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SEMANA 5 – INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SEMANA 5

Modelo de programación lineal

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SEMANA 5 – INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

APRENDIZAJE ESPERADO 

Utilizar modelo de programación lineal para la resolución de un problema aplicado al almacenamiento.

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APRENDIZAJE ESPERADO....................................................................................................................2 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................4 1. ETAPAS DEL MODELO DE PROGRMACIÓN LINEAL PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA APLICADO A ALMACENAMIENTO ......................................................................................................5 1.1

PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DEL ALMACENAMIENTO ...................................................6

1.1.1

VARIABLES ..................................................................................................................7

1.1.2

FUNCIÓN OBJETIVO ....................................................................................................8

1.1.3

RESTRICCIONES ...........................................................................................................8

1.2

MODELO FINAL ...................................................................................................................9

1.3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA PROBLEMAS DE ALMACENAMIENTO ...........................9

COMENTARIO FINAL.........................................................................................................................19

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INTRODUCCIÓN Toda empresa productiva cuenta con un espacio físico destinado a almacenar materias primas y productos terminados, si este no es aprovechado adecuadamente, aumentarán los costos, disminuyendo las utilidades por no optimizar dicho recurso. Es aquí justamente donde juega un rol fundamental la investigación de operaciones, optimizando los espacios de almacenando y además permite disminuir costos por este concepto. Para resolver problemas de almacenamiento utilizando la investigación de operaciones es necesario construir un modelo matemático de programación lineal.

permitirá encontrar soluciones factibles para resolver un problema. Resolver un problema de almacenamiento mediante investigación de operaciones permitirá apoyar y planificar de manera eficiente la producción. También tiene influencia en la imagen que proyecta la organización, ya que podrá responder de forma oportuna a los requerimientos de los clientes, ya que, al disminuir costos, no tendrá que destinar recursos extras a mayor mano de obra para cumplir con los clientes y, además, no se destinarán recursos adicionales por arriendo de almacenamiento de productos.

Para su construcción es necesario considerar ciertas etapas, como identificar las variables, la función objetivo, restricciones y, finalmente, determinar el modelo que

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1. ETAPAS DEL MODELO DE PROGRMACIÓN LINEAL PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA APLICADO A ALMACENAMIENTO La investigación de operaciones, cuando es aplicada para optimizar un problema de almacenamiento, lo que busca es optimizar los recursos y entregar un apoyo cuantitativo a las decisiones que se deben tomar en una organización. A continuación, se presentan algunos problemas que se pueden resolver mediante la investigación de operaciones:  



Permite disminuir costos por almacenamiento de productos terminados y materias primas. Relaciona variables de productos en inventario, cantidad a producir, capacidad de almacenamiento y producción, con la finalidad de encontrar la mejor configuración que permita disminuir costos y satisfacer los requerimientos de los clientes. Permite optimizar los niveles de stock de materia prima de acuerdo a la disponibilidad en bodega y apoyar la planificación de la producción, disminuyendo costos por almacenamiento.

Durante esta semana se continuará elaborando modelos matemáticos, pero esta vez para resolver problemas de almacenamiento y relacionarlos con el área de producción. En la actualidad, almacenar productos dentro de una bodega supone una serie de factores logísticos complejos. Lo que buscan las empresas es minimizar costos por este concepto, sobre todo en aquellas que manejan grandes cantidades de productos. Como ejemplo, se puede mencionar los retails, que tienen productos diversificados y en grandes volúmenes. Generalmente, utilizar la investigación de operaciones para resolver un problema de almacenamiento es disminuir costos y realizar mejoras en el desempeño. Para ello es necesario construir un modelo y conocer las restricciones, que son las limitantes al interior de una organización. Dentro de las restricciones para el almacenamiento, la principal limitante es la capacidad de almacenamiento que tenga la organización. Un problema de almacenamiento siempre tendrá relación con el área de producción y/o compras. A partir de la información que entregan dichas áreas, se pueden optimizar o mejorar los espacios disponibles, disminuir costos y tomar decisiones acorde a la realidad de la organización.

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Resolver un problema de investigación de operaciones asociado a almacenamiento debe permitir satisfacer los requerimientos de los clientes en los plazos acordados y siempre es necesario considerar las capacidades que tiene la empresa.

