la parte superior de la escalera cuándo la base se encuentra a 15 metros de la pared? p Representamos esquemáticamente la posición de la escalera en la siguiente figura

25m

y

x

96

En los ejemplos anteriores trabajamos implícitamente con un críterio que nos permite determinar la naturaleza de los puntos extremos, el cual es conocido como críterio de la primera derivada y lo podemos enunciar de la siguiente manera: Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a,b) y sea c  (a,b) tal que se cumple una de las dos afirmaciones: a) existe f ′ (c) ó b) en el punto (c,f(c)) de la gráfica de f hay un pico.

☞

En otras palabras se está afirmando que en x= c, f alcanza un punto crítico, por lo tanto: 1) Si f ′ (x)>0 para todo x(a,c) y f ′ (x) 0 si y solo si x >

3 2

3  Luego f es decreciente en el intervalo  - ∞,  y es creciente en el intervalo 2 

3  3 1 3  ,+ ∞ , por lo tanto en x = , f alcanza un mínimo y su valor es f   = 2 2  2 4  

1 3 entonces f   = - es un mínimo absoluto de f. 2 4  

n

115

Las soluciones a las autoevaluaciones se dan con bastante detalles para que puedas entender, con un mínimo de dificultad, los procedimientos seguidos para resolver las preguntas que la conforman. Para la solución de las preguntas no se te exige tanto detalle. SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN ( Ver Página 69)

I

Pregunta 1 1.

La alternativa a) no es la correcta porque define variación de una función dada por f. La alternativa b) no es la correcta porque no se habla de la existencia del límite. La alternativa c) no es la correcta porque define la variación media de una función dada por f entre x y x0. La altenativa d) es la correcta porque la variación instantánea de una función dada por f entre x y x0, está dada por lím f(x ) − f (x 0 ) , siempre y cuando este límite exista. x→ x0

2.

x − x0

a) Físicamente la variación instantánea de cambio se interpreta como la velocidad media de un móvil cuando éste se desplaza de una ciudad A hasta una ciudad B. F Es falsa porque la variación instantánea de cambio se interpreta físicamente como la velocidad instantánea de un móvil cuando éste se desplaza de una ciudad A hasta una ciudad B. b) La rápidez de un móvil es el valor absoluto de la variación instantánea de un movil cuando éste se desplaza de una ciudad A hasta una ciudad B. Por definción. c) La velocidad media de un móvil está dada por la razón media de cambio del espacio dado por: e(t) = t2 + 4 en el intervalo de tiempo [2,10], entonces la velocidad instantánea en el tiempo t = 5 es igual a v(5) = 29 (unidades de velocidad).

Calculemos v(5). Por definición tenemos que v ( t ) = lím t →t0

V

F

e (t ) - e ( t0 ) , en nuestro caso t - t0

e(t) = t2 + 4, t0 = 5, luego e(5) = 29, e(t) - e(5) = t2 + 4 - 29 = t2 - 25. Por lo tanto: 2

( t + 5 ) ( t - 5) t - 25 = 10. = lím t-5 t →5 t - 5 t →5

v ( 5 ) = lím

3.

La variación instantánea de cambio se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Pregunta 2 1.

La derivada de una función f es otra función f ′ cuyo valor para un elemento x0 del dominio de f esta dado por:

 f( + h) - f( x )  0  f ′(x 0) = lím  x 0 →  h 0 h siempre que este límite exista. 2.

La alternativa a) es correcta porque :para que exista la derivada de una función f en un punto x0 debe existir:  f(x0 + h) - f( x0 )  ;  lím → h 0   h

luego el dominio de f ′ es el conjunto de todos los x en el dominio de f tal que f ′ (x) exista, de donde 145

UNIDAD V

Objetivos

❐ Representar aproximadamente la gráfica de una función mediante el estudio de la misma.

❐ Resolver problemas aplicando el cálculo de derivadas de orden superior.

161

Luego la segunda derivada de f es : f ′′ (x) = ex - sen x.

8.

n

Halla f ′′ ′ (x) para la función f, dada por f(x) = Ln(x+1) + 3x4. ▲ Tenemos

f ′( x) = (Ln( x + 1) + 3 x 4. )′ =

1 + 12x 3 x +1

′ 1  1  f ′′( x ) =  + 36x 2  + (12x 3 )′ = − ( x + 1) 2  x +1 ′ ′   1 1  2 + (36 x 2 )′ = f ′′′( x ) =  − + 36 x  =  − 2 2  + ( x + 1 ) ( x 1 )     2( x 1) 2 = + 72 x = + 72x. ( x ++1) 4 ( x + 1) 3 Por lo tanto se tiene que:

f ′′′(x) =

2 + 72x. (x + 1) 3 n

9.

Halla f ′′ (x) para la función f, definida por: f(x) = tg(x2 + 1) - e2x. ▲ Calculamos la primera derivada de f:

[

]′ − (e

f ′( x ) = (tg( x 2 + 1) − e 2 x )′ = tg(x 2 + 1)

[

]

2x

)′ =

= sec ( x + 1) 2x − ( e ).2 = 2

2

2x

= 2x sec 2 (x 2 + 1) - 2e2x . Ahora derivamos de nuevo para hallar f ′′ :

[

]

f ′( x ) = 2x sec 2 ( x 2 + 1) − (2e 2x ) ′=

[

]

= 2 x sec 2 (x 2 + 1) ′ + sec 2 (x 2 + 1)( 2x )′ − (2e 2x )2 = = 2 x.2 sec(x 2 + 1). sec(x 2 + 1). tg( x 2 + 1)( 2x ) + 2 sec 2 (x 2 + 1) − 4e 2 x .

Por lo tanto: f ′( x) = 8x2sec2(x2 + 1)tg(x2 + 1) + 2 sec2(x2 + 1) - 4e2x. 10.

n

Calcula la derivada enésima de la función dada por: h(x) = Ln x. p Calculamos las primeras cinco derivadas de la función h, esto es

171

Así obtenemos una expresión general que nos permite calcular la segunda derivada de una función dada en forma paramétrica. Para obtener la tercera derivada de una función dada en forma paramétrica se deriva aplicando la derivada de un cociente en la expresión que se obtuvo al calcular y ′′ . Así sucesivamente se van calculando las derivadas de orden superior de una función dada en forma paramétrica. Una manera mas sencilla de calcular las derivadas de orden superior de una función dada en forma paramétrica es la siguiente: Como y es una función compuesta que depende de la variable x y x depende de la variable t, esto es y(x(t)), al derivar con respecto a la variable t debemos aplicar la regla de la cadena y se obtiene: dy d y d x = dt d x d t

En la expresión anterior se despeja dy/dx = y/ , resultando dy d y dt y′ = = , d x dx dt

ahora para hallar y ′′ , observamos que y ′ es también una función compuesta que depende de la variable x y ésta depende a su vez de la variable t, es decir y ′ (x(t)), así que aplicamos la regla de la cadena de nuevo y obtenemos: d ′ d y′ d x = , dyt d x d t

despejamos ahora dy ′ / dx = y ′′ y se tiene: d ′ y′′ = dyt . dx dt

Para calcular la tercera derivada de la función y con respecto a la variable x se sigue un procedimiento similar al que se hizo con la derivada y ′′ , resultando: d y ′′ y′′′ = d t . dx dt

Realiza los cálculos para hallar y′′′ .

Si observamos las expresiones que nos dan la segunda y tercera derivada, notamos que el orden de la derivada que se quiere calcular con respecto a la variable x en la función compuesta, es mayor en una unidad al orden de la derivada con respecto a la variable t que aparece en el numerador del cociente que la define, observamos además que en el denominador del cociente que define a la derivada que se quiere calcular siempre aparece la derivada de x con respecto a la variable t. 179

5.3 Gráficas de funciones Entre las propiedades de las funciones estudiadas en el curso de Matemática I y en el módulo I de este curso se determinó dominio, naturaleza, simetría, periodicidad, asíntotas a la gráfica y continuidad. En la unidad I de este módulo estudiamos derivabilidad y a partir de este concepto determinamos intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos críticos y extremos de una función. En esta unidad vimos como determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. Todo este estudio se hizo con la finalidad de construir de una manera bastante aproximada la gráfica de una función. Aunque existen en el mercado calculadoras de bolsillo de diferentes marcas y paquetes computacionales que construyen la gráfica aproximada de una función, uno de los objetivos de este módulo es dar a conocer las herramientas analíticas que nos conducen a dibujar dichas gráficas. A continuación describiremos un procedimiento que se puede seguir para hacer el estudio completo de una función con la finalidad de dibujar su gráfica aproximada a partir de la fórmula que define función Observa detenidamente la gráfica de una función f

0

¿Qué características de la función f podemos deducir a partir de su gráfica? · ¿Cuál es su dominio? · ¿Posee algún tipo de simetría? · ¿Dónde es continua la función? · ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? · ¿Posee asíntotas? · ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento o decrecimiento? · ¿Cuáles son los puntos donde la función alcanza sus máximos (mínimos)? · ¿Cuáles son los intervalos de concavidad o convexidad?

Antes de continuar observa detenidamente la gráfica y da respuestas a cada pregunta.

Con la gráfica presentada puedes dar respuesta a cada pregunta.

Esta gráfica corresponde a la función f(x) =

4 2 x

4(x − 2)

la misma ha sido trazada utilizando

un paquete computacional (1) Nos preguntamos ahora: ¿Cómo podemos trazar la gráfica de ésta o cualquier función sin el uso de los paquetes computacionales? (1)

Se utilizó MAPLE V R3. Existen diversos paquetes informáticos que trazan cualquier gráfica.

189

5.4 Estudio de algunas curvas planas. A continuación estudiaremos algunas funciones que bajo la unión de ciertos dominios de definición pasan a formar curvas, que por su importancia y utilidad en muchos campos son estudiadas en casi todos los cursos de cálculo. 1.

Tomemos la ecuación: (x - h)˝ + (y - k)˝ = r˝ [1] Si hacemos h=0, k=0 y r=2, nos queda x˝ + y˝ = 4, la cual es una circunferencia centrada en el origen de radio 2. Despejando, obtenemos y = ± 4 − x 2 Luego podemos definir 2 funciones:

f1 (x) = + 4 − x 2 , f2 (x) = − 4 − x 2 Analicemos la primera usando los criterios para estudio de curvas.

f(x) = + 4 − x2 1.1.Determinemos su dominio. Una manera de hacerlo es: 4-x˝ ⊕0 sí (2-x)(2+x) ⊕ 0 Esto ocurre sí (2-x ⊕ 0 y 2+x ⊕ 0) o (2-x ≤ 0 y 2+x ≤ 0) Así (x≤2 y x⊕-2) o (x⊕2 y x≤-2) luego resulta [-2,2]  → = [-2,2] Otra manera de hallar el dominio es: 4-x˝ ⊕ 0 sí x2 ≤ 4 de donde x ≤2 ⇔ −2≤ x≤2 o

x ∈ [− 2 , 2]

Por tanto Domf = [-2,2]. 1.2.Puntos de corte con los ejes: Cuando y=0

4 − x 2 = 0 sí y solo sí x˝ = 0 por tanto x=±2 Luego los puntos de corte con el eje x serán (-2,0), (2,0). Cuando x=0 , f(x) = y = 4 = 2 Luego el punto de corte con el eje y es (0,2). 1.3.La función es par: f(x) =

4− x2 =

4 − ( − x)2 = f( − x)

por tanto su gráfica es simétrica respecto al eje de las y 1.4.Continuidad: La función es continua en todo su dominio. 1.5.Primera derivada f ′ (x) f' (x) = −

x

4 − x2 por tanto el punto crítico determinado por f ′ (x)=0 se alcanza en x=0

1.6. Los intervalos de crecimiento son: como f ′ (x)>0 para x(-2,0] f crece en tal intervalo

y como f ′ (x)0 para todo x(a,b) y f ′ (x) 0 , f alcanza un mínimo en x0 y f(x0) es el valor mínimo de f en I.

2. f ′′(x 0 ) < 0 , f alcanza un máximo en x0 y f(x0) es el valor máximo de f en I. CURVA PLANA Es la trayectoria resultante en la gráfica de una función dada en forma paramétrica donde, las variables x e y son funciones continuas que dependen de t. CURVA SUAVE: Es una curva plana que no tiene esquinas, es decir la derivada de las funciones que la forman son continuas y no se anulan simultáneamente, excepto en los puntos extremos de cada intervalo donde está definida. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Es el procedimiento seguido para hallar la derivada de una función dada por y=f(x) sin despejarla de una ecuación G(x,y)=0 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Es una técnica de derivación que consiste en aplicar logarítmo a la ecuación y = f(x) luego se deriva en la ecuación para calcular y’, esta procedimiento es aconsejable para derivar funciones expresadas como un producto de muchos factores o para derivar potencias cuyas base y exponentes sean funciones. DERIVADA DE UNA DIFERENCIA: Si f y g son funciones diferenciables en xDomf Domg, entonces

(f − g)′(x ) = f ′(x ) − g′( x ). DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f : Es otra función f ′ cuyo valor para un elemento x0 del dominio de f esta dado por:

 f(x + h) - f( x 0 )   f ′(x 0 ) = lím  0  h h→ 0   siempre que este límite exista.

253

DERIVADA DE UN COCIENTE: La derivada de un cociente de dos funciones derivables f y g definidas en un dominio común donde no se anula la función del denominador viene dada por:

 f ′  f ′(x)g(x) - f(x) g′(x)   = (g(x) )2 g para todo x en el dominio como en de f y g tal que g (x) ≠ 0

DERIVADA DE UN PRODUCTO: Si f y g son funciones derivables en un dominio común, entonces si x es un elemento de ese dominio se tiene que

f(x )g(x ))′ = f ′(x )g(x ) + f(x )g ′(x ).

DERIVADA LATERAL DERECHA: Si f:[a,b]gR es una función continua en un punto x0  [a,b], entoncesf tiene derivada a la derecha o derivada lateral derecha de x0 si existe el límite

lím

x → x+0

f(x ) − f(x 0 ) x − x0

DERIVADA DE UNA SUMA: Si f y g son funciones diferenciables en xDomf Domg, entonces

(f + g)′ (x ) = f ′(x ) + g ′(x ). DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DERIVADA: Dada una función f el dominio de f ′ es el conjunto de todos los x en el dominio de f tal que f’(x) existe. EXTREMOS ABSOLUTOS: Son los extremos locales más bajo o más alto en el dominio de una función. EXTREMOS DE FRONTERA: Son los extremos que se alcanzan en los extremos de un intervalo cerrado contenido en el dominio de una función. EXTREMOS LOCALES O RELATIVOS: Son los extremos que se alcanzan en subconjuntos del dominio de una función. FUNCIÓN CRECIENTE: f es una función creciente en un intervalo I, si para todo par de elementos x1 y x2 de I, tal que: x1 < x2 implica f(x1) < f(x2). FUNCIÓN DECRECIENTE: f es una decreciente en un intervalo I, si para todo par de elementos x1 y x2 de I, tal que: x1 < x2 implica f(x1) > f(x2). FUNCIÓN CRECIENTE: Si f es una función continua definida en [a,b] y diferenciable en (a,b) entonces se cumple: Si para todo x(a,b), f ′ (x)>0, entonces f es creciente en (a,b). 254

FUNCIÓN CÓNCAVA Sea f: DRgR una función que admite segunda derivada, entonces si para todo x perteneciente a un intervalo I D, se tiene que f ′′(x ) < 0 , resulta que f ′ es una función decreciente en I. En este caso se dice que f es cóncava en I. FUNCIÓN CONVEXA Sea f:RgR una función que admite segunda derivada, entonces si para todo x perteneciente a un intervalo I D, se tiene que f ′′(x ) > 0 , resulta que f ′ es una función decreciente en I. En este caso se dice que f es cónvexa en I. FUNCIÓN DECRECIENTE: Si para todo x(a,b), f ′ (x)0 tenemos

x 2 Ln x 5

(x 2 - 1 )3 cos x

g′ (x) = h ′(x + 1) ahora si x=-1 se tiene g(-1)=h(-1+1)=h(0). Según la parte a) tenemos que g(-1)=h(0)=3.

1 . 3g2(x)+ sec2(g (x))

8. a) y = x x2 + 1 tgx, luego Ln y = Ln(x x 2 + 1 tgx), Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene

y=

entonces

1 ′ f (g(x))

pero f ′(x) = 3x2 + sec2x , luego

g(x)=h(x+1),

236

1 ′ f (g(y))

o equivalentemente

g′(x) = 6.

1 1 = 2 g′ (-1) sen (sen1)

luego

1

1 1 tg   cos x  3 tg x  1 y′ =  + sec 2 x Ln x + .  x  - tg x 3 x Ln x xx   Ln x   3

    x 2 Ln x Ln y = Ln  = 5  2  3  (x - 1 ) cos x  = Ln( x 2 Ln

5 x) - Ln[( x 2 - 1) 3

d) y = cos x]

(Ln x ) x aplicamos logaritmo a ambos lados x Ln x

 (Ln x )x  de la igualdad Ln y = Ln  Ln x  por  x   

5

Ln y = Ln x 2 + Ln(Ln x) - Ln( x 2 - 1) 3 - Ln(cos x)

propiedades de los logaritmos Ln y = 2 Ln x + Ln(Ln x) -

(

Derivamos toda la ecuación con respecto a x

y′ x 2 Ln x = Ln(Ln x) + y x Ln x x

Derivando y′ 2 1 5 2x (-sen x) = + y x x Ln x 3 x 2 - 1 cos x 2 1 10 x y ′ = y  + + tg x 2  x x Ln x 3( x - 1)

luego

1 2 Ln x   y ′ = y Ln(Ln x) + Ln x x  

   

 (Ln x ) x    Ln(Ln x) + 1 - 2 Ln x  . y′=   xLn x   Ln x x   

por lo tanto   2    2 Ln x 1 10 x x y′ =  + tg x  .   + 5 2  2   x x Ln x 3(x - 1)   ( x - 1)3 cos x 

e) y = (sen x )x

c) Aplicamos logaritmo neperiano a toda la ecuación

Derivando implícitamente con respecto a x

y′  cos x  = 2 x Ln(sen x) + x2   y  sen x 

1 1 Ln ( cos x) - Ln (Ln x) + tg x Ln x 3 3

de donde

Derivando implícitamente con respecto a x en la ecuación anterior resulta:

y ′ = y (2 x Ln(sen x) + x 2 cotg x)  (Ln x ) x   (2 x Ln(sen x) + x 2 cotg x) . y′ =   x Ln x   

y′ 1 (-sen x) 1 1 tg x = + sec2 x Ln x + y 3 cos x 3 x Ln x x

 1 1 1 tg x  y ′ = y - tg x + sec 2 x Ln x + 3 3 x Ln x x   por lo tanto

(senx > 0). 2

propiedades de los logaritmos nos queda:

Así

2

luego Lny = Ln(senx)x = x2Ln(sen x) .

1   cos x  3 tg x    y se tiene: Ln y = Ln  , por  x  Ln x    

Ln y =

)

Ln y = Ln(Ln x )x - Ln xLn x = x (Ln(Ln x)) - (Ln x)Ln x

5 Ln(x 2 - 1) - Ln(cos x) 3

f)

y=(arctgx) x luego Lny=Ln(arctgx) x = =xLn(arctgx). Derivando y′ x = Ln(arctg x) + 2 y (1 + x )arctg x de donde

237

i) y=xππx luego Lny = Ln(xππx)

  x y ′ = (arctg x )  Ln(arctg x) + . (arctg x)(1 + x 2 )   x

Lny=Lnxπ + Lnπx = πLnx + xLnπ

x

x

g) y = x x = (x ) x , luego

( )= x

Ln y = Ln (x )

x

x

x

entonces Lny = πLnx + xLnπ Derivando

Ln x

Derivando x y′ = ( x x) ′Ln x + x y x

y′ π = + Ln π y x

[1]

de donde x

para hallar (x )′ hacemos t=x entonces x Lnt=Lnx =xLnx. x

 π + x Ln π  y′ = y   x  

Derivando

 π + x Ln π  π -1 x y ′ = x π πx   = x π (π + x Ln π) . x  

t′ = Ln x + 1 t Luego t′ = t(Lnx + 1) = x x(Lnx + 1) sustituimos t ′ en la expresión [1] y se tiene

y′ xx = x x (Ln x + 1) Ln x + y x

9.

Así

[

t ∈ I R, sabemos que

dy dy dx 2 dy dt =3t y =2 pero, = dt dt dx dx dt

1  y ′ = y  x x ((Ln x + 1) Ln x + ) x   por lo tanto

]

por lo tanto

y ′ = x x x x - 1 (x Ln2 x + x Ln x + 1) . x

 x = 2t - 1  a)   y= 3 t 

dy 3 2 = t . dx 2

2

h) y = x (x + 1)2 = (x + 1)x luego  x = a(cos t + t sen t)  b)   y = a(sen t - t cos t) 

2 x

2 Ln y = Ln(x + 1) = Ln (x + 1) x

Derivando implícitamente con respecto a la variable x resulta:

dy y ′ = dt dx dt

y′ 2 2 = - 2 Ln(x + 1) + y x(x + 1) x luego como  2 2  y ′ = y  - 2 Ln(x + 1) +   x x(x + 1)  2

(x + 1)x  1 Ln(x + 1)  y′ = 2  .  x +1  x x

238

dx d = [a(cos t + t sen t)]= dt dt d d  = a  (cos t) + (t sen t) dt dt  

dx = a(- sen t + sen t + t cos t) = dt = a t cos t

Además

d)

  x = t Ln t    Ln t  y= t 

dy = a(cos t - cost + t sen t) = dt = a t sen t entonces y′ =

a t sen t = tgt . a t cos t

t>0

1 t - Ln t dy d  Ln t  t 1 - Ln t = = =   2 dt dt  t  t t2

c)  cos3 t  x= cos 2 t     3  y = sen t  cos 2 t

dx d 1 = [t Ln t] = Ln t + t( ) = Ln t + 1 dt dt t luego

dy d  sen3 t  =  = dt dt  cos 2 t   - (sen 2 t)2  3 sen2 t cos t ( cos 2 t ) - sen3 t   2 cos 2 t  = cos 2 t dy 3 sen2 t cos t cos 2 t + sen3 t sen 2 t = . dt cos 2 t cos 2 t

por otro ,lado dx d  cos3 t  = = dt dt  cos 2 t   - 2 sen2 t)   3 cos2 t(-sen t) ( cos 2 t ) - cos3 t  2 cos 2 t   = cos 2 t dx - 3 cos = dt

2 t sen t cos

2 t + cos

cos 2 t cos 2 t

3 tsen2 t

.

luego sen2 t(3cos t cos 2 t + sen t sen2 t) dy cos 2 t cos 2 t y ′ = dt = . 2 t (cos t sen 2 t - 3sent cos 2 t) dx cos dt cos 2 t cos 2 t

simplificando

y′=

1 - Ln t 1 - Ln t t2 . y′= = 1 + Ln t t2 (1+ Ln t) e)    t   x = a (Ln tg    + cos t - sen t)   2      y = a(sen t + cos t)    dy d = (a(sen t + cos t)) = a(cos t - sen t) dt dt    t  dx d  = a (Ln  tg   + cos t - sen t) = dt dt     2      1 2  t  1 - sen t - cos t  =a   t  sec  2  2   tg     2  1  dx t  t  = a  cotg   sec2   - sen t - cos t dt 2 2 2 

2

tg t(3cos t cos 2 t + sen t sen2 t) . cos t sen 2 t - 3 sent cos 2 t

luego

y′ =

a(cos t - sen t) 1 t t   a  cotg sec 2 - sen t - cos t  2 2 2  239

entonces

y′=

2 cos t - 2 sen t . t t cotg sec 2 - 2 sen t - 2 cos t 2 2

y′ =

i)

- 2 cos t = 2 cotg t . - sen t

 x = arctg t   y = Ln(1 + t2) 

f)  x = et - 3    y = -2t + 1 e 

dy 2t dx 1 = ; = 2 dt 1 + t dt 1 + t2

dy d -2 t = ( e + 1) = - 2 e-2t dt dt

Así

2t 2 y ′ = 1 + t = 2t 1

dx d t = ( e - 3) = e t dt dt

1+ t 2

luego

y′= g)

      

x=

2 e -2t e

t

= - 2 e -3t .

t

y=3 t

Solución al Ejercicio Propuesto 4.9 Si suponemos que f(x0) es un valor mínimo de f en I, por definición de mínimo se tiene para todo x ∈ I que f(x)8 f(x 0 ) luego f(x)-f(x 0 )8 0. Si xgx0-, entonces x 0, entonces

1 y′ =

3

3

t2

1 2 t

2 t

=

3

3 t

2

=

26 t. 3

h)  x = 2 + cos t    y = 3 - 2 sen t  dy dx = - 2 cos t ; = - sen t dt dt

entonces

f(x) - f(x0 ) x - x0

≥ 0.

Como hemos supuesto que f ′(x 0 ) existe ¿Por qué? aplicando la definición de derivada en un punto resulta que :

f(x) - f( x0 ) ′ f(x) - f( x0 ) ≥ = f ( x0 ) = lím 0 x0 x - x0 x - x0 x →x+ 0

0 ≤ lím → x

por lo tanto f ′(x 0 ) = 0. Luego x0 es un punto crítico de f. En conclusión: si f ′(x 0 ) existe y x0 es un valor de I que no es un valor frontera, entonces f ′(x 0 ) = 0.

240

(-×,-1) y (3,+×) y g′ es negativa en el intervalo (-1,3). Luego los intervalos de crecimiento son (-×,-1) y (3,+×) y el único intervalo de decrecimiento es (-1,3).

Solución a los Ejercicios Propuestos 4.10 1. a) g′ (x)=x 2 -2x-3=(x+1)(x-3), entonces g(x)=(x+1)(x-3)=0 si y sólo si x+1=0 o x-3=0. es decir si y sólo si x = -1 o x = 3. Así los puntos críticos se alcanzan para x=-1 y x = 3.

c) Como g crece a la izquierda del punto x=-1 y decrece a la derecha, entonces g alcanza un máximo en x=-1. g decrece a la izquierda de x=3 y crece a su derecha por lo tanto en x=3 g alcanza un míni mo. Las flechas indican como es el comprotamiento de la función en cada in tervalo, es decir:

b) Ahora formamos con estos puntos críticos los intervalos (-×,-1), (-1,3) y (3,+×), gráficamente: | -2

)( -1

| 0

| 1

| 2

)( 3

| 4

| 5

queremos averiguar dónde: g′ (x)=(x+1)(x-3)0.

Así obtenemos los signos de g′ en cada intervalo de su dominio. Los signos de g′ en la recta real los conseguimos siguiendo uno de los procedimientos vistos en el curso de Matemática I (175-176-177) de la UNA. Esto es: Calculamos un valor de g′ en el intervalo (-×,−1) para determinar su signo, el cual va a ser el signo de g′ en todo ese intervalo por ser g′ un polinomio y por lo tanto es una función continua, este hecho lo garantiza el teorema del valor intermedio para funciones continuas, Por qué?.

2.

la flecha

indica que la función es creciente,

la flecha

indica que la función es decreciente

La ecuación x3-3x2+1=0 tiene a lo sumo tres soluciones reales, por estar involucrada la función dada por f(x)=x 3 -3x 2 +1 la cual es un polinomio cúbico. Esa ecuación no tiene soluciones racionales. y 3

2

f(x)=x -3x +1

0

x

Luego alternamos los signos de g′ en el resto de los intervalos para saber donde g′ es positiva y donde es negativa. En efecto, calculamos g′ (-2) y resulta g′ (-2) = (-2+1)(-2-3) = 5 Ahora dibujamos la recta dividida en los subintervalos correspondientes y alternamos

los signos de g′

+++++|+++++)(-----------------)(+++++|+++++ -2 -1 3

Se trata de hallar valores de la función que tengan signos contrarios con el fin de construir un intervalo donde el producto de las imágenes de sus extremos sea negativo y como la función tomada es continua por ser polinómica se usa el teorema de Bolzano para garantizar la existencia de una raíz de la función en ese intervalo. Se tiene que f(0)=1 y f(1)=-1, entonces por el teorema de Bolzano, existe una raíz de la ecuación en el intervalo [0,1]. Tenemos además que

f ′ (x)=3x 2-6x así que f ′ (x)0 para todo x [a,b] y que f(a)f(b) < 0 significa que en ese intervalo existe una única raíz de la ecuación f(x) = 0.

xn +1 = xn -

el teorema de Rolle existe x0 en (-2,2) tal que h ′ (x0)=0. Ahora

f( xn ) f ′( xn )

1

h ′(x) =

2 4- x

2

-x

(-2x) =

4-x

2

1 por ser un valor en el 2 intervalo(0,1) y se obtiene

Suponemos x 0 =

Luego

1 3 - +1 f ( x 0) 1 8 4 2 = = ≅ 0,6667 x1 = x 0 - ′ 3 6 f (x ) 2 3 0 4 2

h ′( x0 ) =

- x0

=0

4 - x20

si y sólo sí x0=0, como 0 ∈ (-2,2) tenemos el valor en ese intervalo que anula a h ′

8 12 +1 f ( x1) 2 27 9 47 ≅ = = 0,6528 x 2 = x1 - ′ 12 12 f ( x1) 3 72 9 3

y

h(x) = 4 − x 2

x 3 ≅ 0,6527

4

x 4 ≅ 0,6527

Para hallar una aproximación con cuatro cifras decimales nos paramos cuando hay dos aproximaciones iguales, en este caso x4 nos da la aproximación de la raíz de la ecuación f(x)=0 en el intervalo [0,1]. 4. Usa una calculadora para saber si la ecuación dada tiene tres soluciones reales, en caso afirmativo aplica el método de Newton para hallar aproximaciones a las otras dos raíces de la ecuación x 3 -3x 2 +1= 0. 3.

Debemos verificar que h cumple las condiciones del Teorema de Rolle, para ver si es posible aplicarlo. En efecto, como la raíz cuadrada está definida para valores positivos solamente, se tiene que el dominio de h esta dado por los números reales x, tales que 4 - x2 8 0, esto es x27 4 o |x| 7 2, es decir por los números reales entre -2 y 2, así Domh = [-2,2] ahora h es continua en [-2,2] y derivable en (-2,2) por ser la composición de las funcione s c o n t i n u a s y d e r i v a b l e s dada por f(x)= x

242

y

g(x)=4-x 2 .

Además

0

-4

4

x

Para probar la desigualdad dada usando el T.V.M, debemos definir una función continua y derivable en un intervalo adecuado. Como la parte izquierda de la desigualdad, es una raíz cuadrada, intuimos que la función a tomar es una de ese tipo, así tomamos la función dada por f(x) = 1 + x , cuyo dominio son los números reales pertenecientes al intervalo [-1,+×]. Entonces tomamos el intervalo cerrado [0,h]. Luego trabajamos con la función f:[0,h]gIR dada por f(x) = 1 + x , la cual es continua en el intervalo [0,h] y derivable en (0,h), por ser la composición de funciones continuas y derivables en los intervalos respectivos. Por lo tanto, se cumplen las condiciones del T.V.M. y podemos afirmar que existe x0  (0,h) tal que:

f ′(x 0 ) =

f(h) - f(0) h-0

pero

1

f ′(x) =

, f(h) = 1 + h

y

f(0) = 1

2 1+ x luego

Respuestas a los Ejercicios Propuestos de la Unidad V Soluciones a los Ejercicios Propuestos 5.1. 2 2 4 f ′( x ) = 2( x − 1)(2 + 3 x − 4x ) (2 + 2x2 + x4)2

1.a)

f ′(x 0) =

1

=

2 1+ x0

1+ h - 1 , h

b) h(33)(t) = cosh t − senh t.

1 + x 0 > 1 por ser x0 (0,h), enton-

ahora

1

ces: 1 >

c) g' ' '(w ) =

.

1+ x0

f' ' (u) =

d)

Por otro lado

1 1 1+ h - 1 > = , 2 2 1+ x h 0

por ser h>0, resulta

1 h > 1 + h - 1 . En con2

2 (w + 4)3

  2  1− u2  2  Ln2  2  u +1 

(

)

 s  s  sec2   3tan2 −2   2  2  e) h" (s) =  6 s  3 3 tan5     2  

clusión se tiene

1+ h < 1+ 5.

1 h . 2

2.

Como lím+ x = 0 y lím+ Lnx = - ∞ estamos en x →0

x →0

presencia de una forma indeterminada de la forma 0.× . Si escribimos

     Ln x   = lím  lím x Ln x = lím  x →0 x→ 0  1  x→ 0      x  

1  x = lím (-x) = 0 . - 1  x →0  x2 

174 49

nπ   3. a) f (n) (x) = sen  x + 2    b) h (n) (t) = 2

   Lnx  lím x Lnx = lím  1  lo transformamos en  x → 0+ x →0+    x   un límite de la forma ∞ . Por lo tanto pode∞ mos aplicar la regla de L’Hôpital y obtener

f′′(x) = −

c) g (n) (u) =

d) r

(n)

n!

(1 − t )n +1

(−1)n(n − 2)! , para n ≥ 2 xn −1

   n!   (x + 1)n + 1 − (x − 1)n + 1  (x)= (−1)n     n+1  2  x2 − 1  

( )

f (15) (x) = ( x 4 + 1 ) cos x + 60 x 3 sen x -1260 x 2 cos x - 21840 x sen x + + 232560 cos x.

4.

5. a)

d3y = 27t3 −4t2 3 dx

b)

d2y 1 = sec 3 t 2 a dx

c)

f ′′( x) = g′(h(x)) h′′(x ) + g′′(h( x)(h′( x))2

243

Soluciones y Respuestas a los Ejercicios Propuestos 5.3. f ′ (x)< 0 para (-2 3 ,-2)U(2, 2)U(2, 2 3 )

a) Siguiendo el proceso planteado al principio de

entonces f decrece para tales intervalos.

esta sección tendremos:

Además como f ′′( x ) >0 si x esta en

1. Dominio de la función:

(-× , -6)U(-2 , 0)U(2 , 6) y f ′′( x ) < 0 si x

Domf = R- {-2,2} (!JUSTIFÍCALO!). 2. Puntos de corte con los ejes:

esta en el conjunto (-6 , -2)U(6 ,+×) resulta que f es convexa en (-× , -6)U(-2 , 0)U(2 , 6)

Si x = 0 f(x) = 0 y si y = 0 x =0. Luego

y es cóncava en (-6 , -2)U(0 , 2)U(6 ,+×).

el único punto de corte será (0,0).

Además en x = 2 3 hay un mínimo y en

3. ¿Par o impar? La función es impar f(x) = -f(-x) (!JUSTIFÍCALO!)

x = - 2 3 hay un máximo, locales ambos. Con la anterior información podemos graficar f como sigue: y

4. Continuidad La función es continua en su dominio. 5. Asíntotas: Los puntos de discontinuidad x=-2 y

-2

x=2 hacen que:

0

2

x

lim f( x) = − ∞

x → 2−

lim f( x) = − ∞

x → −2−

Por lo tanto las rectas x=-2 y x=2 son asíntotas verticales de la gráfica de f. No existen asíntotas ni horizontales ni oblicuas. (¿POR QUÉ?).

6. Estudio de la primera derivada y segunda derivada:

f' (x ) =

f" (x ) =

x 2 − 12 33 (x 2 − 4)4

2x (36 − x 2 ) 93 (x 2 − 4)7

f ′ (x) = 0 sí x = ± 3 y

f ′ ′ (x) = 0

sí x = ± 6 ó x = 0

244

La tabla que daremos a continuación recoge parte de la información obtenida anteriormente, la cual nos permite trazar la gráfica de la función dada en forma aproximada. En ésta tabla se especifica: Primera fila: dominio y puntos críticos de la función. Segunda fila: signo y ceros o donde no existe la primera derivada de la función. Tercera fila: intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, los cuales se indican con las flechas ò (para el crecimiento) y ¯ (para el decrecimiento). Trazaremos un par de rectas paralelas, verticales para indicar que la gráfica tiene asíntotas verticales. Un formato de esta tabla sería, por ejemplo: −× x0 x1 x2 ′ + 0 − − 0 + f (x) f(x) −× ò ¯ ¯ ò

+×

x

+×

Como f ′ (x)>0 para x en

Entonces, hagamos una tabla análoga para el

(-×,-2 3 )U(2 3 ,+T), entonces f crece para tales intervalos.

estudio realizado de la función f(x)=

x 3

x2 − 4

f ′(x)

+

0

−

−

f(x) − × ò ¯

¯ 0 ¯

− 0

x 0 f ′(x) f(x) − × ò

+ ò +×

¯

1

+×

e

+

−

0 ò

0

¯

0

c)

b)

1.Domf = R 2.Puntos de corte con los ejes: Si x = 0, f(x) =1 luego (0,1) es el punto de corte con el eje OY. Si y = 0 , x3 + 2x2 + 1 = 0, el cual tiene por lo menos una raíz real que se encuentra en el intervalo ( - 2 , - 1) ¿ por qué ? 3.No posee asíntotas 4. f ′ (x) = 3x2+4x+1 f ′ (x) = 0 sí x = -1 o x = -1/3

1. Domf = (0,+×) 2. Puntos de corte con los ejes: Cuando y=0 x=1 entonces el punto (1,0) es el único punto de corte. 3. f es continua en todo su dominio. 4. Asintotas:

Lnx = −∞ por lo tanto la recta x=0 x →0 x es una asintota vertical. lim

Además f ′ (x)>0 sí x esta en (-× , -1)U(-1/3 , +×) y f ′ (x)< 0 sí x esta en (-1, -1/3) Luego en (-× , -1)U(-1/3 , +×) la función crece y decrece en (-1 , -1/3), así que en x = -1 hay un máximo local y en x = -1/3 un mínimo local. f ′′ (x) = 6x+4 f ′′ (x) = 0 si x = -2/3 y f ′′ (x)>0 si x esta en (-2/3,+×) por lo tanto es convexa en tal intervalo y cóncava en el intervalo (-×,-2/3). Quizás en algunos casos debas calcular algunos puntos, con valores de la x que abarquen diversos puntos de su dominio. Con lo anterior podemos graficar f como se ve a continuación:

Lnx = 0 por lo tanto la recta y=0 x → +∞ x lim

es una asintota horizontal. 5.Estudio de las derivadas.

f' (x) = f" (x) =

1 − Lnx x2 2 Lnx − 3 x3

Como f ′ (x)=0 si lnx=1, en x=e se alcanza un punto crítico así tenemos que para x0 y para x>e f ′ (x)0 para todo x(-×,0), ahora alternando los signos tenemos f ′′ (x)0 para todo x(2,+×). Gráficamente

++++++++++++++++++++++)(---------------------------)(+++++++++++++++++++++++++ 0 2 Por lo tanto f es convexa en los intervalos (-×,0) y (2,+×) y f es cóncava en el intervalo (0,2).

f ′′ (x)

Intervalos

Gráfica de f

Comportamiento de f

positiva

(-×,0) y (2,+×)

se dobla hacia arriba

Convexa

negativa

(0,2)

se dobla hacia abajo

Cóncava n

2.

Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la función dada por :

h(x) =

2 x3 . 2 x -4

▲ Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad debemos calcular la primera derivada de h, en efecto:

h ′(x) =

6 x2( x2 - 4) - 2 x 3 2x 2 x2( x2 - 12) = . ( x2 - 4 )2 ( x 2 - 4 )2

Ahora calculamos h′′ y se tiene: 184

h ′ (x) =

16x( x2 - 12) ( x 2 - 4 )3

Como el dominio de h es el conjunto (-×,-2)(-2,2)(2,+×) y se tiene que h′′ (x) = 0 si sólo si x = 0, x = -2 3

y x=2 3

¿por qué?, entonces tenemos los

signos de h′′ en la siguiente gráfica: -------------------------)(----------)(++++++++)(-------------)(+++++)(+++++++++ -2 3

-2

0

2

2 3

Por lo tanto h es cóncava en los intervalos (-×,-2 3 ), (-2 3 ,-2) y (0,2) y h es convexa en los intervalos (-2,0), (2,2 3 ) y (2 3 , ×).

h′′(x )

Intervalos

positiva

Gráfica de h

(-2,0), (2,2 3 ) y (2 3 , ×)

y

Comportamiento de h

se dobla hacia arriba

negativa (-×,-2 3 ), (-2 3 ,-2) y (0,2) se dobla hacia abajo

xo

Convexa

x

y f(x0)

Cóncava n

3.

f(x0)

xo

x

Determina los valores de la constante a para que la función dada por: g(x) = x4 + ax3 + (3/2)x2 + 1 sea cóncava. ▲ La función g es cóncava

si

g ′′ (x) < 0. Como g/(x) = 4x3 + 3ax2 + 3x, se tiene

g ′′ (x) = 12x2 + 6ax + 3. Así la gráfica de g es cóncava si y sólo si 12x2 + 6ax + 3 < 0 o 4x2 + 2ax + 1 < 0. La función g será cóncava en todo su dominio si el discriminante de dicha ecuación 4a2 - 16 < 0. Así el polinomio de segundo grado que representa a g// el cual es una función continua no cortará al eje de las abscisas, por lo tanto según el teorema del valor intermedio para funciones continuas, g ′′ conserva su signo y este será negativo siempre si el discriminante de la

ecuación de segundo grado 4x2 + 2ax + 1 = 0 es negativo, es decir si 4a2 - 16 < 0 y esto se cumple si a < 2 lo que significa que para que g’‘ sea negativa, se debe cumplir que a  (-2,2). En la Unidad IV de este Módulo vimos un criterio para determinar si la gráfica de una función presenta máximos o mínimos, este criterio se fundamenta en el análisis de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. A continuación veremos otro criterio para determinar máximos y mínimos de la gráfica de una función usando la segunda derivada: 5.2.1 Criterio de la segunda derivada Sea f una función real con dominio real que admite segunda derivada en un intervalo I, sea x un elemento del intervalo I tal que f′ (x ) = 0, entonces si: o

o

1. f′′ (xo) > 0, f alcanza un mínimo en xo y f(xo) es el valor mínimo de f en I. 2. f′′ (xo) < 0, f alcanza un máximo en xo y f(xo) es el valor máximo de f en I. 185

Comentario El criterio de la segunda derivada se puede asociar con la forma como se mueve la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Es decir: Si f′′ (xo) > 0 la recta tangente a la gráfica de f en el punto xo se mueve en sentido contrario al de las agujas del reloj y la gráfica de f es convexa. Si f′′ (xo) < 0 la recta tangente a la gráfica de f en el punto xo se mueve en el sentido de las agujas del reloj y la gráfica de f es cóncava.

☞

Si la segunda derivada de una función f se anula en un valor x0 de su dominio y se cumple que f ′ conserva el signo a la derecha y a la izquierda de x0, entonces se dice que el punto (x0,f(x0)) de la gráfica de f es un punto de inflexión. En este el comportamiento de la gráfica de la función en el punto x0 pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En otras palabras: 1.- Si f′′ (xo) = 0 y se cumple que para elementos x a la izquierda de x0, f′′ (x) > 0 y para elementos x a la derecha de x0, f′′ (xo) < 0, entonces el punto (x0,f(x0)) es un punto de inflexiòn. Gráficamente: y

La gráfica de f pasa de convexa a cóncava en el punto (x0,f(x0)).

f(x0)

x0

x

2.- Si f′′ (xo) = 0 y se cumple que para elementos x a la izquierda de x0, f′′ (x) < 0 y para elementos x a la derecha de x0, f′′ (xo) > 0, entonces el punto (x0,f(x0)) es un punto de inflexiòn. Gráficamente: y

La gráfica de f pasa de concava a convexa en el punto (x0,f(x0)).

f(x0)

x0

x

No basta que la segunda derivada de una función se anule en un punto para que se tenga un punto de inflexión de la misma ya que por ejemplo: Dada la función definida por h(x)= -x6 cuya gráfica es:

186

y

x

se tiene que h′ (x) = -6x5 y h′′ (x) = -30x4. Resulta que h′′ /(x) = 0 si y sólo si x = 0, pero el punto (x0,h(x0)) = (0,0) de la gráfica de h no es punto de inflexión ya que se observa en la gráfica que (0,0) no hay cambio de concavidad de la misma. El ejemplo anterior muestra que no es suficiente que la segunda derivada de una función se anule para obtener puntos de inflexión, es necesario además que en esos puntos haya cambio de concavidad para garantizar la existencia de estos puntos. Pero, si la gráfica de una función f alcanza un punto de inflexión en x0 entonces: 1.- f′′ (x0) = 0

o

2.- f′′ (x0) no existe.

Ejemplos 5.2.2 1.

Sea g la función definida por g :IR ♦ IR tal que g(x) = (x-2)3. Determina los puntos de inflexión de g. ▲ Para hallar los puntos de inflexión de g calculamos g ′ esto es: g′ (x) = 3(x-2)2 luego g′′ (x) = 6(x-2). Por lo tanto g′′ (x) = 0 si y sólo si x = 2.

Además g′′ (x) < 0 para todo x < 2 y g′′ (x) > 0 para toda x > 2. Entonces el punto (2,0) es el único punto de inflexiòn de la gráfica de g. n 2.

Sea h la función definida por h: IR ♦ IR tal que h(x) = ln(1-x2). Determina si la gráfica de h presenta puntos de inflexión. En caso afirmativo calcúlalos. ▲ Para determinar si la gráfica de h tiene puntos de inflexión debemos calcular los puntos críticos para luego estudiar en cada uno de ellos los cambios de concavidad, veamos:

h ′(x) = -

12x - x2

.

Luego h′ (x) = 0 si y sólo si x = 0, o h′ (x) no existe si y sólo si x = -1 o x = 1. Entonces los posibles puntos críticos se obtienen si x=0, x=-1 y x=1. 187

Ahora calculamos la segunda derivada de h para estudiar los cambios de concavidad en estos valores de las abscisas: h ′ (x) = -

2 (1 - x 2) - 2x(-2x) = (1 - x 2 )2

=-2

¿ Por qué?

(1 + x ) . (1 - x22)2

Como h′′ (x) no se anula para ningún valor x del dominio de h, se tiene que siempre se cumple que: h′′ (x) < 0 y por lo tanto h es cóncava en todo su dominio. Luego la gráfica de h no tiene puntos de inflexión porque no presenta cambios de concavidad.. n

188

h′(x) =

1 x

h′′(x) = -

1 2

x h′′′(x) =

2 3

x 2.3 iv h (x) = - 4 x v h (x) =

?

2.3.4 5

x

Cabe preguntarnos ahora ¿ Hasta cuando podremos derivar la función Lnx ? . Para responder esta pregunta hagamos el siguiente análisis: Si observamos con cuidado cada una de estas derivadas podemos notar que: 1. La primera derivada es negativa, la segunda derivada es positiva, la tercera es positiva, la cuarta negativa y la quinta es positiva, lo que podemos expresar en otras palabras : las derivadas de orden impar son positivas y las de orden par son negativas, así que para obtener el signo de la derivada enésima debemos multiplicar la expresión por (-1) n+1 . Piensa ¿ por qué ? 2. Cada numerador lo podemos expresar como un número factorial es decir, para la primera derivada 0! = 1! = 1 , para la segunda derivada 1 = 1!, para la tercera 1° 2 = 2!, para la cuarta 1° 2° 3 = 3!, para la quinta 1° 2° 3° 4 = 4!. Así que podemos inferir que para la derivada enésima, al numerador le corresponde (n - 1 )!. 3. El exponente de la potencia que aparece en el denominador es igual al orden de la derivada, es decir para la primera derivada en el denominador aparece x1, en la segunda derivada aparece en el denominador la potencia x2, y así sucesivamente. Por lo tanto podemos concluir que el denominador de la derivada enésima es la potencia xn. En conclusión resulta que:

¿ Puede ser n=0? ¿Qué significa la derivada cero de una función?

n + 1 (n + 1)! n

hn (x) = (- 1)

x

.

Según la observación podemos derivar la función Lnx, tantas veces como números como queramos. n Si las funciones f y g tienen derivadas hasta el orden enésimo, para calcular la derivada enésima del producto de estas funciones suele emplearse la fórmula de Leibnitz.

172

(f(x) g(x) )(n) = f(n) (x) g(x) + nf (n-1) (x) g′ (x) +

+

n(n - 1) (n- 2) (x) g" (x) +... + f(x) g(n) (x); f 1.2

Simbólicamente podemos reescribir dicha fórmula así:

(n)

( f( x)g(x))

Observa la analogía que hay entre la Fórmula de Leibnitz y el desarrollo del binomio de Newton.

n0  n  (k) (n−k) = ∑   f ( x)g ( x) k = k 

donde f(k) es la derivada k-ésima y f 0 = f. 11.

Aplica la Fórmula de Leibnitz para calcular la tercera derivada de la función h, definida por: h(x) = x3ex. ▲ Aplicando la fórmula de Leibnitz se tiene: 3 x 3 x 3 x 3 x h′′(x) = ( x )′′e + 3(x )′′(e )′ + 3( x )′(e )′′ + x (e )′′ =

= 6ex + 18xex + 9x2ex + x3ex = (x3 + 9x2 + 18x + 6)ex. El resultado obtenido lo corroboramos siguiendo el procedimiento de aplicar las propiedades de derivación, en efecto: Aplicando la derivada de un producto se tiene: h/(x)= 3x2ex+x3ex=(x3+3x2)ex. Derivamos de nuevo aplicando la derivada de un producto

h′′ (x)=(3x2+6x)ex+(x3+3x2)ex= =(x3+6x2+6x)ex. Volvemos a derivar para obtener el resultado esperado, es decir:

h′′′ (x) =(3x2+12x+6)ex + (x3+6x2+6x)ex = (x3 + 9x2 + 18x + 6)ex.

12.

Sea f : R - {0} ♦R la función dada por f(x)=1 / x. Calcula f (x).

n

n

▲ Tenemos f(x)=x - 1 Derivando reiteradamente obtenemos: f ′ (x)=(-1)x-2 f ′′ (x)=(-2)(-1)x-3 =2.1x-3 . f ′′ ′ (x)=(-3)(-2)(-1)x-4 = -3.2.1x-4 . /v f (x) = (-4)(-3)(-2)(-1)x-5 =4.3.2.1x-5 . v f (x) = (-5)(-4)(-3)(-2)(-1)x-6 = -5.4.3.2.1x-6 . . . . 173

f n(x)=(-n)(-(n-1))(-(n-2))(-(n-3)(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)x-(k+1) . Si observamos la expresión que nos da la derivada enésima de f notamos que aparecen tantos factores como el orden de la derivada todos ellos multiplicados por -1. Como el número de factores es n significa que en forma general deben aparecer todos los factores por (-1)n. Además aparece el producto n(n-1)(n-2)(n-3)5.4.3.2.1=n!. Por lo tanto podemos expresar en forma general a la derivada enésima de f por:

El símbolo ! Indica factorial de un número.

f n(x) =(-1) nn!x -(k+1). O equivalentemente por:

n!

n

f n (x) = (-1)

x

(n + 1)

.

Los siguientes ejemplos son casos donde se presentan indeterminaciones cuya eliminación requiere aplicar la regla de L’Hôpital mas de una vez, esto significa que para calcular los límites siguientes se debe derivar tantas veces como sea necesario para eliminar la indeterminación. 13.

Calcula el siguiente límite:

(Ln x)3 . x→ ∞ x lím

▲ Como

lím (Ln x)3 = ∞

lím x = ∞

y

x→ ∞

x →∞

se nos presenta una indeterminación de la forma ∞ , entonces como vimos en la ∞

Unidad 4 resolvemos estos límites aplicando la regla de L’Hôpital por la tanto derivando tanto el numerador como el denominador nos queda: 3

lím

x →∞

(Ln x) x

2

3

= lím

[(Ln x) ]′

x →∞

x′

3(Ln x) = lím

x →∞

1

1

2

x = lím 3 (Ln x) , x →∞ x

tenemos nuevamente una indeterminación de la forma ∞ , es en estos casos donde ∞

intervienen las derivadas de orden superior, ya que tenemos que aplicar nuevamente la regla de L’Hôpital para resolver el límite . Entonces derivando de nuevo numerador y denominador se tiene:

(Ln x)3 6 Ln x = lím . x→ ∞ x →∞ x x Otra vez estamos en condiciones de aplicar la regla de L’Hôpital ¿Por qué ? resultando que: lím

?