La programación lineal es un procedimiento matemático que utiliza ecuaciones lineales del tipo: ax +by = c; ax + by ≥w ; ax + by ≤ z.

Para resolver un problema de programación lineal aplicado a almacenamiento es necesario conocer la demanda de los clientes, la cual puede ser diaria, mensual, trimestral o anual. También se deben considerar los compromisos de mutuo acuerdo. Hay empresas que necesitan tener un programa de recepción de productos terminados, en este caso, la empresa proveedora debe planificar de manera correcta su producción y almacenamiento para cumplir con los acuerdos pactados. Conocer estos antecedentes permite establecer las restricciones para resolver un problema de programación lienal aplicado al almacenamiento. Como ya se ha visto en semanas anteriores, para determinar el modelo final es necesario tener en cuenta el siguiente diagrama:

Definir variables

Función objetivo

Restricciones

Modelo final

1.1 PROBLEMA DE PLANIFICACIÓN DEL ALMACENAMIENTO Uno de los problemas que se puede resolver mediante la programación lineal se relaciona con optimizar el almacenamiento dentro de una bodega. La finalidad es disminuir costos y realizar mejoras que permitan aumentar el beneficio de la empresa. A continuación, se explicará cómo determinar el modelo final de un problema de programación lineal para resolver un problema de almacenamiento. Ejemplo genérico aplicado a resolver un problema de materias primas: Una empresa, de acuerdo a un contrato con un cliente, debe despachar A, B y C unidades de un producto para el mes 1,2 y 3 respectivamente.

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La cantidad producida viene dada por xj. Donde j = 1, 2,3 1: Mes 1 2: Mes 2 3: Mes 3 La planta tiene una capacidad de producir “P” unidades. Los costos de producción asociados por unidades para el mes cj. Donde j = 1, 2,3 1: Mes 1 2: Mes 2 3: Mes 3 El costo de almacenamiento por cada unidad es de cA. La bodega posee una capacidad de “Z” unidades. El despacho se realiza el último del mes. Considerando lo anterior, se debe determinar el modelo final que permita disminuir los costos.

1.1.1 VARIABLES Las variables presentes en este ejemplo son: xi: Cantidad de productos producidos en el mes. Donde j = 1, 2,3 1: Mes 1 2: Mes 2 3: Mes 3 Ii : Unidades del inventario final en el mes i. Donde i = 1, 2,3 1: Mes 1 2: Mes 2 3: Mes 3 Cj: Unidades del inventario final en el mes i. Donde i = 1, 2,3 1: Mes 1 2: Mes 2 3: Mes 3

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1.1.2 FUNCIÓN OBJETIVO Cuando se determina la función objetivo se debe tener claridad de qué es lo que se desea optimizar. En este caso, se solicita minimizar los costos por almacenamiento y producción. Donde: C: Costos por almacenamiento. La función objetivo para minimizar los costos viene dada por: Mín. C = c1* x1 + c2* x2 + c3* x3 - cA (I1 + I2+ I3) Costos de producción

Costos de almacenamiento

1.1.3 RESTRICCIONES  Mes 1 Mes 2 Mes 3

 Mes 1 Mes 2 Mes 3

 Mes 1 Mes 2 Mes 3

Capacidad de la planta por mes: x1 ≤ P x2 ≤ P x3 ≤ P

Despachos comprometidos con los clientes: x 1 = A + I1 I1 + x 2 = B + I 2 I2 + x 3 = C + I 3

Capacidad almacenamiento en la bodega: x1 ≤ Z I1 + x 2 ≤ Z I2 + x 3 ≤ Z

 La producción siempre será superior a cero: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

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1.2 MODELO FINAL Para construir el modelo final se debe considerar la función objetivo, quedando sujeta a las restricciones definidas. Mín. C = c1* x1 + c2* x2 + c3* x3 -

cA (I10 + I11+ I12)

s. a x1 ≤ P x2 ≤ P x3 ≤ P x1 = A + I 1 I1 + x2 = B + I 2 I2 + x3 = C + I 3 x1 ≤ Z I1 + x2 ≤ Z I2 + x 3 ≤ Z x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