3

lím

(Ln x)

6

. x→ ∞ x x Ya hemos eliminado la indeterminación y por lo tanto calculando el límite obtenemos: x →∞

= lím

(Ln x)3 = 0. x→ ∞ x lím

174

14.

Calcula el siguiente límite: 1   1 lím  − . x →1 Ln x x - 1

▲Como

lím

1

x →1 Ln x

=∞ y

1

lím

x →1 x - 1

= ∞,

tenemos una indeterminación de la forma × - ×. Además como

1 1 (x - 1) - Ln x = , Ln x x - 1 (x - 1) Ln x entonces (x - 1) - Ln x 1   1 lím  = lím ,  x → 1 (x - 1)Ln x Ln x x - 1

x →1

Como

lím [(x - 1) - Ln x] = 0 y lím (x - 1) Ln x = 0 ,

x →1

x →1

0 tenemos una indeterminación de la forma . 0

Aplicando la regla de L’Hôpital se obtiene:

lím

x →1

(x - 1) - Ln x (x - 1) Ln x

1= lím

x →1

1 x

,

1

Ln x + (x - 1)

x

que es nuevamente un límite indeterminado de la forma

0 0

, volvemos

a aplicar la

regla de L’Hôpital y se tiene: 1  1 1   1 x lím = lím  x →1  Ln x x - 1 x →1 Ln x + (x - 1) 

  = 1  x

1 = lím

x

x →1

1 x

= xlím →1

2

 1 1 +  x2  x

.

+ (x - 1)-

1 x - (x - 1) + x

= lím

1

x →1 1 + x

1

= . 2

175

Por lo tanto

1   1  Ln x - x - 1 = 0 . xlím →1 ■ 15.

Calcular 2

lím ( ex + x ) x . → +∞

x

▲ 2

lím ( ex + x ) x .

x → +∞

Como x

lím ( e + x) = + ∞

x → +∞

y

lím

x →+∞

2 x

= 0,

estamos en el caso de una indeterminación de la forma ×0. Seguimos el procedimiento descrito en la Unidad 4 de este Módulo para calcularlo, en efecto: Hacemos el cambio de variables 2

y = (e x + x ) x , luego aplicamos logaritmo neperiano a toda la ecuación 2

Ln y = Ln (ex + x )x =

2 Ln(e x + x), x

aplicamos límite y se tiene:

lím Ln y = lím

x → +∞

x → +∞

2 x

x

Ln (e + x) = lím

2 Ln (ex + x)

x → +∞

x

aquí

lím x = + ∞ y lím Ln (ex + x) = + ∞.

x → +∞

x → +∞

aplicamos la regla de L’Hôpital y obtenemos: 2 Ln (e x + x) lím Ln y = lím = x → +∞ x→ x

= lím

+∞ x →+∞

[2 Ln ( e x + x)]′ = (x)′

2 = lím x→

= lím

+∞ x →+∞

176

1 (e x + 1) + x e = 1 x

2( e x + 1) , x e +x

Otra vez se tiene que: x

x

lím 2(e + 1) = lím (e + x) = ∞ ,

x → +∞

x→ +∞

aplicamos nuevamente la regla de L’Hôpital 2 (e x + 1)

lím Ln y = lím

x → +∞

x

x → +∞

=

e +x x

2e

= lím

x → +∞

x

e +1

,

aún tenemos una indeterminación de la forma ∞ . Aplicamos otra véz el mismo ∞ procedimiento: lím Ln y = lím

x → +∞

x → +∞

2 ex

= lím

x →+∞

e

x

2 ex x

=

e +1

= 2,

finalmente, se tiene lím Ln y = 2.

x → +∞

Como la función logaritmo neperiano es continua, se tiene lím Ln y = Ln [ lím y] = 2 .

x → +∞

x → +∞

Por lo tanto se obtiene que: 2

x

lím (e x + x)x = lím y = e 2 . → ∞ → ∞ +

x

+

n Hemos visto en los ejemplos dados que se hizo necesario aplicar la regla de L’Hôpital más de una vez, pero el teorema 4.5 de la Unidad IV se remite a derivar una sola vez. ¿Esto significa que lo que hemos hecho en los ejemplos anteriores no es válido? La respuesta a esta pregunta es no porque el teorema de L’Hôpital se extiende a derivadas de orden superior como sigue:

☞

Teorema 5.1 Supongamos que f y g son funciones derivables que admiten derivadas de orden dos en un intervalo (a,b), si

177

lím f(x) = lím g(x) = 0

x →∞

x→ ∞

y

lím f ′(x) = lím g′(x) = 0 ,

x→ ∞

x→ ∞

y f′′(x)

lím

x→∞ g′′(x)

lím

f(x)

existe, entonces

existe y se cumple que

x→∞ g(x)

si además g ′′ (x)  0 se tiene que

lím

x→ ∞

f(x) f ′(x) f ′′(x) = lím = lím . g(x) x→∞ g′ (x) x →∞ g′′(x)

u

Este teorema se puede generalizar para la tercera, cuarta y sucesivas derivadas, además vale si se sustituye la expresión: x ♦ a por x ♦ - × o x ♦ × y para indeterminaciones de la forma ×/×. Hemos visto las derivadas de orden superior de funciones definidas en forma implícita y en forma explícita, las hemos calculado aplicando técnicas que facilitan su obtención. Ahora veremos como calcular derivadas de orden superior de funciones dadas en forma paramétrica. Recordemos que dada una función en forma paramétrica cuyas ecuaciones son: x = x(t) y = y(t) donde t  [a,b] y x e y son funciones continuas con dominio en [a,b], su derivada de primer orden está dada por:

dy d y′ = = dt d xy d x dt Ahora si llamamos •

y= se tiene que:

dy dt

•

y

x=

dx dt

.y y′ = . x

Para hallar la segunda derivada de la función y, dada en forma paramétrica, con respecto a la variable x es decir y′′ , debemos aplicar la derivada de un cociente a la expresión que da la primera derivada de y en forma paramétrica. Esto es:

y′ =

178

d 2y yx − xy = dx2 y2 .

162

5.0 PRESENTACIÓN

En esta Unidad trabajaremos con las derivadas de orden superior las cuales usaremos para generalizar derivadas de funciones particulares, calcular límites usando la regla de L’HÛpital para casos en que hay que derivar reiteradamente para levantar una indeterminación y poder calcular un límite dado.

Las características de una función se pueden describir con el uso de la derivada, pues ésta nos permite determinar los intervalos de crecimiento o de decrecimiento, los puntos mas altos o mas bajos que alcanza la función, estos puntos son conocidos como extremos de la función, además nos ayuda a saber la forma como crece o decrece la función, es decir si esta cambia su comportamiento abriendo hacia arriba o abriendo hacia abajo. Estas últimas características son conocidas como convexidad o concavidad de la función respectivamente, y precisamente los puntos de la gráfica de la función en la cual su comportamiento pasa de convexa a cóncava o viceversa son los extremos.

El determinar las características de una función ayuda a dibujar la gráfica aproximada de la misma con suficiente precisión. Aunque hay paquetes informáticos que grafícan funciones no siempre dibujan con suficiente precisión la función, por lo tanto es importante conocer las técnicas para determinar las características de la función para completar la gráfica. Estos paquetes nos pueden dar ideas de cómo es la gráfica buscada.

También hay técnicas para aproximar funciones, en un punto, con funciones polinómicas, mediante el uso de derivada de orden superior, para esto se exige que la función cumpla con determinadas condiciones previstas por el teorema de Taylor.

163

164

5.1 Derivadas de Orden Superior En la Unidad IV vimos que el dominio de una función f derivable contiene al dominio de su función derivada, pero no nos preguntamos ¿ la función derivada se puede derivar ?, y ¿ sigue manteniéndose la relación de contención entre el dominio de f ′ con el dominio de su

?

derivada ?. ¿ Será posible calcular la derivada de la función f ′ ?. ¿ Cuántas veces podremos derivar una función ?. Veamos un ejemplo, la función f definida por f(x) = senx tiene por derivada la función dada por f ′ (x)= cosx la cual sabemos que también es una función derivable cuya derivada es la función definida por (f ′(x ))′ = f ′(x ) = − sen x , si continuamos derivando la función dada f(x) = senx , veremos que su derivada siempre existirá y en este caso el dominio de todas las derivadas de ésta función coincide con el dominio de la función original. Este procedimiento nos lleva a dar una fórmula general para la derivada enésima de la función seno la cual construiremos mas adelante.

Ver ejercicios propuestos de la Unidad IV.

Si tenemos una función f derivable denotamos su primera derivada por f ′ . Así la notación para la segunda derivada de una función cuya primera derivada es derivable, es f ′′ y si esta función resulta derivable entonces f admite tercera derivada y su notación será iv f ′′ ′ , no obstante si f admite cuarta derivada se denotará por f , en general si f admite derivada de orden n o derivada enésima se denotará por f n a esta derivada. Algunas notaciones que se usan para derivadas de orden uno y orden superior son las siguientes: Si f es una función que admite derivadas hasta el orden n, entonces

f ′(x) =

df , dx

f ′′(x) =

2

d f , 2 dx

3

n

d d f , ..........., f n (x) = n 3 dxf dx

f ′′(x) =

Ver Unidad IV.

Dxf ,

Dx2 f ,

Dx3 f

,.............,

Dxn f

f′ ,

f ′′ ,

f ′′ ′

,.............,

f n.

Ejemplos 5.1.1. 1.

En la Unidad 4 vimos que si e(t0) representa la posición de una partícula en un tiempo t0 , entonces

e ′(t0) =

de e (t) - e (t0) (t ) = lím dt 0 t→t t - t0 0

representa la derivada de la función e con respecto al tiempo t, esto es la velocidad en un tiempo t0 la cual denotamos por e′ (t0 ) = v(t0 ), Ahora nos preguntamos ¿ Cómo cambia la velocidad con respecto al tiempo ?. La respuesta la tenemos pensando que si un cuerpo siempre se mantiene en movimiento podemos considerar que la aceleración instantánea en un instante t0 ( a( t0)) es la derivada de la velocidad en ese tiempo, en símbolos:

e ′′ (t) = v ′ (t0) = lím → t

t0

v(t) - v( t0) . t - t0 165

Para ser coherente con el trabajo desarrollado en la Unidad 4, comencemos introduciendo la aceleración media para definir la aceleración instantánea: Supongamos que en el instante t la velocidad de un punto móvil es v. Durante el tiempo ∆t, contado a partir del instante t, la velocidad v experimenta un incremento ∆v. Denominamos aceleración media am durante el tiempo ∆ t, a la razón que existe entre los incrementos ∆v y ∆t, o sea: am =

ƒv . ƒt

Definimos como aceleración a en el instante t al límite: ƒv dv de , es decir a = y como v = ƒ t dt dt ƒ t →0

a = lím

donde e=e(t) indica el espacio en función del tiempo t, tenemos que: a=

d  d e  d2 e = e" (t). = dt  dt  dt2

Un ejemplo sobre una situación de este tipo es: 2.

Si un resorte cuelga verticalmente de uno de sus extremos y en el otro extremo suponemos que se encuentra un peso, tal como lo indica la figura al margen. Si halamos hacia abajo el resorte y luego lo soltamos, se produce un movimiento conocido como movimiento armónico simple. Supongamos que este movimiento es representado por la función S: R ♦ [-1,1] tal que S(t) = sen t. Calcula la aceleración instantánea en el tiempo t = π/4. ▲ Como la velocidad es la derivada de S con respecto al tiempo t se tiene: v(t) = S′ (t) = cos t Pero la derivada de la velocidad es la aceleración por lo tanto a(t) = v ′ (t) = S′′ (t) = - sen t, Así resulta a(π/4) = - sen (π/4) = -

2/2.

n

Un ejemplo que ilustra la derivada de orden superior es el siguiente: 3.

Sea g una función con dominio en los números reales y rango en los números reales definida por g(x) = x5 + 3x3 - 5x2 + 1. Determina si g es derivable y hasta que orden de derivación admite esta función. ▲ g(x) = x5 + 3x3 - 5x2 + 1, entonces por ser g y sus derivadas funciones polínomicas, admiten derivadas, luego g ′ (x) = 5x4 + 9x2 - 10x

g ′′ (x) = 20x3 + 18x - 10

g′′′ (x) = 60x2 + 18

166

gIV (x) = 120x gV(x) = 120 gVI(x) = 0. Las derivadas de g a partir de la sexta derivada son nulas, por lo tanto podemos concluir que g admite seis derivadas. n Observación 4.

¿es posible inferir del ejemplo anterior que una función polinómica de orden n, admite n+1 derivadas?. ▲ En efecto, si P es la función real definida por: P(x)=anxn + an-1xn-1 + °°°°°+a1x + a0 , donde los coeficientes an , an-1 , °°°°°°, a1, a0 son constantes, n  N, entonces P es una función derivable.

¿ por qué ?

Entonces por las propiedades de la derivada vista en la Unidad 4 se tiene que:

P′ (x) = na xn-1 + (n-1)a xn-2 + °°°°°°+2a x + a . n n-1 2 1 Luego P′ es un polinomio y por lo tanto es derivable y su derivada es:

P′′ (x) = n(n-1)anxn-2 + (n-1)(n-2)an-1xn-3 + °°°°°+ 6a3x + 2a2 . Así P′′ también es derivable y su derivada es :

P′′′ (x) = n(n-1)(n-2)anxn-3 + (n-1)(n-2)(n-3)an-1xn-4 + °°°°°°+ 6a3. Si observamos con cuidado el orden de la derivada y la potencia de mayor exponente en cada derivada vemos que: Para P′ Para P′′

n

se reduce en una unidad.

n se reduce en dos unidades.

Para P′′′

n se reduce en tres unidades.

Entonces podemos deducir que para la derivada enésima de P ( Pn) el exponente de la potencia de mayor orden en el polinomio original debe reducirse en n unidades, además el coeficiente de la potencia de mayor orden tendrá tantos factores como el orden de la derivada lo indique y cada uno de ellos es una unidad menor que el anterior, es decir: Pn(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)°°°°°°2°1. Por lo tanto Pn+1(x) = 0 por ser Pn(x) constante. A partir de esta derivada el resto de las derivadas de P serán nulas y por lo tanto un polinomio de grado n tendrá n+1 derivadas. n Tal y como encontramos derivadas de orden superior para polinomios, también podemos hallar derivadas de orden superior para todo tipo de función que las admita sin importar la forma como esté expresada la función. Las técnicas de derivación vistas en la Unidad IV de este 167

Módulo se aplican de igual manera para hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo si una función esta dada en forma implícita y esta admite derivadas de orden superior, se puede calcular su derivada de cualquier orden aplicando la técnica de derivación implícita. Por ejemplo: 5.

Calcula la segunda derivada de la función y definida implícitamente en la ecuación: x3 + y3 = 3xy,(1) evaluada en el punto de coordenadas (3/2 ,3/2) ▲ y

(3/2 , 3/2)

x

Usamos derivación implícita para calcular y ′ , en efecto: 3x 2 +3y 2 y ′ =3y+3x y ′ [1] de donde

y′ =

y - x2 2

y -x

.

Calculamos ahora y ′′ derivando directamente en la ecuación [1] después de haber dividido entre 3 toda la ecuación y resulta: 2x+2y( y ′ )2+y2 y ′′ = y ′ + y ′ + x y ′′ y ′′ (y2 - x) = 2 y ′ - 2y( y ′ )2 - 2x[2]

Despejamos y ′′

y′′ =

2 y′(1 - 2 y y′) - 2 x , 2 y -x

Sustituimos y ′ y simplificamos en la última ecuación resultando:

2 y ′′ = (1)

168

 y - x2   y - x 2    - 2 x 1 2 y 2 2    x x y y   . 2 y -x

La curva que representa la ecuación x3 + y3 = 3xy se conoce como la hoja de Descartes, la misma fue propuesta por René Descartes como reto a Pierre Fermat (1605-1665) para determinar su recta tangente en un punto arbitrario. La gráfica correspondiente a esta ecuación coincide en gran parte con la recta de ecuación x+y=1 cuando x y y son grandes y producen una hoja de laurel en el primer cuadrante.

De donde reordenando resulta:

y′′ =

2

2

2

( ). 2

2 ( y - x ) (- y - x + 2 y x ) - 2 x y - x 2

3

2

(y - x )

Calculamos ahora y ′′ (3/2 , 3/2) y se tiene:

 3 9   9 3 27 2  - − - +  3 3  2 4  4 2 4 y′  ,  = 3  2 2 9 3  -   4 2

 9  - 3 −  4

3

2



2

=

 3 3  44 y′  ,  = - . 2 2 3 ■ 6.

La siguiente ecuación define a y como función implícita de x , y5 - 8y + 8x = 3x3 + 7x - 2. Calcula y ′′ . s Derivando implícitamente en la ecuación con respecto a x obtenemos 5y 4 y ′ - 8 y ′ + 8 = 9x2 + 7 Despejamos y ′ de esta última ecuación (5y

4

- 8 ) y ′ = 9x2 - 1

[1]

Ahora volvemos a derivar implícitamente con respecto a x en la ecuación [1] 20y 3 y ′ y ′ + 5y

4

y ′′ - 8 y ′′ = 18 x

Aplicando la derivada de un producto al sumando 5y 4 y ′

Despejamos y ′′ y ′′ =

18 x - 20 y 4

3

(y′ )2 .

5 y -8

Expresando

y ′′ como una fracción simple.

Debemos calcular y ′′ en función de x e y , por lo tanto tenemos que sustituir el valor de y ′ en la última ecuación, esto es:

169

2

 9x 2 − 1   18x − 20y  5y 4 − 8    . y ′′ = 5y 4 − 8 3

■ Observación En el ejemplo 5 se puede observar que en una ecuación donde aparece una función implícita la técnica para calcular la derivada de la función consiste en derivar implícitamente con respecto a la variable independiente las veces que sean necesarias hasta que quede una ecuación donde aparezca la derivada que se pide hallar. En esta última ecuación se despeja la derivada a calcular, si resulta una expresión con derivadas de la función de orden inferior a la buscada, se debe despejar en la ecuación correspondiente la derivada respectiva y sustituirla en la ecuación que nos da la derivada pedida, con la finalidad de dar el resultado en función de la variable independiente y de la variable dependiente solamente. Un esquema que nos ilustra esta explicación para calcular derivadas implícitas de orden superior en una ecuación que define a y como función implícita de x an yn + an-1 yn-1 + .......+ a1y + a0 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°[1] es el siguiente: Derivar implícitamente a y con respecto a x en la ecuación [1], Expresar y ′′ como una fracción simple. A la ecuación resultante asignarle un nombre,por ejemplo [2] Despejar la primera derivada en la ecuación derivada [2] Si se quiere hallar la segunda derivada, derivar implícitamente la ecuación [2] y asignarle un nombre, por ejemplo [3] Despejar la segunda derivada en la ecuación [3] Si se quiere hallar la tercera derivada, derivar implícitamente la ecuación [3] y asignarle un nombre, por ejemplo [4] Despejar la tercera derivada en la ecuación [3] Parar de derivar implícitamente cuando se obtenga la derivada enésima Despejar la derivada enésima en la última ecuación Sustituir las derivadas primera, segunda,......,n-1, en la expresión que da la derivada enésima y ordenarla para expresarla en términos de x e y. Si se pide calcular la derivada pedida en un punto (x0,y0), evaluar en dicho punto para obtener el resultado deseado FIN 7. Aplicando propiedades de la derivada.

170

Halla f ′′ (x) para la función dada por f(x) = ex + sen x + x ▲ Calculamos la primera derivada x f ′ (x) = e + cos x + 1.

concluimos que Dom f ′ es un subconjunto del dominio de f tal que la máxima cantidad de elementos que puede tener es la cantidad de elementos que tiene el dominio de f, es decir lo mas grande que puede llegar a ser el dominio de f ′ es el conjunto dominio de f. Por lo tanto Dom f ′  Domf. Las alternativas b), c) y d) son falsas por lo explicado en la parte a). 3.

a) Si en el ejercicio propuesto 4.2.1 cambiamos a por e, ya que aIR tal que a>0, entonces se tiene x

f ′(x) = e Lge e =

x

e x =e . Lne

b) f ′(x) = lím h→ 0

sen(2(x + h)) - sen2x = h  2(x + h) + 2x  sen  2(x + h) - 2x     2 2    

2cos = lím

h

h→ 0

= lím

2 cos(2x + h) sen h h

h→ 0

= 2 cos 2x .

Aquí se usa la identidad trigonométrica sena-senb = 2cos((a+b)/2)sen((a-b)/2) y el límite notable:

lím

h→ 0

senh = 1. h

Pregunta 3 1.

a) El teorema 4.1 dice lo siguiente: “Sean DIR, f:IRgIR una función y x0 un elemento del conjunto D. Si f es diferenciable en x0, entonces se cumple que f es continua en x0.” Por lo tanto este teorema garantiza que si una función g es derivable en un punto x0 de su dominio, entonces g es continua en ese punto. b) No es cierto que si una función f es continua en un punto x 0 de su dominio, entonces f será derivable en ese punto. Por ejemplo la función dada por f(x) = | x-1 | es continua en todo el conjunto de los números reales pero no es derivable en el punto de abscisa x = 1, ya que en ese punto presenta un pico. Gráficamente: y

1 0

2.

1

Si f:[a,b]gIR es una función continua en un punto x0  [a,b], entonces: a) f tiene derivada a la derecha de x0 si existe el límite

146

x

lím → +

x

x0

f(x) - f( x0) x - x0

b) f tiene derivada a la izquierda de x0 si existe el límite

f(x) - f( x 0 ) x - x0 x→ x-0 lím

3.

Para estudiar la derivabilidad de la función f en el punto x = 0 se debe verificar si f es derivable en ese punto. Para esto debemos calcular las derivadas laterales de f y ver si son iguales, en caso afirmativo f será derivable en x = 0, de lo contrario f no será derivable en ese punto. Veamos:

 - 6x si x < 0  f(x) =   4x si x ≥ 0  luego f ′ - (0) = lím -

- 6x - 0

=- 6

x

x →0

f ′ + (0) = lím + x →0

4x - 0

= 4.

x

Como f−′ (0) ≠ f+′ (0) , f no es derivable en x=0. Otra forma de resolver este ejercicio es usando la tabla de derivadas, veamos: Usando la tabla de derivadas tenemos que (ax+b)’ = a, luego f−′ (x) = ( − 6x)′ = −6 y f+′ (x) = 4

entonces

f−′ ( 0 ) ≠ f+′ ( 0 ) Así f no es derivable en x = 0. Pregunta 4 1.

1 1 1 1 −1 ′  13 ′ 1 x 3  x 2 + 3  − x 3 1 x 2 −1 3  1   x    2  x = 3  = 1 2   2 + x 3    x +3 x +3

(

−

)

2 3

1 1 1 ′ x  x 2 + 3  −  1  x 3 x − 2 1 2 1 − − − 6 3 6   x 3 2 2 x + 6 x − 3       = = 2 2  x +3 x+3 6 x+3   ′ 2 1  3 x  6x − 3 − x − 6   = 2  x +3   6 x +3

3

(

(

)

(

)

)

147

2.

Como la razón de aumento con el tiempo de la masa es proporcional a su superficie, se tiene dM = kS dt

donde k es la constante de proporcionalidad que depende de las condiciones atmosféricas.

Si llamamos ρ a la densidad del agua, se tiene por definición física que: M =

4 ρπr3 y por 3

definición geométrica: S= 4πr2. Ahora

dM dM dr = dt dr dt Ya que M depende de r y a su vez r depende de t, esto es M(r(t)). Así 4 π r2 k = k S =

4π r 2 k = 4πρ r 2

dr dt

de donde

dr k = (constante). dt ρ Por lo tanto, el radio de la gota crece a razón constante. Entonces si r tarda 20 segundos en crecer 1 mm, en un minuto r crecerá 3 mm.

148

SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN II ( Ver página 112) Pregunta 1 La opción a) es incorrecta porque si los dominios de las funciones no tienen elementos comunes no se puede realizar la suma de funciones, ya que por definición, para dos funciones reales f y g se debe cumplir que: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y si x Dom f y x Dom g no tiene sentido hablar de g(x). Por lo tanto no es correcto hablar de (f+g)(x) y en consecuencia tampoco de (f + g )′ (x). La opción b) es incorrecta porque si ambas funciones no tienen elementos en su dominio, ya que para dos funciones reales f y g se debe cumplir que: (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x Domf Domg, pero esa posibilidad no es cierta porque esa intersección es vacia. Por lo tanto no se puede hablar de (f + g)(x) y en consecuencia no tiene sentido hablar de (f + g)′(x ) . La opción c) es correcta ya que por definición la suma de funciones está dada para todo elemento del dominio común de las funciones involucradas en la operación. Por lo tanto si la intersección de los dominios de funciones a sumar es no vacia, entonces se puede hablar de la suma de las funciones y por lo tanto de la derivada de la suma en todos los elementos del dominio común. La opción d) no es correcta ya que si una de las funciones a sumar tiene dominio vacio, no tiene sentido hablar de un elemento x común, para el cual ambas funciones estén definidas, por lo tanto no es posible hablar de (f+g)(x), en consecuencia no tiene sentido (f + g )′ (x). 2. a) Al calcular la derivada de la función h, definida por h(x) = tgx Lnx se obtiene como resultado: h′ (x) =

2 sec x . x

F

Esta afirmación es falsa por definición de la derivada de un producto de funciones ya que la derivada de un producto es diferente al producto de la derivada de las mismas. b) Si A y B son subconjuntos de los números reales no vacios que tienen elementos comunes y si f: AIRgIR y g: BIRgIR son funciones reales derivables. Entonces el dominio de la función derivada (fg)′(x ) es el conjunto C = A B. V Esta afirmación es verdadera porque las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente de funciones se definen para los elementos del dominio común de las funciones involucradas en dichas operaciones. c) Si A y B son subconjuntos de los números reales no vacios que tienen elementos comunes y si f: AIRgIR y g: BIRgIR son funciones reales derivables tal que: Rgf B→, entonces es posible calcular (g o f)′ .

V

Esta afirmación es verdadera porque por definición la composición de las funciones f y g se puede realizar ya que Rgf B  →. Por lo tanto es posible calcular (g o f)′ para todo xRgf B

3.

2 Si f ′(x ) = 3 x − 1 y

y = f (x 2 ) se tiene aplicando la regla de la cadena que dy = f ′( x 2).( x2 )′ dx 149

luego

dy = 2x 3( x2 )2 - 1 = 2x 3 x4 - 1 . dx

Pregunta 2 1. El proceso seguido para derivar implícitamente una función dada por y=f(x), consiste en hallar la derivada y ′ , sin despejarla de la ecuación G(x,y)= y - f(x) =0. 2.

Derivamos con respecto a x, en forma implícita, en la ecuación dada y se tiene: y + xy ′ + 3cosxy(y + xy ′) − (y′secxy + y(secxytgxy(y + x y ′)) = (y′ + 1)e y + x

Luego agrupando términos y despejando: (x+ 3xcosxy - secxy - yxsecxy(tgxy) -ey+x) y′ =ey+x+ y 2secxy(tgxy)-y-3ycosxy entonces

y′ =

2

y +x

e + y secxy (tgxy) - y - 3ycosxy . x + 3xcosxy - secxy - yxsecxy (tgxy) - e y+x

Ahora evaluamos y ′ en (0,0) y resulta y′ =

3.

e

0

−1− e

0

=−

1

.

2

Sabemos por el ejemplo (3) de la Sección 4.9.2 que: (arccosx )′ =

-1 1 - x2

entonces para calcular la derivada de la función compuesta arccos(f(x)) se aplica la regla de la cadena y se tiene:

(arccos ( f (x))) ′ = -

1 1 - ( f (x) )2

en este ejemplo f(x ) =

por lo tanto:

150

1− x 2 1+ x 2

,

f ′(x) =

- 2x(1 + x 2) - (1 - x 2)2x (1 + x 2 )2

f ′(x) =

- 2x - 2 x 3 - 2x + 2 x3 (1 + x 2 )2

f ′(x) =

- 4x , (1 + x 2 )2

f ′(x)

luego

′   1− x 2    = − g ′(x ) =  ar cos  1+ x 2      

2    ar cos 1 − x  1+ x 2   

′   =  

  4x   −  2  2 2   1− x 2   1 + x   1−   1+ x 2    1

(

)

4x

(1+ x ) − (1− x ) (1+ x ) (1 + x ) 2 2

2 2

2 2

2 2

2     arccos 1 - x   ' =  1+ 2    x   

4x 4x

2 (1+ 2)

x

=

4x , 2x(1 + x 2 )

en conclusión 2    ar cos 1 − x  1+ x 2   

′    = 2  1+ x 2 

Pregunta 3 1.

Derivamos implícitamente en la ecuación 8(x 2 + y 2 )2 = 100 ( x 2 - y 2)

resultando

16( x2 + y2 )(2x + 2 y′y) = 100 (2x - 2 y′y) Procedemos a despejar y′ 4x3 + 4y3 y′ + 4y2x + 4x2y y′ = 25x - 25y y′ (4y3 + 4x2y + 25y) y′ = 25x - 4x3 - 4y2x

y′=

2

25x - 4 x3 - 4 y x 3

4 y + 4 x2 y + 25y

evaluamos y′ en el punto de coordenadas (3,1) para obtener la pendiente de la recta tangente en ese punto y ′(3) =

75 - 108 - 12 45 9 ==4 + 36 + 25 65 13

Ahora calculamos la pendiente de la recta normal m =-

1 13 = y ′(3) 9

por lo tanto la ecuación de la recta normal que pasa por el punto (3,1) es y - 1 =

13 (x - 3) . 9 151

2.

y=

x 2  1x  x x2 + 1  

luego   2  1x    x  x  Ln y = Ln  2    x +1 

entonces

  1  x2  Ln y = Ln + Ln x x  2  x +1  2 1 1 Ln y = Ln x + Ln x 2 2 x + 1 x

Ln y =

1 (Ln x2 - Ln(x2 + 1)) + 1 Ln x 2 x

Ln y = Ln x -

1 Ln x Ln( x2 + 1) + 2 x

Derivando implícitamente con respecto a la variable x en la última ecuación se obtiene

y′ 1 x 1 - Ln x = + y x x2 +1 x2 Despejando y′ resulta:

x 1 − Lnx  1 y ′ = y  − +  2 x2   x x +1 Por lo tanto

y′ =

x 2  1x x x2 + 1 

  1 −  − x + 1 Lnx   x x 2 + 1 x2 

 x = t +1    y = sen( π t) 

3. dy = π cosπ t ; dt

dx = 1, dt

entonces y ′ = πcosπt. 152

Pregunta 4 1.

-1

Hacemos y=cosh x, luego x=coshy , entonces x=e

y+

e-y = e 2y + 1 2 2ey

de donde se obtiene la ecuación e2y - 2xey + 1 = 0 cambiamos la variable haciendo t=ey, entonces nos queda la ecuación polinómica de segundo grado en t. t2 - 2xt + 1 = 0 luego

t=

2x ± 4 x2 - 4 2x ± 2 x2 + 1 = 2 2

simplificando t = x ± x2 - 1

devolviendo el cambio t=ey queda y 2 e =x± x -1

aplicamos logaritmo neperiano Ln e y = Ln (x ± x2 - 1)

entonces y = Ln (x ± x 2 - 1)

expresión que está bien definida si x2-1⊕0 o x2⊕1 o |x⊕1 es decir si x(-×,-1]U[1,+×), pero debe cumplirse x > x2 -1 y esto se cumple para x[1,+×) pues el logaritmo está definido solo para números positivos, por lo tanto

y = Ln (x + x2 - 1) .

Luego, como y=cosh-1 x, se tiene -1 2 cosh x = Ln (x + x - 1)

ahora

(cosh -1 x) ′ =

 1 + x + x 2 - 1 

( cosh-1 x) ′ =

 x2 -1 + x  .  2  x + x2 - 1  1 x 

1

  2  1 x  x

1

153

Simplificando resulta

( cosh-1 x)′ =

. 2

x1- 1

La gráfica de la función coshx es y 2 y = cosh x

1

-2

-1

1

x

2

-1 -2

y la gráfica de su inversa es y 2 y=cosh-1x 1

-2

-1

1

x

2

-1 -2

la cual para que sea función se debe cumplir y⊕0 ó y≤0 y en la misma se observa que x debe ser mayor de 1, por lo tanto

( cosh-1 x) ′ =

2.

para x > 1 . 2

x1 - 1

La gráfica de la curva es y

y = x 2 +1 1 0

x

Luego derivamos implícitamente con respecto a la variable t.

154

dy x dx = . 2 dt x + 1 dt Como x=3 y tenemos que

3.

dx = 4 , entonces al sustituir en la expresión anterior queda dt

dy  3  12 6 4 = = = 10 . dt  9 + 1  10 5 Una función real f con dominio real alcanza un mínimo absoluto en un punto x0 de su dominio si: La alternativa a) es incorrecta porque si se cumple que: para todo x en un subconjunto del dominio de f, f(x)≤f(x 0), entonces en x0 f alcanza un máximo local. La alternativa b) es correcta ya que por definición de mínimo absoluto se cumple que: para todo x en el dominio de f, f(x)⊕f(x 0). La alternativa c) es incorrecta porque si se cumple que: para todo x en el dominio de f, f(x)≤f(x 0), entonces f alcanza un máximo absoluto en x0. La alternativa d) es incorrecta porque si se cumple que: para todo x en un subconjunto del dominio de f, f(x) ⊕f(x0), entonces f alcanza un mínimo local en x0.

Pregunta 5 1.

Responde con una V si la siguientes preguntas son verdaderas y con una F si son falsas: a) En los puntos donde una función derivable, en todo su dominio, alcanza extremos la recta tangente a la gráfica de dicha función es vertical Es falsa esta afirmación porque en esos puntos la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal.

F

b) Los puntos del dominio de una función, donde su derivada no existe , son puntos críticos de dicha función. V Es verdadera por definición los puntos críticos son los puntos del dominio de la función donde la derivada se anula o la derivada no existe. 5

4

c) Es falso, por ejemplo la función dada por f(x) = x con Domf = IR, cumple que f ′ (x) = 5x y por lo tanto f ′ (0) = 0. Sin embargo el punto de coordenadas (0,0) no es punto extremo de la gráfica de f, pués en la misma existen puntos que están por debajo y por encima del (0,0). ¡ Dibuja la gráfica de f ! F y 3

...

2.

2 1 2 0

1

3

x

Como f es una función dada a trozos y está definida en el conjunto [0,+×) - {2} debemos buscar los puntos críticos, derivando en cada trozo y estudiando la derivabilidad de f en los puntos de su dominio, donde hay cambio de comportamiento de la función, para ver si ahí existe ó no la derivada.

155

Tenemos  1 si 0 < x < 1    f ′(x) =  2 (x - 2) si 1< x < 2    3 (x - 2 )2 si x > 2

Pero en x=1 la función f no es continua ya que cuando x tiende a 1 por la izquierda f(x) tiende a 2 y cuando x tiende a 1 por la derecha, f(x) tiende 1 por lo tanto f no es continua en x=1, en consecuencia no es derivable en ese punto, es decir f ′(1) no existe. Entonces x=1 es un punto crítico de f. Además f ′(x) no se anula en el intervalo (0,1) Para x  (1,2) se tiene f ′(x) =2(x-2). Pero 2(x-2)=0 si y sólo sí x=2, y como para este valor f no está definida entonces f ′ no se anula en ese intervalo. Un razonamiento similar se hace para el intervalo (2,+×). Ahora en el intervalo (0,1), f ′(1) =1>0, entonces f es creciente en este intervalo. En el intervalo (1,2), f ′(x) =2(x-2)1, se cumple cosh −1 x =

1 x2 − 1

x -x donde cos h x = e + e se conoce como 2

coseno hiperbólico de x.

2.

Un punto en el plano xy se mueve a lo largo de la gráfica de la curva dada por dy dx y = x 2 + 1, de manera que = 4 , calcula dt dt

3.

cuando x=3.

De las opciones de solución para la siguiente afirmación decide cual es la única correcta: Una función real f con dominio real alcanza un mínimo absoluto en un punto x0 de su dominio si: a) para todo x en un subconjunto del dominio de f se cumple que f(x) 7 f(x 0). b) para todo x en el dominio de f se cumple que f(x) 8 f(x 0). c) para todo x en el dominio de f se cumple que f(x) 7 f(x 0). d) para todo x en un subconjunto del dominio de f se cumple f(x) 8 f(x 0).

113

Pregunta 5 1.

2.

Responde con una V si las siguientes preguntas son verdaderas y con una F si son falsas: a)

En los puntos donde una función derivable alcanza extremos, la recta tangente a la gráfica de dicha función es vertical

b)

Los puntos del dominio de una función, donde su derivada no existe , son puntos críticos de dicha función.

c)

Si la derivada de una función en un punto se anula, entonces la función presenta un extremo en ese punto.

Dada la función f definida por: si 0 ≤ x ≤ 1  x +1    si 1 < x < 2 f(x) = (x - 2 )2   (x - 2 )3 + 1 si x > 2

Determina los puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y la naturaleza de los puntos críticos. 3.

Calcula los valores extremos de la función dada por h(x) = 3 (senx ) 2 , en el intervalo

 π 2π   - ,  y clasifícalos en absolutos o locales.  6 3 

114

Comentario

Hemos calculado la derivada de funciones y hemos obtenido otra función, por lo tanto podemos pensar que la función obtenida al derivar proviene de otra función conocida, esto es si conocemos la función dada por f(x), la cual es derivable; su derivada es f′ (x). De lo dicho podríamos preguntarnos ¿ es posible realizar el proceso inverso?, es decir ¿dada la derivada de una función f , f′ (x) podremos hallar f(x)?. Aunque no contestaremos esta interrogante con una demostración por ser materia que va mas allá del alcance de este módulo, veremos su factibilidad ilustrándola con ejemplos, en efecto: si f′ (x)=nxn-1, sabemos que la función que nos lleva a esta derivada es f(x)=xn pues (xn)’=nxn-1. Otro ejemplo es: si h′ (x)=cosx, sabemos que h′ es la derivada de la función h(x)=senx, pues (senx)’=cosx.

?

A las funciones que se obtienen en el proceso contrario de derivar, se conocen como funciones primitivas, las cuales se calculan aplicando una técnica conocida como Integración de funciones. Entonces según los ejemplos vistos en este comentario tenemos que una primitiva de la función dada por nxn-1 es la función xn , también obtuvimos que una función primitiva de cosx, es la función dada por senx. Las funciones primitivas no son únicas, por ejemplo si k es una constante real (senx+k)’=cosx y (xn+k)’=nxn-1 pues (k)’=0. Por lo tanto para cada valor en los números reales de la constante k, se tiene una primitiva diferente de las funciones cosx y nxn-1 respectivamente.

Ejercicios Propuestos 4.3 Para cada una de las siguientes funciones verifica si son derivables en los puntos cuyo valor de la abscisa se indica:

- x + 5 si x ≤ 5   1) h(x) =    3x - 15 si x > 5 2) g(x) =| 3x - 2 |

4.7

en x = 5

2 en x = . 3

Propiedades de la Derivada y Reglas de Derivación

El proceso de calcular derivadas usando límites puede resultar poco práctico y muy tedioso cuando queremos hallar derivadas de funciones muy complicadas. Por lo tanto es 54

conveniente, salvo indicación contraria auxiliarse con la tabla de derivadas y algunos resultados que nos permitirán simplificar estos procesos, los cuales daremos a continuación: 1.

Si f es una función diferenciable y a una constante, entonces f ′ (ax)=a f ′ (x).

2.

Si f y g son funciones diferenciables en xDomf Domg, entonces

(f + g )′ (x) = f ′(x) + g ′(x)

(1)

En palabras, la derivada de la adición de funciones es igual a la adición de las derivadas de cada función sumando.

3.

Si f y g son funciones diferenciables en xDomf Domg, entonces

(f - g ) ′(x) = f ′(x) - g′ (x).

(2)

En palabras, la derivada de la diferencia de dos funciones derivables es igual a la diferencia de las derivadas de cada función componente de la resta. Demostraremos usando la derivada por definición, que la adición de dos funciones derivables satisfacen que: (f + g) ′(x) = f ′(x) + g ′(x) , en efecto:

Desarrollo Justificación (f + g)(x + ƒ x) - (f + g)(x) = ƒx ƒ x →0

(f + g)′(x) = lím

(f(x + ƒ x) + g(x + ƒ x)) - (f(x) + g(x)) = lím = ƒx ƒ x→ 0 f(x + ƒ x) - f(x) + g(x + ƒ x) - g(x) = ƒx ƒ x→ 0

= lím

Se reordena el numerador para que aparezcan los cocientes que dan f ′ y g′ .

f(x + ƒ x) - f(x) g(x + ƒ x) - g(x) = + lím x ƒ ƒx ƒ x →0 ƒ x →0

Se aplica la propiedad : el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites siempre y cuando el límite de cada sumando exista. ¿ Por qué?.

= lím

= f ′(x) + g′(x).

(1)

(2)

Se aplica la propiedad: si f y g son dos funciones, entonces en el dominio común de f y g se cumple que (f+g)(x)=f(x)+g(x).

Propiedad de funciones vista en el Módulo 2 del Curso Matemática I (175-176177).

Ver Módulo 3 del curso Matemática I (175-176177) y Módulo I de este curso.

Aunque no lo probaremos aceptaremos que esta propiedad es válida para la adición de n funciones derivables, esto es: ( f1 + f2 + .... + fn )′(x ) = f1′ ( x ) + f 2′ (x ) + ... + fn′ ( x ). Esta propiedad es válida para el caso de la diferencia de n funciones derivables, esto es:

(f − f − .... − f )′( x ) = f ′ ( x ) − f ′ ( x) − ... − f ′ ( x). 1 2 n 1 2 n

55

4.

Si f y g son funciones derivables en un dominio común, entonces si x es un elemento de ese dominio se tiene que

Fíjate que si g es constante se obtie ne la propiedad 1.

(1) (f(x)g(x))´= f ′ (x)g(x) + f(x) g′ (x)

En palabras podemos decir que la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función (que aparece en el producto) por la segunda función sin derivar, mas la primera función por la derivada de la segunda.

Prueba Justificación

Desarrollo (f( x + ∆x )g(x + ∆ x )) − f(x )g(x ) = ∆x ∆x − → 0 + + +∆ + +∆ − ∆ ∆ − = lím f(x x )g(x x ) f(x x )g(x ) f(x x )g( x) f(x )g(x ) = ∆x ∆x − → 0 +∆ − +∆ −   = lím  f (x + ∆ x) g(x x ) g(x ) + g( x ) f(x x ) f (x )  = ∆x ∆x  ∆x − → 0  + ∆x ) − g( x ) + ∆ x ) − f (x ) f ( x g ( x = lím f (x + ∆x ) + lím g(x ) = ∆x ∆x ∆x − → 0 ∆x − →0 +∆ − +∆ − = lím f (x + ∆x ) lím g( x x ) g(x ) + g(x ) lím f(x x ) f (x ) = ∆x ∆x ∆x − → 0 ∆x − → 0 ∆x − → 0 = f(x )g′(x ) + g( x )f ′(x ).

(f.g)′(x ) = lím

Es importante destacar que la derivada de un producto de funciones no es igual al producto de las derivadas, este es un error muy común cometido por las personas que comienzan a estudiar las derivadas (f(x)g(x))´  f´(x)g´(x).

Se suma y se resta en el numerador f(x +∆x)g(x) con el fin de factorizar para que aparezcan los cocientes que dan f ′ y g′ . Como existen los límites ¿ por qué? se aplica la propiedad del límite de la suma. Se separa cada sumando como una multiplicación de límites ¿ por qué?.

Al aplicar la propiedad conmutativa de la adición y de la multiplicación de números reales se concluye que: (fg)′( x ) = f ′(x )g(x ) + f (x )g′(x ) n

Ejercicio Propuesto 4.4 a) Calcula la derivada de la función definida por: h(x)=xsenx. b) Compara la derivada obtenida en la parte a) con el producto de las derivadas de las funciones dadas por: I(x)= x y f(x) = senx. c) ¿ Qué concluyes al comparar los resultados que obtuvistes en las partes a) y b)? d) ¿ Te da alguna información con respecto a la derivada del producto de dos funciones? ¿ Qué concluyes ?

(1)

Esta propiedad es válida para el caso del producto de n funciones derivables, esto es: ( f 1∞f2∞...∞fn)´(x) = f´ 1(x)∞(f2(x)∞...∞fn(x)) + f´ 2(x)∞(f1(x)∞...∞fn(x))+...+f´ n(x)∞(f1(x)∞f2(x)...∞f n - 1 (x)).

56

5.

La derivada de un cociente de dos funciones derivables f y g definidas en un dominio común donde no se anula la función del denominador viene dada por:

′ f  f ′( x) g( x ) − f( x )g′( x )   = ( g( x)) 2 g 

Observa que

′  f(x)  f ′(x)   ≠ . g ′(x)  g(x) 

para todo x en el dominio común en f y g tal que g(x) ≠ 0

Dicho en palabras la derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo eso dividido entre el denominador al cuadrado

Ejercicios Propuestos 4.5 1.

Demuestra la propiedad que define la derivada del cociente de dos funciones.

2.

a) Compara la derivada de la función dada por f(x)=tgx con la función dada por: la fracción cuyo numerador es la derivada de la función g(x) = senx y cuyo denominador es la derivada de la función h(x)= cosx.

**

b) ¿Qué concluyes?. c) ¿ Puedes entonces afirmar que la derivada de un cociente de funciones es igual al cociente de la derivada de la función numerador entre la derivada de la función denominador?.

Ejemplos 4.7.1 Aplica las reglas de derivación dadas hasta ahora, para calcular la derivada de las siguientes funciones definidas por: 3x + 2 x2 - 4 x3 1) f(x) = 5x + 2 2) g(x) =

5 cosx + 3senx 15

3 x 3) h(x) = x -3 1-

4) d(x) =

1 - cosx . senx

57

1)

p

Se aplican las siguientes reglas: la derivada de un cociente, la derivada de una suma y la derivada de una diferencia. Se aplican las propiedades:

( )′ xn

= nx

n−1

f ′(x) =

(3x + 2 x 2 - 4 x 3)′ (5x + 2) - (3x + 2 x 2 - 4 x 3)(5x + 2 ) ′ (5x + 2 )2

f ′(x) =

((3x)′ + (2 x 2 ) ′ - (4 x 3 ) ′)(5x + 2) - (3x + 2 x 2 - 4 x 3 )((5x) ′ + (2) ′) (5x + 2 )2

y

(af( x ))′). =

f ′(x) =

(3 + 4x - 12 x 2)(5x + 2) - (3x + 2 x2 - 4 x 3)(5) (5x + 2 )2

f ′(x) =

15x + 20 x2 - 60 x3 + 6 + 8x - 24 x2 - 15x - 10 x2 + 20 x3 (5x + 2 )2

f ′(x) =

6 + 8x - 14 x2 - 40 x3 . 25 x2 + 20x + 4

= af ′( x

donde a es una constante.

2)

p

■

En este caso el denominador es constante, por lo que es conveniente escribir g como una suma de fracciones, veamos:

g(x) =

3 5cos x + 3sen x 5 sen x cos x + = 15 15 15

g(x) = Ahora

1 1 cos x + sen x. 5 3

′ 1 1 1 1  g′ (x) =  cos x + sen x  = (cos x) ′ + (senx )′ 5 3 5 3   g′ (x) =

1 1 1 1 (- sen x) + cos x = cos x - sen x 3 5 5 3

■

Comentario

Nota que en este ejemplo no se aplicó la regla de la derivada de un cociente, pues no hizo falta por ser el denominador una constante. La derivada de la constante que aparece en el segundo sumando del numerador de la fracción que aparece al aplicar la regla que da la derivada de un cociente de funciones, hace que ese término se anule, en efecto:

g ′ (x) =

(5 cosx + 3 senx) ′15 - (5 cosx + 3 senx)(15) ′ (15 )2

=-

58

1 1 senx + cosx 3 5

=

por lo tanto cuando tenemos un cociente de funciones que tiene por numerador a una función y por denominador a una función constante (o simplemente constante), no es necesario aplicar la regla de la derivada de un cociente al derivar, basta con aplicar la regla de derivación de una función por una constante.

3)

p Para hacer los cálculos mas sencillos reordenamos la fracción y simplificamos, resulta

3 x-3 x-3 1 h(x) = x = x = = x - 3 x - 3 x(x - 3) x 1-

Luego si aplicamos directamente la regla de la derivada del cociente de funciones tenemos que: ′ (1)′ x − 1( x) ′ 0 − 1 1 1 h ′( x) =   = = =− 2 2 x x x x2  

Aplicando la regla de la derivada de un cociente.

Otra forma de resolver este problema es usando el resultado obtenido en el ejemplo 4.6.1.6 del cual se obtiene directamente que: h′(x) = -

1 x2

.

Comentario

En este ejemplo se expresó h de una manera mas simplificada para facilitar los cálculos. Se recomienda en casos como este, simplificar la expresión primero y luego derivar siempre y cuando se tenga claro el dominio en el cual este definida la función original. Fíjate que la función que aparece en el enunciado tiene dominio al conjunto de todos los números reales x, excepto x=0 y x= 3. Al simplicar se obtiene una función con dominio el conjunto de todos los números reales x, excepto x = 0. Por lo tanto los dominios de la función original y la función que resulta de la simplicación son diferentes. Entonces la simplicación sólo agiliza los cálculos, pero en general cambia la función. ¿ Por qué?

59

4) ′′  (1- cos x) ′sen x - (1 - cos x)(sen x) ′  1 - cos x    d ′(x) =    =   (sen x )2  senx 

p

2

d′ (x) =

2

sen x+cos x=1, (senx)2 =sen2x, 1 = cosec x sen x cos x y = cotg x . sen x

d′ (x) =

sen x sen x - (1- cos x)cos x sen 2 x + cos2 x - cos x = 2 2 sen x sen x

1 - cos x 1  cos x  1 - =  2 2 sen x sen x  sen x  sen x

d′ (x) = cosec2 x - cotg x cosec x.

■

Algunos de los ejercicios que se proponen a continuación ya han sido resueltos usando la definición de derivada, ahora se exige que se resuelvan usando las reglas de derivación.

Ejercicios Propuestos 4.6 Aplica las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones dadas por: 1.

t(x)=tg x

2.

c(x)=cotg x

3.

s(x)=sec x

4.

z(x)=cosecx 2

5. f(x) =x senx-3xcosx+senx

t +2

6.

g(t) =

7.

h(s)=(s +2)

t + 4t + 4 2

3

2

8.

2   f(x ) = x 4  1 −   x + 1

9.

g(x ) =

sen x 1 - cos x

Hasta ahora hemos calculado derivadas de funciones “simples” con el fin de entender el significado físico y geométrico de la derivada, además de tratar de entender el fundamento de cada cálculo, requerido para obtener los resultados correctos al derivar funciones. Esta experiencia, si la asimilamos, nos permitirá desenvolvernos con destreza operativa eficiente en el cálculo de derivadas. No siempre es tan sencillo trabajar con las funciones que se desean derivar, ya que no 60

todas son como las que hemos trabajado. En los problemas generalmente se presentan funciones mas complicadas como las funciones compuestas, las cuales conducen a funciones inversas de otras o llevan a funciones implícitas que son un tipo de funciones que no están dadas directamente ( de manera explícita) en una ecuación, como las que hemos venido trabajando y = f(x). Las funciones inversas e implícitas las introduciremos mas adelante, con el fin de enseñar el cálculo de las derivadas de las mismas.

4.8 Derivación de funciones compuestas. Regla de la Cadena. Las derivadas de funciones compuestas en el fondo involucran razones de cambio instantáneas que están relacionadas con otras razones de cambio instantáneas, en estos casos se pretende derivar una función compuesta para la cual no solo varia ésta con respecto a la variable mas externa de la cual depende, sino que varia también la función interna con respecto a la variable mas interna sobre el dominio donde está definida la función original. El siguiente ejemplo ilustra una situación en la que se presenta la dependencia de funciones que dependen al mismo tiempo de otras: Ejemplo 4.8.1 Al inflar un globo esférico su radio crece a razón de 0,2

cm cuando r =2 cm, determis

na a que razón crece el volumen V del globo en ese instante.

p La razón de cambio instantánea del radio con respecto al tiempo, cuando r = 2cm, es dr = 0,2 cm . Nos piden hallar la razón de cambio instantánea con la dt s que varia el volumen con respecto al tiempo, es decir

dV . Como el globo es dt

4 esférico su volumen es V = ðr3 . Entonces la variación de cambio instantánea del 3 volumen con respecto al radio es la derivada del volumen con respecto al radio, es dV

2 decir: d r = 4 π r .