1.3 EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA PROBLEMAS DE ALMACENAMIENTO Ejemplo aplicación 1 Una empresa debe despachar 5.000, 15.000 y 10.000 unidades para octubre, noviembre y diciembre, respectivamente. Cada despacho se realiza el día 25 de cada mes. La planta tiene una capacidad de producción mensual de 10.000 unidades. Los costos asociados por unidades para el mes de octubre son de $10, noviembre $5 y para diciembre $12. El costo de almacenamiento por cada unidad es de $2. La bodega posee una capacidad de 11.000 unidades y no cuenta con inventario a principio de octubre. Se debe determinar el modelo final que permita disminuir los costos de almacenamiento en octubre, noviembre y diciembre.

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Desarrollo: 

Definir el problema:

El problema es determinar la cantidad a producir que minimice los costos totales durante octubre, noviembre y diciembre. 

Construcción del modelo:

Para resolver el problema se elabora una tabla resumen con los antecedentes: Mes

Octubre

Noviembre

Diciembre

5.000

15.000

10.000

Costos producción ($)

10

5

12

Costos de almacenamiento ($)

2

2

2

Unidades

Para construir el modelo lo primero es definir las variables: xi: Unidades producidas en el mes (donde i = 10, 11, 12; 10 = octubre, 11 = noviembre, 12 = diciembre). Ii : Unidades del inventario final en el mes i (donde i = 10, 11, 12; 10 = octubre, 11 = noviembre, 12 = diciembre). Se deben obtener los costos: Costos de producción: 10 * unidades producidas en octubre + 5* unidades producidas en noviembre + 12* unidades producidas en diciembre Costos de producción: 10* x10 + 5* x11 + 12* x12 Costos de almacenamiento: 2 (inventario final octubre + inventario final noviembre + inventario final diciembre). Costos de almacenamiento: 2 (I10 + I11+ I12 )

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La función objetivo para minimizar los costos totales viene dada por: Mín. C = 10* x10 + 5* x11 + 12* x12 +

2 (I10 + I11+ I12)

Costos de producción Costos de almacenamiento Restricciones: 

Capacidad de la planta por mes:

Octubre Noviembre Diciembre



Despachos comprometidos con los clientes:

Octubre Noviembre Diciembre



x10 ≤ 10.000 x11 ≤ 10.000 x12 ≤ 10.000

x10 = 5.000 + I10 I10 + x11 = 15.000 + I11 I11 + x12 = 10.000 + I12

Capacidad de almacenamiento en la bodega:

Octubre Noviembre Diciembre

x10 ≤ 11.000 I10 + x11 ≤ 11.000 I11 + x12 ≤ 11.000

 La producción siempre será superior a cero. x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 De esta forma queda representado el modelo final para minimizar los costos totales de octubre, noviembre y diciembre.

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Mín. C = 10* x10 + 5* x11 + 12* x12 + 2 (I10 + I11+ I12) x10 ≤ 10.000 x11 ≤ 10.000 x12 ≤ 10.000 x10 = 5.000 + I10 I10 + x11= 15.000 + I11 I11 + x12 = 10.000 + I12 x10 ≤ 11.000 I10 + x11 ≤ 11.000 I11 + x12 ≤ 11.000 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

Resolviendo las ecuaciones e inecuaciones se obtiene la solución óptima para minimizar los costos totales. Nota: el procedimiento para encontrar la solución óptima se estudiará en las siguientes semanas de la asignatura. Fuente: basado en Taha (2012, p. 47, ejercicio 4)

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Ejemplo aplicación 2 Una imprenta necesita minimizar los costos de un producto para el segundo semestre. Para ello, el área de planificación ha entregado la siguiente información: Mes

Capacidad máxima de producción (unidades) 2.400

Demanda

Costo de producción por unidad

Costo de almacenamiento por unidad de inventario

2.200

1.200

300

Agosto

2.400

2.500

1.200

300

Septiembre

3.000

3.100

1.050

370

Octubre

3.000

3.100

1.050

370

Noviembre

3.000

2.800

1.000

350

Diciembre

3.000

2.800

1.000

350

Julio

El inventario a finales de junio es de 1.100 unidades. Determinar modelo final que permita minimizar los costos. Desarrollo: 

Definir el problema:

El problema es determinar la cantidad a producir para minimizar los costos totales del segundo semestre. 