Esto significa que el volumen del globo depende del radio de la esfera que se forma al inflarlo, a su vez el radio del globo depende del tiempo, por lo tanto el volumen es una función compuesta dada por V(r(t)) que no se puede derivar directamente con repecto al tiempo.

El volumen de una esfera de radio r esta dado por:

V=

4 3 πr . 3

Tenemos ahora una situación nueva al intentar derivar, ya que no estamos en el caso de una función simple. ¿Cómo realizar la derivación de funciones de este tipo?

? La derivación de este tipo de funciones sugiere la derivación en cadena de la función compuesta. Antes de continuar con el ejemplo anterior veremos la propiedad de las derivadas que 61

permite calcular la derivada de una función compuesta. Esta propiedad se conoce como la regla de la cadena y dice lo siguiente:

☞

Teorema 4.2. Regla de la Cadena Si y=f(u) es una función diferenciable que depende de u y u=g(x) es una función diferenciable que depende de x, entonces y=f(g(x)) es una función diferenciable que depende de x cuya derivada está dada por la expresión

dy dy du = . = f ′(g(x)). g′(x). dx du dx Nota que en esta propiedad el orden de derivación está dado por el orden de aparición de las funciones en la composición. Según la regla de la cadena podemos inferir que el problema planteado en el ejemplo 4.8.1, se debe derivar primero el volumen con respecto al radio y luego multiplicar por la derivada del radio con respecto al tiempo. (Hecho que probaremos analíticamente mas adelante). Hemos dicho que el volumen depende del radio y éste a su vez depende del tiempo, es decir V(r(t)), entonces al derivar tenemos dV dt

(t) =

dV dr 2 dr . . = 4 ðr dr dt dt

←

Cuando r = 2cm se tiene dr = 0,2 cm , luego resulta que la variación instantánea del dt s volumen con respecto al tiempo, es decir la derivada del volumen con respecto al tiempo cuando el radio alcanza un valor de 2cm es:

Tomamos π = 3,14.

3 3 dV cm 2 cm cm = 4 π (2cm ) (0,2 ) = 4 π 4(0,2) = 10,048 . dt s s s

■

El siguiente diagrama ilustra una forma de identificar las funciones según el orden de aparición en la composición: función interna

f(x(t)) función mas interna función mas externa Por lo tanto al derivar la función compuesta se debe obtener como resultado el producto de la derivada de f (aplicada a la función x(t) ) con respecto a x , por la derivada de x con respecto a t, por la derivada de t con respecto a t, es decir: (f(x(t))) ′ = f ′(x(t))x ′(t)t ′. Como la derivada de t con respecto a t es igual a 1, entonces (f(x(t))) ′ = f ′(x(t))x ′(t).

62

Otras razones de cambio en las cuales interviene el tiempo, se presentan en una gran variedad de problemas, entre otras tenemos por ejemplo: la razón con la que el agua fluye en un recipiente, la razón con la que crece un derrame de petróleo, el índice de aumento del valor de una propiedad. La aplicación de esta propiedad (regla de la cadena) al derivar funciones compuestas, nos permitirá manipular con gran versatilidad las reglas de derivación ya discutidas. Otros ejemplos de funciones a las cuales tambíen se le aplica esta propiedad son:

1)

f(x) = sen(ax) con a constante no nula

2)

g(x) = cos e c (x 3 + 3)

3)

h(x) = (x 5 + 4 x 2 - 2x + 1)7

4)

t(x) = x 5 + sec x 2 .

puedes observar que todas estas son funciones compuestas. No es necesario aplicar la regla de la cadena a funciones simples es decir, a funciones cuya derivada se puede hallar directamente por tablas o aplicando las propiedades algebraicas ya vistas, por ejemplo: 1) y(x) = x5 + 4x2 - 2x + 1 2) z(x) = cosecx 3) r(x) = senx + 4 4) p(x) = x + secx.

Ejercicio 4.8.1 : Demostrar la regla de la cadena. Demostración p Sea ∆u = g(x+∆x) - g(x) con ∆u0, entonces g(x + ∆x) = g(x) + ∆u =u + ∆u con ∆x0, además ∆y = f(u + ∆u) - f(u) = f(g(x + ∆x)) - f(g(x)). Haciendo analogía con la prueba para las regla del producto donde sumamos y restamos una misma cantidad para lograr la expresión deseada, en este caso procedemos a multiplicar y dividir por una cantidad no nula con el fin de lograr nuestro propósito.

**

Si x y x + ∆x son tales que pertenecen a un intervalo abierto para el cual ∆u0, entonces multiplicando y dividiendo por ∆u se tiene ƒy = ƒy ƒu ƒx

ƒu ƒx

. Hemos supues-

63

to g diferenciable por lo tanto g es continua. Si ∆xg0, entonces g(x+∆x)gg(x) por lo tanto ∆ug0 ¿por qué?. Luego

lím

ƒ x →0

ƒy  ƒ y  ƒu =  lím   lím  ƒ x  ƒ x →0 ƒ u   ƒ x →0 ƒ x 

o ƒ y  ƒu f(g(x +ƒ x)) - f(g(x))    lím =  lím . ƒ x →0 ƒx  ƒ u →0 ƒ u   ƒ x →0 ƒ x  lím

Por definición de variación instantánea se tiene: lím

u→0

lím

u→0

y dy = = f ′ (g(x)) u du u du = = g′ (x) x dx

Entonces (f(g(x)) )′ = f ′(g(x))g′ (x) La demostración anterior es válida solo cuando ∆u0. ¿ Por qué?

? Es importante recalcar que aunque la derivada de la función h=gof es el producto de las derivadas de las funciones de g y f, estas últimas se evalúan en puntos diferentes, ya que g′ se evalúa en f(x) mientras que f ′ se evalúa en x, esto es

h ′(x) = g ′(f(x))f ′(x) , además para poder aplicar esta regla se debe cumplir que la intersección del rango de f con el dominio de g sea no vacia. ¿por qué? En el caso de tener la composición de mas de dos funciones, por ejemplo:

y = f ogoh entonces

y ′ = f ′((g o h)(x).g ′ (h(x)).h′ (x) se deriva multiplicando la derivada de la función externa f evaluada en un elemento g(h(x)) por la derivada de la función interna g evaluada en un elemento h(x), por la derivada de la función mas interna evaluada en un elemento x del dominio de f, en este caso h(x).

Si tenemos la composición de n funciones f1,...,fn , al aplicar la regla de cadena resulta:

(f1 o f2 o ... o fn )′ (x) = f1′ ((f 2 o ... o fn )(x))⋅ f 2′ ((f 3 o ... o f n)(x))...fn′ (x)

Ejemplos 4.8.2

64

1)

Calcula la derivada de la función definida por f(x) = 1 - x2 . p Una manera de expresar la función dada por f(x) = 1- x2

como una composición

de dos funciones g y h por ejemplo h o g , es tomando g(x)=1-x2 y h(x)= x , ya que podemos escribir f(x)=( h o g )(x)=h(g(x))= g(x) = 1 - x 2 , luego para derivar f aplicamos la regla de la cadena

f ′(x) = h ′ (g(x))g ′(x), como

h ′ (x) =

1

y g ′(x) = - 2x

2 x

h′ (x) = ( x 2 )′ = 1

1 2 x

Usando la tabla y propiedades de las derivadas.

.

Se tiene f ′(x) =

1 2 g(x)

1

g ′(x) =

2 1- x

(-2x) = 2

x 1- x 2

■

2

2)

 1 Halla la derivada de la función dada por g(x) =  x -  .  x

p

1 g(x) = (f o h)(x) donde f(x) = x2 y h(x) = x 1 x como f ′(x) = 2x y h ′(x) = 1 + 2 , entonces al aplicar la regla de la cadena se tiene: x 1  1   g′(x) = f ′(h(x))h′(x) = 2 x −   1 + 2  x  x 

■ 3)

dy  2x - 1  . Si f ′ (x) = sen x2 e y = f   , calcula dx  x+1    p Como dy = f ′  2x - 1   2 x - 1  ' se tiene  x +1   x + 1  dx

65

dy  2x - 1   2(x + 1) - (2x - 1)  = f′    dx  x + 1   (x + 1)2  dy  2x - 1   3  = f′  ,  dx  x + 1   (x + 1)2 

2

 2x - 1   2x - 1  pero f ′ (x)=sen x 2, luego f ′   = sen   , por lo tanto x + 1    x +1  2

dy 3  2x - 1  = sen   . dx (x + 1 )2  x +1  n 4)

Si f (x) = x x x , calcula f ′ (x). p Aplicamos la regla de la cadena

1

f ′(x) =

2 x x x

 x 

 x x '= 

   x x + x x x '  =    2 x x x  1

=

  '    1  x = x =  x x +x   2 x x  2 x x x  1

=

  x  ′ ) = x x + ( x + x( x )    2 x x 2 x x x 

=

  x  x x + 2 x x 2 x x x 

1

1

  x + x  2 x

   .  

n 2

5)

66

Si f es la función dada por f(x) =

sen x.sen x2 . 1 + senx

Calcula f ′ (x). p

Tenemos un cociente de funciones para el cual el numerador es un producto de funciones compuestas, asi que para derivar f debemos aplicar la regla de la derivada de un cociente. Para derivar el numerador se aplica la regla de la derivada de un producto y para derivar cada factor se aplica la regla de la cadena, en efecto:

f ′(x) =

f ′(x) =

[( sen 2 x)′sen x 2 + sen2 x(senx 2)′ ](1+ senx) - (sen 2 xsen x 2)(1+ senx)′] (1+ senx )

2

(2senx cosx sen x 2 + sen2 x(cos 2 x)2x)(1+ senx) - (sen2 xsen x2)(cosx) 2

(1+ senx )

.

■ 6)

Calcula la derivada de la función dada por h(x)=Ln(cosx). p Aplicamos la regla de la cadena y resulta

h ′ (x) =

sen x 1 = - tgx. (cosx) ′ = cos x cos x

n

Ejercicios propuestos 4.7 1.

Aplica la regla de la cadena para hallar las derivadas de las siguientes funciones: 1) f(x) = e senx

2

2) h(x) = Ln(senx) 3) g(x) = (Lnx )n (n ∈ IR) 4) t(x) = Lnx n (n ∈ IR) 5) f(x) = 3 2 e x - 2x + 1 + Ln5 x.

2.

Aplica la regla de la cadena para calcular y ′ =

dy dx

en cada uno de los ejercicios

siguientes: 1) y = u2 + 3u - 4, u = 2x + 1 2) y =

3 2

2 z , z = 2u + 4, u = 2x - 1

3) y = w 2 -

1 , w

w = 4z, z =

1 , u = 2x. u

67

3.

Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de observación situada en el suelo a 5 km de la plataforma de lanzamiento. Supón que el ángulo de elevación θ de la linea visual hacia el cohete aumenta 3 grados por segundo cuando θ=60°. Calcula la velocidad del cohete en ese momento. Cohete

y

Estación de Observación

68

θ 5 Km

Base del cohete

AUTOEVALUACIÓN I

TIEMPO ESTIMADO: 3 horas

Ë

INSTRUCCIONES: En esta autoevaluación sobre las secciones 4.1, a la 4.8 encuentras preguntas de tres tipos: “selección simple”, “ verdadero y falso” “teóricas” y “ desarrollo”. Intenta responder todas las preguntas en el tiempo indicado sin ver las soluciones dadas en la página 145. Puedes usar calculadora.

Pregunta 1 1)

De las alternativas de solución para la siguiente pregunta decide cual es la única correcta: La variación de cambio instantánea o razón de cambio instantánea de una función real f de variable real en un punto x0 del dominio de f, esta dada por: a)

∆f = f(x) - f(x0)

b)

lím

c)

d)

2)

x → x0

f(x ) − f( x 0 ) x − x0

f (x ) − f(x 0 ) x − x0

lím

x → x0

f(x ) − f( x 0 ) x − x0

, siempre y cuando este límite exista.

Responde con una V si las siguientes preguntas son verdaderas y con una F si son falsas: a) Físicamente la variación instantánea de cambio se interpreta como la velocidad media de un móvil cuando éste se desplaza de una ciudad A hasta una ciudad B b) La rápidez de un móvil es el valor absoluto de la variación instantánea de un movil cuando éste se desplaza de una ciudad A hasta una ciudad B. c) La velocidad media de un móvil está dada por la razón media de cambio del espacio dado por: e(t) = t2 + 4 en el intervalo de tiempo [2,10], entonces la velocidad instantánea en el tiempo t=5 es igual a v(5) = 29 (unidades de velocidad).

3)

Da la interpretación goemétrica de la variación instantánea de cambio.

Pregunta 2 1)

Define la derivada de una función dada por f, en un punto x0 de su dominio.

2)

De las alternativas de solución para que la siguiente afirmación sea verdadera sólo una es 69

correcta , decide cual es la única correcta: El dominio de la derivada de una función real es: a) un subconjunto del dominio de la función b) un conjunto que contiene al dominio de la función c) no se intersecta con el dominio de la función d) es el conjunto que unido con el dominio de la función da como resultado el conjunto IR. 3)

a) Calcula, usando límites, la derivada de la función dada por: f(x) = ex. b) Calcula, usando límites, la derivada de la función dada por: f(x) = sen2x.

Pregunta 3 1)

Contesta correctamente las siguientes preguntas, dando una explicación que justifique tu respuesta: a) ¿Si una función g es derivable en un punto de su dominio, entonces g será continua en x0 ?. b) ¿ Si una función f es continua en un punto x0 de su dominio, entonces f será derivable en ese punto?.

2)

Define las derivadas laterales de una función f en un punto x0 de su dominio.

3)

Estudia la derivabilidad en el punto x = 0 de la función dada por:

 - 6 si x < 0  f(x) =   4x si x ≥ 0  Pregunta 4 1)

Aplica las reglas de derivación para calcular la derivada de la función dada por:

  . f(x) = 3 x    x1+ 3  2)

70

Imagina una gota de agua esférica que cae a través del vapor de agua del aire. Supón que el vapor se adhiere a una superficie, de modo que la razón de aumento con el tiempo de la masa M de la gota es proporcional a su superficie S. Si la gota inicia su caída con un radio r nulo y después de 20 segundos su radio es r=1mm. Calcula el momento en que el radio es r=3 mm.

4.9 Técnicas de Derivación que involucran la Regla de la Cadena 4.9.1 Derivación Implícita Las funciones trabajadas hasta el momento se han caracterizado porque hemos establecido explícitamente la regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de su dominio con su imagen, es decir si una función está dada por la fórmula y = f(x), es claro que ésta asocia a cada x de su dominio con un elemento f(x) de su rango. Por ejemplo la función real con dominio real, dada por g(x) = 2x asocia a cada x IR con un elemento que se obtiene en el rango de g, es decir en IR, al multiplicar x por 2. Este tipo de funciones se conocen como funciones explícitas. No siempre se tiene una función dada en forma explícita, por ejemplo en la ecuación y - x2 = 0 se tiene que para cada valor en el conjunto de los números reales que tome x, se obtiene un único valor de la variable y que la satisface, ejemplos que nos ilustran este hecho son los siguientes: Si x=1, entonces y=1 porque al sustituir estos valores de x e y en la ecuación se cumple que 1 - 12 = 0. Si x=3, entonces y = 9, ya que 9 - 32 = 0. Así es posible pensar que existe una función f:IR gIR tal que f(1)=1, f(3)=9. Nos encontramos entonces con una regla que asocia a cada x IR con un único valor de yIR, que satisface la ecuación y - x2 = 0. Esta regla es una función que no está dada de manera explícita en la ecuación y - x2 = 0, ya que no se capta en dicha expresión lo que hace la función f con x para producir la imagen f(x). En estos casos se dice que la función f está dada en forma implícita en la ecuación y-x2 =0. No toda ecuación da una representación implícita de una función, por ejemplo la ecuación x2+y2=25 describe una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. Si tomamos el intervalo cerrado [-5,5] como el dominio en el cual está definida la ecuación, ocurre que no hay una función definida implícitamente, pues si tomamos a x como variable independiente, entonces para cada x en el intervalo cerrado [-5,5] se tienen dos imágenes. Si en la ecuación de la circunferencia dada, tomamos y como la variable independiente, se tienen también dos imagenes x para cada y [-5,5]. Por otro lado si cambiamos el rango para el cual está definida la ecuación, por ejemplo si tomamos como rango al intervalo cerrado [0,5] se tiene la parte superior de la gráfica de la circunferencia. Resultando una función con dominio el intervalo [-5,5], cuya gráfica es la parte superior de la circunferencia. ¿ Por qué ?. Gráficamente: y 5 4 3 2 1 -5 -4

-2

0

2

4

5

x

71

Al considerar la parte inferior de la gráfica de la circunferencia, tenemos que el rango donde está definida la ecuación es el intervalo cerrado [-5,0], en este caso trabajamos con otra semicircunferencia la cual representa una función ¿ Por qué? , esta vez la gráfica de la función es precisamente la parte inferior de la circunferencia. Gráficamente y

-2

0

-4

2

4

5

x

-5

-1 -2 -3 -4 -5

Entonces decimos que la ecuación x 2+y 2=25 define al menos dos funciones implícitas en función de x en el intervalo cerrado [-5,5], en este caso la semicircunferencia superior y la semicircunferencia inferior. Nota que las ecuaciones x 2+(f(x)) 2=25 y x 2+(h(x)) 2=25 son identidades para x[-5,5]. Consigue tú otras funciones que se pueden definir a partir de la ecuación de la circunferencia dada. Aunque x=0 es solución de la ecuación x - senx = 0, no existe forma de despejar x en dicha ecuación porque al tratar de hacerlo nos queda x = senx, es decir la variable x siempre aparecerá en ambos lados de la igualdad. Entonces no es posible hallar los valores x para los cuales se cumple la igualdad. Pero al derivar con respecto a la variable x se tiene: 1 - cosx = 0, de donde cosx =1, por lo tanto al despejar x se tiene: x = arccos1, es decir x = 2nπ con n  Z. Así podemos hallar los valores x para los cuales se cumple la ecuación derivada, sin tener que despejar x de la ecuación original.

De la misma forma se puede determinar x′ .

La derivada de la función y es y ′ , pués y depende de la variable x.

72

Una ecuación mas complicada, tal como x 6 +5cosxy=2y 4+4xy, podría determinar varias funciones implícitas en un intervalo real restringido adecuadamente. Además al tratar de despejar x en función de y, se tiene x 6 +5cosxy - 4xy = 2y 4, es decir no es posible dejar a la variable x de un solo lado de la igualdad, lo mismo ocurre si tratamos de dejar a la variable y de un solo lado de la igualdad. Tal y como ocurrió con la ecuación x - senx = 0 en este caso se puede determinar y ′ , derivando en ambos lados de la ecuación sin despejar la variable x. El procedimiento seguido en los dos últimos ejemplos para hallar la derivada sin conocer la forma explícita de la función que se define en la ecuación, se conoce como derivación implícita. Si sabemos que la ecuación define a y como función implícita de x, entonces este procedimiento consiste en derivar toda la ecuación con respecto a x, aplicando las reglas de derivación,( inclusive, donde sea necesario la regla de la cadena), para luego despejar y’, sin necesidad de tener una relación explícita entre x e y. Por ejemplo si suponemos que la ecuación x 6 +5cosxy=2y 4+4xy define a la variable y como función implícita de la variable x, podemos derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x aplicando las propiedades de derivación, entre ellas la regla de la cadena, y obtener: 6x 5+5(-senxy)(xy)’=8y 3 y ′ +4(xy)’.

Luego, aplicando la regla del producto, donde sea necesario, nos queda 6x 5-5senxy[y+x y ′ ]=8y 3 y ′ +4[y+x y ′ ] o 6x 5-5ysenxy-5x y ′ senxy=8y 3 y ′ +4y+4x y ′ ahora agrupando los términos donde aparece y ′ de un lado de la igualdad en la última ecuación, nos queda 6x 5-5ysenxy-4y=8y 3 y ′ +4x y ′ +5x y ′ senxy o 6x 5-5ysenxy-4y=(8y 3 +4x+5xsenxy) y ′

Despejando y ′ resulta y ′ =

6 x5 - 5ysenxy - 4y 3

en un dominio permitido.

8 y + 4x + 5xsenxy n

En este ejemplo pudimos calcular y ′ sin necesidad de tener una relación explícita de la función y con respecto a la variable x. Por lo tanto podemos inferir del ejemplo que dada una ecuación en la cual hay definida al menos una función implícita, es posible hallar la derivada de la misma sin necesidad de conocer la función en forma explícita. Entonces debes tener presente que: El procedimiento seguido para hallar la derivada de una función dada por y=f(x) sin despejarla de una ecuación G(x,y)=0, se conoce como derivación implícita.

G(x,y) = 0 representa una ecuación en la cual el lado derecho de la igualdad es una expresión que involucra las variables x e y.

Ejemplos 4.9.1.1 Si la ecuación x seny + y = 0, define a y como función implícita de x, calcula y ′ .

1) p

Derivamos la ecuación en forma implícita y nos queda seny + xcosy( y ′ ) + y ′ = 0

xcosy + 10, porque hemos partido de que la ecuación define a y como función implícita de x

de donde (xcosy+1) y ′ = - seny. Luego despejando y ′ resulta

y′ = -

seny . x cosy + 1 n

73

2)

Supongamos que la siguiente ecuación define a x como función implícita de y: 2 2 x + y = 1. b2 a2

(donde a y b son constantes no nulas). Calcula x ′ .

p En este caso la variable dependiente es x por lo tanto si aplicamos derivación implícita con respecto a la variable y en la ecuación dada, resulta por la regla de la cadena:

La derivada de x es x’, pués estamos asumiendo que x depende de la variable y.

2 xx ′ a

2

2y + 2 = 0. b

Procedemos ahora a despejar x ′ 2x x′ a

2

=-

2y b

2

 - 2y  2x x ′ = a2  2   b  x′=

2 - y a2 a y =  . 2 x b2 b x

n

NOTA: Si en la ecuación dada en el ejemplo anterior hubiésemos despejado x para luego derivar y hallar x ′ , también sería un procedimiento válido si conociéramos el rango de la función implícita,(pues como vimos en el ejemplo de la circunferencia que dependiendo del rango que se tome, se tiene una función implícita distinta o no se tiene función implícita en la ecuación). En este caso la aplicación de la derivación implícita no hubiese sido necesaria. Pero recuerda que el proceso de despeje de la función implícita no siempre es sencillo y en algunos casos no es posible.

3)

Si la ecuación sen2y + xtgy = xy, define a y como función implícita de x, calcula y ′ .

p

El denominador es diferente de cero, pues se ha supuesto que y es función implícita de x en la ecuación.

74

Derivamos en la ecuación dada, en forma implícita con respecto a x y aplicando propiedades de la derivada, entre ellas la regla de la cadena, resulta: 2seny cosy( y ′ ) + tgy + xsec2y( y ′ ) = y + x y ′

agrupando los términos donde aparece y ′ y despejandola se tiene: (2seny cosy + xsec2y - x) y ′ = y - tgy luego

y′ =

y - tg y 2senycosy + xsec 2 y - x

■

4)

Supongamos que la ecuación yey = ex+1 define a y como función implícita de x. Calcula y ′ evaluada en el punto (0,1). p Derivamos implícitamente, en la ecuación dada, con respecto a x: y ′ ey + yey y ′ = ex+1

de donde y ′ ey (1+y) = ex+1

luego

y′ =

x+1

e . e (1+ y) y

Al evaluar y ′ cuando x = 0 e y = 1, es decir en el punto de coordenadas (0,1), obtenemos:

y′ =

e 1 e 0 +1 = = . e(1+1) 2e 2

■

Si una ecuación define más de una función implícita, (como la del ejemplo 2), debemos tener cuidado al despejar la función ahí definida para luego hallar su derivada, porque al no tener claro el rango sobre el cual ella esta definida corremos el riesgo de calcular la derivada de la función incorrecta. Esto lo podemos ver en el ejemplo (2) y2 x = ± a 1 , es decir ya que si despejamos x de la ecuación dada se obtiene b2

resultan dos funciones definidas en el intervalo [-a,a], dadas por las fórmulas x1 = - a 1 -

y

2 2

b

y x2 = a 1 -

y

2

las cuales están definidas en rangos diferentes. Por lo

2

b

tanto no debemos apresurarnos a despejar mecánicamente, tenemos que pensar con cuidado cual función se debe tomar para hallar x ′ . Por supuesto la función a tomar depende del problema a resolver. La ventaja que trae la técnica de derivación implícita es que se puede derivar mecánicamente (después de haber tomado las previsiones necesarias, para la existencia de la función implícita), aplicando la regla de la cadena para despejar la derivada de la función dada implícitamente sin tener que preocuparnos del rango de la misma. El problema que se nos puede presentar al derivar implícitamente, sin tener el cuidado pertinente, es que no nos demos cuenta si la ecuación dada está bien planteada o si estamos trabajando con un problema bien planteado. Por ejemplo en las siguientes ecuaciones: x 2 + y 2 =0 y x 2 + y 2 = - 3 se puede derivar mecánicamente en forma implícita y calcular x’ o y’ según sea el caso, pero ninguna de esas ecuaciones definen funciones implícitas, ya que x 2+y 2=0 representa gráficamente un solo punto y la ecuación x 2+y 2=-3 no tiene sentido en el conjunto de los números reales en el cual estamos desarrollando este trabajo ¿ por qué?, en estos casos no se debe actuar a la ligera para derivar y calcular x ′ o y ′ . Esta técnica de derivación también permite calcular la pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función dada en forma implícita en una ecuación, por ejemplo: Determinar la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1), a la gráfica de la función y, dada en forma implícita en la ecuación 3x 2 +2y 2=5, si supones que en la ecuación se define a la variable y como función implícita de x. 75

Aplicando derivación implícita pDerivando implícitamente en la ecuación 3x2 + 2y2 = 5 se tiene 6x + 4y y ′ =0 de donde Se resuelve de dos formas diferentes para que compares los procedimientos

y′ = -

3x , 2y

entonces en el punto (1,1) se

3 tiene que y ′ = - , 2

siendo este valor de

y’ la pendiente de la recta tangente a la gráfica obtenida de la ecuación 3x2 + 2y2 = 5 en el punto de coordenadas (1,1). ■

Sin aplicar derivación implícita: pDespejamos y de la ecuación 3x2+2y2=5.