Construcción del modelo:

Para construir el modelo, lo primero es definir las variables: xi : Unidades a producir en el mes i (donde; i = 7,….12 con i = 7 es julio;… i = 12 diciembre ). Ii: Unidades a almacenar en inventario al final del mes (donde; i = 7,… 12 con i = 7 es julio;… i = 12 diciembre). Se deben obtener los costos:

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Costos de producción: 

Para obtener los costos de producción se multiplica la cantidad a producir por cada mes por los costos.

Costos producción= 1200*x7 +1200*x8 +1050*x9 +1050*x10 +1000*x11 + 1000*x12 

Para obtener los costos de almacenamiento se multiplica la cantidad a producir por los costos de almacenamiento.

Costos de almacenamiento = 300*I7 +300*I8 +370*I9 +370*I10 +350*I11 + 350*I12 La función objetivo para minimizar los costos viene dada por: Costos de producción

Costos Almacenamiento

Mín. C = 1200*x7 +1200*x8 +1050*x9 +1050*x10 +1000*x11 + 1000*x12 + [(300*I7 +300*I8 +370*I9 +370*I10 +350*I11 + 350*I12)] Costos de almacenamiento Restricciones: 

La empresa debe satisfacer los requerimientos de la demanda. Para obtener las restricciones, se puede formular una ecuación de la forma:xi + Ii-1 – Ii

Para julio; x7 + 1100 – I7 = 2200 Para agosto; x8 + I7 – I8 = 2500 Para septiembre; x9 + I8 – I9 = 3100 Para octubre; x10 + I9 – I10 = 3100 Para noviembre; x11 + I10 – I11 = 2800 Para diciembre; x12 + I11 – I12 = 2800 

Es necesario considerar la capacidad máxima de producción:

Para julio; x7 ≤ 2400 Para agosto; x8 ≤ 2400 Para septiembre; x9 ≤ 3000 Para Octubre; x10 ≤ 3000 Para Noviembre; x11 ≤ 3000 Para Diciembre; x12 ≤ 3000  

La cantidad a producir es de: xi ≥ 0 La cantidad a almacenar es de: Ii ≥ 0

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De esta forma queda representado el modelo final para minimizar costos: Mín. C = 1200*x7 +1200*x8 +1050*x9 +1050*x10 +1000*x11 + 1000*x12 + [300*I7 +300*I8 +370*I9 +370*I10 +350*I11 + 350*I12) s.a

x7 + 1100 – I7 = 2200 x8 + I7 – I8 = 2500 x9 + I8 – I9 = 3100 x10 + I9 – I10 = 3100 x11 + I10 – I11 = 2800 x12 + I11 – I12 = 2800 x7 ≤ 240 x8 ≤ 2400 x9 ≤ 3000 x10 ≤ 3000 x11 ≤ 3000 x12 ≤ 3000 xi ≥ 0 Ii ≥ 0

Basado: Taha, H. (2012). Investigación de Operaciones.9. Pearson, pág. 41, ejemplo 2.4-3.

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Ejemplo aplicación 3 La empresa de tecnología PC MIX vende computadores portátiles, los que son armados en sus instalaciones. La empresa necesita optimizar los costos trimestrales de armado y almacenamiento. Se ha podido recopilar la siguiente información: Trimestre

1 2 3 4

Proyección de la demanda (unidades) 1.400 3.000 2.000 1.600

Los computadores armados que quedan en stock de un trimestre anterior pueden ser utilizados para satisfacer la demanda de los trimestres posteriores, pero existe un costo adicional por concepto de almacenamiento de $100 por cada computador. La empresa dispone de un inventario en bodega de 1000 unidades. La empresa tiene una capacidad de armar hasta 2000 computadores por trimestre y el costo de cada uno es de $1.000. Se pueden armar hasta 250 computadores adicionales, pero el costo aumenta a $2.000. Determinar el modelo final que permita satisfacer la demanda y a un costo total mínimo. Desarrollo: 

Definir el problema:

El problema es determinar la cantidad de computadores que se deben armar para satisfacer la demanda, y minimizar los costos por armado y almacenamiento. 