5 - 3 x2 5 - 3 x2 , de donde | y | = 2 2 Como el punto de coordenadas (1,1), está en la parte superior de la gráfica de la elipse ¿ Por qué?, entonces la función a tomar y2 =

es: y =

5 - 3 x2 2

Aplicamos la regla de la cadena para hallar y ′     y′=

 1  2  

- 3x 5 - 3 x2 2

   3 =   2     

x 5 - 3 x2 2

     

Queremos la pendiente de la recta tangente en el punto de coordenadas (1,1), esto significa que cuando x=1 se tiene y=1. Así que en la coordenada x=1 resulta que la pendiente de la recta tangente está dada por. y′ = -

3 2

■

4.9.2 Derivada de la Función Inversa Ver Módulo II de libro Matemática I (175-176177).

Según lo visto en el curso de Matemática I (175-176-177), una función real f con dominio real admite función inversa si ella es biyectiva, si f es inyectiva se puede hallar su inversa restringiendo el conjunto de llegada al rango de f o si f no es inyectiva se restringe su dominio hasta hacerla inyectiva y ahí calcular su función inversa. Si tenemos una función derivable que admite función inversa, es posible establecer la relación existente entre la función dada y su inversa mediante un resultado de gran importancia del Cálculo conocido como el ” TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA ” que dice lo siguiente: “Dada una función f: ΙΙR gIR inyectiva y derivable en un x0  I. Si f ′ (x 0)0, entonces la función inversa f − 1 : J  ΙRgIR es derivable y su derivada en el punto y0 = f(x0) está dada 1 -1 por: ( f ) ′( y0) = f ′ ( ) . ’’ x0

←

Entonces dada una función derivable f que admite función inversa derivable, el teorema nos permite de manera natural calcular la derivada de la función inversa f − 1 , aplicando la regla de la cadena a la composición de f con su inversa, esto es si f y f − 1 son funciones derivables, sabemos que: I representa la función identidad

76

(f o f − 1)(x) = Ι(x) = x,

[*]

al derivar con respecto a x a la función compuesta a ambos lados de la ecuación [*] nos queda,

(f o f

−1

)′(x) = (f ′(f

−1

(x))((f

−1

)(x) )′ = 1.

−1 Lo que significa que la derivada de la composición (f o f )(x) es igual al producto de la

derivada de f multiplicada por la derivada de f − 1 , tal y como lo establece la regla de la cadena. Si f ′(f −1 (x)) ≠ 0 para todo xDomf, resulta la fórmula establecida en el teorema de la función inversa:

( f - 1) ′(x) =

1

. f ′ ( f -1 (x))

[1]

Lo hecho para determinar ( f −1 ) ′(x) no es una demostración formal de que f −1 es derivable ya que para aplicar la regla de la cadena se debe tener en cuenta que f -1 sea derivable, lo que si podemos inferir de este razonamiento es cual debe ser la representación general de ( f −1 )′(x) si f −1 es derivable. −1 −1 Por otro lado como (f o f )(x) = (f o f)(x) = x , entonces

( ( f −1 o f ) ′(x) = ( f −1 ( f (x)))′ f ′(x) = 1, de donde

(f −1(f(x))) ′ =

1 ′ f (x)

si f ′(x) ≠ 0

Como y=f(x) entonces x= f −1 (y) ya que hemos supuesto que f admite función inversa, por lo tanto

( f - 1 (y))′ =

1

. f ′( f - 1 (y))

[2]

Nota que esta es una expresión equivalente a la dada en [1]. Ejemplos 4.9.2.1

1)

 π π Si f es la función dada por: f(x)=arctgx definida del conjunto IR en el intervalo  - ,  ,  2 2 calcula f ′ (x).

p

 π π La función g(x) = tgx es inyectiva y derivable en el intervalo,  - ,  y su  2 2

derivada es g′ (x) = sec 2 x  0 para todo x en ese intervalo. 77

El teorema de la función inversa establece que la función inversa g-1(x)=f(x)=arctgx es

 π π derivable en  - ,  para cualquier valor y = g(x), con x en ese intervalo.  2 2 1 Además (g-1(y))’ = f ′ (x) = g ′(x) . Entonces (arctg ( tg x )) ′ =

1 1 = . [**] (tgx)′ sec2 x

Debemos ahora expresar la derivada de la función arctg evaluada en x y no en tgx. Esto nos conduce a un cambio de variables el cual haremos a continuación:Sea y = tgx, para el intervalo en el que estamos trabajando se tiene que: sec2x = 1 + tg2 (x) = 1 + y2

¿Por qué?

Entonces de la fórmula [**] resulta que: (arctg y )′ =

1 1+ y 2

Escribiendolo en términos de la variable x se tiene:

(arctg x )′ =

1

■

1+ x 2 Tomar la función dada como inversa

p La función arctgx es la función inversa Aplicando derivación implícita de la función tgx, es decir si tomamos p Si y=arctgx, entonces x=tgy, luego deri π π −1 -1 vando implícitamente respecto a x y aplicanf I , : R → , definida por (x)= arctgx,   f  2 2 do la regla de la cadena se tiene 1=(tgy)’=(sec2y)y’ de donde  π π por lo tanto f :  - ,  → IR está dada por  2 2 1 1 y′ = = 2 2 f(x)=tgx, admite inversa por ser biyectiva, en sec y 1 + tg y ese intervalo, entonces f y f −1 son funciones inversas una de la otra. Ahora según la fórmula [1] se tiene

(f -1(x))' = (arctg x)′ = f ′( -11(x))

[3]

f

pero f(x)=tgx, entonces f ′ (x)=sec2x, luego f ′ (f -1(x))=sec2(arctgx). [4]. Como sec 2x=1+tg 2(x) entonces [5] sec 2 (arctgx)=1+tg 2 (arctgx)=1+x 2 . Sustituyendo la expresión [4] en la fórmula dada en [3] queda: 1 ( f -1 (x)) ′ = [6] 2 sec (arctgx) y sustituyendo la expresión [5] en [6] resulta:

(f − 1(x ))′ =

1 1+ x 2

por lo tanto (arctg x )′ = 78

1 1+ x 2

■

pero y=arctgx, entonces

y′ = (arctgx)′ =

1 1 = x2 1 + 1 + tg (arctgx) 2

■

2. Sea la función f:IRgIR dada por f(x)=xn con n un número natural impar, entonces f es biyectiva y admite inversa f - 1. Calcula ( f -1)′ (x) Aplicando la derivada de la función compuesta (f o f -1)

Aplicando derivación implícita

1 n

p Sea f - 1(x) = x . Luego según la fórmula [1]

( f - 1 )′ (x) = Ahora

(f

(f

−1

) ′( x ) =

−1

1

 1  n ′ f x     

=

1

)′ ( x) = nx

1

−  1 n 1  n n x     

1  n 1  −   n n

pSi y = entonces x = yn, derivando implícitamente con respecto a x, resulta 1

1=nyn-1y’ de dondey ′ = y como y = x n , n-1 ny se tiene:

. f ′ ( f - 1 (x)) 1

1 n x

1



1  −1 = xn  n

′  1 1− 1  n 1 1 1 n = = x x  = −    1  n 1  1− 1 n    n  n nx  n x         ■

■

3)

Compara los procedimientos dados para resolvereste ejemploy decidecuáles el mas práctico.

Calcula la derivada de la inversa de la función g : (0,

π )g (-1,1) dada por g(x) = cosx, 2

π -1 es decir calcula la derivada de la función g : (-1,1) g ( 0, ) definida por 2 g - 1 (x)=arccosx. p Hacemos el cambio de variables y=arccosx, luego x=cosy. Derivamos esta última expresión implícitamente respecto a la variable x 1=(-seny) y ′ de donde y ′ = -

y se tiene

1 , pero seny = 1 - cos2 y . Por ser y = arccosx se seny

tiene:

(arccosx )′ = -

1 1 - cos(arccos x) ) 2

=11 - x2 ■

4)

Calcula (arccos ec x )′ donde la función arccosecx está definida del conjunto

 π   π (-×,-1][1,+×) al conjunto  - ,0  ∪  0, .  2   2 pSea y = arccosecx, luego

x = cosecy.

Ahora derivando implícitamente respecto a la variable x resulta: 1 = - cosecy cotgy y ′ [1] 79

Sabemos por identidades trigonométricas que:

cotg y = ± cosec2 y - 1,

[2]

sustituyendo la expresión [2] en la ecuación [1] queda

y′ = −

1

± cos ecy

(

)

2

[3]

cos ec y − 1

pero x=cosecy, entonces cambiando cosecy por x en la expresión [3] se obtiene

(arccosecx )′ =

-1 ±x x -1 2

1

=-

| x | x2 - 1

4.9.3 Derivación Logarítmica Otra técnica de derivación que involucra a la regla de la cadena es la conocida como Derivación Logarítmica, la cual es útil, ya que facilita los cálculos, cuando se desea derivar una función que incluye productos, cocientes o potencias muy complicadas.

Recuerda que el dominio de la función logarítmo es el conjunto de los números reales positivos

La aplicación de este método es muy delicada pues, se debe tener cuidado de que la función con la cual se trabaja, sea positiva en el dominio que se aplique esta técnica. Los pasos a seguir para aplicar la derivación logarítmica los podemos describir en el siguiente algorítmo: Sea f una función definida para cada x de su dominio por f(x), la cual es positiva para todo x: 1) Se asigna una variable a la fórmula que da la función: y = f(x). 2) Se aplica logaritmo natural a la ecuación obtenida en 1): Lny = Lnf(x). 3) Se deriva implícitamente con respecto a la variable independiente (en este caso con respecto a x) (Lny)’ = (Lnf(x))’ luego

d y′ d (Lny) = = (Lnf (x ). dx y dx 4) Se múltiplica por y toda la ecuación anterior resultando: y ′ = y

d (Ln f ( x )). dx

5) Se cambia y por f(x) quedando:

f ′( x ) = f ( x )

d (Ln f ( x )) dx

6) Se calcula f ′ (x) aplicando las propiedades algebráicas de los logaritmos antes de derivar Lnf(x).

Comentario

80

Si f(x) 2

4x - 3 p Paso 1

y = f(x) =

(5x - 10 )5

.

4x - 3 Paso 2 Como f(x)>0 para x>2 se aplica logarítmo

 (5x - 10 )5  Ln y = Ln .  4x - 3  Paso 3 y′ d   ( 5x − 10) 5 = Ln y dx   4x − 3 

   

Paso 4 y′ = y

d   (5 x − 10) 5 Ln dx   4x − 3 

   

Paso 5 y′ =

  d   (5x − 10) 5  Ln 1 − 3 dx   4x10) 2   (4X − 3)

(5x −

5

     

Paso 6 81

y′ =

(5x - 10 )5 d  1   5Ln(5x - 10) - 2 Ln(4x - 3) d x   4x - 3

y′ =

(5x - 10 )5 4x - 3

y′ =

(5x - 10 )5  5 2    4x - 3  x - 2 4x - 3 

 5 1  4   5 -   5x 10 2  4x - 3   

■ 2.

g(x)=(3x)4x+1 para x>0 p Paso 1 y=(3x)4x+1 Paso 2 Lny=Ln(3x)4x+1=(4x+1)Ln3x

En este ejemplo se aplicaron las propiedades de los logaritmos en el paso 2 con el fin de derivar directamente en el paso 3.

Paso 3

3(4x + 1) y′ . = 4 Ln3x + 3x y

Paso 4

4x + 1  y ′ = y 4 Ln3x + . x   Paso 5

4x + 1  y ′ = (3x )4x+1 4 Ln3x + . x  

Problema 4.1 3.

Si f(x)>0 para todo x en el dominio de la función f y g es una función dada, calcula y ′ si y=(f(x))g(x). p Se aplica derivación logarítmica para hallar y ′ Ln y = Ln (f (x) ) g ( x ) Ln y = g (x) Ln f (x)

82

y′ y

= g′(x) Ln f (x) +

g(x) f ′(x) f(x)

 g (x) f ′(x)  y ′ = y  g′(x) Ln f ( x ) +  f (x)    g(x) f ′(x)  y ′ = (f (x) ) g (x) g′(x) Ln f ( x ) + f (x)  

por lo tanto al eliminar el corchete queda y= g ′ (x)(f(x)) g(x)Lnf(x) + g(x) f ′ (x)(f(x)) g(x) - 1

n

Comentario

En este ejemplo se generaliza el cálculo de la derivada de una potencia donde tanto el exponente como la base son funciones.

4.

Calcula la derivada de la función dada por: 4

y=

7

(x - 1 ) ( x3 - 8 ) con x > 2. 3 2 5 x - 4 x +1

p Aplicamos derivación logarítmica sin describir los pasos a seguir  

Lny = Ln



(x - 1 )4 ( x3 - 8 )7 

 3 



5 2 x - 4 x + 1 

Ln y = 4Ln(x - 1) + 7Ln( x3 - 8) -

1 1 Ln(x 2 - 4) - Ln(x + 1) 3 5

y′ 4 21 x 2 2x 1 = + y x - 1 x 3 - 8 3 x 2 - 12 5x + 5  4 21 x 2 2x 1  y′ = y +  3 2  x - 1 x - 8 3 x - 12 5x + 5 

83

luego

y′ =

(x - 1 ) ( x3 - 8 )  4 21 x2 2x  + .  3 2 5 3 2 x - 4 x + 1  x - 1 x - 8 3 x - 12 5x1+ 5  4

7

n

5.

Calcula la derivada de la función dada por y=x2x,

x>0

p Para resolver este problema aplicando la fórmula obtenida en el ejemplo 3, debe mos identificar las funciones base y exponentes de la potencia a derivar, en este caso si f(x)=x y g(x)=2x entonces y ′ =2x 2x Lnx+x 2x-1 2x. x ′ luego y ′ = 2x 2x Lnx+x 2x-1 2x.

■

Nota que a partir del ejemplo 3 no se describieron los pasos seguidos para resolverlos según el algoritmo dado, la finalidad de no hacerlo es hacer notar que con cierta práctica, dicho algoritmo se puede seguir mentalmente y en algunos casos resulta conveniente, saltar pasos o invertirlos.

En muchos casos donde las funciones a derivar no son tan complicadas también se puede aplicar la técnica de derivación logarítmica aunque no sea necesario, llevándonos posiblemente a trabajar mas de lo normal. En general el uso de esta técnica es aconsejable para derivar funciones expresadas como un producto de muchos factores o para derivar potencias cuyas base y exponentes sean funciones.

4.9.4 Derivadas de funciones definidas en forma paramétricas Hasta aquí hemos trabajado con funciones definidas mediante una sola ecuación involucrando solo dos variables por ejemplo x, y, s, t entre otras, es decir hemos trabajado con funciones definidas en forma explícita o en forma implícita. Otra manera definir funciones es introduciendo una relación de las variables involucradas mediante una tercera variable que juega un papel primordial en dicha definición. La función volumen es un tipo de función que nos permite ilustrar una situación donde se puede introducir una tercera variable. En el ejemplo 4.8.1 se plantea un caso de este tipo. Veamos: 84

Al inflar un globo la relación entre el radio r y el volumen V del mismo está establecido 4

πr3. A medida que vamos inflando el globo el radio de la esfera que 3 se forma aumenta, por lo tanto su volumen y su radio dependen del tiempo t de inflado del globo. En este caso la variable t influye en la relación entre las variables V y r aunque no aparece ni explícita ni implícitamente en la fórmula que da el volumen del globo, está tercera variable nos permitirá dar una representación nueva conocida como representación paramétrica de una función donde la tercera variable se conoce como parámetro. Es decir la representación paramétrica de la función está dada por el sistema de ecuaciones:

mediante la fórmula V =

 V = V(t)  t ∈ IR+   r = r(t) 

Al definir una función en esta forma es útil introducir la tercera variable para representar la función en el plano, solo se debe tener cuidado de identificar bien claro el dominio y el rango donde se defina la misma ya que no siempre, al eliminar la tercera variable de una representación paramétrica se obtiene una función. La tercera variable que interviene en esta definición se conoce como parámetro y la representación de las variables que involucran a la función en términos de este parámetro deben ser funciones continuas en un intervalo I que por lo general es cerrado y en el cual varia la tercera variable. Las ecuaciones que definen a las funciones continuas dependiendo del parámetro se conocen como ecuaciones paramétricas.

V=(t2) r=(t2) r=(t1) t 10 y ∆y = g(t + ∆t) - g(t),

∆x = f(t +∆t) - f(t)

como

dy ƒy = lím dx ƒ x →0 ƒ x y si ∆xg0 entonces ∆tg0, podemos escribir

 g (t + ƒ t) - g (t)    dy g (t + ƒ t) - g (t) ƒt  y ′ = = lím = lím  dx ƒ t → 0 f (t + ƒ t) - f (t) ƒ t → 0  f (t + ƒ t) - f (t)    ƒt   luego

g (t + ƒ t) - g (t) dy g ′ (t) ƒt y ′ = ƒ t→ 0 = dt = f (t + ƒ t) - f (t) dx f ′(t) lím ƒ t →0 ƒt dt lím

por lo tanto

dy dy dt = dx dx dt

■ 4.

Sea la función definida por las ecuaciones paramétricas x = a sent y = a cost

a constante positiva t(0,π)

Calcula y ′ sin eliminar el parámetro t. p Tenemos

dy dy dx = dt dx dt

[] 1

como dy = - a sent y dy = a cost se tiene sustituyendo en [1] dt dt

- a sent =

dy (a cost) dx

luego

y′=

dy - a sent = = - tgt. dx a cost ■

92

La curva que representan esta ecuaciones paramétricas es el semicírculo superior de radio a. ¡Verifícalo!

5)

Dada la función definida mediante las ecuaciones paramétricas

 x =e -3 en un dominio y rango permitido.  -t2t  y = e +1 Calcula y’.

dx dy = et , = - 2 e- 2t , dt dt

p luego

y′ =

dy - 2 e-2t 2 = =dx et e3t

■

Ejercicios Propuestos 4.8

1.

Las siguientes funciones definen a y como función implícita de x. a) tgy - xy = (x - y) y 2 2

b) x 3 + xy + y = 4 - x 3

c) y =

x-y x+y

d) - ex + e y = e x + y

Calcula y ′ derivando en forma implícita. 2.

Aplica derivación implícita para hallar la ecuación de la recta tangente la curva kappa definida por x 2(x 2+y 2)=y 2

 2 2   en el punto  2 , 2 .  

3.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación: y 3 -xy 2+cosxy=2 en el punto (0,1). 93

4.

Calcula y ′ implícitamente de la ecuación seny=x y halla el intervalo mas grande de la forma (-a,a) tal que y sea función derivable de x. Expresa y ′ en forma explícita en función de x, en el intervalo que hallaste.

5.

*

6.

Calcula la derivada de las siguientes funciones dadas en un dominio permitido

3 sen x 4 + 5 cos x

a) y=arc sen x

c) y=arc tg

b) y=arc sec x

  x x  d) y=arc sec  2   2(x + x − 1) 

Sea h una función tal que h′ (x)=sen2(sen(x+1)) y h(0)=3. a) Calcula (h − 1)′(3) b) Si g es la función definida por g(x)=h(x+1), calcula (g −1 )′ (3)

7.

 π π Sea f :  - ,  → IR la función definida por f(x)=x3+tgx+1 y sea g su función inversa  2 2 la cual suponemos conocida. Calcula g′ .

8.

Aplica derivación logarítmica para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) y = x x 2 + 1 tgx x 2 Ln x

b) y =

5

, con x > 0

(x 2 - 1)3 cos x 1

 cos x  3 tg x c) y =   x , con x > 0 y x ≠ 1  Ln x 

d) y =

(Ln x )x x Lnx

, con x > 0 y Ln x > 0 2

e) y = (sen x )x , (sen x > 0) f ) y = (arctg x )x , (arctgx > 0) x

g) y = x x , x > 0 h) y =

x

(x + 1)2 , x ≠ 0

i) y = xð ðx , x > 0

94

r9.

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones dadas en forma paramétrica:  x = 2t - 1  a)   2  y=t

, t ∈ IR

 x = a(cos t + tsent)  b)   y = a(sent - t cos t) 

(a constante) y t ∈ IR

 cos3 t  x= cos 2t   , cos 2 t > 0 c)   y = sen3 t  cos 2 t     x = t Ln t  d)   Ln t  y= t 

,t >0

t   x = a (Ln(tg 2 ) + cost - sent)  t e)  , (a constante) y tg > 0 2  y = a (sent + cost)    x = et - 3  f)  , t ∈ IR  2 t  y= e +1

g)

      

x= t ,t > 0 y x ≠ 0 y=x

t

 x = 2 + cost  h)  ,t ∈ IR  y = 3 - 2 sent   x = arctg t  ð i)  ,t ≠ k , k∈ Z 2  2  y = Ln (1+ t )

95

v( t0) = lím (2( t2 + tt 0 + t02) - 4(t + t0 ) + 2) t→ t0

v( t0) = 6 t20 - 8 t0 + 2 = 2(3 t20 - 4 t0 + 1) = 2(3 t0 - 1)( t0 - 1).

Para saber en qué momento la partícula está en reposo hacemos v(t0)=0 y resulta

2 (3 t0 - 1)( t0 - 1) = 0 de donde t0 =

1 ó t0 = 1 3

esto significa que la partícula está en reposo en los instantes:

t0 =

1 y t0 = 1 3

Luego se mueve a la derecha si v(t0)>0 y se mueve a la izquierda si v(t0)0 en los intervalos

1   - ∞,  y 3 

(1,+×)

y allí la partícula se mueve a la derecha. v(t0) < 0 en el intervalo 1   ,1 3 

y la partícula se mueve a la izquierda. Si hacemos un seguimiento a la trayectoria del movimiento rectilíneo de la partícula observamos que ésta no va en todo momento hacia adelante, ya que ella parte del tiempo t = 0 hasta 1 , pero en el instante t = 1 está de nuevo en la posición de partida, así 3 que gráficamente se podría representar como sigue:

el instante t =

t=1 t=

-

0

1 3

+

Las tasas de cambio nos han conducido a un nuevo concepto para nosotros conocido

No se puede perder de vista que el movimiento es rectilíneo, aunque la trayectoria se representa como una curva.

35

como la derivada de una función en un punto. Este concepto lo hemos construido a través de variaciones de cambio y de cocientes incrementales o razones de cambio, las cuales en un punto del dominio de la función se reducen a tasas instantáneas de cambios. En general en los puntos del dominio de las funciones donde éstas presentan un comportamiento instantáneo, se produce de una tasa o razón media de cambio, donde la variación de los elementos del dominio de la función es muy pequeña y esta variación produce cambios pequeños en las imágenes de esos elementos, presentando comportamientos instantáneos en la gráfica de la misma.

Las siguientes gráficas nos dan una idea de como se van generando estos comportamientos instantáneos a partir de las variaciones de cambios de elementos del dominio y de las imágenes de esos elementos mediante una función. Otra forma de expresarlos es: se observa el comportamiento de la función dependiendo de su forma, a través del incremento de las variables dependientes y de las independientes, tasa media de variación a través de la pendiente de la recta secante y por último la tasa instantánea de variación mediante la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

y

y

∆t > 0 , ∆y > 0 tg · =

tg Ë =

dy

∆y ∆t

∆y

P0

P0

∆t

>0

∆y

tg · =

∆t

α ∆t

P0

> 0

dt ∆y

y P1

P1

> 0

0

t

x

t+∆t

α 0

t

θ 0

x

t+∆t

t

x

( ∆t > 0 , ∆ y > 0 )

Incrementos de las variables independientes y dependientes.

Tasa media de variación (pendiente de la recta secante P0P1)

Tasa instantánea de variación (pendiente de la recta tangente en P0).

y

y

y P1

P1 P0

t

36

∆y

t+∆t

P0

x

P0

α

α

∆t

t

θ t+∆t

x

x

4.6 Derivada de una Función en un Punto. Hemos visto que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto y la velocidad de un móvil en un tiempo t, representan tasas de cambio instantáneo. Además, haciendo analogía entre la forma como se obtuvo la velocidad instantánea y la forma de hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, encontramos que estas razones de cambio instantáneo envuelven un mismo concepto matemático. Dicho concepto es conocido como la derivada de una función en un punto y se define formalmente como sigue:

Definición 4.5 La derivada de una función f:Ig IR es otra función f ′ cuyo valor para un elemento x0 del dominio I de f esta dado por:

☞

 f( + h) - f( x )  0  f ′( x 0) = lím  x 0 →  h 0 h

←

siempre que este límite exista.

Si este límite existe, se dice también que f es diferenciable en x0. Mas aún podemos definir la derivada de una función en un intervalo abierto como sigue: Definición 4.6 Dada una función f:(a,b)g IR, si la derivada de f existe en todo punto de (a,b) se dice que f es derivable o diferenciable en (a,b). ←

☞

Algunas de las notaciones usadas comúnmente para la derivada son:

f ′,

df , dx

D x f,

o cuando se evalúa en un punto x0 de su dominio

f ′( x0 ),

df df ( x0 ), Dx f | , | . x = x dx dx x = x 0 0

Dada una función derivable z, la notación z& se utiliza en general en problemas físicos para denotar su derivada con respecto al tiempo. Inferimos de la definición que: para que exista la derivada de una función f en un punto x0 debe existir:  f(x + h)- f( x )  0   0 ; lím → h 0  h luego el dominio de f ′ es el conjunto de todos los x en el dominio de f tal que f ′ (x) exista, de donde concluimos que Dom f ′ es un subconjunto del dominio de f, es decir lo mas grande que puede llegar a ser el dominio de f ′ es el conjunto dominio de f. (Dom f ′  Domf).

37

De acuerdo a lo que hemos visto la tasa de cambio instantánea de una función no es otra cosa que la derivada de esa función en un punto de su dominio. Por lo tanto en los ejemplos anteriores hemos calculado la derivada en un elemento del dominio de cada una de las funciones involucradas en ellos. Algunas de las interpretaciones que se le han dado a la derivada son las siguientes: Infinitesimal: La razón de cambios infinitésimos ( mínimo o muy pequeños) de valores del dominio de una función en relación con los cambios infinitésimos de las imágenes de la función. Simbólica: La derivada de ax es axLna, la derivada de tgx es sec2x, la derivada de f(g(x)) es f ′ (g(x)) g′ (x), la derivada de Lnx es 1/x, entre otras. Lógica: f ′ (x) = b si y sólo si para todo ε >0 existe δ ( 0 < |∆x| < δ), tal que

f(x + ƒ x) - f(x)

− b < ε.

ƒx Geométrica: La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, si la gráfica admite recta tangente. Velocidad: La velocidad instantánea alcanzada por un móvil en un tiempo t. Aceleración: La aceleración instantánea que se le da a un móvil en un tiempo t. Aproximación: La derivada de una función es otra función que representa la mejor aproximación lineal a la función cerca de un punto. Microscópica: La derivada de una función es el límite que alcanza con la vista al hacer observaciones en un microscopio electrónico. Esta no es una lista de conceptos lógicos de la derivada de una función sino una lista de interpretaciones que se le da a la derivada la cual no es completa. Esto es porque hay otras razones de cambio que conducen al concepto de derivada como: Densidad: (razón de cambio de la masa con respecto a su longitud). Ingreso marginal (razón de cambio del ingreso con respecto a un número de artículos producidos). Corriente: (razón de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo), etc. Veamos ahora otros ejemplos de cálculo de derivadas que aunque no aportan mucho para la comprensión geométrica del concepto de la derivada, nos proveen de técnicas útiles para la manipulación de los cálculos que nos conducen a la presentacion simbólica de la derivadas. Ejemplos 4.6.1 1.

38

Sea DIR el dominio de la función real f dada por f:DgIR tal que f(x)= a con a una constante real. Calcula f ′ (x0) donde x0 es un elemento de D.

p f ( x) - f ( x )  0  f ′ ( x0 ) = lím   → x x0  x - x0

pero f(x)= a y f(x0)= a así

f ( x) - f ( x 0) a - a = 0, = x - x0 x - x0 por lo tanto  f ( x) - f ( x )  0  0 = 0. f ′ ( x 0) = lím   = lím x →0   x→ x0 x - x0

En este ejemplo deducimos que la derivada de una función constante es nula y para f(x)= a, la representación simbólica de su derivada es: ′ f ′ (x0)= (a ) = 0.

2.

■

Sea D IR el dominio de la función definida por g:DgIR tal que g(x)= ax con a constante. Calcula g′ (x0) con x0 D. p Tenemos g(x0)= ax0 , luego: g(x) - g(x0) = ax − ax0. Entonces Simplificando y aplicando la propiedad: límite de una constante es igual a la constante.

 g(x) - g( x )   ax - ax  0  0 g′ (x 0) = lím  = lím    →x  x x→x  x  x x0 x0  0 0  a(x - x )  0  g′( x 0) = lím   = a. → x x  x -x  0 0

Entonces una expresión simbólica de la derivada de la función lineal g(x)= ax es g′ (x)= a.

3.

Sea DIR el dominio de la función h definida por h:DgIR tal que h(x)= ax2 2 2 ax - ax0 tante). Calcula h ′ (x0) donde  D. h(x) - h(x 0)  = h′( x0 )x=0 lím   lím x→ x0  x - x 0  x →x0 x - x 0 p

■ (a cons-

a(x - x 0)(x + x 0) = lím a(x + x 0) h′( x 0) = lím x →x x →x0 x - x0 0 h′( x 0) = a( x 0 + x 0) = 2a x 0 .

n

Simplificando y aplicando la propiedad: límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función.

39

P(x)=xn se conoce como función potencia.

4.

Sea DIR el dominio de la función P definida por P:DgIR tal que P(x) = xn donde n es un número natural (n IN) Calcula P′ (x) para cualquier x D

p

Se aplica el desarrollo del binomio de Newton para (x+h)n.

(1)

n n  P(x + h) - P(x)   = lím (x + h ) - x P ′(x) = lím   h →0 h →0  h h

P′(x) = lím

x n + nx n-1h +

h→0

P ′(x) = lím → h

h(nxn-1 +

0

n(n - 1) n- 2 2 x h + ... + nxhn- 1 + hn - x n 2 h

n(n - 1) n- 2 n -2 n -1 x h + ... + nxh + h ) 2 h

  n(n - 1) n-2 n- 2 n -1 P′(x) = lím  nx n- 1 + x h + ... + nxh + h . →  2 h 0

Luego resulta P′ (x) = n x n-1.

■

Mas generalmente, si en el ejemplo 4 en lugar de tener la función dada por xn hubiésemos tenido axn, entonces una expresión simbólica para la derivada de esta última función es: (axn)’=anxn-1. Nota que si n=0, n=1 o n=2 se nos presentan los casos de los ejemplos 1), 2) y 3) respectivamente; mas aún si n=3, (ax3)’=3ax2. 5.

Sea f:IRgIR la función dada por f(x)=x3+7x. Calcula f ′ (x) para cualquier x IR. p 3 3 (x + ƒ x ) + 7(x + ƒ x) - (x + 7x) ƒx ƒ x →0

f ′(x) = lím

3 + 3 2ƒ x + 3x(ƒ x )2 + (ƒ x )3 + 7x + 7ƒ x - 3 - 7x x x f ′(x) = lím x x ƒ ƒ x→ 0

Se usa la propiedad: límite de una suma finita es igual a la suma de los límites.

ƒ x(3 x 2 + 3xƒ x + (ƒ x )2 + 7) = 3 x2 + 7 x ƒ ƒ x →0

f ′(x) = lím

(1)

40

Observa que en este caso se pide calcular la derivada de la función en cualquier x del dominio de P. Para simplificar los cálculos se usó la fórmula que da la derivada, cuando ∆ xg0 o cuando hg0.

Entonces f ′ (x)=3x2 +7. ■

6.

Calcula g′ (x), si g es la función dada por

g(x) =

1 x +a

con a constante, para cualquier elemento x0 del dominio de g. p  1 1    x + a x0 + a  g′ (x 0) = lím  = x → x0 x - x0      x + a - (x + a)    0  ( x 0 + a)(x + a)  = lím  = x→ x x - x0 0    x0 - x (x - x 0)( x 0 + a)(x + a)

= lím → x

x0

x - x0 x0 (x - x )( x + a)(x + a) 0 0

g′(x 0) = - lím → x

1 1 =x0 ( x + a)(x + a) ( x 0 + a )2 0

g′ (x 0) = - lím → x

Así

g′ (x 0) = -

1 . (x 0 + a )2

Observa que por ser x0 un valor x cualquiera del dominio de g, podemos escribir. g ′ (x) = -

y si a = 0

g(x) =

1 (x + a ) 2

1 x

y

g′ (x) = -

1 . 2 x

n

41

7.

Sea g:(0,+×)gIR la función definida por g(x) = x. Calcula g′ (x) donde x(0,+×). p

x +h - x h h→ 0

g′(x) = lím

= lím

h →0

= lím

h →0

( x +h - x )( x +h + x ) h( x +h + x ) x +h - x 1 = lím . h ( x + h + x ) h→ 0 x + h + x

Entonces evaluando en el límite resulta

g′ ( x ) =

1

.

2 x ■ Comentario

?

¿ En que están fundamentadas las técnicas que se utilizaron en cada ejemplo?, ¿ Las técnicas utilizadas en cada uno de los ejemplos varian según la derivada que hallamos?. Observa que en el cálculo de las derivadas de los ejemplos anteriores utilizamos básicamente las técnicas que nos proveen las propiedades de los números reales, tales como racionalización, factorización, descomposición de binomios de grado mayor que uno, en factores donde al menos aparece un factor de grado uno, suma de fracciones, entre otras. Es importante notar que lo esencial en el cálculo de la derivada, utilizando la definición 4.2, es eliminar la indeterminación que se presenta dentro del límite. Por lo tanto es indispensable encontrar, (factorizando, racionalizando, etc.), un factor bien sea en el numerador o en el denominador que permita simplicar el término h, (x - x0) o ∆x que seguramente aparece en el cociente que define la derivada en cuestión, pues normalmente es el que genera la indeterminación. Siempre que necesites calcular derivadas utilizando la definición, debes dominar las propiedades de los números reales y las propiedades de otras funciones tales como, las trigonométricas, las exponenciales y los logarítmos entre otras. El manejo de esos conocimientos facilitará el aprendizaje de este tópico y disminuirá las posibles dificultades acarredas que se te puedan presentar al tratar de resolver problemas.

42

Se dice que si f ′ (x) existe para todo x de su dominio, entonces f es diferenciable o derivable en todo su dominio.

Comentario

Vimos que en cada punto (x,f(x)) de la gráfica de una función f, donde existe f ′ (x), pasa una recta tangente cuya pendiente es f ′ (x). Pero si la gráfica de f admite recta tangente en un punto, no es garantía de que la función sea diferenciable en ese punto en particular. Fijate que una recta vertical puede ser tangente a la gráfica de la función f en un punto (x,f(x)), pero por la definición 4.5, dicha recta no representa la derivada en ese punto, ya que en los puntos x de la gráfica de una función f, donde existe recta tangente vertical, no existe

 f(x + h) - f(x)  . lím  h→ 0  h 

¿ Por qué ?.

Ejemplos 4.6.2 1.

Sea f:IRgIR la función dada por f(x) = 3 x

la gráfica aproximada de esta función es: y f

x

Si se calcula la recta tangente en el (0,0) por aproximaciones de rectas secantes, resulta que x=0, la cual es una recta vértical, es la recta tangente a la gráfica en ese punto.

Se puede observar, según la gráfica, que en el punto (0,0) la recta tangente tiene ecuación x=0, pero en ese punto no existe f ′ (0) ya que 3 f(x) − f(0) x 1 = lím = lím = +∞ 3 x →0 x→ 0 x x→ 0 x −0 x2

lím

43

Si en un punto (x,f(x)) de la gráfica de una función f existe f ′ (x), entonces hay una recta tangente de pendiente f ′ (x) que pasa por el punto de coordenadas (x,(f(x)).

2.

Sea f:IRgIR la función dada por f(x) = |x|, prueba que f no es derivable en x=0

f ′(0) = lím

p

x→ 0

| x | -| 0 | |x | f(x) - f(0) = lím = lím . x →0 x →0 x x-0 x

De aquí resulta

lím−

x →0

| x| |x| = - 1 ≠ lím = 1. x →0 + x x

|x| no existe, en conclusión f ′ (0) no existe. ¿ Por qué? x →0 x

Por lo tanto, lím ■ y 0

Al recordar la gráfica de la función dada por f(x)=|x| verás que en x=0, la función presenta un pico.

x

Gráfica de función f(x).

Hemos visto que las gráficas de funciones no necesariamente presentan derivadas en todos los puntos de su dominio, es decir hay situaciones para las cuales dichas gráficas no admiten rectas tangentes y por lo tanto no existe la derivada de la función en dicho punto de la gráfica. El siguiente cuadro nos provee de condiciones para la no existencia de derivada en un punto de una función. La gráfica de una función no tendrá recta tangente y por lo tanto no admite derivada en un punto si: 1. f no es continua en ese punto. Gráficamente y

y

...

---

---

y

--0

x

---

0

x0

x

---

0

x1

---

---

En x=0 no existe recta tangente.

44

En x=x0 no existe recta tangente.

En x=x1 no existe recta tangente.

x

2.

f tiene un pico ese punto. Gráficamente

y

y

...

y ...

----... 0

x0

x

0

x3

x1

x

0

x2

x

...

En x=x 0 no existe una única recta tangente.

En x=x 3 no existe una única recta tangente.

En x=x 1 y x=x 3 no existe una única recta tangente.

Ejemplo 4.6.3 Sea g:RgR la función definida por

 x si x ≥ 0  g(x) =  .   - x si x < 0

Calcula, si existe, g′ (0). p

g′ (0) = lím x →0

g(x) - g(0) g(x) = lím . x→0 x-0 x

Ahora

g(x) -x (-x) =- ∞ = lím = lím = lím x x x → 0x → 0x → 0 - x - x x → 0 - -1x lím

lím

x →0 +

entonces lím x →0

g(x) x

g(x) x 1 = lím = lím =+ ∞ x x →0 + x x→ 0 + x

no existe y por lo tanto no existe g’(0).

■

45

Gráficamente. Observa que la recta tangente a la gráfica de la función g en el punto (0,0) es la recta de ecuación y=0.

y

...

...

0

x

en x=0 la recta tangente es vertical, pero no existe la derivada de g en este punto.

Ejercicios Propuestos 4.2 1.

Calcula la derivada de las siguientes funciones (a partir de la definición, usando límite) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

f(x) = ax con a > 0 f(x) = senx f(x) = cosx f(x) = tgx f(x) = secx f(x) = cosecx f(x) = cotgx f(x) = Logax ( a > 0, a constante) f(x) = Lnx n f(x) = x

(n =

1

m

,

m ∈ N, m ≠ 0).

Hemos visto que si la gráfica de una función tiene un pico o no es continua en un punto de su dominio, entonces en ese punto no existe derivada. Ahora nos preguntamos ¿qué pasa si no existe la derivada de una función en un punto x0 de su dominio?, ¿Se puede dar el caso para el cual una función no sea derivable en un punto sin perder la condición de ser continua en dicho punto?. En los ejemplos 4.2.2 y 4.2.3 estudiamos funciones que no son derivables en el punto de coordenadas (0,0), las cuales son continuas en ese punto. Esto significa que la no derivabilidad de una función en un punto no obliga a la perdida de la continuidad en ese punto. Lo que puede estar pasando es que la función presente picos o rectas tangentes verticales en esos puntos como ocurrió en los casos mencionados. la continuidad de una función es una condición necesaria para que sea derivable, pero no es condición suficiente. ( Recuerda la función valor absoluto en el punto (0,0)). Si una función es derivable en un punto obligatoriamente debe ser continua en ese punto, ya que la existencia de derivada trae como consecuencia la existencia de recta tangente no vertical en dicho punto.

46

Entonces podemos establecer una relación entre la continuidad y la derivabilidad de una función, la cual la establece el siguiente resultado:

☞

Teorema 4.1 Sean DIR, f:IRgIR una función y x0 un elemento del conjunto D. Si f es diferenciable en x0, entonces se cumple que f es continua en x0.

←

Prueba p Sea x0 D tal que f es continua en ese punto. Según la definición de función continua en un punto se debe cumplir que lím f(x) = f( x 0 )

x →x

Ver Módulo I de este curso.

0

Así que debemos probar que ese límite existe. Para probar la continuidad de f en x0, calculemos el siguiente límite: lím (f(x) - f( x 0))

x →x

0

En efecto;

=

Sabemos que f es derivable en x0, entonces podemos afirmar que existe f ′ (x0) y

f ′(x 0) = lím → x

x0

f(x) - f( x 0) x - x0

además, lím (x - x 0) = 0.

x →x 0

Ahora podemos escribir (x - x 0) = 0. lím (f(x) - f( x 0)) = f ′( x0 ) lím →

x →x

x

0

x0

Así f(x) - f( x 0) = 0 lím (f(x) - f( x 0)) = lím →

x →x

x

0

x0

de donde

lím f(x) = f(x0 )

x→ x 0

Por lo tanto concluimos que f es continua en el punto x0. ■ Afirmamos ahora con certeza que: si una función f es derivable en un punto x0 de su 47

dominio, entonces f es continua en ese punto. Pero hemos visto que el caso contrario no es cierto, es decir: si f es continua en x0 no significa que f sea derivable en x0. En otras palabras: “Derivabilidad en un punto implica continuidad en ese punto’’. “Continuidad en un punto no implica derivabilidad en ese punto’’.

ojo------> escribir como pie de página

f(x ) = 3 x son continuas para todo número real x, pero no son derivables ya que f’(0) no existe, como se vió en los ejemplos 4.6.2 y 4.6.3. Sea f una función cuya gráfica es la siguiente: Las funciones dadas por: f(x) = |x|

y

y

x2 a

x1

x3

b x

0

Entonces f es una función cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b]. Nuestro problema es calcular la derivada de f en todo el intervalo. Hemos aprendido solamente como hallar f ′ en un punto x0  (a,b).

?

¿Qué pasa con los extremos a y b? ¿Qué significa x tiende al extremo b o x tiende al extremo a?. Fíjate que podemos hablar de f(x) sólo si x es un elemento del dominio de f. Si x0  (a,b) tiene sentido hablar de elementos x pertenecientes al intervalo (a,b) que están muy próximos o cercanos a x0, y estos elementos pueden estar tanto por la derecha como por la izquierda de x0. Por ejemplo, en la gráfica de la función f dada tomamos un subintervalo abierto (c,d) muy pequeño, alrededor de x1, que esté totalmente contenido en (a,b). Así los puntos del intervalo (c,d) están muy próximos a x1, tanto por la izquierda como por la derecha. Gráficamente:

y

( )

a c x1 d

x2 0

x3

b x

Los elementos del intervalo (x1,d) están a la derecha de x1 y los elementos del intervalo (c,x1) están a la izquierda de x1, así si x (c,x1) entonces decimos que x se aproxima o se acerca a x1 por la izquierda y lo representamos por: xgx1- . Si x (x1,d) decimos que x se aproxima o se acerca a x1 por la derecha y lo representamos por: xgx1+ . 48

Luego tiene sentido hablar de f(x) si x (c,x1) o si x (x1,d), además si la derivada de f existe en cada punto x(c1,x1) (x(x1,d)) concluimos que f es derivable por la izquierda (por la derecha) de x1. Hemos definido la derivada de una función en un punto y en un intervalo abierto, recordemos que de la definición 4.6 tenemos que: Una función f:(a,b)gIR, cuya derivada existe en todo punto de (a,b) se dice que es derivable en (a,b). Nota que si el dominio de f es el intervalo cerrado [a,b] no se puede hablar de f(x) si x esta a la izquierda del extremo a o a la derecha del extremo b, pues esos x no pertenecen al dominio de f. Por lo tanto no podemos hablar de la derivada de f a la izquierda del extremo a ni a la derecha del extremo b del intervalo, ni siquiera podemos hablar de la derivada de f en el extremo a ni en el extremo b. Las siguientes definiciones nos permitirán definir la derivada de una función no sólo en un intervalo cerrado, sino que nos ayudará a generalizar la definición de derivada de una función en un conjunto cualquiera:

☞

Definición 4.7 Si f:[a,b]gIR es una función continua en un punto x0  [a,b], entonces a) f tiene derivada a la derecha o derivada lateral derecha de x0 si existe el límite

lím

x →x +0

f(x) - f( x0) x - x0

b) f tiene derivada a la izquierda o derivada lateral izquierda de x0 si existe el límite

lím

x →x -

0

f(x) - f( x0) x - x0

←

Notación

f(x) - f(x 0 ) ′ f+ ( x 0) = lím + → x x0 x - x0 f(x) - f( x 0) ′ . f- ( x 0) = lím → x x0 x - x0 Las derivadas dadas en la definición 4.7 se conocen como las derivadas laterales de la función f en el punto x0. Luego: f-′ (x0) es la derivada de f por la izquierda de x0 y f +′ (x0) es la derivada de f por la derecha de x0 Como la derivada de una función en un punto se define mediante un límite, se cumple que la derivada en un punto del dominio de una función existe si las derivadas laterales (1) existen y son iguales en dicho punto , lo que nos lleva a la siguiente definición. (1)

Ver definición de límite en un punto usando límites laterales (Matemática

I

¿Por qué?

(175-176-177))

49

☞

Definición 4.8 Sea f:[a,b]gIR una función y sea x0  [a,b], entonces se dice que f derivable en x0 si:

←

f−′ (x 0 ) = f+′ (x 0 ) = f ′(x 0 ).

☞

La derivada lateral también nos permite definir la derivada de una función en un intervalo cerrado, como sigue: Definición 4.9 Sea f:[a,b]gIR una función, entonces f es derivable en [a,b], si es derivable en (a,b) y existen las derivadas laterales f +′ (a) y f−′ (b), es decir existen los límites:

 f(x) - f(a)   f(x) - f(b)   y lím  . lím +  x →a  x - a  x→b  x -b 

←

Generalizando, definimos la derivada de una función en todo su dominio de la siguiente manera:

☞

Definición 4.10 Una función f:D ΙIRg IR es derivable en D, si la derivada de f existe para cada elemento x 0  D. ← Estamos en condiciones de derivar cualquier tipo de función real, entre las que se encuentran las funciones estudiadas en el curso de Matemática I (175-176-177), conocidas como funciones definidas a trozos, las cuales trabajaremos en los siguientes ejemplos: Ejemplos 4.6.4

1) Sea f:[-1,3]gIR la función definida por  3 - x si x ∈ [-1,1]  f(x) =   2  x + 1 si x ∈ (1,3]

Calcula, si es posible, la derivada de f en x=1. y

p Gráficamente: 10 8 6 4 2 -1 0

50

1

2

3

x

Como f(x)=3-x si x[-1,1] y por otro lado f(x)=x2+1 si x(1,3], para calcular f′ (1) debemos hallar f−′ (1) y f+′ (1).

f −′ (1) = lím x →1

f(x) - f(1) 3 - x -2 1- x = lím = lím = - 1. x -1 x -1 x →1 x →1 x - 1

f(1)= 3-1=2. Además 1-x=-(x-1).

entonces f −′ (1) = -1. Por otro lado, 2 f(x) - f(1) + 1- 2 = lím x + + x -1 x -1 x →1 x →1

f ′+ (1) = lím

2 (x - 1)(x + 1) x -1 = lím (x + 1) = 2. = lím x-1 x →1+ x - 1 x →1+ x →1+

f ′+ (1) = lím

En conclusión f −′ (1)  f ′+ (1) y por lo tanto f no es derivable en x=1, es decir no es posible calcular f −′ (1) . ■

Sea f:[0,3)gIR la función definida por

2.

| x - 1 | si x ∈ [0,1]  f(x) =   1 si x ∈ (1,3). 

Calcula f +′ (0) . ¿Es posible calcular f−′ (1) y f ′ (3)?. p

Gráficamente: y

1

|x-1| 0

f′+ (0) = lím

x→ 0+

1

3

| x - 1| - 1 f(x) - f(0) = lím x x -0 x→ 0+ 1- x - 1 =-1 x x→ 0+

f ′+ (0) = lím

x

Otra forma de probar que f no es derivable en x = 1, es verificando que f no es continua en ese punto. Hazlo.

51

f ′- (1) = lím− x→ 1

f(x) - f(1) | x - 1| - 0 1- x = lím = - 1. = lím x -1 x-1 x →1− x→1− x - 1

f ′+ (1) = lím+ x →1

f(x) - f(1) 1 = lím = + ∞. + x -1 x →1 x - 1

como f−′ (1) ≠ f+′ (1), no existe f′ (1). f′ (3) no se puede calcular ya que x=3 no pertenece al dominio de f.

■

Recapitulando lo hecho hasta el momento observamos que hemos estudiado las interpretaciones geométrica y física de la derivada a través de los conceptos de recta tangente y velocidad, respectivamente. Vimos que los problemas geométricos fueron los que condujeron a Leibniz a plantear el concepto de derivada de una función y están relacionados con la posibilidad de trazar la recta tangente a la gráfica de una función en punto. Además trabajamos con los problemas que condujeron a Newton a la definición de derivada de una función, los cuales provienen de la física, tales como determinar la velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo en un instante dado, es decir la velocidad instantánea de dicho cuerpo. Dimos la definición de derivada de una función en un punto y a partir de ahí extendimos el concepto de derivada a un intervalo y por último a dominios mas generales de una función. Finalmente dimos el concepto de derivada a través de las derivadas laterales. Para calcular la derivada de una función f en un punto x0 de su dominio tenemos que hallar el límite.

lím →

x

x0

f ( x ) - f ( x0 ) x - x0

Hicimos notar que dicho límite conduce a una indeterminación de la forma 0/0, lo que llevó a pensar en el cociente de cantidades muy pequeñas, que para hallarlas nos obligó a usar las propiedades de los números reales. Para calcular algebráicamente el límite planteado se pueden ordenar los pasos básicos a seguir mediante el algoritmo que describimos con el siguiente flujograma:

52

XII

MÓDULO II DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Objetivo

❏

Resolver problemsa aplicando los conceptos relacionados con el cálculo diferencial de funciones reales de variable real..

XIII

XIV

ÍNDICE

Pág.

INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................

17

UNIDAD IV 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Presentación ................................................................................................................. Variación de Funciones................................................................................................... Interpretación Física de la Tasa de cambio Instantánea ..................................................... Interpretación Geométrica de la Tasa de cambio Instantánea.............................................. Velocidad Instantánea en el Movimiento Rectilíneo............................................................ Derivada de una Función en un Punto ............................................................................. Propiedades de la Derivada y Reglas de Derivación .......................................................... Derivación de Funciones Compuestas y Regals de Derivación ..........................................

21 21 24 28 33 37 54 64

AUTOEVALUACIÓN I ................................................................................................... 69 4.9

4.10

Técnicas de Derivación que involucran la regal de la cadena ............................................. 71 4.9.1 Derivación Implícita .............................................................................................. 71 4.9.2 Derivada de la Función Inversa ............................................................................... 80 4.9.3 Derivación Logaritmica .......................................................................................... 80 4.9.4 Derivación de Funciones definidades en Forma Paraméricas ................................... 84 4.9.5 Otra Aplicación de la Regla de la Cadena : Razones de Cambio Relaciones .............. 96 Extremos. Intervalos de Ctrecimiento y de Decrecimiento ............................................... 100 AUTOEVALUACIÓN I I ................................................................................................. 112

4.11 4.12 4.13

Método de Newton ....................................................................................................... 112 Otras Aplicaciones de la Derivada .................................................................................. 123 Regla de L´Hopital ........................................................................................................ 133 AUTOEVALUACIÓN I I I .......................................................................................................................... 144

XV

Pág. UNIDAD V5 5.1 Presentación .................................................................................................... 5.2 Derivadas de Orden Superior ..................................................................................... 5.3 Comportamiento de una Función Según el Signo de su Derivada de Segunda................ 5.4 Gráficas de Funciones .............................................................................................. 5.5 Estudios de Algunas Curvas Planas ........................................................................... 5.6 Polinomio de Taylor ..................................................................................................