Construcción del modelo:

Para construir el modelo lo primero es definir las variables: xi : Cantidad de computadores portátiles producidos en el trimestre i. (Donde; i= 1,2,3,4). yi : Cantidad adicional de computadores portátiles producidos en el trimestre i. (Donde; i= 1,2,3,4). zi : Cantidad de computadores portátiles almacenados en el trimestre i.

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Se deben obtener los costos: Costos de producción: 

Costo para las primeras 1000 unidades armadas:

Costos armado= 1000 (x1 +x2 +x3 +x4) Se puede resumir la ecuación a la forma: 1000 ∑4𝑖=1(𝑥𝑖 ) 

Costo por las unidades adicionales armadas:

Costos armado adicional= 2000(y1 +y2 +y3 +y4) Se puede resumir la ecuación a la forma: 2000 ∑4𝑖=1(𝑦𝑖 ) 

Costo por las unidades almacenadas:

Costos por almacenamiento= 100 (z1 + z2 +z3 +z4) Se puede resumir la ecuación a la forma: 100 *( ∑4𝑖=1(𝑧𝑖 ) ) La función objetivo para minimizar los costos viene dada por: 

Costos totales = Costo para las primeras 1000 unidades armadas + Costo por las unidades adicionales armadas + Costo por las unidades almacenadas.

La función objetivo quedaría: Mín. C = 1000 ∑4𝑖=1(𝑥𝑖 ) +2000 ∑4𝑖=1(𝑦𝑖 ) + 100 *( ∑4𝑖=1(𝑧𝑖 ) ) Restricciones: 

La empresa debe satisfacer los requerimientos de la demanda, considerando que inicialmente hay 1000 unidades en bodega.

Primer trimestre: 1000 + x1 + y1 - z1 = 1400 Segundo trimestre: z1 + x2 + y2 - z2 = 3.000 Tercer trimestre: z2 + x3 + y3 - z3 = 2.000 Cuarto trimestre: z3 + x4 + y4 – z4 = 1.600 En las restricciones se debe considerar que siempre va quedando algo en la bodega de almacenamiento para cubrir la demanda de los computadores portátiles, por esta razón, en las restricciones se considera el stock del trimestre anterior.

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Se debe cumplir que la cantidad armada, adicional y almacenada debe ser superior o igual a cero. xi ≥ 0 yi ≥ 0 zi ≥ 0

De esta forma queda representado el modelo final para minimizar costos totales. Mín. C = 1000 ∑4𝑖=1(𝑥𝑖 ) +2000 ∑4𝑖=1(𝑦𝑖 ) + 100 *( ∑4𝑖=1(𝑧𝑖 ) ) s.a

1000 + x1 + y1 - z1 = 1400 z1 + x2 + y2 - z2 = 3.000 z2 + x3 + y3 - z3 = 2.000 z3 + x4 + y4 – z4 = 1.600 xi ≥ 0 yi ≥ 0 zi ≥ 0

Basado: Taha, H. (2012). Investigación de Operaciones.9. Pearson, pág. 47, ejerc. 5.

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COMENTARIO FINAL De acuerdo a los contenidos estudiados se pudo conocer la importancia que tiene la investigación de operaciones para disminuir costos por problemas asociados al almacenamiento. Se estudió cómo elaborar un modelo matemático para resolver los problemas asociados a almacenamiento, determinando las variables, restricciones, función objetivo y modelo final. Además de conocer y estudiar problemas cotidianos asociados al área de almacenamiento. Como inferencia al tema podemos destacar que el área de almacenamiento dentro de una organización tiene una serie de problemáticas que debe afrontar día a día, como los costos asociados a tener productos almacenados y responder a los clientes en los plazos estipulados. El rol de la investigación de operaciones es formular modelos que permitan disminuir los costos y aumentar el beneficio para la organización.

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REFERENCIAS Taha, H. (2012). Investigación de Operaciones.9. Pearson.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2018). Modelo de programación lineal. Investigación de Operaciones. Semana 5.

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