163 165 182 189 203 209

AUTOEVALUACIÓN I ............................................................................................................................. 217 AUTOEVALUACIÓN I I ................................................................................................................ 219

UNIDAD RESUMEN........................................................................................................................... SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.................................................................. GLOSARIO DE TÉRMINOS.................................................................................................. BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................... ÍNDICE ANALÍTICO..............................................................................................................

XVI

224 225 253 259 261

INTRODUCCIÓN

A través de la historia las matemáticas han surgido, en gran medida, de la actividad productiva de los hombres influenciados normalmente por las ciencias naturales. Como ejemplo de ello se encuentra el Cálculo Diferencial e Integral en su forma más primitiva de Cálculo de Fluxiones, el cual surge en la antigüedad como un método de resolución más general de los problemas mecánicos, entre ellos los de la mecánica celeste. Es en el siglo XVII, cuando comienza a desarrollarse el Cálculo Diferencial e Integral, entre todas las disciplinas matemáticas. Fueron dos trabajos que se desarrollaron independientemente, sin que hubiese comunicación entre los autores los que dieron la pauta para el avance de este cálculo. Por un lado, en las obras de Isaac Newton (1) (Publicadas en el siglo XVIII entre los años 1665-1666) se desarrolló la forma teórica de fluxiones. Por otro lado, se hizo el estudio que toma la forma de cálculo de los diferenciales en las obras de Gottfried Wilhelm Liebniz (2) publicadas en los años 1682-1686. Al principio ni siquiera Newton ni Liebniz comprendían claramente el concepto de derivada de una función. De hecho durante mucho tiempo este concepto no estuvo claro para ellos. Newton llegó al concepto de derivada, a la que él llamaba Fluxión, pensando en “velocidad instantánea” de un cuerpo en movimiento. Es así como el desarrollo de la matemática, en muchas ocasiones, se ha fundamentado en el trajinar cotidiano de otras disciplinas como la física, la economía, la ingeniería, entre otras. Otro ejemplo se da con las teorías económicas surgidas en el siglo XIX, las cuales tuvieron un apoyo relevante en conceptos matemáticos como el de derivada, el cual se utilizó para calcular la demanda, el crecimiento y otros conceptos atinentes al tema. El reflejo de esta realidad se produce cuando el filósofo Karl Marx (3) en sus manuscritos teóricos de economía se acercó a la solución del problema de la fundamentación del cálculo diferencial. En este estudio Marx mostró las raíces matemáticas fundamentales del cálculo diferencial y el prototipo de sus métodos. Aunque este filósofo no era matemático, tuvo que aprenderla desarrollándola desde sus principios para poder justificar los elementos necesarios para entender hacia donde iba dirigida su teoría. Este módulo está inmerso en un curso elemental e introductorio al cálculo. Aquí introduciremos el cálculo diferencial mediante métodos de resolución de problemas que nos permitan calcular rectas tangentes a una curva en un punto y la velocidad de desplazamiento de un móvil; pero, con algunos ejemplos y ejercicios veremos que su aplicación es mucho mas amplia. Además, trataremos de hacer notar que la derivada nos lleva de lo global a lo local por ejemplo: de la velocidad media en un lapso de tiempo, a la velocidad en cualquier instante; de pendientes de rectas secantes a pendientes de rectas tangentes, las cuales son algunas de las aplicaciones que ilustra el uso de la derivada. Fue Pierre Fermat (4) quién publicó, en 1637, un método para calcular rectas tangentes en su obra «Methodus ad Disquirendam Maximan» (un método para hallar máximos y mínimos). Este método consiste en un algoritmo para calcular la pendiente o inclinación de la recta tangente a la gráfica de una función en uno de sus puntos. Este Módulo se divide en dos unidades de aprendizaje. En la primera unidad se introducirá la derivada de primer orden y trabajaremos con las propiedades de las mismas. En esta unidad usaremos el método de Fermat para hallar puntos sobre la gráfica de una función en los cuales la recta tangente es horizontal; es decir, rectas tangentes de pendiente nula, lo que nos permitirá encontrar localmente los puntos más bajos o más altos de la gráfica trabajada en subconjuntos del dominio de la función. También usaremos la derivada para hallar apróximaciones numéricas de raíces de ecuaciones mediante un proceso de aproximación numérica conocido como el método de Newton-Raphson. (1) (2) (3) (4)

Isaac Newton: Matemático inglés (1642-1727), quien llamaba a las derivadas fluxiones. Gottfried Wilhelm Liebniz: Matemático Alemán (1646-1716). Karl Marx filósofo Alemán (1818-1883). Pierre Fermat: Matemático Francés (1601-1665).

17

En la segunda unidad trabajaremos las derivadas de orden superior y las propiedades que las envuelven con el fin de utilizarlas para construir la gráfica aproximada de una función y resolver algunos problemas de aplicación. Intentaremos trabajar en forma práctica sin mucha rigurosidad teórica, con el fin de hacer menos pesado el desarrollo del módulo.

18

UNIDAD IV

Objetivos

❐ Interpretar geométrica y físicamente el concepto de derivada en un punto dado.

❐ Determinar si una función dada es derivable en un punto conocido de su gráfica.

❐ Aplicar el cálculo de derivadas en la solución de problemas.

19

20

4.1

Presentación

Si revisamos el curso de Matemática I de la UNA, códigos 175-176-177, vemos que en la definición de tasa media de variación o tasa media de cambio se trabajó con el fin de estudiar el comportamiento de una función en un intervalo dado, es decir verificar si la función es creciente o decreciente en dicho intervalo. Estos conceptos se retoman en esta unidad para introducir la idea de la derivada de una función en un punto. Los conceptos vistos en el curso de Matemática I involucran los cambios y en particular la razón de cambio de las cosas, pues todo lo que nos rodea cambia frecuentemente. Algunas cosas cambian lentamente y otras rápidamente; por ejemplo, un automóvil al desplazarse por una carretera va cambiando de posición a medida que transcurre el tiempo, y es posible medir la velocidad promedio alcanzada por dicho vehículo, tomando en cuenta las posiciones inicial y final del mismo y los tiempos en las cuales se encontraba en cada una de dichas posiciones, lo que nos da la razón de cambio o tasa de variación de la posición del automóvil. Mediante el concepto de razón media de cambio, daremos el concepto de derivada como una razón instantánea, estudiaremos sus propiedades y daremos algunas aplicaciones ilustrativas a esta definición.

4.2

Tasa o variación media de cambio. Tasa o variación instantánea de cambio.

Variación de Funciones

Según lo visto en el curso de Matemática I(175-176-177) sobre razón de cambio sabemos que “ si una variable real x varía desde un valor x0 hasta un valor x, la razón está dada por la diferencia x-x0 o x0-x (dependiendo de si x0 está a la izquierda o a la derecha de x) la cual denotaremos por ∆x, es decir ∆x = x - x0 o ∆x = x0 - x”. La siguiente tabla refleja una representación de este hecho: ∆x > 0 g∆x

0

x0

∆x < 0 g∆x = x0-xg

= x-x0g x

x

0

x

x0

x

Una interpretación física de esto es la siguiente: si x representa el espacio recorrido por una partícula, teniendo prefijado un sistema de referencia, entonces si inicialmente la partícula se encuentra en una posición dada por x0, ésta se mueve hasta la posición final x. Este movimiento o variación de la posición puede ser positivo, negativo o nulo ya que el valor inicial de la posición de la partícula puede ser mayor, menor o igual al valor de la posición final de la misma. Formalmente podemos decir que: variación o incremento de una variable numérica sobre la recta real es la diferencia entre dos puntos o dos valores de una variable real en la recta. En el caso en que tengamos una función f diremos que la variación de f, de f(x0) a f(x) será ∆f = f(x) - f(x0), este incremento es generado por una variación ∆x de la variable x, esto es x varía desde un punto fijo x0 hasta un punto x = x0 + ∆x. Así: ∆f = f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0) donde ∆x = x - x0.

21

Ejemplo 4.2.1 Halla la variación de la función f:IRgIR dada por f(x) = x3 cuando la variable x varia desde un valor x0 hasta un valor x cualquiera del dominio de f. Cálculos de f(x0), ∆f.

Gráfica x3 -x03 =

y

(x-x0)(x2+xx0+x02)

y = x3

Calculamos: f(x0)= x03 y f(x)= x3 0

x

y luego calculamos: ∆f = f(x) - f(x0) = x3 - x03

Analíticamente Si queremos expresar ∆f en términos de ∆x se procede como sigue: factorizando resulta ∆f = (x - x0) (x2 + xx0 + x02) luego ∆f = ∆x (x2 + xx0 + x02) como x = ∆x+x0, entonces nos queda ∆f = ∆x((∆x+x0)2 + (∆x+x0)x0 +x02) ∆f = ∆x( 3x02 + 3x0 ∆x + (∆x)2 ).

En este ejemplo hallaste una relación entre ∆f y ∆x obteniendo que si ∆x0, entonces

∆f 2 = 3 x 0 + 3 x 0∆x + ( ∆x ) 2 ∆x (Concepto visto en el curso de Matemática I (175-176177).

El cociente anterior se conoce como razón media de cambio o tasa media de variación de la función f con respecto a la variable independiente x.

Ejemplo 4.2.2 Dada la función definida por l (x) = mx + b donde m y b son constantes. Si la variable x varia de un valor x0 dado a otro valor x, cualquiera de su dominio, calcula la razón media de cambio o tasa media de variación de la función l. Numéricamente: cálculos de l(x0), l(0) y ∆l

Gráfica y

Suponemos, sin perdida de generalidad: m  0 y b < 0. Así,

l P2

P1 0

x0 ∆x

m=

22

φ

l(x) = mx + b. Entonces si:

∆y x

∆y = tan φ ∆x

x

x ————g l (x) x0 ———— g mx0 + b x ———— g mx + b Como la recta l corta a los ejes de coordenadas en los puntos: (0,b) y ((-b/m) ,0), la razón de cambio entre esos puntos está dada por: m = (0 - b)/(-b/m - 0), y representa la pendiente m de la recta l.

Analíticamente Tenemos que l(x0) = mx0 +b y l(x) = mx + b, luego: l(x) - l(x0) = mx + b -(mx0+b)= = mx - mx0 = m(x - x0) [1] como ∆l = l(x) - l(x0) y ∆x = x - x0 de la ecuación [1] resulta ∆l = m ∆x luego la razón media de cambio o tasa media de variación de la función l para este caso es: ∆l m= ∆x

Nota que la función l(x) = mx+b se representa gráficamente mediante una recta de pendiente m que corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). De esta manera la pendiente de una recta, representa la tasa media de variación o razón media de cambio de la función l cuando la variable varia desde un x0 hasta un x cualquiera de su dominio. Ahora podemos preguntarnos lo siguiente:

?

¿ Qué le ocurre a ∆l a medida que ∆x se hace muy pequeño? Esta pregunta la podemos responder como sigue: A medida que ∆x se hace muy pequeño (∆x tiende a cero), x se encuentra cada vez más cercano a x0, por lo tanto debido a la continuidad de la función afín, ∆l se hace muy pequeño, o sea l (x) se aproxima a l (x0), como se puede observar en la gráfica: y

l l (x) ∆y = |l(x)-l(x0)|

l (x0) 0

x0

x ∆x = |x-x0|

0

Así obtenemos un comportamiento instantáneo de la función en el punto de coordenadas (x0, l (x0)) y nos conduce al siguiente concepto: Definición 4.1 La variación de cambio instantánea o razón de cambio instantánea de una función real f de variable real en un punto x0 del dominio de f, esta dada por el límite:

  − lím  f(x) f(x0 )  − → x x0  x x0 

☞

[1] ←

siempre que este límite exista. Otras formas equivalentes de escribir la variación de cambio instantáneo se dan a continuación: De la fórmula ∆x = x - x 0 se tiene x = x 0 + ∆x, por lo tanto la variación de cambio instantánea también la podemos dar mediante la expresión, equivalente al límite [1],

 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )   lím  [2] ∆x  Ahora si hacemos el cambio de variables h = ∆x entonces el límite [2] lo podemos escribir: ∆ x →0 

 f(x 0 + h) − f(x 0 )   lím  h  h→ 0 

[3] 23

Así los límites [1], [2] y [3] son maneras de cálcular el comportamiento instantáneo de la función f en un punto x0 de su dominio. En la siguiente figura se puede observar que el comportamiento instantáneo de la función f representada en la gráfica es la pendiente de la recta tangente en el punto de coordenadas (x0,f(x0))a medida que x se aproxima a x0. y

f

ƒ f f(x 1 ) − f(x 0 ) = ƒx x1 − x0

f(x1)

∆f = f(x1) - f(x0)

f(x) f(x0)

x0 x

4.3

∆f = f(x) - f(x0)

α x1

x

ƒ f f(x) − f(x 0 ) = ƒx x − x0 f(x) − f(x 0 ) m = tg· = lím x → x0 x − x 0

Interpretación Física de la Tasa de Cambio Instantánea

Físicamente la razón o tasa de cambio instantánea del recorrido de un móvil desde un tiempo t hasta un tiempo t0, se presenta cuando el móvil se desplaza, en linea recta, desde una ciudad A hasta otra ciudad B con una velocidad promedio, por ejemplo de 80 kilómetros por hora, la pregunta que debemos hacernos es la siguiente:

?

¿ Mantiene el móvil la velocidad de 80 Kilómetros por hora durante todo su trayecto?

La respuesta a esta pregunta debe ser no, porque puede suceder que por el camino se presenten algunos contratiempos que obligan al conductor a disminuir o aumentar la velocidad del móvil, por ejemplo si encuentra un semáforo por el camino debe reducir la velocidad hasta detener el vehículo, o si quiere pasar otro móvil que se encuentre por el camino quizás se le haga necesario aumentar la velocidad (además por problemas físicos el hecho de mantener el movíl a una velocidad constante por todo el trayecto deteriora el motor del vehículo, ya que hace que el aceite del motor se evapore con mas celeridad). Por lo tanto no tenemos información para predecir de esta manera la velocidad en un instante t0 determinado. Pero si calculamos la tasa media de cambio del espacio recorrido con respecto al tiempo y hacemos tender el tiempo t hasta t0, obtenemos un límite que representa la velocidad y que podemos expresar de la siguiente forma: si llamamos e a la función que da el espacio en un tiempo t:

 e(t) − e(t0 )   v(t) = lím  t − t 0  t →t 0  Rapidez es el valor absoluto de la velocidad.

24

La noción intuitiva de velocidad es la rapidez con la cual un móvil recorre una distancia en un cierto intervalo de tiempo. Podemos hablar entonces de velocidad media o promedio y de velocidad instantánea.

Por ejemplo, si un automóvil se desplaza en línea recta, durante dos horas de una ciudad A hasta otra ciudad B, las cuales se encuentran a una distancia de 110 Km, entonces la velocidad media estará dada por:

vm =

v m es una tasa media o razón media de cambio.

Distancia Recorrida 110km Km = = 55 . Tiempo Transcurrido 2h h

Este resultado indica que en promedio el móvil recorre 55 kilómetros por cada hora transcurrida. Reiteramos entonces que, durante el viaje, no es posible mantener la velocidad, pues surgen factores externos los cuales obligan a disminuir o aumentar la velocidad.Por otro lado, si la carretera está libre es posible aumentar la rapidez, la cual debe variar con el tiempo y el velocímetro del automóvil no marca la rapidez media, sino la rapidez instantánea en un tiempo o instante determinado.

Ejemplo 4.3.1 Supongamos que una pelota cae al vacío, partiendo del reposo y recorre una altura e dada por e(t) = -4t2 donde e se mide en metros y t en segundos. Halla la velocidad promedio desde t = 0 hasta t = 6.

Analíticamente

Gráfica que modela el ejemplo e(0)=0

0

e

El signo “-” significa que la pelota va bajando. Tomamos por convención recorrido positivo hacia arriba.

Como la variación de la distantcia recorrida por la pelota está dada por:

t=0

e(6) - e(0) = - 4.36 - (- 4).0 = -144 y el tiempo transcurrido es: (6 - 0)s = 6s, tenemos que la velocidad media es:

t=6

vm =

e(6) − e(0) 144 m =− = −24 . 6 −0 6 s

Nos preguntamos: ¿Mantuvo la pelota la velocidad en todo ese trayecto recorrido?, ¿Cuál sería su velocidad media en el intervalo de tiempo [0,3]?

?

A continuación responderemos las interrogantes que se nos plantearon. Veamos: Pero en el intervalo de tieme( 3) − e( 0 ) − 4.( 3) 2 − 0 m vm= 3 − 0 = 3 = −12 s Ahora, si calculamos la ve- po [3; 3,01] la velocidad melocidad media en el intervalo de tiempo [3;3,1] obtene- dia de la pelota es: Evidentemente su veloci- mos: dad promedio no es la misma en este intervalo que para el intervalo de tiempo [0,6].

vm =

e(3,1) − e(3) 3,1 − 3 2

=

− 4(3,1) + 4(3) 0,1

Vm =

=

e( 3,01) − e( 3 ) 3,01 − 3 2

2

= −24,4

m s

.

=

− 4( 3,01)

+ 4(3 )

0,01

=

2

= −24,04

m s

25

Observamos de los cálculos hechos para hallar la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez más cortos comenzando en t=3 segundos, que nos vamos acercando cada vez mas, al valor de la velocidad en el instante t=3 segundos. Es decir, a medida que t se aproxima a 3 obtendremos la velocidad en el instante t=3 la cual es la velocidad instantánea en t=3. El objetivo a lograr en el procedimiento seguido para tratar de determinar la velocidad de la pelota en el instante t= 3 segundos, es el mismo perseguido cuando tratamos de resolver un límite. Entonces para calcular la velocidad instantánea de un móvil en un tiempo t0 se debe hacer uso de límites. Por ejemplo, si denotamos por v a la velocidad instantánea, entonces en el instante t0=3 segundos podemos calcular la velocidad instantánea mediante el límite:

 − 4t2 36  − 4(t 2 − 9)  e(t) − e(3)   = lím v = lím   = lím  t →3  t − 3  t →3  t −+3  t →3 t − 3 así, m  (t − 3)(t + 3)  v = −4 lím   = −4 lím (t + 3) = −4.6 = −24 t →3  t → 3 t −3 seg. 

■

De este ejemplo podemos inferir las siguientes definiciones, tanto para velocidad media como para velocidad instantánea.

☞

Definición 4.2 Sea e= e(t) la función que define el espacio recorrido por un móvil en el intervalo de tiempo [t,t+∆t]. La velocidad media o promedio del móvil en ese intervalo de tiempo, es la razón o tasa media de cambio de un móvil con respecto al tiempo t, es decir

vm =

Espacio Recorrido e(t + t) − e(t) = Tiempo Transcurri do t

donde ∆t representa la variación del tiempo transcurrido.

☞

←

Definición 4.3 Sea e el espacio recorrido por un móvil en un tiempo t >0, entonces se define la velocidad instantánea en un tiempo t0, por el siguiente límite:  e(t 0 + ƒ t) − e(t 0 )   v = lím  ƒt ƒ t →0  

siempre que el límite exista.

←

Si hacemos analogía con la notación utilizada para la tasa de variación instantánea de una función, vemos que la variación de tiempo la podemos escribir como ∆t = t - t 0 , de donde resulta que si ∆t tiende a cero es porque t tiende a t0, o usando la notación dada queda: [∆tg0 o ( t-t 0)g0] si y sólo si tgt 0; así podemos expresar la velocidad instantánea como

26

tgt0

h g0

 e(t) − e(t0 )   v = lím  t →t 0  t − t0 

 e (t + h )− e (t0 ) v = lím  0  h→0 h 

Ejemplo 4.3.2 Una partícula se mueve linealmente y la distancia recorrida, desde el origen, está dada por la función f: [0,+× ]gR definida por:

f(t) =

5t +

1 5

(f en centímetros, t en segundos). Calcula la velocidad instantánea de la partícula alos 3 segundos de haber comenzado su movimiento. p Si hacemos ∆t=h tenemos que la velocidad instantánea en t=3 está dada por:   5(3 + h) + 1 − 5.3 + 1 + − f(3 h) f(3)    5 5 v = lím   = lím  h h h→ 0   h→ 0   

     

 76 + 25h − 76   76 + 25h + 76     v = lím     76 + 25h + 76  h→ 0  h 5     76 + 25h − 76  1  v = lím  h→ 0  h 5 76 + 25h + 76 

(

)

  25h 5 5  = lím v = lím    h → 0  h 5 ( 76 + 25h + 76 )  h → 0 76 + 25h + 76

entonces, evaluando en el límite nos queda que la velocidad instantánea en el tiempo t=3 segundos es

v=

5 5 cm . 2 76 s ■

Hemos trabajado, en los ejemplos anteriores, con una nueva definición, la cual es el objeto de estudio de este Módulo, ésta nos permitirá determinar comportamientos instantáneos de funciones con respecto a la variable de las cuales ellas dependen. Introducimos el nuevo concepto a partir de la interpretación geométrica de la tasa de de variación de cambio instantánea y considerando las ideas del matemático griego Euclides sobre tangencia: La noción de Euclides (1) de recta tangente como una línea que toca a la gráfica de una curva en un solo punto funciona con círculos, parábolas o cualquier gráfica que cumpla con la siguiente propiedad: una recta que la toque en un solo punto deja de un lado a la gráfica. Esto ocurre porque en estos casos, la recta tangente a la gráfica de una curva en un punto no la corta en otro punto. (1)

Euclides: Matemático griego (325 A.C - 265 A.C)

27

Lo dicho en el párrafo anterior se puede notar en las siguientes gráficas. y

y L L

x

x

y

...

Pero si analizamos la siguiente gráfica: Q

P

...

x

notamos que la idea de Euclides de recta tangente no funciona para este caso pues, aunque la recta L es tangente en P, a la curva C, no la deja de un lado ya que también L corta a C en el punto Q y, la curva queda por arriba y por abajo de L , en ese punto. Por lo tanto la recta L no es tangente a la curva C, así podemos inferir que Euclides trabajó la tangencia con gráficas de curvas muy particulares. Debemos tener presente que la interpretación geométrica de la recta tangente a la gráfica de una función es la siguiente: “una recta es tangente a la gráfica de una función si la corta en un solo punto”. Así que tampoco podemos afirmar que la recta L de la gráfica, es tangente a la curva C, ya que L la corta en los puntos P y Q. Entonces concluimos que la noción de Euclides de recta tangente no funciona con todo tipo de curva. Lo comentado anteriormente nos limita el concepto de tangencia a la gráfica de una función y por lo tanto a continuación convenimos que cuando hablemos de tangencia nos referiremos a tangencia en un punto partícular de la gráfica de una función, es decir a tangencia local. A continuación veremos como definir la tangencia local a partir de la tasa de cambio instantánea.

4.4 Interpretación Geométrica de la Tasa de Cambio Instantánea El comportamiento instantáneo de una función real f en un punto (x0, f(x0)) lo podemos ver geométricamente como sigue: 28

Dada una función f:RgR cuya gráfica es aproximadamente: y f y1

L1 Q1

x0

x

x1 y0

P

donde P(x0,y0), Q1(x1,y1) son puntos sobre la gráfica de f y L1 es la recta secante a la

m gráfica de f que pasa por esos puntos. En esta gráfica se observa que la pendiente L1

de la recta secante L1 a la gráfica de f es:

mL1 =

y1 − y0 x1 − x0

Nota la similitud que hay con la definición de velocidad media.

y representa la tasa media de variación de la recta L1 cuando la variable x varia de x0 a x, y el ángulo de inclinación de la recta L1 es α1. |x2-x0 |0, d en metros, t en segundos, a) b) c) d) e)

Calcula la velocidad media en el intervalo de tiempo [4, 6]. Calcula la velocidad media en el intervalo de tiempo [5, 6]. Calcula la velocidad media en el intervalo de tiempo [5; 5,1]. Calcula la velocidad media en el intervalo de tiempo [5; 5,0001). Calcula la velocidad instantánea en el tiempo t=5 segundos. ¿ Qué puedes concluir de los resultados que obtuvistes con respecto a la relación entre velocidad media y velocidad instantánea?

2.

Expresa los cálculos del ejemplo 4.4.1 en términos de notaciones equivalentes usando ∆x y usando h.

3.

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f:RgR dada por: f(x)=x2, en el punto P(-1,1).

4.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g:R-{0}gR definida por

g(x) =

1 x

2

,

en el punto.

1  P  - 2, .  4 5.

32

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h:IRgIR dada por: h(x)=2x3 - 4 en el punto de abscisa x0 = 0.

Hemos visto la interpretación geométrica de la razón o tasa de cambio instantánea a partir de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. También pudimos interpretar este concepto a través de un problema físico mediante la velocidad de un cuerpo móvil. Aunque estas interpretaciones parecen no tener relación, puedes analizarlas y observar que esencialmente en términos matemáticos representan lo mismo.

4.5

Velocidad Instantánea en el Movimiento Rectilíneo

Sea P una partícula que se mueve sobre una línea recta (movimiento conocido como rectilíneo). Si la recta es horizontal, para este movimiento escogemos arbitrariamente su dirección: positiva hacia la derecha y negativa hacia la izquierda. Sea O un punto sobre la recta y denotemos por e = e (t) [1] la función que nos da la distancia recorrida por la partícula P, desde el punto O en un tiempo particular t. La ecuación [1] representa la ecuación del movimiento de la partícula. Por ejemplo, si e(t)=t2+2t-3, en el tiempo t=0, se tiene e= -3, esto significa que la partícula P se ha movido 3 lugares a la izquierda de 0; pero si t=1 resulta e=0 y por lo tanto P está en la posición 0 al haber transcurrido 1 segundo de su movimiento. Ahora, si t=3 entonces e=12. Gráficamente representemos este hecho como sigue: t=0

t=1

t=3

+

-3

0

3

6

9

12

e

Analizando esta gráfica notamos que entre t=1 segundo y t=3 segundos P se mueve desde e=0 hasta e=12, es decir, en 2 segundos P cambia su posición desde 0 hasta 12. La velocidad media vmserá la razón de cambio del movimiento de la partícula P, dirigida desde un punto fijo al cambio del tiempo t, esto es, en el intervalo de tiempo [1,3] se tiene:

vm =

e(3) - e(1) 12 - 0 = =6, 3-1 2

en el intervalo de tiempo [0,2], vm será :

vm =

e(2) - e(0) 5 + 3 = = 4. 2-0 2

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